5.2一次函数的概念（2）课件 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

5.2 一次函数的概念(2) ——求一次函数表达式 温故知新 1、一次函数的定义： 若两个变量 x、y之间的关系可以表示成 y=kx+b(k、b为常数，k ≠ 0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数. 2、一次函数的条件： ① k ≠0； ② x的最高次数为1； ③ b为任意数. 特别地：当b=0时 y =kx（k≠0） 正比例函数 3.(1)已知函数 y = 4x+5，当 x = -3时，y =_____; 当 y = 5时，x =_____ . (2)已知函数 y = -3x+1，当 x =2时，y =_____; 当 y =0时，x =_____ . (3)已知函数 y = 2x-5，当 x = -3时，y =_____; 当 y = 3时，x =_____ . (4)已知函数 y = 4-2x，当 x = -1时，y =_____; 当 y = -2时，x =_____ . -7 0 -5 -11 4 6 3 一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm. （1）写出蚊香点燃后的长度 y(cm)与蚊香燃烧的时间 t(h)之间的函数关系式； （2）该盘蚊香可使用多长时间？ 解：（1）蚊香点燃后，每小时缩短10cm，t h将缩短10t cm， ∴ y 关于 t 的函数表达式为 y =105-10t （2）将 y =0代入 y =105-10t，得 105-10t =0， 解之得 t =10.5 ∴该盘蚊香可燃烧10.5h 当 y =0时，求 t 的值. 1.已知正比例函数 y =kx ( k ≠0)，且当x =1时，y=2，你能求出k的值吗? 解： ∵当 x＝1时， y ＝2， ∴ 1k ＝2 ， ∴ y＝2x 2.已知一次函数 y =kx +b(k≠0，k、b为常数)，且当 x =1时，y =2，此时你能求出k、b的值吗? 当 x = -1时，y =4 由题意得 k+b=2 解得 此时不能确定k，b的值 由题意得 -k+b=4 ∴一次函数关系式为 y = -x +3 再加上条件: 解： 例、在弹性限度内，弹簧长度 y cm是所挂物体质量 x g的一次函数.已知一根弹簧挂10g物体时的长度为11cm，挂30g物体时的长度为15cm，求 y 关于 x 的函数表达式. 解: 设函数关系式为 y=kx +b 当 x =10时，y =11，得 11=10k+b 当 x =30时，y =15，得 15=30k+b 解方程组 得 ∴所求函数表达式为 y =0.2x+9 “弹性限度”说明自变量 x 有一定范围. 像这样，先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出未知系数的值，从而确定函数表达式的方法，叫作待定系数法. 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤是： ①设一次函数的表达式y＝kx＋b(k≠0)； ②把已知条件代入表达式得关于k、b的方程 (组）； ③解方程（组），求出k、b的值； ④将k、b的值代回所设的表达式. 注：一次函数的表达式中有两个待定系数，因而需要两个条件. 待定系数法 1.已知一次函数 y =kx +b，当 x =-3时，y=0；当x =2时，y =5，求出k、b的值. 2.如下表，y 是 x 的一次函数 ①求此函数的表达式 ②把表格补全 x 6 4 2 0 -2 y -3 -2 -1 0 1 练一练 解: 由题意得， 解得 解: 由题意得，设函数关系式为 y=kx +b 解得 ∴ y= - x 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3、生产一种饮料，经测算用一吨净化水生产饮料利润 y (元)是一吨水价格 x (元)的一次函数，根据下表提供的数据，求 y 与 x 的函数关系式，当水价为每吨10元时，一吨水生产的饮料利润是多少？ 一吨水的价格x（元） 4 6 用一吨水生产的饮料所获利润y(元) 200 198 解: 由题意得，设函数关系式为 y=kx +b 当 x =4时，y =200；当 x =6时，y =198 解得 ∴函数关系式为: y=-x +204 当 x =10时，y = -x+204= -10+204=194元 答:水价10元/吨时，一吨水生产的饮料利润194元 4、某产品每件的销售价 x 元与产品的日销售量 y 件之间的关系如下表： 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数. (1)求出日销售量 y 件与销售价 x 元的函数表达式； x(元) 15 20 25 … y(件) 25 20 15 … 解：设此函数表达式为y＝kx＋b， 由题意得， 15k＋b＝25 ， 20k＋b＝20 ， 解得 k＝－1， b＝40 ∴函数表达式为：y＝－x＋40 4、某产品每件的销售价 x 元与产品的日销售量 y 件之间的关系如下表： 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数. (1)求出日销售量 y 件与销售价 x 元的函数表达式； x(元) 15 20 25 … y(件) 25 20 15 … (2)若该产品每件成本10元，销售价定为30元时，求每日的销售利润. 解：当x＝30时，y＝－30＋40＝10（件）， （30－10）×10＝200（元） 答：每日的销售利润为200元． 5、(1)已知 y 与 x 成正比例，且当 x =2时，y =4. ①求 y 与 x 之间的函数关系式； ②求当 x = -1时，y 的值； ③求当 y =1时，x 的值. 解：① 设函数关系式为 y = kx 4 = 2k ∴k = 2 ∴ y = 2x ② 当 x = -1时，y = 4 ③ 当 y =1时，2x =1 ∴ x = (2)已知 y 与 x+2成正比例，且当 x =2时，y=2， ①求 y 与 x 之间的函数关系式； ②求当 x = -1时，y 的值； ③求当 y =1时，x 的值. 解：① 设函数关系式为 y = k(x+2) 4 = 4k ∴k = 1 ∴ y = x+2 ② 当 x = -1时，y = 1 ③ 当 y =1时，x+2 =1 ∴ x = (3)已知 y+3与 x+2成正比例，且当 x =1时，y= -6， ①求 y 与 x 之间的函数关系式； ②求当 x = -1时，y 的值； ③若y的取值范围是－1≤y≤ ，则x的取值范围是  ⁠. 解：① 设函数关系式为 y+3 = k(x+2) -6+3 = 3k ∴k = -1 ∴ y = -x-5 ② 当 x = -1时，y = -4 ③ ∵－1≤y≤ ∴－1≤-x-5 ≤ ∴ 4≤-x ≤5 ∴ -5≤x ≤-4 －5 ≤x≤－4 6、已知 y1 与 x 成正比例， y2 与 x+2成正比例，且 y = y1+y2.当 x =2时，y =4；当 x =-1时，y =7. 求 y 与 x 之间的函数关系式. 解: 由题意得，y1=ax， 当x=2时，y=4；当x=-1时，y=7 解得 ∴函数关系式为: y = -4x +3(x+2) y2=b(x+2) ∴ y =ax+b(x+2) 即: y = -x +6 7. 如图所示为一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数.通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值如下表： x … －6 －4 －2 0 2 … y … －6 －2 2 6 16 … （1） 当输入的x值为1时，输出的y值为 ⁠； （2） 求k，b的值； 解： 将（－2，2），（0，6）代入y＝kx＋b（k≠0）， 得 解得 8 （3） 当输出的y值为0时，求输入的x值. 解：在y＝8x中，令y＝0，得0＝8x， ∴x＝0＜1（不合题意，舍去） 在y＝2x＋6中，令y＝0，得0＝2x＋6， ∴ x＝－3＜1， ∴ 当输出的y值为0时，输入的x值为－3 姚明的脚——你知道姚明的脚有多大吗？ 姚明穿的鞋是56码，你能算出他的脚大约有多少厘米长吗？ 鞋码与厘米转换表 厘米 23.0 23.5 24.0 24.5 25.0 m 鞋码 36码 37码 38码 39码 40码 鞋码与厘米转换表 你如何算出姚明“56”码的脚有多少厘米？ 猜想函数关系： 由题意得： 解得 得出函数关系： 验证函数关系： 厘米 23.0 23.5 24.0 24.5 25.0 m 鞋码 36码 37码 38码 39码 40码 x(cm) y(码) 2m-10 课堂小结 丰收园 通过本堂课的学习 我学会了… … 我感到困惑的是… … 我体会到… … $