精品解析：河南新乡市延津县第一高级中学2025-2026学年高一下学期素养评价(三) 数学试题

2025—2026学年度高一下学期素养评价（三） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 2. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 已知一个正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为，则棱台的体积为（ ） A. B. C. 28 D. 84 6. 三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（ ） A. B. 8 C. D. 7. 《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图，若，都是等边圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，点在边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 是纯虚数 D. 若，则 10. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，圆为梯形的外接圆，线段为圆的直径，，四边形为矩形，平面平面，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是关于的方程（）的一个根，则________． 13. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为，则________． 14. 若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“半余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是“半余三角形”，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求向量的坐标； （2）若，求向量与向量的夹角． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求的周长． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． （1）当为的中点时，求证：平面． （2）若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 18. 如图，在四边形中，，，，． （1）求边的长度； （2）求四边形的面积； （3）求的值． 19. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． （1）证明：． （2）证明：平面平面． （3）若，求平面与平面夹角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高一下学期素养评价（三） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，把正方体的平面展开图，还原为一个正方体，结合异面直线的定义，即可求解. 【详解】如图所示，把正方体的平面展开图，还原为一个正方体， 根据异面直线的定义得，在正方体中直线和为异面直线. 2. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数， 可得复数在复平面内对应的点，位于第一象限. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量坐标公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标为 由题可知，，. 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 4. 设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间位置关系结合选项条件判断选项中位置的所有关系后判断ABC，对于D，可利用面面垂直的判断定理证明. 【详解】对于A，若，，则或异面或相交，故A错误； 对于B，若，，则或相交，故B错误； 对于C，若，，则或或相交，故C错误； 对于D，设，，过平面内一点，分别作，， 如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、，所以，故D正确. 5. 已知一个正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为，则棱台的体积为（ ） A. B. C. 28 D. 84 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示，正四棱台的对角面是等腰梯形. 易知，，. 分别取的中点为，则， . 所以棱台的高为. 所以棱台的体积为 . 6. 三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出三边边长，再根据中线向量可求中线的长度. 【详解】由正弦定理有， 设，其中，则， 故，故， 所以，设边上的中线为，则， 则 ， 故. 7. 《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图，若，都是等边圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，取中点，中点，连接，从而得或其补角为异面直线与所成的角，利用几何关系得的三边长，再由余弦定理，即可求解. 【详解】如图，连接，取中点，中点，连接， 因为是中点，则，，所以或其补角为异面直线与所成的角， 设，因为圆锥是等边圆锥，则，， 又圆面，则，又，，则, 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 8. 在中，，，，点在边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，应用向量数量积的运算律求得，进而得到，构建直角坐标系，设并标注相关点坐标，应用向量数量积的坐标表示得 ，根据二次函数的性质求范围. 【详解】由，可得， 又， ，可得 ， ∴，故， 以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系， ∴ ，设， ∴， ∴ ， 设，显然其在上单调递减，在上单调递增， 所以其最小值为，最大值为， 则的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 是纯虚数 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的基本概念及虚数单位，结合复数的运算性质即可逐项进行判断. 【详解】对A：由复数不能直接比较大小，只有实数才能比较大小，A错误； 对B：由，所以，，所以，B正确； 对C：因为 实部为0，虚部，所以是纯虚数，C正确； 对D：设，则，当时，为复数，不能与0比较大小，D错误. 10. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据解三角形的原理：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 分析每一个选项的条件看是否能求出塔的高度. 【详解】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. A. 在中，已知，可以解这个三角形得到，再利用、解直角得到的值； B. 在中，已知无法解出此三角形，在中，已知无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔的高度； C. 在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值； D. 如图，过点作,连接. 由于, 所以，所以可以求出的大小， 在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 判断一个三角形能不能解出来常利用该原理. 11. 如图，圆为梯形的外接圆，线段为圆的直径，，四边形为矩形，平面平面，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理判断选项；利用线面垂直的判定定理判断选项； 先找出外接球的球心，求出外接球的半径，即可解决选项；建立空间直角坐标系，求与平面法向量夹角余弦的绝对值即可判断选项. 【详解】连接，因为， ，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面，选项正确； 因为为圆的直径，则，又平面平面，平面平面， 平面，因为四边形为矩形，则， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，选项正确； 由题可知圆为梯形的外接圆，即点为的外接圆圆心， 过点作的平行线，则外接球球心位于该平行线上， 记球心为点，过作平行线交于点，则四边形为矩形， 设，，又， 所以，解得，所以，即， 所以 ，选项错误； 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，设为平面的法向量， 又， 则，故可取， 设直线与平面所成角为， 则. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是关于的方程（）的一个根，则________． 【答案】2 【解析】 【详解】因为是关于的方程（）的一个根， 所以 ， 所以 ， 所以，解得 . 所以. 13. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原，利用面积公式计算求解. 【详解】由直观图还原，如图： 其中，又，. ，. 14. 若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“半余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是“半余三角形”，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件可知，由“半余三角形”的定义可得，进而可判断为的平分线，过作的垂线，垂足为，根据三角形相似可求得，由勾股定理可求得. 【详解】在中，，，，所以 , 因,则. 又点是边上一点，则为钝角， 由是“半余三角形”知， 又,所以为的平分线. 如图，过点作的垂线，垂足为， 则，， 所以 由，解得. 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求向量的坐标； （2）若，求向量与向量的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合及向量模长的坐标运算列方程求参数，即可得； （2）根据向量的垂直关系及数量积的运算律得，再由数量积的定义求夹角即可. 【小问1详解】 由题意，设，， 因为，所以，所以． 所以或； 【小问2详解】 因为，所以，即， 即，所以，则， 又因为，所以，即向量与向量的夹角为. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由正弦定理化简即可. (2)由三角形面积公式可得，再利用余弦定理可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理， 得． 因为，所以， 即，即． 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 由三角形面积公式，得， 将代入，得，所以． 由余弦定理，得， 解得或（舍去），则． 所以的周长为 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． （1）当为的中点时，求证：平面． （2）若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）①点为上靠近点的三等分点，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定证明； （2）①利用线面平行的性质得，再结合相似比得解；②先利用线面垂直的判定证得平面，再结合棱锥的体积公式计算求解. 【小问1详解】 证明：如图，取的中点为，连接，． 在中，为的中点，为的中点， ，． 在平行四边形中，为的中点， ，， 且， 四边形为平行四边形， ． 平面，平面， 平面． 【小问2详解】 ①如图，连接交于点，连接． 平面，平面，平面平面， ． ． 四边形是平行四边形，为的中点， ， ， ，即点为上靠近点的三等分点． ②在四边形中，，，， ． 取的中点，连接． 是正三角形， ，且． 平面平面，且平面平面，平面， 平面． 为上靠近点的三等分点， 点到平面的距离为． 三棱锥的体积． 18. 如图，在四边形中，，，，． （1）求边的长度； （2）求四边形的面积； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【小问1详解】 因为， ． ，． 在中， ， ． 【小问2详解】 由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． 【小问3详解】 在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 19. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． （1）证明：． （2）证明：平面平面． （3）若，求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1）方法一：在正三棱柱中，平面，平面， 所以． 因为为正三角形，为的中点，所以． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 方法二：在正三棱柱中，平面平面． 因为是正三角形，为的中点，所以． 因为平面平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）如图，连接，交于点，连接，． 因为，分别为，的中点，所以且． 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，则． 由（1）知平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）根据正三棱柱的性质可证平面，进而可证； （2）连接，交于点，通过平行四边形的性质可证，结合平面，可证平面，由面面垂直的判定定理可证结论； （3）取的中点，可证平面，过点作的垂线，垂足为点，则为平面与平面夹角的平面角，解三角形即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，取的中点，连接，则． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 如图，过点作的垂线，垂足为点，连接． 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以， 所以为平面与平面夹角的平面角． 设． 因为为的中点， ，所以为的中点，所以． 又因为为的中点， 所以，， ． 在中，， 所以． 在中，由等面积法，得， 则． 所以， 所以平面与平面夹角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $