精品解析：云南省新纪元云贵发展中心2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

2025年秋期新纪元云贵中心第一次月考 数学（高一） 命题范围：必修一第一章至第二章2.2基本不等式 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 二次根式＝－a成立的条件是（ ） A. a>0 B. a<0 C. a≤0 D. a是任意实数 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，则（ ） A B. C. D. 不确定 5. 在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知实数，满足，，且，则的值为（ ） A. B. 3 C. 9 D. 8. 若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 10. （多选）如图所示电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（    ） A. B. C. D. 11. 设正实数满足，则下列说法正确的是 A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则_________． 13. 已知集合，，则满足的集合的个数为_____. 14. 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设，称为、的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=，CB=，且，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是、的算术平均数，线段CD的长度是、的几何平均数，线段______的长度是、的调和平均数,该图形可以完美证明三者的大小关系为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）把下列各式分解因式： ①. ②. （2）化简： （3）解不等式组，，并写出它的所有整数解构成的集合. 16. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17. （1）已知集合，，是否存在实数，使得，若存在，试求出实数的值；若不存在说明理由. （2）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示一个不等式，并证明这个不等式成立. 18. 为打好扶贫攻坚战，落实帮扶措施，某村为帮扶对象建设猪圈，购置猪崽，帮助养猪致富.现在要建完全一样长方体猪圈两间（每间留一个面积为1平方米的门），一面利用原有的墙（墙长米，），其他各面用砖砌成（如图）.若每间猪圈的面积为24平方米，高2米，如果砌砖每平方米造价100元（猪圈的地面和顶部不计费用），砖的宽度忽略不计；每个门造价200元，设每间猪圈靠墙一边长为米（），猪圈的总造价为元. （1）求关于的关系式，并求出的取值范围； （2）当为多少米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低？并求出最低造价. 19. （1）求函数最大值； （2）求函数的最小值； （3）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期新纪元云贵中心第一次月考 数学（高一） 命题范围：必修一第一章至第二章2.2基本不等式 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 二次根式＝－a成立的条件是（ ） A. a>0 B. a<0 C. a≤0 D. a是任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式的性质和绝对值的意义可得结果. 【详解】因为，所以. 故选：C 【点睛】本题考查了根式的性质和绝对值的意义，属于基础题. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由含有量词命题的否定概念可得答案. 【详解】“，”的否定为，. 故选：A. 3. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据并集的概念，可直接得出结果. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】运用作差法比较大小即可. 【详解】因为，所以. 故选：A 5. 在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的概念即可求解. 【详解】若甲的生肖不是羊，则甲的生肖未必属于六畜； 若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是羊. 故“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例排除A,C两项，利用不等式的性质进行推理，可以排除D项，证得B项. 【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误； 对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确； 对于C，当时，取，则，故C错误； 对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误. 故选：B. 7. 已知实数，满足，，且，则的值为（ ） A. B. 3 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得实数，为方程的两个不等根，然后由韦达定理得出根与系数关系，化简即可求解. 【详解】因为实数，满足，，且， 所以实数，为方程的两个不等根，所以， 所以. 故选：B 8. 若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，根据给出的定义列举出所有满足条件的情况即可. 【详解】时，则；时，则； 时，则；时，则， 集合的所有满足新定义的元素有6个， 那么，，，，， ，，，， ，，， ，，，共有15个. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】首先求出集合、，再根据集合的包含关系及交、并运算的定义计算可得. 【详解】解：因为，， 又，所以，故B正确； ，故C错误； ，故D正确；，故A错误； 故选：BD 10. （多选）如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（    ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据充要条件的定义判断. 【详解】对于A，开关与另一个开关是并联电路，灯泡亮，不一定闭合，判断A错误； 对于B，开关与灯泡是串联电路，当灯泡亮，一定闭合，当开关闭合，灯泡亮，故B正确； 对于C，开关与灯泡以及另一个开关三者串联，当开关闭合时，灯泡不一定亮，故C错误； 对于D，开关与灯泡是串联，当开关闭合时，灯泡亮，当灯泡亮时，开关闭合，故D正确. 故选：BD. 11. 设正实数满足，则下列说法正确的是 A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式性质和“乘1法”逐项排除，注意等号成立的条件. 【详解】选项，正实数满足 ， 当且仅当时，等号成立，故正确； 选项，由且得， 当且仅当时，等号成立，则，故正确； 选项，由且得， 则，故错误； 选项，，故正确. 故选：. 【点睛】本题注意考查基本不等式的性质、“乘1法”. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查交集及其求法，属于基础题. 13. 已知集合，，则满足的集合的个数为_____. 【答案】7 【解析】 【分析】由，得中含有，再结合的真子集即可求解. 【详解】， 由，得中含有， 又，所以集合的个数即为的真子集个数， 故答案为：7 14. 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设，称为、的调和平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=，CB=，且，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是、的算术平均数，线段CD的长度是、的几何平均数，线段______的长度是、的调和平均数,该图形可以完美证明三者的大小关系为_________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据给定条件结合圆的有关性质、直角三角形射影定理用a，b表示出相关线段长即可作答. 【详解】依题意，，，由直角三角形射影定理得，即， 而点C与点O不重合，在中，即，则， 在中，因，，由直角三角形射影定理得， ，又，则，即， 所以线段的长度是、的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）把下列各式分解因式： ①. ②. （2）化简： （3）解不等式组，，并写出它的所有整数解构成的集合. 【答案】（1），. （2）. （3），所有整数解构成的集合为. 【解析】 【分析】（1）分组提取公因式进行化简. （2）对分母进行有理化处理. （3）移项，去括号解不等式写出整数解构成的集合. 【详解】（1），； （2），，， . （3）由，得；由，得；所以， 所有整数解构成的集合为. 16. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或；（2） 【解析】 【分析】（1）先由求出集合，再根据集合间的基本关系计算即可. （2）由“”是“”的充分不必要条件，即可得出，再根据集合间的基本关系计算即可. 【详解】解：（1）， ， 或， 或， ， 或； （2）是的充分不必要条件， ， 若是空集，则， 解得：， 若不是空集， 即：或 ， 解得：. 综上所述： 【点睛】易错点点睛：当时，易忽略是空集的情况. 17. （1）已知集合，，是否存在实数，使得，若存在，试求出实数的值；若不存在说明理由. （2）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 【答案】（1） （2）见详解. 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，即是的子集，中的元素必须是中的元素. （2）糖水变甜意味糖水浓度变大，分别表示添加糖前后的糖水浓度，，根据浓度变化列出不等式，再通过作差法证明该不等式成立. 【详解】（1）因为，所以，即是的子集， ，或， 当时，解得，此时中元素为，不满足集合的互异性，舍去， 当时，解得或， 当时，，满足， 当时，此时中元素为，不满足集合的互异性，舍去， 因此，实数的值为2. （2）因为克糖水中含有克糖，所以糖水的浓度为， 再添加克糖，此时糖水的质量为克，糖的质量为克，所以糖水的浓度为， 糖水变甜了，糖水的浓度变大了，故.， 由于， 所以，即， 因此，不等式成立. 18. 为打好扶贫攻坚战，落实帮扶措施，某村为帮扶对象建设猪圈，购置猪崽，帮助养猪致富.现在要建完全一样的长方体猪圈两间（每间留一个面积为1平方米的门），一面利用原有的墙（墙长米，），其他各面用砖砌成（如图）.若每间猪圈的面积为24平方米，高2米，如果砌砖每平方米造价100元（猪圈的地面和顶部不计费用），砖的宽度忽略不计；每个门造价200元，设每间猪圈靠墙一边长为米（），猪圈的总造价为元. （1）求关于的关系式，并求出的取值范围； （2）当为多少米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低？并求出最低造价. 【答案】（1）. （2）当为6米时，可使建成两间猪圈的总造价最低，且最低造价为5000元. 【解析】 【分析】（1）根据题意计算砌砖面积和门的面积，结合造价求出关于的关系式及的取值范围. （2）利用基本不等式求出总造价的最小值及对应的值. 小问1详解】 每间猪圈靠墙一边长为米，猪圈的总造价为元， 由题意可得，门面积平方米，墙长米，则， 故，. 【小问2详解】 因为，，故，当且仅当时等号成立， 故，为6米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低，且最低总造价为5000元. 19. （1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）9；（3） 【解析】 【分析】（1）（2）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （3）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值； 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9. （3）由， 则． 当且仅当，即时取到最小值16． 若恒成立，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $