精品解析：广东省惠州市惠东县2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年广东省惠州市惠东县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. （1，4） B. （1，﹣4） C. （﹣1，4） D. （﹣1，﹣4） 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4）． 故选：D 【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键． 3. 如图， 、 是 的弦，连结，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，熟练掌握圆周角定理是解题关键．根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：∵ 、 是 的弦，， ∴， 故选：D． 4. 若点与关于原点对称，则的值为（    ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，中心对称的性质．两点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标分别互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴， ∴， 故选：C． 5. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义进行求解即可．熟知一元二次方程的定义是解题的关键：一般地，形如，a、b、c都是常数的方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故选：D． 6. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 7. 在一次酒会上，参加酒会的人每两人碰一次杯，一共碰杯55次，共有多少人参加酒会？设有x人参加酒会，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．根据“每两个人都只碰一次杯”，列方程即可求解． 【详解】解： 个人参加酒会，每两个人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次， ∴， 故选：C． 8. 如图，将绕点 逆时针旋转得到，点 落在边 上，且 ，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角．由旋转的性质得，，由的性质得，可求得 是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， 故选：B． 9. 二次函数，当时随 的增大而减小，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．当 时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当 时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 【详解】解：开口向上，对称轴是直线， ∵当时随 的增大而减小， ∴， ∴． 故选D． 10. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 有以下几个结论： ①抛物线的开口向下； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和m； ④当时，x的取值范围是或 ． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质．根据表格中的 、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①错误； 抛物线的对称轴为直线 ，故②错误； 当时，，解得 或 ， 方程的根为0和2，故③错误； 当时，，由函数图象解得或 ，故④正确； 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知 的半径是3cm，则 中最长的弦长是___________． 【答案】6cm 【解析】 【分析】根据圆的直径为圆中最长的弦，即可求解． 【详解】解：∵圆的直径为圆中最长的弦， ∴ 中最长的弦长为cm． 故答案为：6cm． 【点睛】本题主要考查圆的相关概念，掌握圆的直径为圆中最长的弦是关键． 12. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：． 故答案为：． 13. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的定义．根据一元二次方程有实数根的条件，需满足判别式大于等于零，且二次项系数不为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 即，且， ∴ 的取值范围是且， 故答案为：且 14. 如图，直线 、 垂直相交于点 ，曲线 关于点 成中心对称，点 的对称点是点，于点 ，于点 ．若，，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：直线 、 垂直相交于点 ，曲线 关于点 成中心对称，点 的对称点是点，于点 ，于点 ， 如下图，过点 作于点，则阴影部分面积等于矩形的面积， ，， ， 阴影部分的面积之和为． 故答案为： ． 15. 若 是方程的一个根，则的值为______． 【答案】2022 【解析】 【分析】首先根据a是方程的一个根，可得，再把代数式进行恒等变式，化为含有的式子，据此即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了代数式求值及恒等变式问题，熟练掌握和运用代数式求值及恒等变式的方法是解决本题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解： ，， ， ， ， ，． 17. 已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握和运用利用待定系数法求二次函数的解析式是解决本题的关键． (1)设二次函数的解析式为，再把点C的坐标代入解析式，即可求得； (2)首先求得点A、B的坐标，再根据三角形的面积公式，即可求得． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，顶点坐标为， 设二次函数的解析为， 把代入解析式， 得， 解得， 所以，； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ， ． 18. 如图， 为⊙O的直径，弦于点E，连接 （1）求证：； （2）若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．以及勾股定理．熟记相关结论是解题关键． （1）根据等弧对等角证明即可； （2）连接，根据垂径定理得到 ，再利用勾股定理计算出 ，然后计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴, 在中， ∴ ∴ 19. 如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈 和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． （1） 的长为___________m；（用含 的代数式表示） （2）若羊的活动范围的面积为，求 的长； （3）羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时 的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） 的长为或； （3）羊的活动范围的面积不能为．理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （ ）根据得到，整理即可得到答案； （ ）根据羊的活动范围的面积为列出代数式即可； （ ）依题意得：，根据根的判别式，即可得到答案； 【小问1详解】 解：依题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意得：羊的活动范围的面积为， ∴，即， 解得， ∴ 的长为或； 【小问3详解】 解：羊的活动范围的面积不能为．理由如下， 依题意得：，即， ∵， ∴羊的活动范围的面积不能为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点都在格点上，坐标分别为 （1）画出关于原点O对称的； （2）将绕原点O顺时针旋转 ，得到，画出，并写出点坐标； （3）在x轴上找一点P，使的和最小，求出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）图形见解析，点坐标为 （3）图形见解析，， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、勾股定理、轴对称-最短路线问题，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、勾股定理、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）取点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接 ，此时，为最小值，利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：如图所示：  ， 由图得点坐标为； 【小问3详解】 解：点P如图所示； 取点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接 ， 此时为最小值， 则的最小值 21. 综合与实践 驱动任务： 跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动．不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力．单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈．学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高1.75米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙1.5米处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为 轴，过甲拿绳子的手作 轴的垂线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/m 1.50 1.61 1.77 1.53 1.68 1.75 1.70 1.68 1.78 （1）求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． （2）当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高的小明，从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能否通过跳绳． （3）现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）绳子所对应的抛物线解析式为：；顶点坐标为 （2）从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能通过跳绳 （3） 此时绳子能顺利的甩过所有队员的头顶， 队列安排方案可以为：距离两侧持绳手处分别为①④号；距离两侧持绳手处分别为②⑤号；距离两侧持绳手处分别为⑦⑧号；距离两侧持绳手 处分别为③⑥号；最中间的是⑨号（方案不唯一） 【解析】 【分析】（1）绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，用待定系数法求解即可； （2）由 时求出其相应的函数值，便可确定结论； （3）由自变量的值求出函数值，再比较便可． 【小问1详解】 解：绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为， 根据题意，抛物线经过点，且过点即，把三个点代入表达式， ，解得， 绳子所对应的抛物线解析式为：， ， 则抛物线顶点坐标为． 【小问2详解】 解：从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能通过跳绳． 理由如下： 将 代入得， ， 从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能通过跳绳． 【小问3详解】 解：有9位同学采取一路纵队并排的方式同时起跳，人与人之间距离至少0.5米，则首尾两位同学的距离是（米）， 最理想状态是最中间的同学站在对称轴的位置，此时首尾两位同学距离对称轴距离恰好是2米， 当 时， 将代入得，， 将代入得，， 将代入得，， 将代入得，， 此时绳子能顺利的甩过所有队员的头顶． 【点睛】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标和应用二次函数解析式解决实际问题． 22. 综合与探究 数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上，，连接 ，求证：． 思路梳理： （1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整； ， 将 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合， ， ，即点 ， ， 共线． 根据___________，易证___________，即可证得． 类比引申： （2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形 中， ，，点 ， 分别在边 ， 上，，连接 ．若 ，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由； 联想拓展： （3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中， ， ，点 ， 均在边 上，且．猜想 ， ， 满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】（1） ； ； （2）（1）中的结论还成立． 理由如下： ∵ ， ∴把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线， 在 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转 到的位置，连接 ，如图3所示： 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识；能正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键． （1）把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把绕点A逆时针旋转 到的位置，连接 ，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】解：（1）∵ ， ∴把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，如图1， ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为： ， ； （2）略 （3）略 23. 在平面直角坐标系中，抛物线和与 轴的交点分别为 ， 和 ， ，抛物线，的顶点分别用， 表示，其中点 ， ， 的坐标分别为，，． （1）如图 ，当时， ①求抛物线和的解析式； ②求， 两点间的距离． （2）当时，如图 ，直线，分别是抛物线和的对称轴． ①直线，之间的距离是否为定值？若是，直接写出该定值；若不是，说明理由； ② 是直线上一点，若为等腰直角三角形，试写出所有符合条件的点 的坐标． 【答案】（1）①和；② ． （2），， 或 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；②把抛物线和化为顶点式，求出顶点坐标即可得解； （2）①根据抛物线与 轴的交点分别求出两抛物线的对称轴即可得解；②把抛物线和化为顶点式，求出顶点坐标，，进而分当，且点在点 的下方时，当，且点在点 的上方时，当，且点在点 的下方时，当，且点在点 的上方时，四种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴抛物线为：，抛物线为； ②∵抛物线为：，抛物线为 ∴，， ， 两点间的距离为． 【小问2详解】 解：①直线，之间的距离是定值，定值为 ．理由如下： ∵，，， ∴抛物线的对称轴直线为，抛物线的对称轴直线为， ∴直线，之间的距离为， ∴直线，之间的距离是定值，定值为 ． ②∵，，， ∴设抛物线，抛物线， ∴，， ∴，， 如图 ，当，且点在点 的下方时， ∵是等腰直角三角形，直线，之间的距离是定值，定值为 ． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 的坐标为， 如图，当，且点在点 的上方时， 同理可得：， 解得， ∴， ∴， ∴ 的坐标为， 如图 ，当，且点在点 的下方时，过点 作于点 ， ∵是等腰直角三角形，直线，之间的距离是定值，定值为 ． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 的坐标为 ， 如图 ，当，且点在点 的上方时， 同理可得 的坐标为， 综上可得，符合条件的点 的坐标为，， 或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省惠州市惠东县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是( ) A. （1，4） B. （1，﹣4） C. （﹣1，4） D. （﹣1，﹣4） 3. 如图， 、 是 的弦，连结，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 若点与关于原点对称，则 的值为（    ） A. B. 1 C. D. 5 5. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 0 C. D. 6. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 7. 在一次酒会上，参加酒会的人每两人碰一次杯，一共碰杯55次，共有多少人参加酒会？设有x人参加酒会，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将 绕点 逆时针旋转得到，点 落在边 上，且 ，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数，当时 随 的增大而减小，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 有以下几个结论： ①抛物线的开口向下； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和m； ④当时，x的取值范围是或 ． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知 的半径是3cm，则 中最长的弦长是___________． 12. 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为_________． 13. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 14. 如图，直线 、垂直相交于点 ，曲线 关于点 成中心对称，点 的对称点是点，于点 ，于点 ．若，，则阴影部分的面积之和为________． 15. 若 是方程的一个根，则的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程：． 17. 已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求 的面积． 18. 如图， 为⊙O的直径，弦于点E，连接 （1）求证：； （2）若，求 的长． 19. 如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈 和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． （1） 的长为___________m；（用含 的代数式表示） （2）若羊的活动范围的面积为，求 的长； （3）羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时 的长；若不能，请说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点都在格点上，坐标分别为 （1）画出 关于原点O对称的； （2）将 绕原点O顺时针旋转 ，得到，画出，并写出点坐标； （3）在x轴上找一点P，使的和最小，求出的最小值． 21. 综合与实践 驱动任务： 跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动．不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力．单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈．学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高1.75米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙1.5米处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为 轴，过甲拿绳子的手作 轴的垂线为 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/m 1.50 1.61 1.77 1.53 1.68 1.75 1.70 1.68 1.78 （1）求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． （2）当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高的小明，从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能否通过跳绳． （3）现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 22. 综合与探究 数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上，，连接 ，求证：． 思路梳理： （1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整； ， 将 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合， ， ，即点 ， ， 共线． 根据___________，易证___________，即可证得． 类比引申： （2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形 中， ，，点 ， 分别在边 ， 上，，连接 ．若 ，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由； 联想拓展： （3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在 中， ， ，点 ， 均在边 上，且．猜想 ， ， 满足的等量关系，并写出推理过程． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线和与 轴的交点分别为 ， 和 ， ，抛物线，的顶点分别用 ， 表示，其中点 ， ， 的坐标分别为，，． （1）如图 ，当时， ①求抛物线和的解析式； ②求 ， 两点间的距离． （2）当时，如图 ，直线，分别是抛物线和的对称轴． ①直线，之间的距离是否为定值？若是，直接写出该定值；若不是，说明理由； ② 是直线上一点，若为等腰直角三角形，试写出所有符合条件的点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $