期末综合素质评价(二)卷 2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

期末综合素质评价(二) 限时: 120分钟 满分: 120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 2．已知点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线l的距离均为2，则半径r的取值范围是(　　) A．r＞1 B．r＞2 C．2＜r＜3 D．1＜r＜5 3．如图，用一张扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥，则该圆锥的母线长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．一个盒子里有完全相同的三个小球，小球上分别标上数字－1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p，再随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是(　　) A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝4，tanC＝2，⊙O过点A，C，交BC边于点D，且＝，则CD的长为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆分别交边AC，BC于点D，E，连接DE，若所对的圆心角比所对的圆心角大30°，则∠DEC的度数是(　　) A．30° B．40° C．45° D．50° 7．在一个不透明袋子中装有12个只有颜色不同的球，其中1个红球、5个黄球、2个蓝球和4个绿球，从中随机摸出一个球，某种颜色的球出现的频率约为0.3，则该球的颜色最有可能是(　　) A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 8．如图，在直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B的坐标为(0，2)，OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为(　　) A．8π－2 B．8π－ C．2π－2 D．2π－ 9．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且sin∠CAB＝，点E，F分别为，的中点，弦EF分别交AC，CB于点M，N.若MN＝2，则AB＝(　　) A．10 B．10 C．18 D．6 10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是同平面内的一动点，∠BED＝90°，F是DE的中点，连接CF，则CF的最小值为(　　) A．－ B． C．－ D．2－ 二、填空题(每题3分，共18分) 11． “苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径(即)长度为________m．(结果保留π) 12．有四张正面分别标有－1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中取出一张，将卡片上的数字记为a，不放回，再取出一张，将卡片上的数字记为b，设点P的坐标为(a，b)．如图，点P落在抛物线y＝x2与直线y＝x＋2所围成的封闭区域内(图中含边界的阴影部分)的概率是________． 13．如图，AB，AF分别与圆O相切于点B，F，射线BO与AF的延长线相交于点C，与圆O相交于点E，连接EF和BF，若tan∠C＝，EF＝2，则圆O的半径为__________． 14．有一张如图所示的四边形纸片，AB＝AD＝6 cm，CB＝CD＝8 cm，∠B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为________cm. 15．如图①是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图②，根据割圆八线图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AC和BE都是⊙O的切线，点A和点B是切点，BE交OC于点E，OC交于点D，AD＝CD.若OA＝3，则CE的长为________． 16．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G.连接AD，交⊙O于点H，连接EH.若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为________，EH的长度为________． 三、解答题(共72分) 17．(8分)小莉的爸爸买了一张运动会的门票，她和哥哥两个人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，他拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为2，4，6，8的四张牌留给自己，并按以下规则进行游戏：小莉和哥哥从各自的四张扑克牌中随机抽取一张，然后将抽取的两张扑克牌上的数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去． (1)请用画树状图或列表的方法求小莉去看运动会的概率． (2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若不公平，如何在原有游戏规则上进行修改，使之公平？ 18．(8分)如图，已知在⊙O中，＝. (1)求证：CO⊥AE； (2)CD⊥直径AB于点D，若BD＝1，AE＝4，求⊙O的半径． 19．(8分)四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD相交于点E. (1)如图①，连接OA，OB，OC，OD，已知∠BOC＋∠AOD＝180°. 求证：AC⊥BD； (2)如图②，若∠ADC＝90°，AC⊥BD，延长DA，CB相交于点F，DC＝6，DF＝8，求DB的长． 20．(8分)如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，点P是⊙O外的一点，PC⊥AB，垂足为点C，PC与BD相交于点E，连接PD，且PD＝PE，延长PD交BA的延长线于点F. (1)求证：PD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，PE＝，sin∠PFC＝，求BE的长． 21．(9分)某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学进行满意度评分(满分10分)，将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图： (数据分成4组：6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x＜10) b．初中部20名学生所评分数在8≤x＜9这一组的是：8.0，8.1，8.2，8.2，8.4，8.5，8.6，8.7，8.8； c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下表： 平均数 中位数 小学部 8.3 8.5 初中部 8.3 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是________，表中的m值为________； (2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”． ①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生 人数； ②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率． 22．(9分)如图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点O2在⊙O1上， 点C是上的一点，连接AC并延长交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP. (1)求证：∠ACB＝2∠P. (2)若∠P＝30°，AB＝2. ①求⊙O1的半径； ②求图中阴影部分的面积． 23．(10分)已知△ABC内接于⊙O，∠BAC＝2∠ABO. (1)如图①，求证：AB＝AC； (2)如图②，点D在⊙O上，连接CD，点E是CD上一点，连接AE，若∠BCD＝45°，∠BAE＝∠ACD，求证：AE⊥CD； (3)如图③，在(2)的条件下，延长BO交⊙O于点F，连接AF，若DE＝1，BC＝3，求AF的长． 24．(12分)【图形感知】如图①，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，AD＝2，AB＝4. (1)求CD的长； 【探究发现】老师指导同学们对图①所示的纸片进行了折叠探究． 在线段CD上取一点E，连接BE.将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点． (2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图②.判断四边形DBA′F的形状，并说明理由； ②乙：点A′恰好落在边BC上，如图③.求DE的长； (3)如图④，连接DD′交BE于点P，连接CP.当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 答案 一、1．B　2．D　3．D　4．A　5．B　6．D　7．D　8．C 9．A　【点拨】如图，连接OE，OF，分别交AC，BC于点P，Q，∵点E，F分别为，的中点，∴OP垂直平分AC，OQ垂直平分BC.易得∠EOF＝90°，又∵OE＝OF，∴∠E＝∠F＝45°.∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∴易得∠EMP＝∠CMN＝∠CNM＝∠FNQ＝45°，∴△PEM和△CMN都是等腰直角三角形．∵在Rt△CMN中，MN＝2，∴CM＝CN＝MN＝×2＝2.∵在Rt△ABC中，sin∠CAB＝＝，∴设BC＝3x，则AB＝5x，由勾股定理可得AC＝＝4x.∴AP＝PC＝AC＝2x，易得OP＝QC＝BC＝x.∴PE＝PM＝PC－CM＝2x－2．又∵OE＝AB＝x，∴OP＝OE－PE＝x－2x＋2＝x＋2．又∵OP＝CQ，∴x＋2＝x，解得 x＝2． ∴AB＝5x＝10．故选A. 10．C　【点拨】∵E是同平面内的一动点，∠BED＝90°，∴点E为正方形ABCD的外接圆⊙O上的一点．如图，延长DC至点H，使CH＝DC＝4.连接OE，EH， ∵F是DE的中点，∴CF为△DEH的中位线．∴CF＝EH.易知当点O，E，H三点共线且点E在OH上时，EH最小，过点O作OM⊥CD于点M，如图，∵四边形ABCD为边长为4的正方形，∴OM＝CM＝2，BD＝＝4．∴HM＝2＋4＝6，OE＝BD＝2．∴OH＝＝＝2． ∴EH＝OH－OE＝2－2．∴CF的最小值为EH＝×(2－2)＝－．故选C. 二、11．40π 12．　【点拨】解方程可得或 所以抛物线y＝x2与直线y＝x＋2的交点坐标为(－1，1)和(2，4)，画树状图如下： 共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中点P落在抛物线y＝x2与直线y＝x＋2所围成的封闭区域内(图中含边界的阴影部分)的结果有4种，分别为(－1，1)，(0，1)，(0，2)，(1，2)，所以点P落在抛物线y＝x2与直线y＝x＋2所围成的封闭区域内(图中含边界的阴影部分)的概率＝＝. 13．　【点拨】如图，连接OF，∵AB，AF分别与圆O相切于点B，F，OB，OF是半径，∴AB＝AF，OB⊥AB，OF⊥AC，∴∠ABC＝∠OFC＝90°. ∵tan∠C＝＝，∴设AB＝AF＝3a，BC＝4a，∴AC＝5a， ∴CF＝5a－3a＝2a.∵BE是⊙O的直径，∴∠BFE＝90°， ∴∠EBF＋∠BEF＝90°. ∵易得∠BEF＝∠OFE，∠OFC＝∠CFE＋∠OFE＝90°， ∴∠CFE＝∠EBF.又∵∠C＝∠C，∴△ECF∽△FCB，∴＝，即＝， ∴FB＝4，∴BE＝＝＝2， ∴圆O的半径为2÷2＝． 14．　【点拨】如图①，连接AC，作∠ABC的平分线，交AC于点O，作OH⊥BC于点H， 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD ，∴AC平分∠BAD和∠BCD.∵BO平分∠ABC，∴点O到四边形ABCD的各边的距离相等，∴以点O为圆心，OH长为半径的圆是四边形ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，如图②所示．∵∠ABC＝90°，∴∠OBH＝∠ABC＝45°， ∴△BOH为等腰直角三角形，∴OH＝BH，设OH＝r cm，则BH＝r cm，CH＝BC－BH＝(8－r)cm.∵∠ABC＝90°，OH⊥BC， ∴OH∥AB， ∴△COH∽△CAB，∴＝ 即＝，∴r＝， ∴圆形纸片的半径为cm. 15．6－2　【点拨】∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵CD＝AD，∴∠C＝ ∠CAD.∴∠OAD＝∠ADO＝∠C＋∠CAD＝2∠CAD.∵AC是⊙O 的切线，点A是切点，∴∠OAC＝90°，即3∠CAD＝ 90°.∴∠CAD＝30°.∴∠COA＝60°.∴∠BOD＝30°.在 Rt△AOC 中，OA＝3，∠C＝30°，∴OC＝2OA＝6.∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°.在Rt△BOE中，∵OB＝3，∠BOE＝30°，∴OE＝＝2.∴CE＝OC－OE＝6－2. 16．3；　【点拨】∵AB⊥CD，GF＝5，∴CG＝GF＝5，∴CF＝2CG＝10.∵AG＝12，∴AC＝＝＝13.∵四边形ACDE是菱形，∴CD＝AC＝AE＝13，∴GD＝CD－GC＝13－5＝8，DF＝CD－CF＝13－10＝3，∴AD＝＝＝4. 如图，连接BC，BH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠AHB＝90°，∴cos∠CAB＝＝，即＝，cos∠DAB＝＝，即＝，解得AH＝.∵四边形ACDE是菱形，∴CD∥AE，∴∠DAE ＝∠CDA，如图，过H作HM⊥AE于M，∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cos∠DAE＝cos∠GDA，∴＝，＝，∴＝，＝，∴MH＝，AM＝， ∴ME＝AE－AM＝13－＝，∴AM＝ME，∴HM垂直平分AE， ∴EH＝AH＝. 三、17．【解】(1)列表如下： 小莉 和 哥哥 1 2 3 5 4 5 6 7 9 6 7 8 9 11 2 3 4 5 7 8 9 10 11 13 由表知，共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．和为偶数的结果有4种，故小莉去看运动会的概率为＝. (2)不公平． 可以修改为若和大于7，则哥哥(或小莉)去，若和小于等于7，则小莉(或哥 哥)去． 18．(1)【证明】如图，延长CO交AE于点F， ∵＝，CF过圆心，∴CO⊥AE. (2)【解】设⊙O的半径为r， ∵＝，CF过圆心，AE＝4， ∴AF＝AE＝×4＝2. ∵CD⊥AB，OF⊥AE，∴∠AFO＝∠ODC＝90°. 又∵∠AOF＝∠COD，OA＝OC， ∴△OAF≌△OCD.∴OF＝OD＝r－1. ∵在Rt△AOF中，OA2＝AF2＋OF2， ∴r2＝22＋(r－1)2，解得r＝.∴⊙O的半径为. 19．(1)【证明】∵∠DCA＝∠AOD，∠BDC＝∠BOC，∠BOC＋∠AOD＝180°， ∴∠DCA＋∠BDC＝(∠AOD＋∠BOC)＝×180°＝90°.∴∠CED＝90°. ∴AC⊥BD. (2)【解】∵∠ADC＝90°，DC＝6，DF＝8， ∴FC＝＝10，AC为⊙O的直径． ∴∠ABC＝90°.∴∠ABF＝90°. ∵AC⊥BD，∴BC＝DC＝6，DB＝2BE. ∴BF＝4.∵∠ABF＝∠ADC＝90°，∠F＝∠F， ∴△ABF∽△CDF.∴＝＝＝. ∴AB＝CD＝3.AC＝＝3. ∵S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，∴易得 BE＝. ∴DB＝2BE＝. 20．(1)【证明】连接OD，如图所示． ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD. ∵PD＝PE，∴∠PDE＝∠PED. 又∵∠PED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠PDE. ∵PC⊥AB，∴∠BCE＝90°. ∴∠OBE＋∠BEC＝90°. ∴∠PDE＋∠BDO＝90°. ∴∠PDO＝90°，即 OD⊥PD. 又∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线． (2)【解】∵⊙O的半径为3，∴OD＝OA＝OB＝3. ∵OD⊥PD，∴∠FDO＝90°.又∵sin∠PFC＝， ∴在Rt△OFD中，sin∠PFC＝＝. ∴＝，∴OF＝5. 由勾股定理得FD＝＝4. ∵PE＝PD＝，∴PF＝PD＋FD＝＋4＝. 在Rt△PFC中，sin∠PFC＝＝， ∴PC＝PF＝×＝. ∴FC＝＝6，CE＝PC－PE＝－＝1. ∴OC＝FC－OF＝1.∴BC＝OB－OC＝2. ∴BE＝＝. 21．【解】(1)8.3；8.3　 (2)①估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数为400×＝180(名)． ②从小明、小强、小琪3人中随机抽取2人，所有可能出现的结果如图． 由树状图可知，共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中调查结果一致为“非常满意”的结果有2种，∴调查结果一致为“非常满意”的概 率＝＝. 22．(1)【证明】如图所示，连接AO2，BO2.在⊙O1中，∠ACB＝∠AO2B， 在⊙O2中，∠P＝∠AO2B， ∴∠ACB＝∠AO2B＝2∠P. (2)【解】①∵∠P＝30°，∠ACB＝2∠P， ∴∠ACB＝60°. 如图，连接 AO1，BO1，过点O1作O1D⊥AB，交 AB于点D，∴∠AO1B＝120°，AD＝BD＝AB＝. ∵O1A＝O1B， ∴∠AO1D＝∠AO1B＝60°. 在Rt△AO1D中，sin60°＝，即＝， ∴AO1＝2，∴⊙O1的半径是2. ②如图，连接O1O2， ∵AO2＝ BO2，∠AO2B＝ 2∠P＝60°， ∴△AO2B是等边三角形， ∴AO2＝BO2＝AB＝2.AO2＝BO2, ∴点O2在AB的垂直平分线上．易知DO1垂直平分AB， ∴点D，O1，O2三点共线． 在Rt△ADO2中，DO2＝＝3， 在Rt△ADO1中，DO1＝＝1. 在⊙O2中的上标点E，S弓形AEB＝S扇形AO2B－S△ABO2＝－×2× 3＝2π－3. ∴S阴影＝S扇形AO1B－S△AO1B－S弓形AEB＝－×2×1－(2π－3)＝ －－2π＋3＝2－. 23．(1)【证明】连接OA，OC，如图①所示， ∵OA＝OB，OB＝OC，OA＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∠OAC＝∠OCA. ∵∠BAC＝2∠ABO，∴∠BAC＝2∠OAB. ∴∠OAB＝∠OAC. ∴∠OBA＝∠OCA. ∴∠OBA＋∠OBC＝∠OCA＋∠OCB， ∴∠ABC＝∠ACB.∴ AB＝AC. (2)【证明】∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－2∠ACB. ∵∠BCD＝45°，∠BAE＝∠ACD， ∴∠EAC＋∠ACD＝∠BAE＋∠BAC＋∠ACD＝2∠ACD＋∠BAC＝2∠ACD＋180°－2∠ACB＝2∠ACD＋180°－2(∠ACD＋∠BCD)＝2∠ACD＋180°－ 2∠ACD－2∠BCD＝180°－2∠BCD＝90°. ∴∠AEC＝180°－(∠EAC＋∠ACD)＝90°， ∴AE⊥CD. (3)【解】如图②，连接AD，OC，连接AO并延长交BC于点H，交CD于点G， ∵AB＝AC，OB＝OC， ∴AH是BC的垂直平分线． ∴BH＝CH＝BC＝， ∠AHC＝∠AHB＝90°. 又∵∠BCD＝45°， ∴∠CGH＝90°－∠BCD＝45°. ∴∠CGH＝∠AGD＝45°. ∴易得△CGH和△AEG都是等腰直角三角形． ∴CH＝GH＝. 设AE＝x，则 AG＝x， ∴AH＝AG＋GH＝x＋． ∵∠D＝∠ABC，∠AED＝∠AHB＝90°， ∴△DEA∽△BHA.∴＝. ∴＝，解得x＝3. ∴AH＝x＋＝. ∴AB＝＝＝3． ∵BF是⊙O的直径，∴∠BAF＝90°. ∵AB＝AC，∴＝ .∴∠D＝∠F. 又∵∠DEA＝∠BAF＝90°， ∴△DEA∽△FAB. ∴＝.∴＝．∴AF＝． 24．【解】(1)∵∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴AD∥BC, ∴∠ADB＝∠DBC. 又∵∠BAD＝∠BDC＝90°， ∴△ADB∽△DBC，∴＝. ∵∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝4， ∴BD＝＝2， ∴＝， ∴CD＝4． (2)①四边形DBA′F是矩形．理由如下：由折叠的性质得∠A＝∠A′＝90°，∠ABD＝∠A′BD′， ∵∠ABD＋∠DBC＝∠ABC＝90°， ∴∠A′BD＝∠A′BD′＋∠DBC＝90°. 又∵∠BDC＝90°， ∴四边形DBA′F是矩形． ②如图①，延长AD和A′D′相交于点Q，连接BQ， 由折叠的性质得∠A＝∠BA′D′＝90°， ∠ABD＝∠A′BD′，∠EBD＝∠EBD′，AB＝A′B＝4， ∵点A′恰好落在边BC上， ∴∠ABA′＝90°， ∴四边形ABA′Q是正方形． ∵∠ABE＝∠ABD＋∠EBD＝∠A′BD′＋∠EBD′＝∠A′BE＝×90°＝45°， ∴点E在对角线BQ上． ∵四边形ABA′Q是正方形， ∴AQ∥CB，AQ＝AB＝4， ∴△DQE∽△CBE. ∵DQ＝AQ－AD＝2， BC＝＝＝10， ∴＝＝＝， ∴DE＝CD＝． (3)存在．线段CP的最小值为－． 【点拨】由折叠的性质得∠EBD＝∠EBD′，BD＝BD′， ∴BE是线段DD′的垂直平分线，∴∠BPD＝90°， ∴点P在以BD为直径的圆上，圆心为BD的中点． 设圆心为O，如图②，连接OC，OP， 易得CP≥OC－OP，即点P在OC上时，线段CP取得最小值． ∵OC＝＝＝， ∴线段CP的最小值为－． 学科网（北京）股份有限公司 $