精品解析：重庆市渝高中学校2025-2026学年高一上学期期中测试数学试卷

高2028届高一（上）半期测试 数学试题 （考试时间120分钟）（满分150分） 一.单项选择题（每题5分，共40分） 1. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】由全称命题与存在性命题的关系，可得命题的否定为：. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，由条件结合交集的定义求结论. 【详解】因为，又， 所以， 故选：D. 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于选项A：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：函数、的定义域均为， 且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，CD选项错误； 又当时，，B选项错误. 故选：A. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式组求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以所求定义域为. 故选：D 6. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 7. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用存在量词命题为真求出的范围，进而求出该命题为假时的范围，再利用充分不必要条件求得答案. 【详解】命题“，”为真命题时，或， 解得或，因此，由命题“，”为假命题， 得，则给定选项中是的真子集的是. 故选：A 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 二.多选题（每题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AB，根据不等式的基本性质分析判断，对于CD，举例判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，即，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以，所以，所以B正确， 对于C，若，则满足，此时，所以C错误， 对于D，若，则满足，此时，所以D错误. 故选：AB 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】由三个二次之间的关系以及韦达定理，得到间的关系，代入求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以得两个根为，且， 所以A正确； 由韦达定理，解得 因为，所以B错误； 由不等式，得，因为，所以解集为，所以C错误； 由不等式,得，因为，所以，解集为，所以D正确. 故选：AD 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 三.填空题（每题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象过点，函数的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】由点在图象上，应用待定系数法求解析式. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13. 函数的单调减区间为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解. 【详解】函数是由函数和组成的复合函数， ，解得或， 函数的定义域是或， 因为函数在单调递减，在单调递增， 而在上单调递增， 由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间． 故答案为：. 14. 已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【详解】由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 四、解答题（共77分） 15. 图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为 （1）求的值； （2）试补全其图像； （3）并比较与的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义域和函数为奇函数得到； （2）根据函数图象和奇偶性画出函数图象； （3）结合函数图象和单调性得到大小关系. 【小问1详解】 为定义在上的奇函数，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数图象可以看出在上单调递增， 故. 16. 画出下列函数的图象，并写出其单调区间. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据的图象由的图象在轴上半部分图象不变，轴下半部分图象向上翻折所得，再根据图象可得单调区间； （2）根据的图象由的图象轴上半部分图象不变，轴下半部分图象向上翻折所得，再根据图象可得单调区间； （3）先画出在上的图象，再往左翻折，再根据图象可得单调区间； （4）化简，再根据的图象进行平移变换可得图象，再根据图象可得单调区间. 【小问1详解】 的图象由的图象轴上半部分图象不变，轴下半部分图象向上翻折，可得如图： 故单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 的图象由的图象轴上半部分图象不变， 轴下半部分图象向上翻折，可得如图： 故单调递减区间为和，单调递增区间为和. 【小问3详解】 当时，，再往左翻折可得，可得如图： 故单调递减区间为和，单调递增区间为和. 【小问4详解】 ，其图象可由图象往左平移3个单位得到的图象， 再横坐标不变纵坐标变为原来的5倍得到的图象， 再向下平移1个单位可得，可得如图： 故单调递减区间为和，无单调递增区间. 17. 已知在上有意义，单调递增且满足. （1）求证：； （2）求的值； （3）求不等式的的解集. 【答案】（1） ∵,令， ∴＝． 即. （2） 0 （3） 【解析】 【分析】(1)令代入可得； (2)令得可得； (3)令，得，利用函数的单调性及定义域列出不等式组从而解得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ＝＝， ∴， 【小问3详解】 ∵，， 所以， 且函数 在上单调递增， ∴ ，解得. 所以不等式的解集为. 18. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. 【小问1详解】 ，， ，解得， . 【小问2详解】 在上单调递减，证明略； 【小问3详解】 由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 19. 设命题：，使得不等式恒成立；命题：，不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. （3）设定义在上的函数满足：①对，都有；②时，；③不存在，使得.设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而可得实数的取值范围； （2）命题为真时，，可得的取值范围，再根据命题、有且只有一个是真命题可得、一真一假，进而可得实数的取值范围； （3）先根据题设判断为奇函数，且在R上单调递增，再由已知求出，然后已知不等式根据已知等式变形化简后由函数的单调性进行转化，转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质得值域． 【小问1详解】 ，使得不等式恒成立为真， 则，又在上最大值为，故，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 若为真，则，不等式成立，则， 即，解得. 由（1）可得，若为真，则，若为真，则. 故若命题、有且只有一个是真命题，则或. 解得或，则实数的取值范围为. 【小问3详解】 的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得， ∴， 令，得， ∴， ∴为奇函数. 又时，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得， ∴， ∴时，， 又为奇函数， ∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴在上单调递增. 又， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，解得， 综上，， 而函数在上单调递减， ∴的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2028届高一（上）半期测试 数学试题 （考试时间120分钟）（满分150分） 一.单项选择题（每题5分，共40分） 1. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多选题（每题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 三.填空题（每题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象过点，函数的解析式为______. 13. 函数的单调减区间为__________. 14. 已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________． 四、解答题（共77分） 15. 图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为 （1）求的值； （2）试补全其图像； （3）并比较与的大小． 16. 画出下列函数的图象，并写出其单调区间. （1）； （2）； （3）； （4）. 17. 已知在上有意义，单调递增且满足. （1）求证：； （2）求的值； （3）求不等式的的解集. 18. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 设命题：，使得不等式恒成立；命题：，不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. （3）设定义在上的函数满足：①对，都有；②时，；③不存在，使得.设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $