第4章 相交线和平行线（高效培优讲义）数学华东师大版2024七年级上册

第4章 相交线和平行线 教学目标 1.理解对顶角、邻补角、垂线、平行线等概念，掌握对顶角相等、垂线段最短等性质。 2.能识别同位角、内错角、同旁内角，熟练运用平行线的判定与性质进行推理。 3.会用三角板、直尺过一点画已知直线的垂线和平行线，能度量点到直线的距离。 4.初步形成几何推理的逻辑思维，能规范书写简单推理过程。 教学重难点 1.重点 （1）对顶角、邻补角的概念与性质应用。 （2）平行线的判定定理与性质定理的理解及运用。 （3）垂线的概念、性质及点到直线距离的度量。 （4）同位角、内错角、同旁内角的识别。 2.难点 （1）平行线判定与性质的逻辑区分及综合应用。 （2）几何推理过程的规范书写与逻辑梳理。 （3）复杂图形中角的关系分析与转化。 （4）垂线段最短性质在实际问题中的应用。 考点01对顶角与邻补角 核心知识点： 1.对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线，对顶角相等。 2.邻补角：有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线，邻补角互补。 3.关键区分：对顶角仅需位置关系，邻补角兼具位置和数量关系（和为）。 类型 位置关系 数量关系 对顶角 公共顶点，两边反向延长 相等 邻补角 公共顶点、公共边，另一边反向延长 互补 考点02垂线与垂线段 核心知识点： 1.垂线定义：两直线相交成直角（），则互相垂直。 2.垂线性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 3.垂线段性质：垂线段最短（连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短）。 4.点到直线的距离：垂线段的长度（非垂线段本身）。 考点03三线八角识别 核心知识点：两条直线被第三条直线（截线）所截形成的角，按位置分类： 角的类型 位置特征（图形模型） 同位角 截线同侧，被截线同旁（“F”型） 内错角 截线两侧，被截线之间（“Z”型） 同旁内角 截线同侧，被截线之间（“U”型） 关键：先确定“截线”和“被截线”，再按模型识别。 考点04平行线的概念与平行公理 核心知识点： 1.平行线定义：同一平面内，不相交的两条直线（记为），排除异面直线。 2.平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3.推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（若，，则）。 考点05平行线的判定 核心知识点：由角的数量关系推导线的位置关系（角→线），共4种方法： 1.同位角相等，两直线平行。 2.内错角相等，两直线平行。 3.同旁内角互补，两直线平行。 4.同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行（，）。 考点06平行线的性质 核心知识点：由线的位置关系推导角的数量关系（线→角），与判定互逆： 1.两直线平行，同位角相等。 2.两直线平行，内错角相等。 3.两直线平行，同旁内角互补。 4.易错点：混淆判定与性质（“由角推线”是判定，“由线推角”是性质）。 考点07平行线的综合模型（拐点问题） 核心知识点：过拐点作平行线，转化为基本角关系，常见模型： 1.单拐点模型（猪蹄模型）。 2.单拐点模型（铅笔模型）：。 3.多拐点模型：过每个拐点作平行线，利用“平行于同一直线的两直线平行”推导。 考点08距离相关计算 核心知识点： 1.点到直线的距离：垂线段长度（需先作垂线，再求长度）。 2.平行线间的距离：平行线间距离处处相等（任意一条垂线段的长度）。 3.应用：求最短路径（如水泵房选址、引水渠修建，利用垂线段最短或平行线间距离）。 题型01对顶角与邻补角的识别与计算 方法技巧： 1.对顶角：满足“有公共顶点+两边互为反向延长线”，核心性质：对顶角相等。 2.邻补角：满足“有公共顶点+有一条公共边+另一边互为反向延长线”，核心性质：邻补角互补（和为180°）。 3.计算时优先标注对顶角和邻补角，利用等式变形求解未知角。 【典例1】．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴    ， 故选：B． 【变式1】．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）如图，直线与直线相交于点O，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的性质，根据邻补角互补即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的计算和邻补角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据角度的计算和邻补角的知识，进行作答，即可求解 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B 【变式3】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知直线与相交于点，平分，． (1)求和的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查角平分线、邻补角，掌握角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据对顶角的性质及邻补角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义及邻补角的定义进行计算即可． 【详解】（1）解： 与是对顶角， ， , 即：，； （2）解： 平分， ， ， 即：． 题型02垂线与垂线段的性质应用 方法技巧： 1.垂线定义：两直线相交成90°则互相垂直，记为“⊥”。 2.核心性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 3.点到直线的距离：垂线段的长度，而非垂线段本身。 【典例1】．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度求解，解题的关键是掌握对顶角的性质，垂直的性质，以及角平分线的性质． （1）根据得出，即可求出的度数； （2）先根据对顶角相等求出的度数，再由角平分线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·吉林·期中）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵为， ∴， 故选：A． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点O，，平分． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，判断两直线的位置关系，找准角度之间的数量关系，是解题的关键： （1）根据角度之间的数量关系，结合平角的定义，求出的度数，再根据对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵直线相交于点O，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知：， ∵平分， ∴， ∴． 题型03同位角、内错角、同旁内角的识别 方法技巧： 1.识别前提：两条直线被第三条直线（截线）所截。 2.特征记忆：同位角“F”型、内错角“Z”型、同旁内角“U”型。 3.关键：找准截线和被截线，忽略无关线条干扰。 【典例1】．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． 【变式1】．（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义、三线八角的定义，由定义得，∠3的同位角等于，∠3的内错角等于，∠3的同旁内角等于，即可求解． 【详解】解：， ∠3的同位角等于， ∠3的内错角等于， ∠3的同旁内角等于， 故答案为：，，，． 【变式2】．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）下列图形中，和不是同位角的是（  ） A. B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是同位角的定义，掌握同位角的定义是解题的关键．利用同位角定义，即同位角是指两条直线与第三条直线相交，在第三条直线的同旁，两条直线同一侧的角．进行解答即可． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和是同位角，故此选项不符合题意； C、和是同位角，故此选项不符合题意； D、和不是同位角，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式3】．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同位角的定义判断即可． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与不是同位角，故此选项不符合题意； C、与是同位角，故此选项符合题意； D、与不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型04平行线的判定（由角定线） 方法技巧： 1.核心判定定理：同位角相等→两直线平行；内错角相等→两直线平行；同旁内角互补→两直线平行。 2.补充判定：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；平行于同一直线的两直线平行。 3.步骤：先识别角的类型，再看数量关系，最后判定线的平行。 【典例1】．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 由已知可知，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】解：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）若，则，理由是 ．（2）若，则，理由是 ． 【答案】 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定． （1）根据两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； （2）根据两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 【详解】解：（1）若，则，理由是内错角相等，两直线平行． （2）若，则，理由是同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）因为，所以 ；（2）因为 ，所以；（3）因为，所以 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）根据同位角相等，两直线平行即可解答； （3）根据同旁内角互补，两直线平行即可解答； 【详解】解：（1）因为，所以； （2）因为 ，所以； （3）因为，所以； 故答案为：；；． 【变式3】．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）（1）我们以前学过利用直尺和三角尺画平行线，如图1，过直线外一点P画已知直线b的平行线a，其操作步骤是：①用三角尺的一边贴住直线b；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；④沿三角尺的边作出直线a．这个操作得到直线b的平行线a的依据是：________； （2）类比迁移：图2中，利用直尺与圆规作图：作直线a，使a经过点P且．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】（1）同位角相等，两直线平行；（2）作图见解析 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． （1）根据“过直线外一点P画已知直线b的平行线a的操作步骤”，结合平行线的判定定理得出答案即可； （2）类比（1）的方法，根据同位角相等，两直线平行，利用直尺与圆规作出过点P且平行于直线b的直线即可． 【详解】解：（1）在利用直尺和三角尺画平行线的操作中，三角尺在平移过程中，对应的同位角始终相等，根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，所以这样操作能得到直线b的平行线a． 故答案为：同位角相等，两直线平行； （2）作图步骤如下： 以直线b上一点为圆心，任意长为半径画弧，交直线b于点M，交于点， 以点P为圆心，长为半径画弧，交过点P且与直线b的截线于点Q， 以点Q为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点R， 过点P、R作直线，则直线即为所求． 题型05平行线的性质（由线定角） 方法技巧： 1.核心性质定理：两直线平行→同位角相等；两直线平行→内错角相等；两直线平行→同旁内角互补。 2.关键：区分“判定”与“性质”，避免“由线推角用判定”的错误。 3.计算时结合对顶角、邻补角性质综合求解。 【典例1】．（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）直线a、b、c、d的位置如图，如果，，那么等于多少度？ 【答案】． 【分析】本题考查平行线的判定和性质．先根据同位角相等推出，然后根据平行线的性质判定，根据邻补角的定义求出的度数后即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）利用邻补角的性质求得，求得，利用“内错角相等，两直线平行”即可得到； （2）由得到，由，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，由平行线的性质可得，即得，又由垂线的定义得，进而根据角的和差关系即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 题型06平行线与折叠的综合计算 方法技巧： 1.折叠本质：对应角相等、对应边相等，折叠前后图形全等。 2.步骤：标注折叠前后的等角，利用平行线性质建立角度关系，结合平角、三角形内角和求解。 3.关键：找到折叠后的“隐含量”（如重合的角、边）。 【典例1】．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在的位置上．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查折叠的性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，属于常考题型． 根据平行线的性质可得，利用折叠的性质可得，再利用平角的定义即可解决问题． 【详解】解：∵由题意可知：， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， 故答案为：． 【变式1】．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，有一个长方形纸条，，，如图，将长方形沿折叠，与交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图中，延长到.利用翻折变换和平行线的性质再求出可得结论． 【详解】解：如图中，延长到． 由翻折变换的性质可知， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式2】．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）补全下面推理过程： 生活中常见的一种折叠拦道闸，如图①所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②所示，垂直于地面于点，平行于地面，求的度数． 解：如图②，过点作． ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 辅助线作法， ， ， 【答案】已知；；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；；； 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】解：如图②，过点作． ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 垂直的定义 辅助线作法， ， ， ． 故答案为：已知；；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；；；． 【变式3】．（23-24七年级下·福建三明·期中）综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，即可得出． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， ， ， ； ②结论： 理由：由题意得：， ， ， ， ， （2），理由如下： 由题意得：，， ， ， ， ． 题型07平行线中的单拐点问题 方法技巧： 1.核心模型：过拐点作已知直线的平行线，转化为“三线八角”基本图形。 2.常用结论：“猪蹄模型”；“铅笔模型”。 3.技巧：拐点向左则辅助线向右作，拐点向右则辅助线向左作。 【典例1】．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知：，，那么直线与的位置关系如何？并说明理由． 答：__________． 理由：（已知）， _____（_____）． （已知）， （等量代换）． _____（______）． 【答案】，见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，由可得出，由已知条件了可得出，进而可得出． 【详解】解：答： 理由：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 【变式1】．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)C (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用平行线的性质，即可得到，，进而得出； （2）过D作，利用平行线的性质，即可得到，，进而得出． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即， 故选：C； （2）解：，理由如下， 如图，过D作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式2】．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知：如图，直线，直线EF分别交于点E，F，的平分线与的平分线相交于点P，求的度数． 解：∵， ∴ （ ）， 又∵的平分线与的平分线相交于点（已知）， ∴（角平分线的定义）， （ ）， ∴ ， ∴ ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，由，可知与互补，由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵的平分线与的平分线相交于点（已知）， ∴（角平分线的定义）， （角平分线的定义）， ∴ ， ∴． 【变式3】．（24-25八年级上·河北承德·月考）发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 【答案】（1）（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（或互补）；证明见解析； （3）相等或互补 【分析】本题考查平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合等量代换，探究了两边分别平行的两个角的关系，先从特殊图形（图1、图2）入手，再归纳出一般结论． （1）利用平行线的性质，通过中间角来推导与的关系； （2）同样利用平行线性质，结合邻补角知识推导； （3）最后综合（1）（2）即可得出一般结论． 【详解】解：（1）证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 故答案为：（或相等）；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：（或互补）； （3）综合（1）中（两角相等）和（2）中（两角互补），可得：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 题型08平行线间距离的计算与应用 方法技巧： 1.定义：平行线间垂线段的长度，性质：平行线间距离处处相等。 2.计算：转化为点到直线的距离，利用直角三角形或面积法求解。 3.应用：梯形面积、平行四边形面积计算的核心依据。 【典例1】．（2024六年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【答案】100 【分析】本题考查求组合图形面积的相关计算，解题关键在于明确梯形两底之间的距离处处相等并能找到三角形面积的和差关系．利用平行直线之间的距离处处相等，求出的面积，在求出的面积，根据几何关系即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ． 【变式1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，垂足为C；点P到直线的距离是线段________的长度． (2)过点P画的垂线，交于点D． (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）根据题意画垂线，根据点到直线的距离的定义得到点到直线的距离是线段的长度； （2）根据题意画垂线； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到． 【详解】（1）解：如图所示，点到直线的距离是线段的长度； （2）解：如图所示； （3）解：，理由：垂线段最短． 【变式2】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【答案】(1)和，和，和； (2) (3)见解析 【分析】本题考查了等底等高的三角形的面积相等． （1）（2）等底等高的三角形的面积相等． （3）连接，过点D做交的延长线于点M，连接．根据等底等高的三角形的面积相等，的面积=的面积，进而得出四边形的面积等于五边形的面积． 【详解】（1）解：根据等底等高的三角形的面积相等，可知：图1中面积相等的各对三角形：和，和，和； （2）如图1，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有与的面积相等； （3）如图所示：即为所求； 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，； (4)垂直，，． 【分析】本题考查了作垂线，高的定义． （1）作即可； （2）作即可； （3）根据垂线段最短作答，并量出的长即可； （4）由（2）可知，根据垂线段最短作答，并量出的长即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：点A到直线上点的距离最短，约为 ． 故答案为：，； （4）解：与的位置关系是垂直，量出点B到直线的距离应是线段的长度，约为． 故答案为：垂直，，． 题型09平行线在生活中的实际应用 方法技巧： 1.建模：将实际场景（如光的反射、道路拐弯、建筑结构）转化为几何图形。 2.关键：提取平行关系和角度条件，利用判定或性质求解。 3.常见场景：两次拐弯后方向不变（内错角相等）、影子问题（同位角相等）。 【典例1】．（2025七年级下·全国·专题练习）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据平行线的性质得，根据“对顶角相等”得，再由可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 【变式1】．（24-25七年级下·河北邢台·期末）平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线射向一个水平镜面后被反射，此时． (1)如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． (2)露露根据甜甜的实验，想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置．若，求证：． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据，得出，从而得出，最后根据平行线的判定方法，求出结果即可； （2）根据，求出，根据平行线的判定得出答案即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ∴． 【变式2】．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）学习完平行线的性质和判定后，某数学兴趣小组结合潜望镜的结构设计了一款类似潜望镜的探视镜，平面示意图如图所示，分别表示互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，此时，同理，光线经镜面反射后的反射光线为，此时． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)互相平行，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得的度数，据此可得的度数； （2）根据平角的定义可证明，则可证明． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ． 【变式3】．（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成．由光的反射定律可知，、与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为_____． (2)如图2，点固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，余角的性质等； （1）由垂直的定义得，，由余角的性质即可求解； （2）①过点作，由平行线的性质得 ，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，求出后，即可求解；②由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质，即可求解； 掌握平行线的判定及性质，能根据题意作出辅助平行线是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案：； （2）解：①过点作，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：； ②如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 题型10平行线中的多拐点问题 方法技巧： 1.策略：过每个拐点依次作平行线，利用“平行于同一直线的两直线平行”，将多拐点转化为多个单拐点。 2.规律：n个拐点的“锯齿模型”，角度和为(n+1)×180°或(n-1)×180°（视拐点方向而定）。 3.关键：逐点作辅助线，标注每个拐点处的角度关系。 【典例1】．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，射线在内交直线于点O．当N、M分别在点G、H的右侧，且，时，求的度数； (3)如图3，小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查平行线，角平分线．解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的有关计算，分类讨论是解题关键． （1）过点作，根据平行公理可有，再根据平行线的性质，即可得解； （2）延长交于点，易得，再确定，结合可得，进而可得，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可得解； （3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答． 【详解】（1）解：如下图，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长交于点，如下图， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即的度数为； （3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； ②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 综上所述，或． 【变式1】．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，求证：； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含的代数式表示）； (3)如图3，，，．直线交、分别于点、，若，，则的值是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）过作，过作，易得，利用平行线的性质可求解； （2）由角平分线的定义可设，，延长交于点G，过点M作交于点H，又由（1）可得，，则，进而求解； （3）设，，则，， 分别过点M，N作，，则，由得，再由（1）的结论得，计算可求解n值． 【详解】（1）解：过作，过作， 又∵， ∴， 则，，，， ∴，， ∴， 即； （2）解：如图2， ∵平分，平分， ∴设，， 延长交于点G，过点M作交于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点M作， 则，， ∴， 又由（1）可得，， ∴， ∴， 即； （3）解：如图3，设，，则，， 分别过点M，N作，，则， ∴， ∴， 即， ∴， 又由（1）知， 得到， ∴． 【变式2】．（22-23七年级下·山西临汾·期中）阅读下列材料，并完成相应任务． 如图1，物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角．在反射现象中，反射角等于入射角．因为法线垂直于反射面，且反射角入射角，所以依据．利用这个规律，人们制造了潜望镜，图是潜望镜的工作原理示意图，，是平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，在反射现象中，蕴含了丰富的数学道理．    任务： (1)上述材料中的“依据”指的是______；如图2，若入射光线与反射光线平行，则与的位置关系是______． (2)改变两面平面镜，之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．如图，将平面镜与在处相接，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线和光线平行，且，求的度数． 【答案】(1)等角的余角相等； (2) 【分析】（1）根据余角的性质解答即可；求出，根据平行线的判定得出即可． （2）根据平行线的性质得出，即可求解． 【详解】（1）(1)等角的余角相等；． 由材料可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：等角的余角相等； （2）解：依题意，得， ． ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 【变式3】．（24-25七年级下·河北保定·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 如图1，物理学中把经过入射点，并垂直于平面镜的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角．在反射现象中，入射角等于反射角．因为法线垂直于平面镜，且入射角反射角，所以（依据）．利用这个规律，人们制造了潜望镜与自行车的尾灯． 如图2，这是潜望镜的工作原理示意图，是平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线． 如图3，自行车的尾灯本身不发光，但无论光线从哪个方向射到尾灯上，都可以沿与入射光线平行的方向反射回去，从而起到警示作用． 任务： (1)上述材料中，“依据”指的是 ． (2)如图2，，．若，求的度数． (3)小明拆开自行车的尾灯，看到了多面互相垂直的小平面镜．几经思考，他终于想明白了其中的道理．请你结合图4，说明反射光线与入射光线平行的理由．（其中射线和射线为法线） 【答案】(1)等角的余角相等 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据余角的性质解答即可； （2）根据平行线的性质得出； （3）由题意易得，然后可得，进而根据同旁内角互补，两直线平行及光的折射可进行求解． 【详解】（1）解：等角的余角相等， 故答案为：等角的余角相等； （2）解：由题意，得， 所以； 因为， 所以； （3）解：由题图，可知，，， 所以，， ， 所以. 根据光的反射，可知，， 所以， 所以. 题型11平行线的判定与性质综合推理 方法技巧： 1.核心逻辑：“判定→平行→性质”或“性质→角关系→判定”的链式推理。 2.步骤：明确已知条件（线或角），选择对应定理，规范书写推理依据（如“两直线平行，内错角相等”）。 3.技巧：遇角平分线、垂直关系时，优先标注等分角和直角。 【典例1】．（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题． （1）根据k倍补角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的5倍补角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， ∵ 是 的外角， ∴， 同理可得， ∴ ； 综上所述，或． 【变式2】．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，的平分线交于点F，． (1)如图1，判断与是否相等，并说明理由； (2)如图2，平分，，求的度数； (3)如图3，过点D作，交于点．线段上有一点P，点M在射线上，，且满足，求的值． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)的值为或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理； 根据得，再根据平分得，由此即可得出答案； 根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到； 依题意有以下两种情况：①当点M在线段上时，②当点M在的延长线上时，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1），理由如下： ， ， 的平分线交于点F， ， ； （2）， ， 的平分线交于点F， ， ， ，， ， 平分， ， ， ； （3）依题意有以下两种情况： ①当点M在线段上时，如图3①所示： 设，则， ， 设，则， ， ， ， ， 由的结论得：， 在中，， ， ， ， ， ； ②当点M在的延长线上时，如图3②所示： 设，则， ， 设，则， 同理可得：， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的值为或 【变式3】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E． (1)当，，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G， ①若，，求的度数； ②当，求的度数（用含α的式子表示）； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点E作（点K在点E的右侧），证明，进而得，，则，则，再代入即可求解； （2）根据，得，再根据角平分线定义得，，由（1）得，，则，，由此可得出的度数； ②根据角平分线定义设，，则，，根据，得，由（1）得，，进而得，，再代入化简即可得出答案； （3）依题意有以下两种情况：①当点N在直线a，b之间时，设，则，，根据角平分线的定义设，则，由（1）得，，进而得，由此可得出之间的数量关系；②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），设，则，设，则，由（1）得，再根据平行线的性质求出，则，由此可得出之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：过点E作（点K在点E的右侧），如图1所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①同上可得：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由（1）得：，， ∴，， ∴； ②∵平分，平分， 设，， ∴，， 由（1）得：， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴，， ∴； （3）解： ∵N为的角平分线上一点，且， ∴有以下两种情况： ①当点N在直线a，b之间时，如图3①所示： 设， ∵， ∴， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设， ∴， 由（1）得：，， 又∵， ∴， ∴， 即：； ②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），如图3②所示： 设， ∵， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设，则， 由（1）得：， ∵，直线a， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即 综上所述：之间的数量关系是：或， 故答案为：或． 题型12动态平行线问题（含旋转、移动） 方法技巧： 1.设参：设移动或旋转的角度为t（单位：°），表示出相关角的度数。 2.找临界：确定线平行或角相等时的临界位置，建立方程求解t。 3.分类讨论：考虑点、线的不同位置（如内侧、外侧），避免漏解。 【典例1】．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且． (1)______°（用含t的式子表示）； (2)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，当时，求的度数； (3)在（2）的条件下，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值； 【分析】本题主要考查平行线的性质和余补角和， （1）根据题意得，则， （2）过点C作，则，当时，，则，利用角度和差有即可； （3）设A灯转动时间为t秒，则，，根据平行线的性质得，结合垂直得，则有即可． 【详解】（1）解：根据题意得，则， 故答案为：； （2）解：过点C作，如图， 则， 当时， ∴， ∵， ∴； （3）解：设A灯转动时间为t秒，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即的比值是一个定值，这个定值为． 【变式1】．（23-24七年级下·福建莆田·期末）为安全起见在某段铁路两旁正相对的位置安装了，两座可旋转探照灯．如图1，假定主道路是平行的，即，．连接，灯发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒．若两灯同时开始转动，设转动时间为秒． 【初步应用】 ①当时，两条光线夹角（锐角）的度数为 ； ②当时，求两条光线夹角（锐角）的度数． 【推理验证】 当时，射线与射线所在直线交于点，请画出图形并说明． 【拓展探究】 当射线首次从转至的过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线垂直，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    【答案】初步应用：①；②两条光线夹角的度数为；推理验证：画图证明见解析；拓展探究：存在，当为45，67.5，112.5，135时，射线与射线互相垂直 【分析】（1）①根据三角形外角的性质得出，根据角平分线的定义得到，进而根据，以及平行线的性质即可求解②设与交于点，过点作，根据平行线的性质得到，即可解答 （2）过点作，根据平行线的性质得到，即可解答 （3）分三种情况讨论，①当时；②当时；③当时；根据平行线的性质，利用与互相垂直，列出方程，解方程即可求解 【详解】① ②当时，    设与交于点 过点作 ∵ ∴ ∴ 同理： ∴ ∴ ∴两条光线夹角的度数为． （2）画出图形    证明：过点作， ∵ ∴ ∴ 同理： ∴ ∴     （3）当时    当时 当时    当时 综上所述：当为45，67.5，112.5，135时，射线与射线互相垂直． 【变式2】．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美奂，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由两点发出的光射线始终在同一平面内）．灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转．当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动． (1)打开总开关，求灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角大小． (2)打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． (3)如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 【答案】(1) (2)30秒，秒，秒，90秒 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，构造图形并正确分类是解题的关键． （1）延长灯射线至点，将灯射线反向延长与交于点，过点作，则为灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角，由可得，则有，，根据可得，由此求解即可； （2）分情况画出图形，根据角的关系列出方程求解即可； （3）过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义推导即可． 【详解】（1）解：如图，延长灯射线至点，将灯射线反向延长与交于点， 过点作， 则为灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角， ， ， ，， 又， ， ， 则灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角为； （2）设旋转时间为秒， 灯的光射线第一次从射线顺时针旋转至射线所需的时间为：（秒）， 灯的光射线从射线顺时针旋转到射线所需的时间为：（秒）， ①当时，灯和灯的光射线恰好互相垂直，如图所示，作， ， ， ， ， ， ， 于是有：， 解得：； ②当时，灯和灯的光射线恰好互相垂直，如图所示： 此时有， ， 于是有：， 解得：； 另有，时， 即， 解得：； ③当时，灯和灯的光射线恰好互相垂直，如图所示： 此时，， ， 于是有：， 解得：； 综上可得，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间为：30秒，秒，秒，90秒； （3）与的数量关系是：， 如图，过点作， ， ， ，，， 作与的角平分线并交于点， ，， 即． 【变式3】．（24-25七年级下·江西赣州·期末）【阅读理解】光线照射到镜面会产生反射现象，我们称照射到镜面上的光线为入射光线，经过镜面以后反射出去的光线为反射光线，如图1，线和线分别为入射光线和反射光线．由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，即． 【初步探究】（1）如图2，已知镜子与镜子互相平行，当入射光线经过两次反射后的反射光线为，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； 【应用探究】（2）如图3，有一口古井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求的度数）； 【拓展提升】（3）如图4，直线为一块双面镜子（任何角度都能反射），一束固定光线与镜面成角照射在点处后反射光线为；另一束光线与光线平行，照射在镜子的处后反射光线为．其中光线以每秒的速度绕点顺时针转动，设时间为，光线转动角度在大于小于的范围内，是否存在，使得入射光线或其反射光线与反射光线平行？若存在，求出满足条件的时间． 【答案】（1）平行，理由见解析； （2）把镜子摆放的角度与水平线成； （3）存在，当时间为6秒、秒或秒时，入射光线或其反射光线与反射光线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）先根据题意得到，再由平行线的性质得到，可得，根据，可得，即可证明． （2）根据，，可得，即把镜子摆放的角度与水平线成． （3）当光线转动到如解图1时，；当光线转动到如解图2时，；当光线转动到如解图3时，；分成三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）平行； 理由镜子和镜子平行， ， 由材料可得， ， ， ， ； （2）当光线垂直照射古井时， ， 即把镜子摆放的角度与水平线成； （3）存在． 根据阅读材料，， ①当光线转动到如解图1时，， 此时，即转动角度为 所以秒； ②当光线转动到如解图2时，， 此时，即转动角度为 所以秒； ③当光线转动到如解图3时，， 此时，即转动角度为 所以秒； 综上所述，当时间为6秒、秒或秒时，入射光线或其反射光线与反射光线平行． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相交线和平行线 教学目标 1.理解对顶角、邻补角、垂线、平行线等概念，掌握对顶角相等、垂线段最短等性质。 2.能识别同位角、内错角、同旁内角，熟练运用平行线的判定与性质进行推理。 3.会用三角板、直尺过一点画已知直线的垂线和平行线，能度量点到直线的距离。 4.初步形成几何推理的逻辑思维，能规范书写简单推理过程。 教学重难点 1.重点 （1）对顶角、邻补角的概念与性质应用。 （2）平行线的判定定理与性质定理的理解及运用。 （3）垂线的概念、性质及点到直线距离的度量。 （4）同位角、内错角、同旁内角的识别。 2.难点 （1）平行线判定与性质的逻辑区分及综合应用。 （2）几何推理过程的规范书写与逻辑梳理。 （3）复杂图形中角的关系分析与转化。 （4）垂线段最短性质在实际问题中的应用。 考点01对顶角与邻补角 核心知识点： 1.对顶角：有公共顶点，两边互为反向延长线，对顶角相等。 2.邻补角：有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线，邻补角互补。 3.关键区分：对顶角仅需位置关系，邻补角兼具位置和数量关系（和为）。 类型 位置关系 数量关系 对顶角 公共顶点，两边反向延长 相等 邻补角 公共顶点、公共边，另一边反向延长 互补 考点02垂线与垂线段 核心知识点： 1.垂线定义：两直线相交成直角（），则互相垂直。 2.垂线性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 3.垂线段性质：垂线段最短（连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短）。 4.点到直线的距离：垂线段的长度（非垂线段本身）。 考点03三线八角识别 核心知识点：两条直线被第三条直线（截线）所截形成的角，按位置分类： 角的类型 位置特征（图形模型） 同位角 截线同侧，被截线同旁（“F”型） 内错角 截线两侧，被截线之间（“Z”型） 同旁内角 截线同侧，被截线之间（“U”型） 关键：先确定“截线”和“被截线”，再按模型识别。 考点04平行线的概念与平行公理 核心知识点： 1.平行线定义：同一平面内，不相交的两条直线（记为），排除异面直线。 2.平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3.推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（若，，则）。 考点05平行线的判定 核心知识点：由角的数量关系推导线的位置关系（角→线），共4种方法： 1.同位角相等，两直线平行。 2.内错角相等，两直线平行。 3.同旁内角互补，两直线平行。 4.同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行（，）。 考点06平行线的性质 核心知识点：由线的位置关系推导角的数量关系（线→角），与判定互逆： 1.两直线平行，同位角相等。 2.两直线平行，内错角相等。 3.两直线平行，同旁内角互补。 4.易错点：混淆判定与性质（“由角推线”是判定，“由线推角”是性质）。 考点07平行线的综合模型（拐点问题） 核心知识点：过拐点作平行线，转化为基本角关系，常见模型： 1.单拐点模型（猪蹄模型）。 2.单拐点模型（铅笔模型）：。 3.多拐点模型：过每个拐点作平行线，利用“平行于同一直线的两直线平行”推导。 考点08距离相关计算 核心知识点： 1.点到直线的距离：垂线段长度（需先作垂线，再求长度）。 2.平行线间的距离：平行线间距离处处相等（任意一条垂线段的长度）。 3.应用：求最短路径（如水泵房选址、引水渠修建，利用垂线段最短或平行线间距离）。 题型01对顶角与邻补角的识别与计算 方法技巧： 1.对顶角：满足“有公共顶点+两边互为反向延长线”，核心性质：对顶角相等。 2.邻补角：满足“有公共顶点+有一条公共边+另一边互为反向延长线”，核心性质：邻补角互补（和为180°）。 3.计算时优先标注对顶角和邻补角，利用等式变形求解未知角。 【典例1】．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）如图，直线与直线相交于点O，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知直线与相交于点，平分，． (1)求和的度数； (2)求的度数． 题型02垂线与垂线段的性质应用 方法技巧： 1.垂线定义：两直线相交成90°则互相垂直，记为“⊥”。 2.核心性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂线段最短。 3.点到直线的距离：垂线段的长度，而非垂线段本身。 【典例1】．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，与相交于点，，，平分． (1)求的度数． (2)求钝角的度数． 【变式1】．（25-26九年级上·吉林·期中）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点O，，平分． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 题型03同位角、内错角、同旁内角的识别 方法技巧： 1.识别前提：两条直线被第三条直线（截线）所截。 2.特征记忆：同位角“F”型、内错角“Z”型、同旁内角“U”型。 3.关键：找准截线和被截线，忽略无关线条干扰。 【典例1】．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 【变式2】．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）下列图形中，和不是同位角的是（  ） A. B． C． D． 【变式3】．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型04平行线的判定（由角定线） 方法技巧： 1.核心判定定理：同位角相等→两直线平行；内错角相等→两直线平行；同旁内角互补→两直线平行。 2.补充判定：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；平行于同一直线的两直线平行。 3.步骤：先识别角的类型，再看数量关系，最后判定线的平行。 【典例1】．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【变式1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）若，则，理由是 ．（2）若，则，理由是 ． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，（1）因为，所以 ；（2）因为 ，所以；（3）因为，所以 ． 【变式3】．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）（1）我们以前学过利用直尺和三角尺画平行线，如图1，过直线外一点P画已知直线b的平行线a，其操作步骤是：①用三角尺的一边贴住直线b；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P；④沿三角尺的边作出直线a．这个操作得到直线b的平行线a的依据是：________； （2）类比迁移：图2中，利用直尺与圆规作图：作直线a，使a经过点P且．（保留作图痕迹，不写画法） 题型05平行线的性质（由线定角） 方法技巧： 1.核心性质定理：两直线平行→同位角相等；两直线平行→内错角相等；两直线平行→同旁内角互补。 2.关键：区分“判定”与“性质”，避免“由线推角用判定”的错误。 3.计算时结合对顶角、邻补角性质综合求解。 【典例1】．（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）直线a、b、c、d的位置如图，如果，，那么等于多少度？ 【变式2】．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 题型06平行线与折叠的综合计算 方法技巧： 1.折叠本质：对应角相等、对应边相等，折叠前后图形全等。 2.步骤：标注折叠前后的等角，利用平行线性质建立角度关系，结合平角、三角形内角和求解。 3.关键：找到折叠后的“隐含量”（如重合的角、边）。 【典例1】．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在的位置上．若，则的度数为 ． 【变式1】．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，有一个长方形纸条，，，如图，将长方形沿折叠，与交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）补全下面推理过程： 生活中常见的一种折叠拦道闸，如图①所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图②所示，垂直于地面于点，平行于地面，求的度数． 解：如图②，过点作． ， 平行于同一条直线的两条直线平行， ， 辅助线作法， ， ， 【变式3】．（23-24七年级下·福建三明·期中）综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 题型07平行线中的单拐点问题 方法技巧： 1.核心模型：过拐点作已知直线的平行线，转化为“三线八角”基本图形。 2.常用结论：“猪蹄模型”；“铅笔模型”。 3.技巧：拐点向左则辅助线向右作，拐点向右则辅助线向左作。 【典例1】．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知：，，那么直线与的位置关系如何？并说明理由． 答：__________． 理由：（已知）， _____（_____）． （已知）， （等量代换）． _____（______）． 【变式1】．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 【变式2】．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知：如图，直线，直线EF分别交于点E，F，的平分线与的平分线相交于点P，求的度数． 解：∵， ∴ （ ）， 又∵的平分线与的平分线相交于点（已知）， ∴（角平分线的定义）， （ ）， ∴ ， ∴ ． 【变式3】．（24-25八年级上·河北承德·月考）发现与探究 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图1、图2探究这两个角的关系． （1）如图1，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （___________，___________）． （___________）． （2）如图2，与的关系是___________； （请将如下证明补充完整） 证明： 思考与结论 （3）综合上述，我们可以得到一个真命题：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角___________． 题型08平行线间距离的计算与应用 方法技巧： 1.定义：平行线间垂线段的长度，性质：平行线间距离处处相等。 2.计算：转化为点到直线的距离，利用直角三角形或面积法求解。 3.应用：梯形面积、平行四边形面积计算的核心依据。 【典例1】．（2024六年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【变式1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，垂足为C；点P到直线的距离是线段________的长度． (2)过点P画的垂线，交于点D． (3)比较与的大小，并说明理由． 【变式2】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图1，已知直线，点在直线n上，点在直线m上； (1)写出图1中面积相等的各对三角形： ； (2)如图1，为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有 与的面积相等； (3)如图2，一个五边形，你能否过点E作一条直线交（或延长线）于点M，使四边形的面积等于五边形的面积． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，按要求画图并填空． (1)过点A作直线的垂线，垂足为点D． (2)在上找一点G，使最短． (3)点A到直线上点________的距离最短，约为________（精确到）． (4)与的位置关系是________，量出点B到直线的距离应是线段________的长度，约为________（精确到）． 题型09平行线在生活中的实际应用 方法技巧： 1.建模：将实际场景（如光的反射、道路拐弯、建筑结构）转化为几何图形。 2.关键：提取平行关系和角度条件，利用判定或性质求解。 3.常见场景：两次拐弯后方向不变（内错角相等）、影子问题（同位角相等）。 【典例1】．（2025七年级下·全国·专题练习）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，求的度数． 【变式1】．（24-25七年级下·河北邢台·期末）平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束光线射向一个水平镜面后被反射，此时． (1)如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． (2)露露根据甜甜的实验，想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置．若，求证：． 【变式2】．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）学习完平行线的性质和判定后，某数学兴趣小组结合潜望镜的结构设计了一款类似潜望镜的探视镜，平面示意图如图所示，分别表示互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，此时，同理，光线经镜面反射后的反射光线为，此时． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式3】．（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成．由光的反射定律可知，、与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为_____． (2)如图2，点固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，求的度数． 题型10平行线中的多拐点问题 方法技巧： 1.策略：过每个拐点依次作平行线，利用“平行于同一直线的两直线平行”，将多拐点转化为多个单拐点。 2.规律：n个拐点的“锯齿模型”，角度和为(n+1)×180°或(n-1)×180°（视拐点方向而定）。 3.关键：逐点作辅助线，标注每个拐点处的角度关系。 【典例1】．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，射线在内交直线于点O．当N、M分别在点G、H的右侧，且，时，求的度数； (3)如图3，小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【变式1】．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，求证：； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含的代数式表示）； (3)如图3，，，．直线交、分别于点、，若，，则的值是______． 【变式2】．（22-23七年级下·山西临汾·期中）阅读下列材料，并完成相应任务． 如图1，物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角．在反射现象中，反射角等于入射角．因为法线垂直于反射面，且反射角入射角，所以依据．利用这个规律，人们制造了潜望镜，图是潜望镜的工作原理示意图，，是平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，在反射现象中，蕴含了丰富的数学道理．    任务： (1)上述材料中的“依据”指的是______；如图2，若入射光线与反射光线平行，则与的位置关系是______． (2)改变两面平面镜，之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变．如图，将平面镜与在处相接，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线和光线平行，且，求的度数． 【变式3】．（24-25七年级下·河北保定·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 如图1，物理学中把经过入射点，并垂直于平面镜的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角叫作入射角，反射光线与法线的夹角叫作反射角．在反射现象中，入射角等于反射角．因为法线垂直于平面镜，且入射角反射角，所以（依据）．利用这个规律，人们制造了潜望镜与自行车的尾灯． 如图2，这是潜望镜的工作原理示意图，是平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线． 如图3，自行车的尾灯本身不发光，但无论光线从哪个方向射到尾灯上，都可以沿与入射光线平行的方向反射回去，从而起到警示作用． 任务： (1)上述材料中，“依据”指的是 ． (2)如图2，，．若，求的度数． (3)小明拆开自行车的尾灯，看到了多面互相垂直的小平面镜．几经思考，他终于想明白了其中的道理．请你结合图4，说明反射光线与入射光线平行的理由．（其中射线和射线为法线） 题型11平行线的判定与性质综合推理 方法技巧： 1.核心逻辑：“判定→平行→性质”或“性质→角关系→判定”的链式推理。 2.步骤：明确已知条件（线或角），选择对应定理，规范书写推理依据（如“两直线平行，内错角相等”）。 3.技巧：遇角平分线、垂直关系时，优先标注等分角和直角。 【典例1】．（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【变式1】．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【变式2】．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，的平分线交于点F，． (1)如图1，判断与是否相等，并说明理由； (2)如图2，平分，，求的度数； (3)如图3，过点D作，交于点．线段上有一点P，点M在射线上，，且满足，求的值． 【变式3】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E． (1)当，，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G， ①若，，求的度数； ②当，求的度数（用含α的式子表示）； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________． 题型12动态平行线问题（含旋转、移动） 方法技巧： 1.设参：设移动或旋转的角度为t（单位：°），表示出相关角的度数。 2.找临界：确定线平行或角相等时的临界位置，建立方程求解t。 3.分类讨论：考虑点、线的不同位置（如内侧、外侧），避免漏解。 【典例1】．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且． (1)______°（用含t的式子表示）； (2)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，当时，求的度数； (3)在（2）的条件下，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【变式1】．（23-24七年级下·福建莆田·期末）为安全起见在某段铁路两旁正相对的位置安装了，两座可旋转探照灯．如图1，假定主道路是平行的，即，．连接，灯发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒．若两灯同时开始转动，设转动时间为秒． 【初步应用】 ①当时，两条光线夹角（锐角）的度数为 ； ②当时，求两条光线夹角（锐角）的度数． 【推理验证】 当时，射线与射线所在直线交于点，请画出图形并说明． 【拓展探究】 当射线首次从转至的过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线垂直，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．    【变式2】．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美奂，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由两点发出的光射线始终在同一平面内）．灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转．当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动． (1)打开总开关，求灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角大小． (2)打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． (3)如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 【变式3】．（24-25七年级下·江西赣州·期末）【阅读理解】光线照射到镜面会产生反射现象，我们称照射到镜面上的光线为入射光线，经过镜面以后反射出去的光线为反射光线，如图1，线和线分别为入射光线和反射光线．由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，即． 【初步探究】（1）如图2，已知镜子与镜子互相平行，当入射光线经过两次反射后的反射光线为，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； 【应用探究】（2）如图3，有一口古井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求的度数）； 【拓展提升】（3）如图4，直线为一块双面镜子（任何角度都能反射），一束固定光线与镜面成角照射在点处后反射光线为；另一束光线与光线平行，照射在镜子的处后反射光线为．其中光线以每秒的速度绕点顺时针转动，设时间为，光线转动角度在大于小于的范围内，是否存在，使得入射光线或其反射光线与反射光线平行？若存在，求出满足条件的时间． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $