专题02 向量基本定理与坐标运算（压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第二册

命学科网·上好课 上好每一堂课 专题02向量基本定理与坐标运算 目录 专题02向量基本定理与坐标运算 类型一、基底的概念与辨析 类型二、用基底表示向量 类型三、向量的线性表示求参数 类型四、向量的线性表示求最值 类型五、证明三点共线 类型六、坐标法求参数 类型七、向量平行求参数 类型八、坐标法解决几何问题 类型九、坐标法解决三点共线问题 压轴专练 典例详解 类型一、基底的概念与辨析 对基底的理解 (1)基底的两个主要特征 ①基底是两个不共线向量： ②基底的选择是不唯一的. 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件 (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底 例1.(24-25高一下广东东莞·期末)若{可可}是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的 是() A.[er 01+e2} B.{E+E2可-E2} c.{E+E2-2E+2a2} D.{E1-e2-2e1+2e2 变式1-1.24-25高一下贵州遵义正安县第二中学月考若{三}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中 能构成平面内所有向量的一个基底的是(） A.a-26,b- B.c=(1,2),d=(-3-6) c.c=(0,1),ā=(0,2) D.a+b,a-b 变式1-2.24-25高一下甘肃庆阳镇原县三岔中学：期中)若京，云是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 组基底向量的为() ①-6和20266-2026a:②+6和-6：③3a-26和2-36；④2a-6和36-6a. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 变式1-3.（多选）O为4BCD的对角线AC和BD的交点，下列各组向量中能作为平面ABC上所有向量的一组基底的 是( A.A丽与AD B.AC与D元 c.DA与BC D.0B与0方 类型二、用基底表示向量 准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两 个向量和的形式，且分解是唯一的， (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的 基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决 例2.(24-25高一下山东聊城：期末在梯形ABCD中，AB/CD,AB=2CD,A=A店+A而，当点P在 △BCD内部运动时，7的取值区间为(a,b),则a+b=() A.名 8.号 c.2 D.器 变式2-1.(24-25高一下天津四校期末)在平行四边形ABCD中，E,F分别在边AD,CD上，A它=4E'D户=专F武 ,AF与BE相交于点G,记BA=”B元=6：则gG=（） A.-号6 B.-a+号6 c.+号 D.--号6 变式22.24-25高一下河南郑州实验中学期末如图，在△4BC中，=3D元，A=2F元，E是AD的中点，则 E=() A.吉A+方AC B.-名A+Ad c.A丽+A配 D.-A+牙AC D 变式23.24-25商一下北京平谷区已知平行四边形ABCD,入u为实数，=A+A,则“点P在平行四边 形ABCD内（不含边界）”是“0<+u<2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C,充要条件D.既不充分也不必要条件 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型三、向量的线性表示求参数 例3.(24-25高一下.四川眉山期末)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC,BD的交点， AE=AD,FC=AC,若E京=xA而+yAB,则x+y=（) A.1 B. C.2 D.号 D E B 变式3-1.在平行四边形ABCD中，E是AD边的中点，BE与AC相交于点F,若E=mA应+nA(mn∈R),则 晋的值是(). A.-2 B.2 C.1 D.-1 变式32.(24-25高一下北京顺义区，期末)在△ABC中，点P,Q满足A=3P官，C0=4QB若 P0=A店+AC,则合= 变式3-3.(24-25高一下.吉林长春慧泽高中.月考)如图，0为△ABC中BC边的中点，过点0的直线与AB,AC所在直 线分别交于点M,N,满足A=mAM,A=nAC,(m>0,n>0),若mn=,则m+n的值为 M 类型四、向量的线性表示求最值 例4.如图，边长为2的等边△ABC的外接圆为圆0，点P为圆0上任意一点，若A=xA正+yAC,则2x+2y的 最大值为() A.号 B.2 c.青 D.1 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式4-1.(24-25高一下.甘肃白银实验中学.期末)如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且B=2DC,过点D的 直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点(E,F两点不重合)若A正=入A屈(1>0)， A正=uAC(u>0),则入+3μ的最小值为一 E 变式42.(24-25高一下·云南楚雄第一中学·月考)如图，在△ABC中，P为线段BC上靠近点B的三等分点，0是线段 AP上一点，过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F,设A正=A店，A应=uAC (1)以{A店，AC}为基底表示A更 (2若入=寺，μ=方，求品的值； (3)若点0为线段AP的中点，求入+u的最小值. E 变式43.(24-25高一下广东深圳中学期中)如图，在△ABC中，点P满足P元=2B下，0是线段AP的中点，过点0 的直线与线段AB,AC分别交于点E,F, (1)若A正=号AB,请用向量ABAC来表示向量A0,EO: (2)若A正=A亚(0≤1≤1)，AF=AC(0≤u≤1)，求21+4的最小值， B 类型五、证明三点共线 例5.如图，已知平行四边形ABCD,A=mA恋+nA市，M和N分别是PB和PC的中点，Q为AN和DM的交点， O为AC和BD的交点，求证：P,Q,O三点共线. 4/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M B 变式5-1.(24-25高一上北京北大附中朝阳未来学校月考)三角形ABC中，E为边AC的中点，D为边BC靠近点B的 三等分点. (1)根据题意绘制示意图： (2)选取A店，AC为向量基底，表示向量A,B它： (3)若点N满足4A市+2AB=3AC,证明：B、N、E三点共线 变式5-2.(24-25高一下·云南"美美与共”民族中学联盟如图，在△ABC中，C=2D范A应=E元 1)用AB,AC表示AD,B它： 2)若点M满足AM=A+AC,证明：B,M,E三点共线. E D 变式5-3.(24-25高一上河北保定部分高中期中如图，在△ABC中，A应=AC示=C设A=京，A记=币 (1)用点b表示Ad,M: (2)若P为△ABC内部一点，且BP=-号+b.求证：M,P,N三点共线。 类型六、坐标法求参数 (1)一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标； (2)两个向量相等的充要条件是这两个向量的坐标相等。 例6.(23-24高一下江苏苏州常熟期中在平行四边形ABCD中，E,F分别在边AD,CD上，AE=3ED, DF=FC,AF与BE相交于点G,记BC=京'BA=,则AC=（） A.是a-合6B.~是a+岛Bc.盘a-是6 D.-品+是6 5/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D G B 变式6-1.（侈选）(24-25高一下湖南沉澧共同体·期末)如图，在直角梯形ABCD中，ABLAD,A店=2D元，E为4B 的中点，M,N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若A=A成+A,则-u的值 不可能是() A.-5 B.3 C.7 D.9 D E 变式6-2.(24-25高一下江苏淮安七校联盟如图，在边长为2的正方形ABCD中，M,N分别是BC,CD的中点. (1)若AC=入AM+uBN,则入+μ的值 (2)若AC交BN于点P,求线段MP的长 D M 变式6-3.(24-25高一下湖北间津教育联合体月考)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且A=京：B元=， CA=2若c成=32：c=-26 (1)求3a+b-2: (2)求满足a=mb十nc的实数m,n的值； (3)求M,N的坐标及向量MN的坐标. 类型七、向量平行求参数 例7.24-25高一下河南部分名校联盟月考诺向量=（3，，万=(x-2小且/6则x=（） A.-6 B.6 c.-号 D. 变式7-1.24-25高-下-新疆部分校已知向量豆=(-1,2：6=(3-2且/2a)则t=（） A.3 B.-3 C.2 D.-2 变式7-2.24-25高一下山东淄博实验中学、淄博齐盛高中已知向量=(3,1)，6=(2,3)，元=(-1,2)，若向量 a+与+平行，则实数，=（) A.-9 8.7 C.2 D.-品 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式7-3.(24-25高一下天津中学)设A,B,C,D为平面内的四点，且A(1,3),B(2,-2),C(4,1)· (1)若A,B,C,D逆时针围成平行四边形ABCD,求D点的坐标； 2)设向量=A,石=B元，若ka-与+36平行，求实数k的值. 类型八、坐标法解决几何问题 用向量运算解決平面几何问题的“三步法” 1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系.3.把运算结果“翻译”成几何关系 例8.如图，A:B,C是圆0上的三个不同点，且∠A0B=120°，∠A0C=30°，则0C=（) A. 90A+2902 B. 290A.908 A+08 C. D.A-OB 变式8-1.在直角坐标系中，已知点A2,0小B(1,V同 动点P满足OP=x0A+y0B,且x、y∈[0,1小，x+y≤1， 则点P所在区域的面积为 A.1 B.2 c.5 D.2W3 变式8-2.(24-25高一下.陕西渭南渭南中学期末)根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作 出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE(其中∠EDC=30·, ∠CED=90)按上述操作作图后，得如图所示的图形，若A=xA店+y而，则x+y:2=一 30° G A B 变式83.已知△ABC中，I是内心，AB=AC=13,BC=10,A1=1AB+uBC,则实数7+u的值为 类型九、坐标法解决三点共线问题 例9.已知向量可A=(-1,kO应=(1,20元=(k+2,0)且实数k≥0，若4，B,C三点共线.则k=（) 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.3 变式91.设可A=(-2,4)”O店=(-a2)'元=(b,0),其中a>0,b>0:0为坐标原点，若A:B,C三点 共线，则2a+b=一寺+吉的最小值为一 变式92.已知=(1,0)，万=(2,1) (1)当k为何值时，k-石与+36共线？ (2)若AB=2a+3b,BC=a+mb,CD=a-3b且AC,D三点共线，求m的值. 变式93.已知向量0A=(1,-4),0B=(a-3),0C=(-b,0),a>0,b>0,0为坐标原点 (1)当a=2,b=3时，求AB与AC的夹角的余弦值； (2)若AB,C三点共线，求吉+的最小值 压轴专练 一、单选题 1.(24-25高一下·内蒙古赤峰期末)已知G是△ABC的重心，过点G的直线1与线段AB、AC分别交于点E、F, A正=A店，A正=uA配，(1>0,4>0)，则21+8u的最小值为( A.V3 B.2V2 C.3 D.6 2.(24-25高一下.湖南邵阳邵东期末)在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD=D4,点E为线段AD上任意 点（除端点外），若实数x,y满足B它=xBA+yB元，则安+吉的最小值为() A.2V2 B.4+2V3 c.6+2W5 D.9 3.(24-25高一下山西临汾部分学校期末)如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是线段AD上的一点，若 C2=xCA+(1-2x)C,则x=（) A.言 B. C. D. C A 4.(24-25高一下宁夏吴忠同心县部分校期末)已知已2是平面内的一组基底， OA=4可+3已20B=2可+kE0元=5E1-3E2,若AB,C三点共线，则实数k的值为() A.9 B.13 C.15 D.18 5.(24-25高一下贵州黔南布依族苗族都匀第一中学：期末)在△ABC中，点D满足2Ci=DB,点0满足A0=OD, 点E、F满足A正=1A庙，A=uAC,7>0,4>0,若0、E、F三点共线，则6+3u的最小值为() 8/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.4+V2 c.2+V2 D. 6.24-25高一下.江苏镇江期末)设E1,E2是平面内的一组基底，MN=3E1+2E2,MP=4-E2,M0=5日1-4已2 ,则共线的三点为() A.M,N,P B.M,N,Q C.M,P,Q D.N,P,Q 7.(24-25高二下江苏泰州期末)在四面体ABCD中，0是△BCD的重心，A=2A它，A元=3A正，A=4AG.若 ad 直线A0交平面EFG于点0，则 =() A.2 B.3 C.4 D.5 8.(24-25高一上辽宁锦州期末)在△ABC中，BD=2D元，E为边AB上一点，CE与AD交于点F,若A=2FD, 则器=() A.吉 B.号 C. D. 二、多选题 9.(24-25高一下山东平邑第一中学校本部)在△ABC中，点M,N分别在BC和AC上，且满足CM=CB, C+A=可，点D在线段MN上，且CD=C克+uCA,则下列各组数据适合的是() A.1=青，H=0 B.1=3,u=青 c.1=0,u=克 D.1=言，u= 10.(23-24高一上辽宁沈阳期末)如图，在直角梯形ABCD中，ADIBC,AB⊥AD,AD=2BC,E是线段CD的中 点，线段AE与线段BD交于F,则() A.AD=2B元 B.DB=AD-AB c.A应=A+A丽 D.A=A正 B A D 11.(22-23高一下山东泰安期末)已知点P是△ABC所在平面内一点，且A=2xA+yAC,xyER,则下列说 法正确的是() A.若x=y=,则点P是边BC的中点 B.若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则x=y=青 9/10 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若2x+y=2,则△PBC与△ABC的面积相等 D.若点P在BC边的中线上，且2x+y=专，则点P是△ABC的重心 三、填空题 12.(24-25高一下.河南漯河普通高中.期末)如图，在△ABC中，B0=20C,过点0的直线分别交直线AB,AC于不 同的两点M,N,设A=xA成，AC=yA,则袁+号的最小值为一 C M 13.已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC的重心.过点G的直线1与线段AB交于点D,与线段AC交于点E.设 AD=A应，A正=uAC,则片+责= 14.(23-24高一下上海嘉定区中光高级中学期中)设向量0A=(-1,-1),0B=(2a,3),0C=(-b,0)其中0为坐 标原点，a>0,b>0,若AB,C三点共线，则后+的最小值为一 四、解答题 15.(24-25高二下.上海杨浦高级中学期末)如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足DC=2BD,点G在线 段AB上，满足3AG=2GB,线段CG与线段AD交于点0. (1)用AB和AC表示A⑦： (2)若A0=A而，求实数t: 3)如图2所示，过点0的直线与边AB,AC分别交于点B,F,设E克=2A它，F元=uA1>0,μu>0),求u的 最大值； G B B 图1 图2 10/10 专题02向量基本定理与坐标运算 目录 专题02 向量基本定理与坐标运算 类型一、基底的概念与辨析 类型二、用基底表示向量 类型三、向量的线性表示求参数 类型四、向量的线性表示求最值 类型五、证明三点共线 类型六、坐标法求参数 类型七、向量平行求参数 类型八、坐标法解决几何问题 类型九、坐标法解决三点共线问题 压轴专练 类型一、基底的概念与辨析 对基底的理解 (1)基底的两个主要特征 ①基底是两个不共线向量； ②基底的选择是不唯一的． 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 例1．(24-25高一下·广东东莞·期末)若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断向量组中两个向量是否共线． 【详解】由已知是平面内的一个基底， 则若共线，则存在实数，使得，即，与是基底矛盾，因此不共线， 若共线，则存在实数，，所以，与是基底矛盾，因此不共线， 因为，所以不共线，共线， 因此D不能作为基底， 故选：D． 变式1-1．(24-25高一下·贵州遵义正安县第二中学·月考)若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据基底的概念，分别判断四个选项中的向量是否共线即可. 【详解】对于A选项：，共线，故不能构成基底； 对于B选项：，共线，故不能构成基底； 对于C选项：，共线，故不能构成基底； 对于D选项：假设与共线，由题他们均为非零向量，故存在非零实数，使得：，整理得：，故共线，与是平面内所有向量的一个基底矛盾，故假设不成立，所以与不共线，可以构成基底. 故选：D. 变式1-2．(24-25高一下·甘肃庆阳镇原县三岔中学·期中)若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列可以作为一组基底向量的为（    ） ①和；②和；③和；④和. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量基底的意义逐一判断即可. 【详解】对于①，，①不是； 对于④，，④不是， 对于②，因为，是平面内一组不共线的非零向量，故和均不是零向量， 若和共线，则存在实数，使得，即，无解， 故和不共线即它们可以形成基底向量，故②是； 对于③，同理和均为非零向量， 若和共线，则存在实数，使得， 即，无解，故和不共线即它们可以形成基底向量，故③是； 因此可以作为一组基底向量的为②③. 故选：B 变式1-3．（多选）O为▱ABCD的对角线AC和BD的交点，下列各组向量中能作为平面ABC上所有向量的一组基底的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AB 【分析】要作为平面内所有向量的一组基底，两个向量不能共线. 【详解】在平行四边形中， ，故排除C，D； 与不共线，与不共线，A，B选项正确； 故选:AB. 类型二、用基底表示向量 准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的． (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决． 例2．(24-25高一下·山东聊城·期末)在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，确定的值即可. 【详解】如图： 取，过作，交于点，交于点. 设，因为三点共线，所以 . 设，因为， 所以 ，. 因为共线，所以，所以 . 因为且点在内运动，所以点在线段上，所以. 即，.所以. 故选：C 变式2-1．(24-25高一下·天津四校·期末)在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，利用平行线分线段成比例可推导得到，结合向量加法和数乘运算可求得结果. 【详解】作，交于点，   ，，， ，， . 故选：C. 变式2-2．(24-25高一下·河南郑州实验中学·期末)如图，在△ABC中， E是AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加减法结合平面向量的线性表示计算求解. 【详解】在中， E是的中点， 则. 故选：D. 变式2-3．(24-25高一下·北京平谷区·)已知平行四边形，为实数，，则“点P在平行四边形内（不含边界）”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断点P在平行四边形内（不含边界）是否能推出，以及判断是否能推出点P在平行四边形内（不含边界）即可求解. 【详解】由，点P在平行四边形内（不含边界）可得， ， 反之，当时，如时，则点在平行四边形外部， 所以点P在平行四边形内（不含边界）是的充分不必要条件， 故选：A. 类型三、向量的线性表示求参数 例3．(24-25高一下·四川眉山·期末)如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参. 【详解】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 变式3-1．在平行四边形中，是边的中点，与相交于点，若，则的值是（    ）． A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】解法1应用相似得出比例关系结合平面向量基本定理求出即可求解；解法2应用向量的数乘运算结合三点共线即可计算求解. 【详解】解法1：根据题意可知，所以， 故 ，所以， 所以． 解法2：因为，， 所以， 因为三点共线， 所以，所以． 故选：A． 变式3-2．(24-25高一下·北京顺义区·期末)在中，点P，Q满足，.若，则 . 【答案】 【分析】由 进行求解． 【详解】由，得， 由，得， 则 ， 得， 则， 故答案为： 变式3-3．(24-25高一下·吉林长春慧泽高中·月考)如图，为中边的中点，过点的直线与所在直线分别交于点，满足，若，则的值为 ．    【答案】 【分析】利用、三点共线得，再由求出可得答案. 【详解】连接，则， 因为三点共线，所以， 又因为， 可得， 所以，得，所以， 解得，可得. 故答案为：.    类型四、向量的线性表示求最值 例4．．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）   A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 变式4-1．(24-25高一下·甘肃白银实验中学·期末)如图，在中，D为边上一点，且，过点D的直线与直线相交于E点，与直线相交于F点（E，F两点不重合）.若，，则的最小值为 .    【答案】 【分析】先用表示，利用已知代入表达式，结合D，E，F三点共线可得，然后妙用“1”可解 【详解】在中，，且，则， 可得 ， 又，，所以，， 可得. 因为D，E，F三点共线，且点A在线外，所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为： 变式4-2．(24-25高一下·云南楚雄第一中学·月考)如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用向量的线性运算用基底表示即可； （2）利用平面向量基本定理，由三点共线得到，再由是线段上一点，得到，与（1）的结论对照即可求得的值； （3）由三点共线得到，结合点为线段的中点可得，与（1）的结论对照，列出方程组，消去，得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得的最小值. 【详解】（1）由图，. （2）因三点共线，则存在，使得， 又是线段上一点，则存在，使得， 由（1）已得，故有，解得：，即. （3）因，且三点共线， 则存在，使得， 又因点为线段的中点，则有， 与对照可得：，消去即得，即， 故， 当且仅当时，即当时，取得最小值为. 变式4-3．(24-25高一下·广东深圳中学·期中)如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与线段分别交于点．   (1)若，请用向量来表示向量； (2)若，求的最小值． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算即可得到向量关于的表达式； （2）由推得，结合题设条件和基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由图和题设条件可得： ； . （2）由图和可得：，即（*）， 因， 当时，点与点重合，显然不合题意，同理时，也不合题意.则， 由（*）可得：，即， 因三点共线，故， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立， 即时，的最小值为. 类型五、证明三点共线 例5．如图，已知平行四边形，，和分别是和的中点，为和的交点，为和的交点，求证：三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】设，由三点共线可得，利用基底,代入可求出，即可得证. 【详解】因为是的中点， 所以， 同理，． 因为三点共线， 所以． 又因为三点共线， 所以， 即， 可得，即， 即，所以三点共线． 变式5-1．(24-25高一上·北京北大附中朝阳未来学校·月考)三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【答案】(1)图形见解析； (2)，； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，直接画图即可； （2）根据几何图形进行线性运算即可； （3）利用向量共线定理即可证明. 【详解】（1）如图，    （2）因为E为的中点，D为边上靠近点B的三等分点， 所以， 则， 所以； . （3）因为， 所以， 所以，即， 所以， 又因为有公共点， 所以三点共线.    变式5-2．(24-25高一下·云南“美美与共”民族中学联盟·)如图，在中，. (1)用表示； (2)若点满足，证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）应用向量的线性关系结合向量的减法计算求解； （2）根据已知得出进而证明三点共线. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. 同理， 所以. （2）由， 可得. 又， 所以，又因为有公共点， 所以三点共线. 变式5-3．(24-25高一上·河北保定部分高中·期中)如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【详解】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 类型六、坐标法求参数 （1）一个向量的坐标等于__  表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标____﹔ （2）两个向量相等的充要条件是这两个向量的坐标相等． 例6． (23-24高一下·江苏苏州常熟·期中)在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法1：设，根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得，进而可得结果；法2：建系，设，结合向量的坐标运算分析求解；法3：做辅助线，根据几何知识分析可知，进而可得结果. 【详解】法1：因为， 设，则， 因为，，三点共线，则，解得， 即，所以； 法2：坐标法（特殊化平行四边形建系） 不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系， 设，，则， 所以直线，直线， 联立方程，解得， 可得，，， 设， 则，解得， 所以； 法3：如图，延长，，交于点， 因为为中点，所以， 又，则，可得， 可知，所以； 故选：C. 变式6-1．(多选）(24-25高一下·湖南沅澧共同体·期末)如图，在直角梯形中，，，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上的任意一点，若，则的值不可能是（   ）   A． B．3 C．7 D．9 【答案】ACD 【分析】建立适当的平面直角坐标系，依次设和并结合和得关于的方程组即可求解. 【详解】由题可建立如图以A为坐标原点的平面直角坐标系，    则，不妨设，则， 则， 设，则， 因为，所以， 所以，整理得 因为，所以. 故选：ACD 变式6-2．(24-25高一下·江苏淮安七校联盟·)如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解； （2）根据三点共线和三点共线，结合共线向量的坐标公式求出点的坐标，再求出即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 由可得：， 所以，解得， 因此； （2）设，因为三点共线，所以 则存在唯一实数，使得， 则，可得，， 即， 又三点共线，且，，则， 所以，解得， 则，所以， 所以， 所以线段的长. 变式6-3．(24-25高一下·湖北问津教育联合体·月考)已知，，，且，，，若，． (1)求； (2)求满足的实数m，n的值； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)，，． 【分析】（1）计算出，利用线性运算得到； （2）根据向量运算法则得到方程组，求出； （3）计算出，得到，同理得到，得到的坐标. 【详解】（1）由题意得， ，， 所以； （2）因为， 又， 所以， 解得，即； （3）设为坐标原点，∵， ∴，即， 又， ∴，即， ∴． 类型七、向量平行求参数 例7．(24-25高一下·河南部分名校联盟·月考)若向量，且，则（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：A. 变式7-1．(24-25高一下·新疆部分校·)已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】应用向量的线性运算求，再由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】因为，，所以， 由，得，解得. 故选：A 变式7-2．(24-25高一下·山东淄博实验中学、淄博齐盛高中·)已知向量，若向量与平行，则实数（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由向量线性运算的坐标表示及平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】， 因为向量与平行， 所以， 解得：， 故选：C 变式7-3．(24-25高一下·天津中学·)设A，B，C，D为平面内的四点，且，，． (1)若A，B，C，D逆时针围成平行四边形ABCD，求D点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合平行四边形的性质，根据向量相等的坐标运算列式求解即可. （2）先根据向量的线性运算求得与的坐标，然后利用向量共线的坐标运算列式求解即可. 【详解】（1）设，则，， 因为，所以，解得． 所以D点的坐标为． （2）由题意得，， 所，． 因为，所以，解得. 类型八、坐标法解决几何问题 用向量运算解决平面几何问题的“三步法” 1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系. 3.把运算结果“翻译”成几何关系. 例8．如图，，，是圆上的三个不同点，且，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，建立直角坐标系，设圆的半径为1，则可求出的坐标，即可得到向量的坐标，由于不共线，所以利用平面向量基本定理进行求解即可 【详解】解：如图，建立直角坐标系，设圆的半径为1， 因为，， 所以, 所以, 因为不共线，所以由平面向量基本定理可知存在一对有序实数，使， 所以， 所以，解得， 所以， 故选：D 变式8-1．在直角坐标系中，已知点、, 动点满足,且、 ，，则点所在区域的面积为 A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】画出动点满足的区域，然后计算出面积 【详解】如图，动点满足，且、，的区域为 则点所在区域的面积为， 故选 【点睛】本题考查了向量的线性表示，要求满足条件的点所在区域的面积则先画出满足的区域，然后再计算，需要理解题意 变式8-2．(24-25高一下·陕西渭南渭南中学·期末)根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形（其中，）按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则 . 【答案】/ 【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设，求得的坐标，再由列式求解即可. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 所以， 则， 故答案为：. 变式8-3．已知中，是内心，，，，则实数的值为 【答案】 【分析】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求得向量的坐标，利用列出方程组，即可求得的值． 【详解】由题意，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系如图所示： 设， 则，，， 则，， 因为点在的平分线上， 所以与及的单位向量的和向量共线， 设这个和向量为， 则， 的单位向量， 它与的单位向量相等， 又，由此得方程， 解方程得（舍负），所以 ， 又， 故， 即，解得， 则， 故答案为：． 类型九、坐标法解决三点共线问题 例9．已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算． 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以， 则，解得或， ，. 故选：D. 变式9-1．设，，，其中，，为坐标原点，若，，三点共线，则 ，的最小值为 . 【答案】 2 【分析】由题意求得，根据三点共线可得向量共线，利用向量共线的条件可得的值，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由，，可得， 由于，，三点共线，故共线， 所以，即， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故答案为：2； 变式9-2．已知. (1)当为何值时，与共线？ (2)若且三点共线，求的值. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由平行的坐标运算计算； （2）由向量共线求解． 【详解】（1）由已知，， 与共线，则，； （2）由已知 ， 三点共线，则共线，而不共线， 所以，解得． 变式9-3．已知向量为坐标原点. （1）当时，求与的夹角的余弦值； （2）若三点共线，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求出、的坐标，再求出，即可根据向量夹角公式得答案； （2）由三点共线，得，从而由向量共线的坐标表示即可得与的关系，最后利用基本不等式即可求解的最小值. 【详解】解：（1）当时， 所以， 则， 所以； （2）若三点共线，则， 又因为， 所以，化简得，即， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 压轴专练 一、单选题 1．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据重心的性质先用将表示出来，然后利用向量共线定理得出，最后利用基本 不等式的性质求出的最小值. 【详解】根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 所以. 因为，所以. 所以. 因为三点共线，根据向量共线定理可得，化简得. 所以. 当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为6. 故选：D. 2．(24-25高一下·湖南邵阳邵东·期末)在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D 3．(24-25高一下·山西临汾部分学校·期末)如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，借助向量线性运算与可得，结合题目所给条件计算即可得. 【详解】设，则 ， 则有，解得. 故选：C. 4．(24-25高一下·宁夏吴忠同心县部分校·期末)已知是平面内的一组基底，，若三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算可得，然后根据三点共线，存在实数使得，即可求解. 【详解】因为， 所以 ， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得， 即，所以， 解得：. 故选：C. 5．(24-25高一下·贵州黔南布依族苗族都匀第一中学·期末)在中，点满足，点满足，点、满足，，，，若、、三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算可得出，设，利用平面向量的线性运算可得出，根据平面向量的基本定理可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】如下图所示： 因为，即，解得， 因为，即为的中点，所以， 因为、、三点共线，设，则， 所以， 因为、不共线，且， 所以，所以，，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 6．(24-25高一下·江苏镇江·期末)设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由，，排除ABC，由可说明D符合题意. 【详解】，是平面内的一组基底， ，，， 因为，，， 则与，与，与不共线， 所以不共线，不共线，不共线，故排除ABC， 注意到， 即，所以点是线段的中点，故D符合题意. 故选：D. 7．(24-25高二下·江苏泰州·期末)在四面体中，是的重心，．若直线交平面于点，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先将用，，表示出来，再通过已知的向量倍数关系将其转化为用，，表示，然后利用在平面上，与平面内向量共面的性质求解. 【详解】因为是的重心，所以， 将代入得， 因为在直线上且在平面上，所以存在实数使得， 且，同时与共线， 设（为实数），则， 因此，，，又因为，即，解得， 故，即. 故选：B. 8．(24-25高一上·辽宁锦州·期末)在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，结合图象，利用作为基底，表示，根据共线定理的推论，建立方程，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由，则， 所以， 由共线，则，由，则， 所以，整理可得， 由共线，则，解得，即， 由， 则，所以. 故选：B. 二、多选题 9．(24-25高一下·山东平邑第一中学校本部·)在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】由点在线段上可设，.根据题意可得，，∴.结合平面向量基本定理即可得到，逐项判断即可求解. 【详解】∵点在线段上，∴设，. 又点，分别在和上，且满足，， ∴，，∴. 又，∴，即. 故选项A，C，D正确，选项B错误. 故选：ACD. 10．(23-24高一上·辽宁沈阳·期末)如图，在直角梯形中，，，，是线段的中点，线段与线段交于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量的线性运算法则判断选项，根据点共线，由向量共线定理可知，再利用向量的线性运算法则求解即可判断选项. 【详解】对于选项，由已知条件可知，则正确； 对于选项，，则错误； 对于选项，连接，因为是线段的中点， 所以 ，则正确； 对于选项，设，点三点共线，则存在，使得, ， ， 所以 ，消去得，解得， 所以，则正确； 故选：. 11．(22-23高一下·山东泰安·期末)已知点是所在平面内一点，且，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点是边的中点 B．若点是边上靠近点的三等分点，则 C．若，则与的面积相等 D．若点在边的中线上，且，则点是的重心 【答案】BC 【分析】根据平面向量线性法则及共线定理判断即可. 【详解】对于A：当，则， 即，即，所以，故A错误； 对于B：若点是边上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又，且、不共线，所以，故B正确； 对于C：若，则， 所以， 如图延长到点使得，延长到点使得，则，， 所以，所以、、三点共线， 又为三角形的中位线，所以、到的距离相等，所以，故C正确； 对于D：取的中点，所以， 又点在边的中线上，设，    所以， 又，所以，又，所以，即， 此时为的中点，则点不是的重心，故D错误； 故选：BC 三、填空题 12．(24-25高一下·河南漯河普通高中·期末)如图，在中，，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合三点共线可得，再结合平面向量基本定理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为三点共线，则，且， 且，，即，， 可得， 又因为，则， 可得，则，可得， 显然，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 13．已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则 ． 【答案】3 【分析】连接AG并延长，交BC于F，结合已知有，再由三点共线即可得. 【详解】连接AG并延长，交BC于F，如图所示， 由题意得，F为BC中点，所以，又G为重心，所以， 所以，即， 因为D、G、E三点共线，所以，即. 故答案为：3 14．(23-24高一下·上海嘉定区中光高级中学·期中)设向量其中为坐标原点，  ，若三点共线，  则的最小值为 . 【答案】 【分析】由向量共线的坐标表示可得，再应用基本不等式及“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由， 由三点共线，且， 所以， 则， 当且仅当时取等. 故答案为：6 四、解答题 15．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期末)如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中平行线的等比关系计算； （2）由（1）得，，列出方程组求解即可； （3）由题意可得，，列出方程组，从而可得，利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）因为，则，由，得 ， 故. （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以， 由，得 ， 又因为，所以，解得，， 综上所述，. （3）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，，化简得， 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立． 故的最大值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $