精品解析：四川成都市双流区成都金苹果锦城第一中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

初2024级10月8日数学学科作业 （满分：150分 建议完成时间：120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上．） 1. 如图所示的工件，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线， 故选：B． 2. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意； B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； D、两个等腰梯形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； 故选：C． 3. 小黄抛10次硬币，其中7次正面朝上，3次反面朝上，第11次抛正面朝上的概率为（　　） A. B. C. D. 无法预测 【答案】B 【解析】 【分析】可能性大小，就是事情出现的概率，计算方法是：可能性等于所求情况数占总情况数的几分之几，硬币有两面，每一面的出现的可能性都是，据此解答． 【详解】硬币有两面，每一面出现的可能性都是， 所以投掷第11次硬币正面朝上的可能性也是， 故选：B． 【点睛】本题考查概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 4. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的解的定义得到，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值． 【详解】解：把代入一元二次方程，得 ， 解得， 而，即． 所以k的值为． 故选A． 5. 如图，与位似，点O为位似中心．已知，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出相似比，然后根据面积比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键． 6. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊的平行四边形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法是解题的关键，根据平行四边形、正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形；符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的相似比的平方等于相似三角形的面积之比，根据此关系计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴（舍负）． 故选：A 8. 如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ） x … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，根据一元二次方程的解的定义即可得解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，当时，；当时，； ∴方程的根是，， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上．） 9. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设a=3k，b=5k，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴设a=3k，b=5k， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键． 10. 如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为_________米 【答案】##3.2## 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体、影子以及经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】解：在同一时刻的两个物体、影子以及经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，如下图所示， ∴，即， 解得米． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题关键是构建相似三角形，然后根据对应边成比例解决问题． 11. 把一元二次方程化成的形式，则的值为________． 【答案】14 【解析】 【分析】将一元二次方程进行配方，即可对应得到m和n的值． 【详解】解：，即， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：14． 【点睛】本题考查配方法，利用完全平方公式对方程进行配方时，注意运算准确． 12. 如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点M，N分别为，的中点，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质求出对角线的长，进而得到的长，利用中点定义求出的长，利用三角形中位线定理求出的长，最后求和即可； 【详解】解： ∵四边形是矩形， ∴，，，，， 在中，， ∴， ∵分别为的中点， ∴，，是的中位线， ∴， ∴的周长． 13. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．菱形的面积等于对角线乘积的一半，判断出四边形是菱形，是解题的关键． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答过程写在答题卡上．） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：，． 15. 已知关于x的一元二次方程有两根分别为、． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，结合m的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ 解得：或 ∴． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，以及一元二次方程根与系数关系：． 16. 如图，成都公园内有一塔楼，其垂直于水平地面，有一天，小明去该公园玩耍，看到此塔，他萌生了测量其高度的想法．他观察到阳光下塔的影子落在地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为100米，坡面上的影长为20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米． （1）求点C到水平地面的距离； （2）求小明测得的塔楼高度． 【答案】（1）点C到水平地面的距离为米 （2）小明测得的塔楼高度米 【解析】 【分析】（1）过作于，根据得到点C到水平地面的距离为； （2）延长与交于点，先求出，，再根据身高和影长比例一样列式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 过作于， ∴点C到水平地面的距离为（米）； 【小问2详解】 解：延长与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米， ∴， ∴， ∴由得到， 由得到， ∴小明测得的塔楼高度米． 17. 某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分-91分、90分-81分、80分-71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． （1）由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是______人； （2）请补全条形统计图，由图可知m的值为______； （3）初三年级将在本次比赛获得满分的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人进行交流分享，若每个学生被抽取的可能性相等，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】（1）500；210 （2）补全条形统计图为： （3）甲、乙同时被选中的概率为 【解析】 【分析】（1）用A等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用总人数乘以C等级人数所占的百分比得到C等级人数； （2）根据C等级人数补全条形统计图；用1分别减去A、B、C等级的百分比得到D等级所占的百分比，从而确定m的值； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出甲、乙同时被选中的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：（名）， 所以该校初三共500名学生， 比赛成绩等级为C级的学生人数为（名）； 【小问2详解】 解：图略， D等级人数所占的百分比为， 所以； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果数为2种， 所以甲、乙同时被选中的概率为． 18. （1）如图1，是的中线，点E是边上一点，交于F，交于G．证明：平分． （2）如图2，是的中线，点M是的中点，求的值． （3）如图3，若，，求的值． 【答案】 （1）证明：如图1，∵是的中线， ∴， ∵交AC于F，交于G， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由是的中线，得，由证明，，得，则，从而得到，即可求证； （2）作交于点G，由是的中线，点M是的中点，得，从而得到，则，即可求解； （3）作交于点H，则，可得，由，可得， ，可求得，即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作交于点G， ∵是的中线，点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： 如图，作交于点H， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查三角形的中线的定义、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡．） 19. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 20. 如图，甲楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是， 已知两楼相距为 12 米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高 ＝_______米． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用和平行投影的知识； 过作，利用平行投影的知识物高与影长的比是，求出的长度，进而求得即可得出答案． 解题的关键是利用平行投影的知识，求出的长度． 【详解】如图，过点作，垂足为点， 在中，， ∵物高与影长的比是 ∴， ∴ ∵， ∴ 故答案为：8米 21. 已知菱形，点分别为边的中点，若四边形的面积为，则菱形的面积为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接交于，根据三角形中位线定理得，，，，进而可得四边形是矩形，得到，进而根据菱形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形的面积为， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：． 22. 如图，在矩形中，，，的顶点E在对角线上运动，且，，连接，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于点H，连接．由推出四点共圆，证明定值，推出点F在射线上运动，当时，的值最小，求出，，可得结论． 【详解】解：过点B作于点H，连接，如图， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴定值， ∴点F在射线上运动，当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为： 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、轨迹、三角形面积以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键． 23. 如图，已知四边形为菱形，，，点F为线段上一动点，将线段绕点A按顺时针旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，则此时的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】以点A为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点E：①当点E在上时，延长交DE于点G，根据题意得，得，有，进一步得到，求得，根据即可求得；②当点E在上时，延长交于点G，得和，根据菱形性质得，即可证得，有和，进一步证得，得，在中利用勾股定理即可求得． 【详解】解：以点A为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点E， ①当点E在上时，延长交DE于点G，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则， 那么， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 那么； ②当点E在上时，延长交于点G，如图， 同①可得，，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 则 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，则，得， 解得， 则． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形和解一元一次方程，解题的关键是熟练菱形的性质和三角形的判定与性质． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答过程写在答题卡上．） 24. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买量不超过50套，每套售价为2000元；若购买量超过50套，则购买量每增加5套，每套售价可降低50元，但每套最低售价不得少于1200元．已知社区向该公司支付货款15万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为． （2）购买的这种健身器材的套数为套． 【解析】 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据社区向该公司支付货款15万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得 ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于50套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为100套． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线与x轴，y轴分别交于点C和点D，直线与交于点P，，连接． （1）求直线的表达式； （2）点Q在线段上，若直线将面积分为的两部分，求点Q的坐标； （3）动点M在直线上，连接，以为边作正方形（点A，M，E，F按逆时针方向排列），当正方形的面积被的一条边所在直线平分时，请直接写出点E的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）求出C、D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，，则，，再根据直线将面积分为的两部分，得到或，分别列方程求解即可； （3）设，分三种情况：当所在直线平分的面积时，M点与C点重合，；当所在的直线平分的面积时，过M点作轴交于H点，过E点作交于G点，证明，可得，又由A、E的中点在上，即可列方程求解；当所在的直线平分的面积时，过点M作轴，过点A作交于S，过点E作交于T，同理可证，得到，再由A、E的中点在上，即点在直线上，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 将点D、C代入， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，， ∴， ， ∵直线将面积分为的两部分， ∴，或， ∴或， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得， ∴； 综上所述，点Q的坐标为或； 【小问3详解】 解：设， 当所在直线平分的面积时，M点与C点重合， ∴； 当所在的直线平分的面积时，如图1， 过M点作轴交于H点，过E点作交于G点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵A、E的中点在上， ∴， 解得， ∴； 当所在的直线平分的面积时，如图2， 过点M作轴，过点A作交于S，过点E作交于T， 同理可证， ∴，， ∴， ∵A、E的中点在上， ∴点在直线上， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； 综上所述：E点坐标为或或． 26. 如图，在矩形中，，，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接交于点E．过点E作，交直线于点F． （1）当点Q在线段上时，求证：． （2）当时，求的面积． （3）在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 当点Q在线段上时，由题意可得：，，， ∴， ∴． （2）或 （3）BP的长为或2或 【解析】 【分析】（1）证明即可得到答案； （2）①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N．②当点Q在上时，如图2，作于点M，设，再利用相似三角形的性质求解三角形的高，再利用面积公式计算即可； （3）分三种情况讨论：①当点Q在上时，设，则，若点F在Q的右侧，如图3，当，则，作于点H，而， ∴，则，从而可得答案；若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合，从而可得答案；②当点Q在AD上时，如图5，，，，作于点N，于点G．，则，再结合相似三角形的性质建立方程可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①当点Q在上时，如图1，．过点E作的垂线交于点M，交于点N． 由，得． 由，得， ∴， ∴． ②当点Q在上时，如图2，作于点M，设． ，． 同理：， ∴， ∴． 同理：，得， ∴． ∴，解得， ∴． ∴的面积为或． 【小问3详解】 ①当点Q在上时，设，则． 若点F在Q的右侧，如图3，当，则． 作于点H，而， ∴，则， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴． 若点F在Q的左侧，如图4，，点F与点C重合． ∵， 又∵ ∴． ∵由结合对顶角可得：，而， ∴， ∴，即，则， ∴． ②当点Q在AD上时，如图5，，，， 作于点N，于点G．，则， 由，得， ∴， ∴． 同理可得：， 设，则，． ∴，， 由，得，， ∴，． 由题意，， 设，则，，， 由，得，即， 化简，得， 解得（舍去），． ∴． 综上所述，BP的长为或2或． 【点睛】本题考查的是动态几何问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，清晰的分类讨论，细心的计算是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2024级10月8日数学学科作业 （满分：150分 建议完成时间：120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上．） 1. 如图所示的工件，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 3. 小黄抛10次硬币，其中7次正面朝上，3次反面朝上，第11次抛正面朝上的概率为（　　） A. B. C. D. 无法预测 4. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 或2 5. 如图，与位似，点O为位似中心．已知，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ） x … 0 1 2 3 4 … … 12 6 2 0 0 2 6 12 … A. ， B. ， C. ， D. ， 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上．） 9. 已知，则________． 10. 如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为_________米 11. 把一元二次方程化成的形式，则的值为________． 12. 如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点M，N分别为，的中点，则的周长为______． 13. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面．则的长为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答过程写在答题卡上．） 14. 解下列方程： （1）； （2）． 15. 已知关于x的一元二次方程有两根分别为、． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 16. 如图，成都公园内有一塔楼，其垂直于水平地面，有一天，小明去该公园玩耍，看到此塔，他萌生了测量其高度的想法．他观察到阳光下塔的影子落在地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长为100米，坡面上的影长为20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高1.6米的小明在水平地面上的影长为4米． （1）求点C到水平地面的距离； （2）求小明测得的塔楼高度． 17. 某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分-91分、90分-81分、80分-71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． （1）由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是______人； （2）请补全条形统计图，由图可知m的值为______； （3）初三年级将在本次比赛获得满分的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人进行交流分享，若每个学生被抽取的可能性相等，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 18. （1）如图1，是的中线，点E是边上一点，交于F，交于G．证明：平分． （2）如图2，是的中线，点M是的中点，求的值． （3）如图3，若，，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡．） 19. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 20. 如图，甲楼高 16 米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是， 已知两楼相距为 12 米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高 ＝_______米． 21. 已知菱形，点分别为边的中点，若四边形的面积为，则菱形的面积为 _______． 22. 如图，在矩形中，，，的顶点E在对角线上运动，且，，连接，则的最小值为____． 23. 如图，已知四边形为菱形，，，点F为线段上一动点，将线段绕点A按顺时针旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，则此时的长为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答过程写在答题卡上．） 24. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买量不超过50套，每套售价为2000元；若购买量超过50套，则购买量每增加5套，每套售价可降低50元，但每套最低售价不得少于1200元．已知社区向该公司支付货款15万元，求购买的这种健身器材的套数． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线与x轴，y轴分别交于点C和点D，直线与交于点P，，连接． （1）求直线的表达式； （2）点Q在线段上，若直线将面积分为的两部分，求点Q的坐标； （3）动点M在直线上，连接，以为边作正方形（点A，M，E，F按逆时针方向排列），当正方形的面积被的一条边所在直线平分时，请直接写出点E的坐标． 26. 如图，在矩形中，，，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接交于点E．过点E作，交直线于点F． （1）当点Q在线段上时，求证：． （2）当时，求的面积． （3）在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $