精品解析：湖北省咸宁市通城县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季期中教学质量监测九年级数学试卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 3. 点关于原点对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的值可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 0 D. 5. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A. 线段 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 菱形 7. 将抛物线y=x2向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是用软件画出的函数的图象（，是常数），则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 抛物线（a，b，c是常数），且，有下列结论： ①抛物线必过点； ②若，则抛物线与x轴一定有两个不同的交点； ③若，则抛物线的顶点在第四象限； ④若，则． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若一元二次方程有一个根是1，则另一个根是______． 12. 已知，在抛物线上，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）． 13. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所用的时间是______ s． 14. 如图，将边长为2的正方形绕点C顺时针旋转，则的面积为______． 15. 抛物线与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上，且的面积是4． （1）抛物线与x轴的两个交点之间的距离______； （2）若满足条件的P点恰好有3个，则______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 17. 两年前生产1吨某药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨该药品的成本是3200元． （1）生产1吨该药品的成本年平均降低率是多少？ （2）在问题（1）的基础上，明年生产1吨该药品的成本是多少元？ 18. 在如图所示的正方形网格中，和的顶点均在格点上，易证，可经过一次旋转后与完全重合． （1）请你在图形中确定旋转中心的位置； （2）请直接写出旋转角（）的大小． 19. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 20. 如图，平面直角坐标系中，点，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，求的长． 21. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，直线经过点，． （1）抛物线的解析式为______；（填一般式） （2）若关于的一元二次方程无实根，则实数的取值范围是______； （3）不等式的解集是______． 22. 为进一步落实“乡村振兴战略”，我市新出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒20元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）满足关系式：，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w（元）． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）若要使该农业生产合作社每天的销售利润为1200元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？ （3）若规定黑木耳的销售单价不低于65元，且每天的销售量不少于10盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？ 23. 如图，中，，，D是边上的一动点（不与A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在点D移动过程中，请直接写出的周长的最小值． 24. 如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）求的面积； （3）在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期中教学质量监测九年级数学试卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式，二次项系数是，进行分析，即可作答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是， 故选：B 2. 一元二次方程的解是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，通过直接开平方求解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 3. 点关于原点对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵点关于原点对称时，横纵坐标均取相反数，点P的坐标为， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为，即对称点为． 故选：A． 4. 若关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的值可能是（ ） A. 2 B. 4 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别，掌握方程有无实数根的条件是解决本题的关键． 根据一元二次方程无实数根的情况进行求解即可． 【详解】解：∵方程无实数根，且， ∴当时，方程无实数根， ∴m的值可能是， 故选D． 5. 解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 故选：A． 6. 下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A. 线段 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形的定义，会找对称中心，会用旋转方法识别中心对称图形是解题关键． 根据中心对称图形的定义，旋转180度后能与自身重合的图形是中心对称图形，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、线段绕中点旋转180度后重合，是中心对称图形，不符合题意； B、等边三角形旋转180度后不与自身重合，不是中心对称图形，符合题意； C、平行四边形绕对角线交点旋转180度后重合，是中心对称图形，不符合题意； D、菱形绕对角线交点旋转180度后重合，是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 7. 将抛物线y=x2向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规律左加上加，计算即可． 【详解】解：∵抛物线y=x2向左平移两个单位，再向上平移一个单位， ∴新抛物线的解析式为， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值，熟记平移规律左加右减，上加下减是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，根据旋转的性质把线段OA绕点O逆时针旋转90°到OA′位置，然后根据第二象限点的坐标特征确定A′点的坐标． 【详解】解：如图，A点绕原点逆时针旋转，得到的A′点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，利用旋转的性质求出相应的点的位置，再根据点的坐标特征确定点的坐标． 9. 如图是用软件画出的函数的图象（，是常数），则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，由图象可知点在轴正半轴上，则，由图象可知点在轴负半轴上，则有，从而可得，从函数图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：如图， 当时，由图象可知点在轴正半轴上， ∴， 当时，， ∴， 由图象可知点在轴负半轴上， ∴， ∴， ∴， 综上可得：，， 故选：． 10. 抛物线（a，b，c是常数），且，有下列结论： ①抛物线必过点； ②若，则抛物线与x轴一定有两个不同的交点； ③若，则抛物线的顶点在第四象限； ④若，则． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 根据条件，可判断抛物线过点，可判断①；由可推导判别式，可判断②；时顶点坐标取决于a的符号，不一定在第四象限，可判断③；时，，可判断④． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴ 抛物线过点，故①正确； ∵， ∴， ∴ 抛物线与x轴有两个不同交点，故②正确； ∵，且， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴此时抛物线的顶点坐标为， ∴当时，顶点在第四象限；当时，顶点在第一象限，故③错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，不一定等于1，故④错误． ∴ 正确结论有2个． 故选：B 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若一元二次方程有一个根是1，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根a，根据根与系数之间的关系得，求出a即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系． 【详解】解：设方程的另一个根为 ， ∵一元二次方程有一个根是1， ∴，即， 即另一个根是． 故答案为： 12. 已知，在抛物线上，则__________（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】> 【解析】 【分析】根据题意把x的值代入函数解析式进行计算，进行比较大小即可得到答案． 【详解】解：代入，， 可得：， ， ∵， ∴． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线上的点的坐标都满足函数函数关系式是解题的关键． 13. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球从抛出到落地所用的时间是______ s． 【答案】6 【解析】 【分析】小球落地，即小球的高度h=0，代入关系式，解方程即可得出结果． 【详解】小球落地，即h=0，所以， 解得或0， 时，即小球还未抛出的时刻， 故答案为6． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，正确理解小球抛出到落地时，满足高度为0这一条件是解题的关键． 14. 如图，将边长为2的正方形绕点C顺时针旋转，则的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定及三角形面积公式，解题的关键是利用旋转性质得到等边三角形，再结合角度求出三角形的高． 先由旋转性质得、，证为等边三角形，得出、；再求出，作高，用三角函数得；最后用三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：正方形边长为2，绕点顺时针旋转得到， 则， ， ，（正方形对边平行）． ，， 是等边三角形， 故，． 在正方形中，， ． 过点作于，则是中边上的高： 如图： 由直角三角形中的角所对的边是斜边的一半得 故答案为：1． 15. 抛物线与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上，且的面积是4． （1）抛物线与x轴的两个交点之间的距离______； （2）若满足条件的P点恰好有3个，则______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点的坐标，一元二次方程的解，掌握函数与x轴交点的坐标的求法，以及通过判别式分析一元二次方程根的情况是解题的关键． （1）通过求抛物线与x轴的交点坐标，计算两点距离． （2）利用三角形面积公式得出点P的纵坐标绝对值为2，代入解析式得到两个方程，根据点P个数要求，令其中一个一元二次方程判别式为零求解． 【详解】解：（1）抛物线 与x轴交于点A和点B，令，得或， 故， 所以． （2）的底边，面积为4，设点P到的垂直距离为h， ，解得， 在x轴上， 为点P纵坐标的绝对值，即， 解得或， 根据题意，可知点P在抛物线上，代入函数解析式得方程： 和 ，每个都是关于x的二次方程，最多有2个解， 满足条件的点P恰好有3个， 其中一个方程有两个相等的实数根，另一个方程有两个不等实根， 方程一，即 ， 判别式 ， 方程二，即， 判别式 令，得， 解得（舍去）或， 此时，符合条件， 令 ，得，解得（舍去）或， 此时，符合条件， 故． 故答案为：4，． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）用直接开平方法，即可求解； （2）用因式分解法，即可求解. 【小问1详解】 解：直接开平方得：， 解得：，. 【小问2详解】 解：原方程可变形为： 得：或， 解得：，． 17. 两年前生产1吨某药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨该药品的成本是3200元． （1）生产1吨该药品的成本年平均降低率是多少？ （2）在问题（1）的基础上，明年生产1吨该药品的成本是多少元？ 【答案】（1） （2）2560元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设生产1吨该药品的成本年平均降低率是，再结合两年前生产1吨某药品的成本是5000元，现在生产1吨该药品的成本是3200元，进行列方程，解方程，即可作答． （2）根据生产1吨该药品的成本年平均降低率是，进行列式计算得出明年生产1吨该药品的成本，即可作答． 【小问1详解】 解：设生产1吨该药品的成本年平均降低率是， 依题意：， 解得：，（舍） 答：生产1吨该药品的成本年平均降低率是． 【小问2详解】 解：由（1）得生产1吨该药品的成本年平均降低率是， 依题意， 答：明年生产1吨该药品的成本是2560元． 18. 在如图所示的正方形网格中，和的顶点均在格点上，易证，可经过一次旋转后与完全重合． （1）请你在图形中确定旋转中心的位置； （2）请直接写出旋转角（）的大小． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了作图确认旋转中心、旋转角，牢记相关的知识点是解题的关键． （）连接，，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （）通过观察网格图得出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，， ∴旋转角． 19. 已知：关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若两实数根、满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用； （1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式，列不等式求解的取值范围 （2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解，再结合第一问中的取值范围舍去不符合题意的解． 【小问1详解】 解： 对于方程， 其中，，         ∵方程有两个实数根 ， ∴ ，即， 解得； 【小问2详解】 解： ∵、是方程的两个实数根 ∴，  ∵  ∴  整理得  因式分解得  解得或  又∵由（1）知  ∴不符合题意，舍去 ∴ 20. 如图，平面直角坐标系中，点，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的旋转问题，涉及到勾股定理，全等三角形的性质和判定，熟练掌握旋转的性质，并学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 先证，进而可得到，，，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作轴于点D， ，， ， 在和中， ， ， ，，， 在中，，，， 由勾股定理得． 21. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，直线经过点，． （1）抛物线的解析式为______；（填一般式） （2）若关于的一元二次方程无实根，则实数的取值范围是______； （3）不等式的解集是______． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意设，利用待定系数法即可求解； （）代入得关于的一元二次方程为，即，再通过根的判别式即可求解； （）由（）得，，则顶点为，再根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵顶点为， ∴设， ∵与轴交于，两点， ∴，解得：， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴关于的一元二次方程为，即， ∵关于的一元二次方程无实根， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（）得，， ∴顶点为， ∴根据图象可得的图象在下方时，对应的不等式的解集是， 故答案为：． 22. 为进一步落实“乡村振兴战略”，我市新出台了一系列惠农政策，使农民收入大幅度增加，某农业生产合作社将黑木耳生产加工后进行销售．已知黑木耳的成本价为每盒20元，经市场调查发现，黑木耳每天的销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）满足关系式：，设该农业生产合作社每天销售黑木耳的利润为w（元）． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）若要使该农业生产合作社每天的销售利润为1200元且最大程度地减少库存，则黑木耳的销售单价为多少元？ （3）若规定黑木耳的销售单价不低于65元，且每天的销售量不少于10盒，则每天销售黑木耳获得的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）40元 （3）1575元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一元二次方程解决实际问题； （1）一盒黑木耳的利润为元，黑木耳每天的销售量为盒，相乘即为w； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）先根据题意求出x的范围，再根据二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 解：. 【小问2详解】 解：令， 即：， 解得：或80． ∵要减少库存，即销售量尽可能要大 当时， 当时， ∵ ． 答：黑木耳的销售单价为每盒40元． 【小问3详解】 解：依题意：，且， 即：， ∵，为开口向下的抛物线，对称轴为直线， ∴当时随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为1575． 答：每天销售黑木耳获得的最大利润是1575元． 23. 如图，中，，，D是边上的一动点（不与A，B重合），连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在点D移动过程中，请直接写出的周长的最小值． 【答案】（1） 证明：由旋转性质得：，． ， ，即． 在和中： ． （2） 结论：． 证明：由 (1) 知 ，． 中，，， ，则， ． 在中，由勾股定理得：． ，， 是等腰直角三角形， ． 又， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、勾股定理、等腰直角三角形性质及最值问题，解题的关键是利用旋转性质转化线段和角度，结合几何性质分析数量关系与最值． （1）利用旋转得、，结合证，再用证全等； （2）由全等得、，推出，结合等腰直角的，用勾股定理得关系； （3）将周长转化为，由，当最小时周长最小，求出最小后计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的周长为：． 由 (1) 知， 周长． 是定值（）， （等腰直角三角形性质）， 当最小时，最小． 当时，最小（直角三角形斜边中线）， 此时， ． 因此，周长的最小值为：． 24. 如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）求的面积； （3）在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）点代入，解方程即可得抛物线解析式． （2）设抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点，求出，直线的解析式，求出，由计算即得； （3）假设存在符合题意的点，过点P作轴于点M，求出直线的解析式，得，根据，可得，得，得，解方程，即可求得P点坐标． 【小问1详解】 解：（1）∵抛物线与轴交于点， ，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵． ∴顶点． 【小问2详解】 解：如图，由（1）知，， ∴抛物线的对称轴为直线， 设对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点， 点在抛物线上，且横坐标为， ∴代入中，得， ，， 设直线的解析式为，∵， ∴， 解得：，∴直线， 令，得，∴． ， ， 即的面积为； 【小问3详解】 假设存在满足条件的点，作轴于点，直线与轴交于点． 设直线的解析式为,把，代入，得 , ∴， ∴（舍去），， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 轴， ， ∴， 又， ， ． ， 化简，得， 解得或0（舍） 由（2）知当时，， ． 即在第一象限内的抛物线上存在点，使． 【点睛】本题综合考查了二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，与三角形面积问题综合，等腰三角形的判定和性质，与角度问题综合，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $