专题08 相似三角形 压轴题 6大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08相似三角形压轴题 ☆6大高频考点概览 考点01相似三角形与特殊平行四边形 考点02相似三角形与圆I 考点03相似三角形与圆Ⅱ 考点04相以三角形与圆皿一求证恒等式、定值问题 考点05相似以三角形与圆V一与锐角三角函数结合 考点06相似三角形在二次函数中的应用 目目 考点01 相似三角形与特殊平行四边形 1.(24-25九年级上浙江宁波期末)(1)问题发现 如图1，在正方形ABCD中，点P和Q分别在AD和DC上，BP⊥AQ,垂足为点M.求证：BP=AQ; (2)类比探究 如图2，在矩形ABCD中，点P和Q分别在AD和DC上，BP1A0,垂足为点M.求证：A0AD BPAB (3)拓展延伸 如图3，在口ABCD中，∠BAD=120°，AB=6,AD=9,点P和Q分别在AD和DC上，BP与AQ交于点M且 ∠BM0=120°，AP=2,求8C的值. AO D A D A M M 图1 图2 图3 【答案】(1)见解析：(2)见解析；(3)8 【分析】(I)根据正方形的性质以及已知条件证明△ABP≌△DAQ,然后由全等三角形的性质即可证明结论； (2)根据矩形的性质以及已知条件证明△ABPP△DAQ,然后由相似三角形的性质即可证明结论： (3)如图：过点Q作∠DQE=60°，结合平行四边形的性质及已知条件可得DQE是等边三角形，进而得 到∠DEQ=60,∠Q=20:然后期aBPa4QE可符6-6-，设g=ED=0,则6上2 9-a a 解符a子最后代入计第即可。 【详解】证明：(1)：正方形ABCD, ∠BAD=∠D=90°，AB=AD, 1156 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AQ⊥BP, ∠ABP+∠BAM=90°， :∠BAM+∠QAD=90°， ∠ABP=∠QAD, ∠ABP=∠QAD,AB=AD,∠BAD=∠D, △ABP≌△DAQ(ASA), :BP=AO (2):矩形ABCD, ∠BAD=∠D=90°， P D M Q B 图2 :AQ⊥BP, ∠ABP+∠BAM=90°， :∠BAM+∠QAD=90°， .∠ABP=∠OAD, :∠ABP=∠QAD,∠BAD=∠D, .△ABP△DAQ, BP AB AO-AD (3)如图：过点9作∠DQE=60°， A P E D M ○ B :在中，∠BAD=120°，ABCD .∠D=60°， 2/56 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、DQE是等边三角形. .∠DEQ=60°，∠AEQ=120°. :∠BMQ=120°， ∠ABP+∠BAM=120°， :∠BAM+∠QAD=120°， .∠ABP=∠QAE,∠BAP=∠AEQ=120°， △ABPAAOE, BP AP AB AO EO AE 设EQ=ED=a,则、6=2 ,解得：a 9-a a BP AP 2 8 :40QE9-9. 【点晴】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质， 正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键 2.(2-23九年级上浙江杭州期末)如图，BD是矩形A8CD的对角线，1<8C<5,点E,F分别在边 AB AD,BC上，把△ABE和CDF分别沿直线BE,DF折叠，使点A,C分别落在对角线BD上的点G,H 处，连接FG A E D B (1)求证：BH=DG; (2)若AB=6,AD=8,求线段FG的长； (3)若FG∥CD,求BD 的值 AB 【答案】(1)见解析 (2)FG=√3： (3)BD=1+V5 AB 2 【分析】(I)由折叠的性质得到AB=BG=CD=DH,利用线段的和差即可证明BH=DG; 3156 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)利用勾股定理求得BD的长，再求得GH=2,利用面积法可求得FH=3,然后利用勾股定理即可求解； BDBF,推出ABCF (3)先证明△BFH∽△BDC,得到DC=HE 9D9P,由平行线分线段成比例定率得到 FC DG BF 再推出ABBD-AB ， BG BD 得到业-=1，设名 AB AB =xx>0,则x2-x=1,解方程即可求 解 【详解】(I)证明：：四边形ABCD是矩形，且把△ABE和CDF分别沿直线BE,DF折叠，使点A,C 分别落在对角线BD上的点G,，H处， .AB=BG CD=DH .BH=BG-GH=DH-GH =DG, :BH =DG; (2)解：：四边形ABCD是矩形， ∠A=90°， AB=6,AD=8, BD=√AB2+AD2=V62+82=10, 由题意得AB=BG=CD=DH=6, GH=BG+DH-BD=6+6-10=2, 由折叠的性质得FC=FH,∠DHF=∠C=90°， SABCD =SABFD+SAFCD CDXBC=-BDXFH+-DCXCF.6x8=10FH +6FH 解得FH=3, :FG=VHG2+FH2=V22+9=√13； (3)解：：四边形ABCD是矩形， ∴∠C=90°，AB=CD, 由折叠的性质得BA=BG,DC=DH,CF=HF,∠DHF=∠C=90°， .∠BHF=∠C=90°， ·△BFH∽△BDC, DC HF BD BF 4/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 品 :FG∥CD, FC DG BF BG 又DG=BD-BG=BD-AB, FC_BD-AB BF AB AB BD-AB BD AB BD2-BD·AB=AB2, (BD BD AB AB 设 BD =x(x>0),则x2-x=1, AB 4 解得x=1+⑤ (负值已舍)， 2 1<1+55, 2 BD1+5符合题意， AB 2 BD 1+5 AB 2 【点晴】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程， 熟练掌握折叠的性质是解题的关键， 3.(23-24九年级上·浙江杭州期末)如图，E是正方形ABCD边BC上一个动点E(不与B,C重合)，F 是CD延长线上一点，且DF=BE,连接AE,AF,EF. G H E C (1)求证：△AEF为等腰直角三角形 5/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)过点A作EF的垂线，与直线EF,BC分别交于G,H两点，记LDFE=a,EF交AD于点I. ①当a=30°，A1=2,求线段AE的长 ②设D =k,△AG的面积记作S,△HGE的面积记作S2,用含k的代数式表示 S DE S 【答案】(1)见解析 (2①√6；②2 【分析】(I)根据正方形的性质可证△ABED△ADF(SAS),推出AE=AF,∠BAE=∠DAF,进而推出 ∠EAF=90°，即可证明△AEF为等腰直角三角形； (2)①先证△AGE,△AGF为等腰直角三角形，通过导角证明LGAI=LDFI=a,解Rt△AGI求出AG, 可求出线段c的长：②证明△AGFDI,推出和9全，太结合GA=GE,可待k,再面 DF GA △AIG∽△HEG，可得△AGI与△HGE的相似比为名，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ·AB=AD,∠B=∠ADC=∠BAD=90°， :∠ADF=90°， 在△ABE和△ADF中， AB=AD ∠B=∠ADF, BE=DF :△ABEO△4DF (SAS, ·AE=AF,∠BAE=∠DAF, ∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+BAE=∠BAD=90°， :△AEF为等腰直角三角形 (2)解：①：△AEF为等腰直角三角形， :∠F=∠AEF=45°， 又：AG⊥EF, ·△AGE,△AGF为等腰直角三角形， :在△AGI和△FID中，∠AGI=∠FD1=90°，∠AIG=∠FID, ·∠GAI=∠DFI=a, :在Rt△AG1中，∠GAI=30°，AI=2, 6/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G=A=1, 2 :AG=VA12-GI2=√5， :△AGE为等腰直角三角形， AE=√2AG=√2x√5=V6; ②：∠AGI=∠FD1=90°，∠A1G=∠FID, △AGI∽△FDI, GA IG DF ID ID IG DF GA =k, :△AGE为等腰直角三角形， :.GA=GE, zk. IG GE :正方形ABCD中AD∥BC, :∠AIG=∠HEG,∠IAG=∠EHG, △AIG∽△HEG, IG GE =k, ·△AGI与△HGE的相似比为k, ·△AGI与△HGE的面积比为2， S=2 【点晴】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形 的判定和性质等，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键 目目 考点02 相似三角形与圆I 1. (22-23九年级上·浙江宁波期末)如图，ABC内接于O0,过点O作0H⊥BC于点H,延长OH交 OO于点D,连接AD、BD,AD与BC交于点E,AD=9. 7156 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 备用图 (I)求证：∠BAD=∠CAD. (2)若0H=DH. ①求∠BAC的度数. ②若⊙0的半径为6，求DE的长 (3)设BD=x,AB.CE=y,求y关于x的函数表达式. 【答案】(1)见解析 (2)①60°；②DE=4 (3y=-x+9x 9 【分析】(1)利用垂径定理可得BD=DC,然后证明∠BAD=∠CAD即可； (2)①连接BO,证明△OBD是等边三角形，利用圆心角和圆周角关系定理证明即可；②证明 △BDE∽△ADB,结合相似三角形的性质列式计算即可. (3)根据△BDE∽AADB表示出DE,再证明△ABD∽△AEC,即可获得答案. 【详解】(1)证明：：OH⊥BC, .BD=DC, ∠BAD=∠CAD: (2)解：①连接BO,如下图， D :OH=DH,OH⊥BC, .BD=BO, 8/56 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0B=0D, .OB=OD =BD, :△OBD是等边三角形， ∠B0D=60°， ∠BAD2∠BOD=30 ∠BAC=2∠BAD=60°： ②：⊙0的半径为6，△OBD是等边三角形， .BD =OB=6, DC=DC, .ZDBE ZCAD, 又：∠BAD=∠CAD, ∠DBE=∠DAB, :∠BDE=∠ADB, △BDEn△ADB, BD-DE,即gDE AD DB 96 DE=4; (3)解：由(2)得ABDE△ADB, BD DE ,即=DE AD BD DE-, .AE=AD-DE=9 12 9, AB=AB :ZACB=ZADB, 又：∠BAE=∠DAC, △ABD∽△AEC, AB BD AE EC :.AB.EC=DB.AE=x9-x)=-x+9x, 9 91 .y关于x的函数表达式为y=- x+9x. 9 9156 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【点晴】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、 函数解析式等知识，熟练掌握圆的基本定理和三角形相似的判定和性质是解题的关键， 2.(23-24九年级上·浙江绍兴期末)如图，圆0的弦AB=8,点E为圆外一点，连结BE,AE分别交圆0于 点C,点D,∠E=30°，连结CD 0 B 图1 图2 (1)如图1，若圆的半径5，∠ABC=90°，求CD的长： (2)如图2，若CD=2V5 ①求爱的值： ②求圆0的半径， 【答案】(1)4√5-3 (203 ②2√万 【分析】(1)由∠ABC=90°，半径为5，可得BC=6,由∠E=30°，可得BE=√5AB=85,根据 CD=CE即可求解：(2)①i证明△ECD△EAB即可：②作CF∥AE,可证AF=CD,0BF为正三角形， 过F作FH⊥AB,可求FH,BH,根据勾股定理求BF即可. 【详解】(1)解：连结AC ∠ABC=90°， .AC为直径10，AB=8 D BC=6,∠ADC=90°， :∠E=30°， BE=85, 10/56 专题08 相似三角形 压轴题 9大高频考点概览 考点01 相似三角形与特殊平行四边形 考点02 相似三角形与圆Ⅰ 考点03 相似三角形与圆Ⅱ 考点04 相似三角形与圆Ⅲ—求证恒等式、定值问题 考点05 相似三角形与圆Ⅳ—与锐角三角函数结合 考点06 相似三角形在二次函数中的应用 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）（1）问题发现地 城 考点01 相似三角形与特殊平行四边形 如图1，在正方形中，点P和Q分别在和上，，垂足为点M．求证：； （2）类比探究 如图2，在矩形中，点P和Q分别在和上，，垂足为点M．求证：； （3）拓展延伸 如图3，在中，，点和分别在和上，与交于点且 ，求的值． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，是矩形的对角线，，点，分别在边，上，把和分别沿直线，折叠，使点，分别落在对角线上的点，处，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长； (3)若，求的值． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，是正方形边上一个动点E（不与重合），是延长线上一点，且，连接． (1)求证：为等腰直角三角形． (2)过点作的垂线，与直线分别交于两点，记交于点． ①当，求线段的长． ②设的面积记作的面积记作，用含的代数式表示． 地 城 考点02 相似三角形与圆Ⅰ 1．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，过点作于点，延长交于点，连接、，与交于点，． (1)求证：． (2)若． ①求的度数． ②若的半径为6，求的长． (3)设，，求关于的函数表达式． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆的弦，点为圆外一点，连结分别交圆于点，点，，连结                            (1)如图1，若圆的半径5，，求的长； (2)如图2，若 ①求的值； ②求圆的半径． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点为坐标原点，点坐标为，点坐标为，点为轴负半轴上一点，满足外接圆交轴负半轴于点，直径交轴于点半径为． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，求的值． 4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，点在上，，垂足为点，连接，．    (1)如图1，若，则______； (2)如图2，作，垂足为点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长，交于点． ①求证：； ②若，，求半径的长． 5．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，为半圆的直径，点为半圆弧上一点，于点，在上截取，连结，，与相交于点．    (1)求证：； (2)若，， ①求的长； ②如图2，连结，与相交于点，求的面积． 地 城 考点03 相似三角形与圆Ⅱ 1．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知锐角内接于于点于点，交于点，交于点，连结． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，连结，若． ①探究与的数量关系； ②如图3，连结，在上取点，使得，求的面积． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，延长，交于点，连结，，与交于点． (1)若，用含的代数式表示． (2)如图2，连结，，若，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作于点，与交于点，，，求的长． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，，点E在上，，以为直径的交于点F，交的延长线于点G，交于点M，连接． (1)求的半径和的长． (2)求证：． (3)线段上一点P，使得和的一个内角相等，求的长． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图1，在中，直径是上的动点，过点作交于点．连结，取的中点，连结交于点，延长交于点． (1)如图2，连结，求证：． (2)如图3，当点与圆心重合时，求线段的长度． (3)在点的运动过程中，当时，求的面积． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1所示，是的直径，弦于点E，G是弧上一点，连接，和，H为与的交点． (1)求证：； (2)连接交于点M， ①如图2，若恰好经过点，，，求的长度； ②如图3，过点A作，连结EN，若，，，请用含的代数式表示的长度． 地 城 考点04 相似三角形与圆Ⅲ—求证恒等式、定值问题 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，以为直径的交，分别于点，，连接，相交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)过点作于点，交于于点，交于点（如图2）．求证：． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，的半径为1，直径，的夹角，点是上一点，连接，分别交，于点，. (1)若，求证：； (2)当点在上运动时. ①猜想：线段与有怎样的数量关系，并给出证明； ②求证：. 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，内接于，点是上的一个动点． (1)如图1，若的半径为，，求的长． (2)如图2，连接，．若，求的度数． (3)如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值． 地 城 考点05 相似三角形与圆Ⅳ—与锐角三角函数结合 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）四边形内接于，为直径，连结，过A作于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，连结，且； ①求证：； ②若，，求的长． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图1，内接于，直径，弦，作弦与相交于点E．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，过点A作的平行线交于点M，连结，若，求的面积． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知为直径，弦于E，作点B关于的对称点H，连结并延长交于点P，连结． (1)如图1，若对称点H与点O重合，试求的度数． (2)如图2，连结交于点M，求证：． (3)如图3，连结交于点F，若，， ①试求的长； ②直接写出的值． 1．（23-24九年级上·浙江·期末）如图1，已知点的坐标是，点的坐标是，以为直径作，交轴的正半轴于点，连接、，过、、三点作抛物线．地 城 考点06 相似三角形在二次函数中的应用 (1)求点的坐标及抛物线的解析式； (2)如图2，点是延长线上一点，的平分线交于点，求点的坐标；并直接写出直线、直线的解析式； (3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 2．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图1，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点是抛物线上的一个动点，连接和． (1)求a的值和的度数； (2)当点运动到抛物线顶点时，求与的面积之比； (3)如图2，当点在抛物线上运动，且满足时，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $