第12讲 变量与函数 一次函数的概念-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第12讲 变量与函数 一次函数的概念思维导图 知识点1 变量与函数 一、常量与变量 1.常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫作常量。常量是已知数，在整个变化过程中保持不变，但常量不等于常数，它可以是数值不变的字母。例如，在匀速运动中的速度v就是一个常量。 2.变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫作变量。变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量。 二、函数 1.函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量。在函数中定义的两个变量x、y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量（即自变量的函数）。函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系。 2.函数值：对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值。函数表示的是两个变量之间的一种对应关系，而函数值是一个数值。一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值。函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 三、函数的表示方法 函数可以用以下三种方法表示： 1.表达式法：如y=1-x，y=30t等，像这样用自变量和常量组成的表示函数的表达式叫作函数表达式。这种方法比较简洁，方便计算，但从函数表达式很难直观地看出自变量与函数的变化规律，而且有些函数关系不能用表达式法表示出来。 2.列表法：把自变量的取值写在第一行，对应的函数值写在第二行。这种方法的优点是函数值与自变量的关系一目了然，缺点是列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律。 3.图象法：把自变量的取值作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，这些点组成的图形叫作函数的图象。这种方法的优点是形象直观，能够直观地研究函数的一些性质，缺点是由图像观察只能得到近似的数量关系。 知识点2 一次函数的概念 一、一次函数与正比例函数的定义 1、一次函数的定义：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 2、正比例函数的定义：当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0）叫作x的正比例函数。 3、一次函数与正比例函数的关系：正比例函数y=kx（k≠0）是一次函数y=kx+b（k≠0）中b=0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 二、用待定系数法求一次函数表达式 待定系数法：先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫作待定系数法。 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1、设：设出含有待定系数的函数表达式； 2、代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组）； 3、解：解方程（组），求出待定的系数； 4、回代：将求得的待定系数的值代回所设的表达式中。 教材习题01 声音在空气中传播的速度和气温间有如下关系： 气温（） 声速（） (1)上表反映了 与 之间的关系，其中 是自变量， 是气温的函数； (2)若用（）表示气温，（）表示声速，则随着的增大，将发生怎样的变化？ (3)从表中数据的变化，你发现了什么规律？写出与之间的函数解析式； (4)根据你发现的规律，回答问题：在发生闪电的夏夜，小明在看到闪电后听到雷声，那么发生打雷的地方距小明大约有多远？ 教材习题02 已知小王的家和公司在一条笔直的公路上，一天小王从家去公司，他先以某一速度步行一段时间，然后原地休息了一会，再改骑共享单车匀速直达公司．若小王距离家的路程（单位：米）和他离开家的时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．请结合图象写出你发现的信息． 图象中的直接信息 可推导出的信息 ①小王的家与公司的距离是______米； ②小王休息的地点与家的距离是______米； ③小王步行的时间是______分钟； ④小王从家到公司一共用了______分钟； ⑤表示小王骑共享单车的线段是______； ⑥线段表示的实际意义是______． ①小王休息的地点与公司的距离是______米； ②小王原地休息共用了______分钟； ③小王骑共享单车共用了______分钟； ④小王步行的速度是______米/分钟； ⑤小王骑共享单车的速度是______米/分钟． 教材习题03 写出下列各题中关于的函数关系式，并判断是否为的一次函数，是否为正比例函数． （1）长方形的面积为20，长方形的长与宽之间的函数关系式； （2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价元与所买西瓜千克之间的函数关系式； （3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数与星期数之间的函数关系式； （4）爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存入总数元与月数之间的函数关系式． 教材习题04 为加强劳动教育，落实五育并举，实验中学在校园内建立了一处劳动教育基地，用来种植菜苗．从种植开始，每隔2天记录一次数据，数据记录如下： 已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 ．．． 菜苗高度 2.4 4.8 7.2 9.6 12 ．．． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若菜苗高度与已种菜苗天数（天）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系； (2)根据以上判断，求关于的函数表达式； (3)根据实践经验可知，这种菜苗在高度达到时成熟，求菜苗成熟时，种植这种菜苗的天数的值． 考点一、函数的概念 1．下列图形不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的自变量是（   ） A．商品名称 B．数量 C．单价 D．金额 3．云南昆明斗南花市是亚洲最大的国际鲜花交易市场．如表所示，某鲜花的单价为元/枝，甲同学购买了20枝，金额为30元，若乙同学购买了枝，金额为元，则，下列说法正确的是（   ） 单价（单位：元/枝） 数量（单位：枝） 20 金额（单位：元） 30 A．数量是自变量 B．金额是自变量 C．是因变量 D．是常量 考点二、正比例函数的概念 1．已知函数（为常数）是正比例函数，则该函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．若是关于的正比例函数，则实数 ． 3．已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 考点三、一次函数的概念 1．下列函数中，是的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若点在直线上，则代数式的值是 ． 3．已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ (3)若函数的图象经过点和，求m，n的值． 考点四、求自变量的取值范围 1．函数中自变量x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 2．函数的自变量x的取值范围是 ． 3．求下列函数中自变量的取值范围． (1) (2)； (3)． 考点五、用表格表示变量间的关系 1．某商品的售价x（元）与销量y（件）之间存在如下关系，估计当售价x为137元时，销量y可能为（   ） 售价x/元 90 100 110 120 130 140 销量y/件 90 80 70 60 50 40 A．33件 B．43件 C．53件 D．63件 2．我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率与温度的关系如下表： 温度 … 100 150 200 250 … 导热率 … 0.15 0.2 0.25 0.3 … 当温度为时，该材料的导热率为 ． 3．一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如下表： 放水时间/ 1 2 3 4 5 … 蓄水池中的水量 50 48 46 42 … 解答下面的问题： (1)将表格补充完整； (2)根据表格中的数据，说明在放完水前，蓄水池中的水量随放水时间的增长怎样变化？ (3)当放水时间为时，蓄水池中的水量是多少立方米？ 考点六、用关系式表示变量间的关系 1．等腰三角形顶角的度数是底角度数的函数，则这个函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．某辆汽车油箱中原有汽油40升，汽车每行驶50千米耗油6升，则油箱剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式为 ． 3．已知池中有的水，每小时抽水． (1)用关系式表示池中剩余水的体积Q（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系； (2)后池中还有多少水？ (3)几小时后池中还有的水？ 考点七、用图象表示变量间的关系 1．图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出．能刻画蓄水池中水的高度（米）与放水时间（时）的函数关系的图象大致是（） A． B． C． D． 2．某物流公司的快递车和货车每天沿同一条路线往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．如图所示，表示货车距离A地的路程y（单位：km）与所用时间x（单位h）的图像，其间在B地装卸货物2h．已知快递车比货车早1h出发，最后一次返回A地比货车晚1h．若快递车往返途中速度不变，且在A、B两地均不停留，则两车在往返途中相遇的次数为 次． 3．4月21日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人参加，交流探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)图中的自变量是______，因变量是______； (2)无人机在75米高的上空停留的时间是______分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； (4)图中a表示的数是______；b表示的数是______； (5)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 考点八、用待定系数法求一次函数表达式 1．已知一次函数的图象经过和两点． (1)求的解析式； (2)通过计算说明的图象是否过点． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且经过，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)求点的坐标以及的面积． 3．已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值． 考点九、行程问题 1．小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答下列问题： （1）图象表示了______和______两个变量的关系； （2）小潘家到舅舅家路程是______米；小潘在商店停留了______分钟； （3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米／分？ 2．小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会儿准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．据图中给出的信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是___________，因变量是___________； (2)朱老师的速度为___________米/秒，小明到达点C前的速度为___________米/秒； (3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？ 3．如图1，两地之间有一条笔直的道路，地位于两地之间，甲从地出发驾车驶往地，乙从地出发驾车驶向地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达地．图2中线段和折线段分别表示甲、乙两人与地的距离与甲行驶的时间的变化关系，其中与交于点． (1)在图2中表示的变量是______，因变量是______； (2)乙比甲晚出发______，两地相距______； (3)请直接写出甲的速度为______； (4)______，______； (5)在图2中点表示的含义是______； (6)请直接写出当______时，甲、乙相距． 考点十、几何中的函数表示 1．如图所示，，，且a、b满足，将点A向右平移6个单位长度至点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D． (1)求点C，点D坐标； (2)点P从点D出发，以4个单位每秒的速度沿射线向左运动，设的面积为，点P运动的时间为秒，求S与t之间的关系式； (3)在（2）的条件下，连接，交y轴于点N，点M在线段上，且满足，在点P运动过程中的面积与S有怎么数量关系，并说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点D是的中点，以为边，在x轴上方作正方形．动点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动时间为t秒，三角形的面积为S（），解答下列问题． (1)点B的坐标为______；当点P在线段上时，的长度为______（用含t的代数式表示）； (2)当时，三角形的面积为______； (3)求点P运动过程中三角形的面积S和运动时间t之间的数量关系（用含t的代数式表示S）； (4)当是等腰三角形时，直接写出t的值． 3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴，轴的垂线，交轴于点，交轴于点，有一动点以3个单位/秒的速度，从点出发，沿着向点运动，运动时间为（秒）． (1)写出点和点的坐标； (2)在整个运动过程中，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围； (3)已知点，连接，，在（2）的条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 知识导图记忆 1．一支笔2元，买支共付元，则2和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 2．下列是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，A、B、C、D分别表示甲、乙、丙、丁四辆汽车的行驶信息，根据图示可知行程最长的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．在正比例函数中，当自变量时，函数值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 5．已知一次函数的图象经过，两点，且当时，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 6．函数的自变量取值范围是 ． 7．点在函数的图象上，则 ． 8．已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ； 9．若直线经过点，则代数式的值是 ． 10．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最大的数，例如，，．那么观察图象，可得到的最小值为 ．    11．有一水箱，它的容积为，水箱内原有水，现往水箱中注水，已知每分钟注水． (1)写出水箱内水量与注水时间的函数关系． (2)求注水时水箱内的水量？ (3)需多长时间把水箱注满？ 12．已知与的函数解析式是， (1)求当时，函数的值； (2)求当时，函数自变量的值． 13．3月28日是全国中小学生安全教育日，倡议中小学生注意安全，珍爱生命．小刚骑单车从家出发去上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．已知小刚家与书店、学校恰好在同一条直线上，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小刚家到学校的距离是________米；小刚在书店停留了________分钟； (2)本次上学途中，小刚一共行驶了________米；一共用了________分钟； (3)我们认为骑单车的速度超过400米/分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快？并说明此时的速度在安全限度内吗？ 14．已知 与成正比例关系，当时，．求y与x的函数关系式． 15．已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 变量与函数 一次函数的概念思维导图 知识点1 变量与函数 一、常量与变量 1.常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫作常量。常量是已知数，在整个变化过程中保持不变，但常量不等于常数，它可以是数值不变的字母。例如，在匀速运动中的速度v就是一个常量。 2.变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫作变量。变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量。 二、函数 1.函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x是自变量。在函数中定义的两个变量x、y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量（即自变量的函数）。函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系。 2.函数值：对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值。函数表示的是两个变量之间的一种对应关系，而函数值是一个数值。一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值。函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。 三、函数的表示方法 函数可以用以下三种方法表示： 1.表达式法：如y=1-x，y=30t等，像这样用自变量和常量组成的表示函数的表达式叫作函数表达式。这种方法比较简洁，方便计算，但从函数表达式很难直观地看出自变量与函数的变化规律，而且有些函数关系不能用表达式法表示出来。 2.列表法：把自变量的取值写在第一行，对应的函数值写在第二行。这种方法的优点是函数值与自变量的关系一目了然，缺点是列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律。 3.图象法：把自变量的取值作为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，这些点组成的图形叫作函数的图象。这种方法的优点是形象直观，能够直观地研究函数的一些性质，缺点是由图像观察只能得到近似的数量关系。 知识点2 一次函数的概念 一、一次函数与正比例函数的定义 1、一次函数的定义：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 2、正比例函数的定义：当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0）叫作x的正比例函数。 3、一次函数与正比例函数的关系：正比例函数y=kx（k≠0）是一次函数y=kx+b（k≠0）中b=0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 二、用待定系数法求一次函数表达式 待定系数法：先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫作待定系数法。 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1、设：设出含有待定系数的函数表达式； 2、代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组）； 3、解：解方程（组），求出待定的系数； 4、回代：将求得的待定系数的值代回所设的表达式中。 教材习题01 声音在空气中传播的速度和气温间有如下关系： 气温（） 声速（） (1)上表反映了 与 之间的关系，其中 是自变量， 是气温的函数； (2)若用（）表示气温，（）表示声速，则随着的增大，将发生怎样的变化？ (3)从表中数据的变化，你发现了什么规律？写出与之间的函数解析式； (4)根据你发现的规律，回答问题：在发生闪电的夏夜，小明在看到闪电后听到雷声，那么发生打雷的地方距小明大约有多远？ （1）解：上表反映了气温与声速之间的关系，其中气温是自变量，声速是气温的函数， 故答案为：气温，声速，气温，声速； （2）解：由表可知，随着的增大，也增大； （3）解：从表中数据的变化，可知：气温每升高，声速增加， 与之间的函数解析式为：； （4）解：时，， ， 答：发生打雷的地方距小明大约有． 教材习题02 已知小王的家和公司在一条笔直的公路上，一天小王从家去公司，他先以某一速度步行一段时间，然后原地休息了一会，再改骑共享单车匀速直达公司．若小王距离家的路程（单位：米）和他离开家的时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．请结合图象写出你发现的信息． 图象中的直接信息 可推导出的信息 ①小王的家与公司的距离是______米； ②小王休息的地点与家的距离是______米； ③小王步行的时间是______分钟； ④小王从家到公司一共用了______分钟； ⑤表示小王骑共享单车的线段是______； ⑥线段表示的实际意义是______． ①小王休息的地点与公司的距离是______米； ②小王原地休息共用了______分钟； ③小王骑共享单车共用了______分钟； ④小王步行的速度是______米/分钟； ⑤小王骑共享单车的速度是______米/分钟． 解：图象中的直接信息： ①小王的家与公司的距离是2000米； ②小王休息的地点与家的距离是800米； ③小王步行的时间是10分钟； ④小王从家到公司一共用了21分钟； ⑤表示小王骑共享单车的线段是； ⑥线段表示的实际意义是小王在原地休息． 可推导出的信息: ①小王休息的地点与公司的距离是（米）； ②小王原地休息共用了（分钟）； ③小王骑共享单车共用了（分钟）； ④小王步行的速度是（米/分钟）； ⑤小王骑共享单车的速度是（米/分钟）． 故答案为：直接信息：①2000；②800；③10；④21；⑤BC；⑥小王在原地休息；推导出的信息：①1200；②5；③6；④80；⑤200 教材习题03 写出下列各题中关于的函数关系式，并判断是否为的一次函数，是否为正比例函数． （1）长方形的面积为20，长方形的长与宽之间的函数关系式； （2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价元与所买西瓜千克之间的函数关系式； （3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数与星期数之间的函数关系式； （4）爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存入总数元与月数之间的函数关系式． （1），不是一次函数，也不是正比例函数． （2），是正比例函数，也是一次函数． （3），是一次函数，不是正比例函数． （4），是一次函数，不是正比例函数． 教材习题04 为加强劳动教育，落实五育并举，实验中学在校园内建立了一处劳动教育基地，用来种植菜苗．从种植开始，每隔2天记录一次数据，数据记录如下： 已种菜苗天数x/天 0 2 4 6 8 ．．． 菜苗高度 2.4 4.8 7.2 9.6 12 ．．． (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若菜苗高度与已种菜苗天数（天）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系； (2)根据以上判断，求关于的函数表达式； (3)根据实践经验可知，这种菜苗在高度达到时成熟，求菜苗成熟时，种植这种菜苗的天数的值． （1）解：描出表中数据对应的点，如图： 通过观察图像，我们可以看出这是一个一次函数关系． 故答案为：一次． （2）设关于的函数表达式为， 将代入，得到方程组：， 解得：， 关于的函数表达式为； （3）根据题目描述，这种菜苗在高度达到时成熟， 将代入，解得：， 菜苗成熟时，种植这种菜苗的天数的值为35． 考点一、函数的概念 1．下列图形不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的定义，熟悉函数的定义是解决问题的关键． 根据函数的定义可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此分析即可解答． 【详解】解：A．对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，不符合题意； B．对每一个x的值，都有两个y值与之对应，不是函数图象，符合题意； C．对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，不符合题意； D．对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，不符合题意． 故选B． 2．小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的自变量是（   ） A．商品名称 B．数量 C．单价 D．金额 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，若变量A随着变量B的变化而变化，那么B就叫做自变量，A就叫做因变量，据此可得答案． 【详解】解：∵付款金额是随着矿泉水的数量的变化而变化的， ∴自变量是数量， 故选；B． 3．云南昆明斗南花市是亚洲最大的国际鲜花交易市场．如表所示，某鲜花的单价为元/枝，甲同学购买了20枝，金额为30元，若乙同学购买了枝，金额为元，则，下列说法正确的是（   ） 单价（单位：元/枝） 数量（单位：枝） 20 金额（单位：元） 30 A．数量是自变量 B．金额是自变量 C．是因变量 D．是常量 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，不变的量叫做常量，变化的量叫做变量，能够影响其它量变化的量叫做自变量，随着其他变量变化的量叫做因变量，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，数量是自变量，金额是因变量，是常量， 故选：A． 考点二、正比例函数的概念 1．已知函数（为常数）是正比例函数，则该函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得，进一步求解可得函数解析式，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且自变量次数为． 【详解】解： 由题知： ， 解得： ， ∴该函数的表达式是 ， 故选：A． 2．若是关于的正比例函数，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．依据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴，， 解得：． 故答案为：． 3．已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1)与x之间的函数关系式为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式． （1）根据与成正比例函数关系，设出函数的解析式，再把当时，代入函数解析式即可求出k的值，进而求出与之间的函数表达式． （2）根据（1）中所求函数解析式，将代入其中，求得的值． 【详解】（1）解：设， 将，代入，得，解得． 与x之间的函数关系式为； （2）由（1）知，， 则当时，， ． 考点三、一次函数的概念 1．下列函数中，是的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：，进行判断即可． 【详解】解：A、不是一次函数，故不符合题意； B、不是一次函数，故不符合题意； C、是一次函数，故符合题意； D、不是一次函数，故不符合题意； 故选：C． 2．若点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：点在直线上， ， ， ， 故答案为：． 3．已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ (3)若函数的图象经过点和，求m，n的值． 【答案】(1) (2)，且， (3)的值分别为 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的定义． （1）根据y是x的一次函数，得到，求解即可； （2）根据y是x的正比例函数，得到，求解即可； （3）将点代入求出的值，再将代入即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得，即时， 函数是一次函数； （2）解：由题意得，且， 即得，且时，函数是正比例函数； （3）解：函数图象经过点 ，即． 又经过点， ， 解得， 故的值分别为． 考点四、求自变量的取值范围 1．函数中自变量x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量取值范围，根据分式形式的函数满足分母不为零的情况，建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：函数分母不为零，即， 解得， 故选：D． 2．函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】解：有意义， 故， 故， 故答案为：. 3．求下列函数中自变量的取值范围． (1) (2)； (3)． 【答案】(1)全体实数 (2) (3) 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． （1）根据一次函数的自变量为一切实数解答； （2）根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可； （3）根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：中，自变量的取值范围是全体实数； （2）由题意得：，， 解得：； （3）由题意得：， 解得：． 考点五、用表格表示变量间的关系 1．某商品的售价x（元）与销量y（件）之间存在如下关系，估计当售价x为137元时，销量y可能为（   ） 售价x/元 90 100 110 120 130 140 销量y/件 90 80 70 60 50 40 A．33件 B．43件 C．53件 D．63件 【答案】B 【分析】本题考查利用表格表示变量之间的关系，根据表格得到售价每增加10元，销量减少10件，即可得出结果． 【详解】解：由表可知：售价每增加10元，销量减少10件，则售价每增加1元，销量减少1件， ∵时，， ∴当时，y的值可能为； 故选：B． 2．我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率与温度的关系如下表： 温度 … 100 150 200 250 … 导热率 … 0.15 0.2 0.25 0.3 … 当温度为时，该材料的导热率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列表法表示函数和常量与变量，利用表中数据分析和判断即可，认真分析表中数据，提取正确信息是求解本题的关键． 【详解】解：由表中数据知，温度每增加，导热率就增加， ∴当温度为时，该材料导热率为， 故答案为：． 3．一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如下表： 放水时间/ 1 2 3 4 5 … 蓄水池中的水量 50 48 46 42 … 解答下面的问题： (1)将表格补充完整； (2)根据表格中的数据，说明在放完水前，蓄水池中的水量随放水时间的增长怎样变化？ (3)当放水时间为时，蓄水池中的水量是多少立方米？ 【答案】(1)见解析 (2)蓄水池中的水量随放水时间的增长而逐渐减少 (3)当放水时间为时，蓄水池中的水量是 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，正确读懂表格是解题的关键． （1）由表格可知，放水时间每增加一分钟，蓄水池中的水量就减小，据此求解即可； （2）根据表格可得，蓄水池中的水量随放水时间的增长而逐渐减少； （3）根据放水时间每增加一分钟，蓄水池中的水量就减小，计算求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，放水时间每增加一分钟，蓄水池中的水量就减小， ∴放水时，蓄水池中的水量为， 补全表格如下； 放水时间/ 1 2 3 4 5 … 蓄水池中的水量 50 48 46 44 42 … （2）解：由表格中的数据可得，蓄水池中的水量随放水时间的增长而逐渐减少； （3）解：， 当放水时间为时，蓄水池中的水量是． 考点六、用关系式表示变量间的关系 1．等腰三角形顶角的度数是底角度数的函数，则这个函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列函数关系式，等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形的两底角相等，再根据三角形三个内角的度数之和为180度即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：C． 2．某辆汽车油箱中原有汽油40升，汽车每行驶50千米耗油6升，则油箱剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系．根据剩余油量等于存油减去耗油量进行求解即可． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 3．已知池中有的水，每小时抽水． (1)用关系式表示池中剩余水的体积Q（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系； (2)后池中还有多少水？ (3)几小时后池中还有的水？ 【答案】(1) (2)后池中还有的水 (3)后池中还有的水 【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量减去抽水量等于剩余水量是解题关键． （1）根据抽水时间乘以抽水速度，可得抽水量，根据蓄水量减去抽水量，可得剩余水量； （2）根据自变量与函数值的对应关系，将代入函数解析式即可求解； （3）根据自变量与函数值的对应关系，将代入函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，当全部抽完水时，用时， ∴； （2）解：当时，． 故后池中还有的水； （3）解：当时，，解得． 故后池中还有的水． 考点七、用图象表示变量间的关系 1．图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出．能刻画蓄水池中水的高度（米）与放水时间（时）的函数关系的图象大致是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，是解题的关键． 根据蓄水池的横断面示意图，可知水下降的速度由慢到快，直至水全部流出，用排除法解题即可． 【详解】观察容器可知，它由上下两部分组成，下方容器较窄，上方容器较宽． 放水时，上方宽的部分水高度下降慢，下方窄的部分水高度下降快 。所以高度随时间变化，先慢后快， A．图象是直线下降，意味着水面下降速度始终不变，但实际容器有宽窄两部分，下降速度会变化，所以该选项错误，不符合题意； B．图象显示水面高度上升，而题目是放水过程，水面高度应下降，所以该选项错误，不符合题意； C．图象先下降快后慢下降，与实际上方宽先慢下降，下方窄后应快下降的规律不符，所以该选项错误，不符合题意； D．图象先缓（对应上方宽容器，水面下降慢），后陡（对应下方窄容器，水面下降快），符合放水时水面高度随时间变化的规律，所以该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．某物流公司的快递车和货车每天沿同一条路线往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．如图所示，表示货车距离A地的路程y（单位：km）与所用时间x（单位h）的图像，其间在B地装卸货物2h．已知快递车比货车早1h出发，最后一次返回A地比货车晚1h．若快递车往返途中速度不变，且在A、B两地均不停留，则两车在往返途中相遇的次数为 次． 【答案】2 【分析】根据图象可知货车往返A、B一趟需8小时，则快递车往返A、B一趟需5小时，依此画出图象，再观察其图象与货车图象相交的次数即可． 【详解】解：根据题意可知货车往返A、B一趟需8小时，则快递车往返A、B一趟需5小时，在图上作出快递车距离A地的路程y（单位：km）与所用时间x（单位：h）的图象，由图象可知：两车在往返途中相遇的次数为2次． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，正确理解题意、画出快递车的函数图象是解题关键． 3．4月21日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业的相关企业、机构代表和知名专家近700人参加，交流探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业升级等热点话题．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题： (1)图中的自变量是______，因变量是______； (2)无人机在75米高的上空停留的时间是______分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟； (4)图中a表示的数是______；b表示的数是______； (5)求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？ 【答案】(1)操控无人机的时间t，无人机的飞行高度h (2)5 (3)25 (4)2，15 (5)第14分钟时无人机的飞行高度是25米 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解题的关键是看懂图象中数据，结合路程速度时间进行计算． （1）根据数量变化关系直接判断即可得到答案； （2）根据图象直接计算即可得到答案； （3）根据分钟图象数据求解即可得到答案； （4）根据（3）中的速度代入行程公式即可得到答案； （5）根据行程公式求出下降路程，进而即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意可得， ∵无人机高度随时间变化而变化， ∴自变量是操控无人机的时间（或t），因变量是无人机的飞行高度（或h）， 故答案为：操控无人机的时间t，无人机的飞行高度h； （2）解：由图象可得， 分钟无人机在米高的上空停留， ∴无人机在米高的上空停留的时间是：分钟， 故答案为：5； （3）解：由分钟图象可得， 无人机的速度为：（米/分钟）， 故答案为：； （4）解：由（3）可得， ，， 解得：，， 故答案为：2，； （5）解：由（3）可得， ， ∴第分钟时无人机的飞行高度是：（米）， 答：第分钟时无人机的飞行高度是米． 考点八、用待定系数法求一次函数表达式 1．已知一次函数的图象经过和两点． (1)求的解析式； (2)通过计算说明的图象是否过点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，列一次函数解析式并求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把和代入进行计算，即可作答； （2）把代入，计算出结果，即可作答． 【详解】（1）解：设的函解析式为：， 将点和代入得，， 解得， ； （2）解：将代入解析式得，， 的图象经过点． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且经过，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)求点的坐标以及的面积． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）令，则，求出，然后利用即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：令，则， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设y与之间的函数解析式为，再将，代入求解即可得； （2）将代入（1）中的函数解析式即可得． 【详解】（1）解：设y与之间的函数解析式为， 将时，代入， 得， 解得， 则y与x之间的函数解析式为． （2）解：将代入， 得． 考点九、行程问题 1．小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答下列问题： （1）图象表示了______和______两个变量的关系； （2）小潘家到舅舅家路程是______米；小潘在商店停留了______分钟； （3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米／分？ 【答案】（1）时间，距离 （2）1500,4 （3）450 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，变量之间的关系， 对于（1），观察图象可知横轴是时间，纵轴是距离可解答； 对于（2），观察图象经过14分钟离家的距离是1500米解答，再根据从8分钟到12分钟离家距离没有变解答； 对于（3），分别求出骑车的三段的速度，再比较可得答案． 【详解】解：（1）观察图象可知横轴表示的时间，纵轴表示的是离家的距离， 所以图象表示了时间和距离两个变量的关系； 故答案为：时间，距离； （2）观察图象可知经过14分钟离家距离为1500米，可知小潘家到舅舅家的路程是1500米；由图象知从8分钟到12分钟离家距离没变，所以小潘在商店停留了（分钟）． 故答案为：1500,4； （3）由图象得小潘行驶了三段，第一段的速度为（米/分）； 第二段折回去商店的速度为（米/分）； 第三段买好礼物去舅舅家的速度为（米/分）． 由， 所以小潘骑车最快的速度是450米/分． 2．小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会儿准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点200米了．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．据图中给出的信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是___________，因变量是___________； (2)朱老师的速度为___________米/秒，小明到达点C前的速度为___________米/秒； (3)当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？ 【答案】(1)； (2)2，6； (3)300米 【分析】（1）利用函数的定义求解； （2）根据函数图象，得到朱老师在110秒跑了220米，小明70秒跑了420米，然后根据速度公式分别计算他们的速度； （3）设秒时，小明第一次追上朱老师，利用路程相等得到，解方程求出，然后计算即可； 本题考查了从函数的图象获取信息，运用数形结合思想以及熟练掌握路程，时间，速度三者关系是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，在上述变化过程中，自变量是，因变量是； 故答案为：；； （2）解：朱老师的速度（米秒），小明的速度为（米秒）； 故答案为：2，6； （3）解：设秒时，小明第一次追上朱老师 根据题意得，解得， 则（米， 所以当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离为300米； 3．如图1，两地之间有一条笔直的道路，地位于两地之间，甲从地出发驾车驶往地，乙从地出发驾车驶向地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车（换乘时间忽略不计）继续前行，并与甲同时到达地．图2中线段和折线段分别表示甲、乙两人与地的距离与甲行驶的时间的变化关系，其中与交于点． (1)在图2中表示的变量是______，因变量是______； (2)乙比甲晚出发______，两地相距______； (3)请直接写出甲的速度为______； (4)______，______； (5)在图2中点表示的含义是______； (6)请直接写出当______时，甲、乙相距． 【答案】(1)甲行驶的时间；甲、乙两人与地的距离 (2) (3) (4) (5)乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地 (6)或或14 【分析】本题考查了函数的图象，从图象上获取信息，求出甲乙两人的速度是正确解答的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）由图象可得乙比甲晚出发两地相距(千米)； （3）根据点的坐标可求出甲，乙两人的驾车速度； （4）根据两车的速度可得答案； （5）根据点的坐标解答即可； （6）分两种情况，①时，②时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：在图2中表示的自变量是甲行驶的时间，因变量是甲、乙两人与地的距离； 故答案为：甲行驶的时间；甲、乙两人与地的距离； （2）解：由图象可知，乙比甲晚出发的是两地相距(千米)； 故答案为：； （3）解：甲的驾车速度为：； 故答案为：； （4）解：由题意可得，， 乙的驾车速度为：， 所以， 故答案为：； （5）解：在图2中点表示的含义是乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地； 故答案为：乙出发后(或甲出发后)两人相遇，相遇地点距地； （6）解：分两种情况，①时， ， 解得：， ②时， 乙的速度为， ∴， ∴， 综上，当或6.5或14时，甲，乙相距． 故答案为：或或14． 考点十、几何中的函数表示 1．如图所示，，，且a、b满足，将点A向右平移6个单位长度至点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D． (1)求点C，点D坐标； (2)点P从点D出发，以4个单位每秒的速度沿射线向左运动，设的面积为，点P运动的时间为秒，求S与t之间的关系式； (3)在（2）的条件下，连接，交y轴于点N，点M在线段上，且满足，在点P运动过程中的面积与S有怎么数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，平移的性质，坐标与平面，变量间的关系式，一元一次方程的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据非负性得到，解方程组得到点A坐标，再由平移的性质求解点C坐标，即可求解点D坐标； （2）分两种情况讨论，由三角形面积公式得到S与t之间的关系式； （3）分两种情况讨论，连接，当时，由题意得，由建立方程求解，则，则，则，那么可得，即可得到；当时，同理可求． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵将点A向右平移6个单位长度至点C， ∴， ∵过点C作y轴的平行线交x轴于点D ∴； （2）解：当时，如图： ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴； 当时，如图： ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴； 综上：S与t之间的关系式为：； （3）解：，理由如下： 连接，当时， 由题意得， ∵， ∴ ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即； 当时，如图： 同理可得：， ∴，即， 综上所述：． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点D是的中点，以为边，在x轴上方作正方形．动点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动时间为t秒，三角形的面积为S（），解答下列问题． (1)点B的坐标为______；当点P在线段上时，的长度为______（用含t的代数式表示）； (2)当时，三角形的面积为______； (3)求点P运动过程中三角形的面积S和运动时间t之间的数量关系（用含t的代数式表示S）； (4)当是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)；； (2)2； (3)； (4)1或或2 【分析】本题主要考查了坐标与图形，列函数关系式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据线段的中点得到，然后根据正方形的性质得到点B的坐标，根据点的运动求出线段的长； （2）根据的值可知，点在线段上，然后利用三角形面积计算公式解题即可； （3）分为，和时，点P的位置计算即可； （4）分点P运动到B、D两点，运动到中点三种情况，分别求出对应的路程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵是正方形， ∴， ∴点B的坐标为； 当点在线段上时，； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴当时，点在线段上， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，点P在上， ； 当时，点P在上， ； 当时，点P在上，， ； 综上所述，； （4）解：当点P运动到点D时，此时有，满足是等腰三角形， ∴此时； 当点P运动到点B时，此时有，满足是等腰三角形， ∴此时； 如图所示，当点P运动到的中点时，则， 又∵， ∴， ∴，即此时满足是等腰三角形， ∴此时， 综上所述，t的值为1或或2． 3．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴，轴的垂线，交轴于点，交轴于点，有一动点以3个单位/秒的速度，从点出发，沿着向点运动，运动时间为（秒）． (1)写出点和点的坐标； (2)在整个运动过程中，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围； (3)已知点，连接，，在（2）的条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，当为秒和秒时． 【分析】本题考查了坐标与图形性质，点到坐标轴的距离，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）根据题意即可得到结论； （2）当点在线段上时，根据，，，得到，当点在线段上时，于是得到结论； （3）当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，轴，轴 ∴，， （2）解：当点M在线段上时， 由，，可得：， ，， ； 当点在线段上时， 点走过的路程． （3）存在两个符合条件的t值， 当点在线段上时 ， ， 解得：， 当点在线段上时， ，， ， 解得：， 综上所述：当为秒和秒时． 知识导图记忆 1．一支笔2元，买支共付元，则2和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义，根据常量、变量的意义进行判断即可． 【详解】解：笔的单价是2元不变的，因此2是常量， 而购买的支数x，总费用y是变化的量，因此x和y是变量． 故选：C． 2．下列是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义．根据一次函数的定义求解即可．一般形如（k，b是常数，），叫做一次函数．其中x是自变量，y是因变量． 【详解】解：A. 不是一次函数，不符合题意；     B. 当时是一次函数，不符合题意； C. 是一次函数，符合题意；     D. 不是一次函数，不符合题意； 故选：C． 3．如图，A、B、C、D分别表示甲、乙、丙、丁四辆汽车的行驶信息，根据图示可知行程最长的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查函数图象，从函数图象中获取信息，根据路程等于速度乘以时间，进行计算后，判断即可． 【详解】解：由图象可知，甲的行程为：； 乙的行程为：； 丙的行程为：； 丁的行程为：； 故行程最长的是丁； 故选：D． 4．在正比例函数中，当自变量时，函数值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了求正比例函数的函数值，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 把自变量代入函数即可求解． 【详解】解：当自变量时，， 故选：A． 5．已知一次函数的图象经过，两点，且当时，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．分别把点，代入一次函数，根据，时，即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象经过，两点， ， ， ， ， ， 即． 故选：C． 6．函数的自变量取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数的自变量及分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可进行求解．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：． 7．点在函数的图象上，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，把点代入即可得到答案. 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为： 8．已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，三角形三边关系； 根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再由三角形的三边关系可得出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， 解得：， 故答案为：；． 9．若直线经过点，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】把点的坐标代入解析式，变形计算即可． 本题考查了图象过点的意义，等式的变形，熟练掌握图象过点的应用是解题的关键． 【详解】解：直线经过点， 故， 故． 故答案为：2． 10．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最大的数，例如，，．那么观察图象，可得到的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解． 【详解】解：根据图示，联立方程求交点得， ①，解得，； ②，解得，； ③，解得，； ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 11．有一水箱，它的容积为，水箱内原有水，现往水箱中注水，已知每分钟注水． (1)写出水箱内水量与注水时间的函数关系． (2)求注水时水箱内的水量？ (3)需多长时间把水箱注满？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据水箱内水量水箱内原有水量注水速度注水时间，即可求解． （2）把代入函数关系即可； （3）把代入函数关系即可． 【详解】（1）解 ：依题意得：水箱内水量与注水时间的函数关系是：； （2）解：把代入中， 可得， 答：求注水时水箱内的水量是； （3）解：把代入 可得(min)． 答：需把水箱注满． 【点睛】本题考查了函数解析式及自变量和函数值的求解，正确求出解析式是解题的关键． 12．已知与的函数解析式是， (1)求当时，函数的值； (2)求当时，函数自变量的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入函数解析式，即可得解； （2）将，代入函数解析式，即可得解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，，解得：． 【点睛】本题考查根据函数解析式求自变量和函数值．熟练掌握当自变量确定时，是自变量的函数值，是解题的关键． 13．3月28日是全国中小学生安全教育日，倡议中小学生注意安全，珍爱生命．小刚骑单车从家出发去上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．已知小刚家与书店、学校恰好在同一条直线上，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小刚家到学校的距离是________米；小刚在书店停留了________分钟； (2)本次上学途中，小刚一共行驶了________米；一共用了________分钟； (3)我们认为骑单车的速度超过400米/分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快？并说明此时的速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)1500，4； (2)2700；14 (3)分钟时速度最快，不在安全限度内 【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案； （2）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案； （3）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度． 本题主要考查了函数图象，解决本题的关键是要观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系． 【详解】（1）解：根据图象，学校的纵坐标为1500，小刚家的纵坐标为0， 故小刚家到学校的路程是1500米； 根据函数图象，小刚在书店停留的时间为从8分到12分， ∴（分钟） 故小刚在书店停留了4分钟． 故答案为：1500，4； （2）解：有函数图象可知， 一共行驶的总路程（米）；一共用了分钟， 故答案为：2700；14． （3）解：由图象可知：分钟时，平均速度（米/分）， 分钟时，平均速度（米/分）， 分钟时，平均速度（米/分）， ∵ ∴分钟时速度最快，不在安全限度内． 故建议小刚在从书店去学校的途中放慢速度，保持安全骑行； 14．已知 与成正比例关系，当时，．求y与x的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，设，把，代入求解即可． 【详解】解：∵ 与成正比例关系， ∴设， 把，代入得：， 解得， ，即， 与的函数关系式为． 15．已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点代入求得，即可求得点的坐标，将代入即可求得的坐标， （2）根据，，求得面积根据题意列出方程，即可求解； （3）根据（2）的结论，以及列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上 ∴， ∴, ∵点在直线 ∴ 解得， ∴， （2）∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，，，， ， ， ∵的面积等于的面积的两倍 ∴， 即， 解得，则， （3）当时，，则，的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴; 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$