第四章 相似三角形 单元试卷 2025—2026学年浙教版九年级数学上册

第四章相似三角形培优试卷浙教版2025—2026学年九年级上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题4分，满分40分） 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，直线，直线AB和DE被，，所截，，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列说法正确的是（   ） A．菱形都是相似图形 B．矩形都是相似图形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 5．如图，点、点均在反比例函数的图象上，分别连结、，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 第5题图 第6题图 第2题图 7．将一个三角形的各边扩大为原来的3倍，则这个三角形的面积扩大为原来的（  ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点C的坐标为，若点A的坐标为，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，BF与CE相交于点H，直线EN交CB的延长线于点N，作CM⊥EN于点M，交BF于点G，且CM=CD，有以下结论：①BF⊥CE；②ED=EM；③S四边形DEHF=4S△CHF，其中正确结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 第10题图 第11题图 第9题图 二．填空题（每小题5分，满分20分） 11．如图，在中，于点D，且，点E在上，连接，若，，，则的长 ． 12．如图，一束光线从点出发，经过x轴上的点反射后经过点，则的值是 ． 第12题图 第13题图 13．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H．若，则 ． 14．已知非负数a、b、c满足，若，则S的最大值与最小值之差为 ； 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 15．等腰直角三角形中，， 点 D 是的中点， 连接，点E是上一点， 交于点 F， 于点G． (1)如图1， 若，求证：； (2)如图2， 连接， 若 ，求的值． 16．【综合运用】如图，将矩形放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点坐标为，点为对角线上一点，射线交轴于点，射线交轴于点． (1)当时，求的长度； (2)设，，当时，求关于的函数表达式； (3)如图，连接，交于点，若，求点的坐标． 17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，． (1)以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，画出． (2)在所给图形中，以原点为位似中心，位似比为，画出放大后的图形； (3)与的周长比是___________；面积比是___________． 18．如图1，内接于，和的平分线交于点，射线交于点，交于点，连接． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． (3)如图2，连接，若的半径为4，弦，设，，求与之间的函数关系式及的最大值． 19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D在直线下方的抛物线上； ①如图2，连接，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图3，连结，交于点E，若∽，求点D的横坐标． 20．如图，在中，，平分，交于点，交于点，作交于点，交于点，且． (1)求的度数； (2)探究线段的数量关系，并说明理由； (3)若，求的值．（直接写出计算的结果） 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C C D C B B C 二、填空题 11．8 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解一元二次方程，勾股定理，解决本题的关键是综合相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质解决问题．作的垂直平分线交于点，连接，根据已知条件证明，可得，设，，再根据勾股定理即可求出和的值，进而可得结论． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ，， ，， ， 整理得， 在中，根据勾股定理，得， 即， 把代入，整理得， 解得，（不符合题意舍去）， ． ． 故答案为：8． 12．2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，点的坐标，代数式求值，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作轴，过点作轴，过点作轴，先证，得出再根据点、、的坐标即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，过点作轴， ， 根据入射角等于反射角得， ， ，， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ， 故答案为：2． 13．3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 先根据正方形的性质证明，再利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴，， ∵正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即，解得∶． 故答案为：3． 14．3 【分析】本题考查比的应用，设，将、、分别用含的代数式表示出来，设，将、、分别用含的代数式表示出来，根据、、为非负数列关于的一元一次不等式组并求其解集，将、、分别代入并化简，从而将用含的代数式表示出来，进而分别求出的最大值和最小值，再求出二者之差即可． 【详解】解：设， 则，，， 、、为非负数， ， 解得， ， 当时值最大，， 当时值最小，， ． 故答案为：3． 三、解答题 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）取的中点T， 连接，三角形的中位线定理，得到， 且 证明，即可得证； （2） 过点A 作交的延长线于点T，先证明，得到，证明，得到，设，，求出，平行线分线段成比例，得到，取的中点K， 连接，证明得到进而求出的值即可． 【详解】（1）证明∶ 如图1， 取的中点T， 连接． ∵T为的中点， D为的中点， ∴， 且 ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ； （2）解∶ 如图2， 过点A 作交的延长线于点T． ∵，，D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴， 整理，得： ∴ 解得 (舍去)，   取的中点K， 连接， ∵D为的中点， ∴， 16．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一次函数等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． （1）可求得直线的解析式为：，直线的解析式为：，进而得出坐标，进而得出直线的解析式，进一步得出结果； （2）作于，可表示出和及，根据可表示出，进而表示出的面积，根据可表示出，从而表示出的面积，进一步得出结果； （3）连接，根据，得出，进而得出，从而，，从而得出，，进而得出，从而求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：，点坐标为，则， 直线的解析式为：， ， 直线的解析式为：， 当时，解得： 设直线的解析式为 解得： 直线的解析式为： （2）如图1， 四边形是矩形， ， ，， ， 作于， ，， ， ， ， 同理可得，， （3）如图2， 连接，交于，则， ，， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，即， ，则， ， ， ， ， 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，熟练掌握作旋转图形，旋转的性质，作位似图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图求解即可； （2）根据位似的性质作图即可； （3）根据位似图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，即为所求作： （3）解：∵与的位似比为， ∴与的周长比是，面积比是． 故答案为：；． 18．(1) (2) (3)的最大值是 4 【分析】（1）由角平分线得，再利用圆周角定理可得，等量代换即可得解； （2）由题可知平分，平分，设，从而可得，所以，再设，证，利用相似性质建立方程求出值，进而得解； （3）连接，过点作于点，则，作，连接，利用勾股表示，从而得到关于的式子，再求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∵和的平分线交于点， ， ， ． （2）解：∵平分平分， ∴设， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． （3）解：如图，连接，连接交于点， ， ， 垂直平分， ， ， 在中， ， ， 由（2）得，当平分平分时，有， ， 作，连接， 在中，， 在中，， ， ， ， 即， ， ， ∴ y的最大值是 4 ． 19．(1) (2)①  ②2 【分析】（1）根据抛物线交点式，得到、两点坐标，再根据正切值求出点坐标，代入抛物线解析式求出的值即可； （2）①设点，分别用含的式子表示出、，进而得出，再利用二次函数的最值求解即可； ②求出直线的解析式，连结，交于点E，设，根据∽，则求出过点E作于F，则证得∽，根据对应边成比例求出，得，求出直线的解析式，联立得方程组，即可求出点D的横坐标为2． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点 ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 将代入抛物线得： 解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：①如图，设点 ∵点D在直线下方的抛物线上，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴当时，的值最大为12 此时点D的坐标为； ②设直线的解析式为，则   ，解得： ∴直线的解析式为 连结，交于点E，设 若∽，则，即 ∴，则 过点E作于F，则 ∴∽ ∴ 即 解得： ∴ 设直线的解析式为，则   解得 ∴直线的解析式为 联立得方程组   整理得：，解得：（舍）， ∴点D的横坐标为2． 20．(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）设，则，，再根据三角形内角和定理即可求解； （）证明即可求证； （）过点作于，设，则，，由是等腰直角三角形可得，，即得，由得到，由可得，得到，，即得，由得，得到，即可得，，最后代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点作于， ∵， ∴设，则，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$