精品解析：江苏省淮安市淮安区2025-2026学年上学期期中质量调研九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期中调研测试试题 九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 如图，、、是上的三个点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一元二次方程两个实数根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（ ） A B. C. D. 7. 某校组织校园足球联赛，某班级在联赛中胜场数是一个两位数．且这个两位数的个位数字与十位数字之和为5，且胜场数比它个位数字的平方小2，则该球队的胜场数为（ ） A. 14 B. 23 C. 32 D. 41 8. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴，y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D，若的半径为3，点B的坐标是，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 9. 一元二次方程的根是______． 10. 若m是方程的一个实数根，则代数式的值为______． 11. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 12. 如图，在中，，是的内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为__________ 13. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程______． 14. 如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是________． 15. 若关于x的一元二次方程有实数根，，且，则n的取值范围是______． 16. 如图，O正六边形内部任意一点，，，，则______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17. 解方程： （1）； （2）； 18. 定义新运算“”如下：，解方程：． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程其中一个根为正数，求m的取值范围． 20. 如图，在坐标系中，、、． （1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； （2）这个圆的半径长为______； （3）直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） （4）E是图中某一格点，连接，若是的切线，则E点有______个． 21. 列方程解决实际问题： 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地：一面利用墙（墙长度足够长），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． （1）______米（用含x的代数式表示）； （2）若围成菜地面积为180平方米，求此时的宽． 22. 如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求． 23. 顺应年教育硬件爆发趋势，某品牌学习机经销商统计了产品销量，该品牌学习机月份销售台，月份销售台，月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌学习机销售量的月增长率； （2）若此种学习机的进价为元/台，商家调查显示，当售价为元/台时，月销售量为台，在此基础上售价每上涨元/台，月销售量将减少台，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌学习机每个售价应定为多少元？ 24. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 25. 尺规作图： （1）如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． （2）已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 26. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智能数”．例如，13是“智能数”，理由：因为． 解决问题： （1）①已知17是“智能数”，请将它写成（a，b是整数）的形式______； ②已知，则______； 探究问题： （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“智能数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x，y满足，求的最大值． 27. （1）【自主探索】如图，在中，，，，求边的高．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．作于点D，设，用含x的代数式表示，则______；在和中根据勾股定理得：，，∴，______； （2）【尝试运用】如图，在中，M为弦上一点，且，连接，过M作交于点N，则的长为______． （3）【问题解决】如图，是的直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连接，延长相交于点E．若，，求的半径． （4）【迁移拓展】已知线段，点D在是线段上，且，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中调研测试试题 九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、，最高次数是3次，不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有两个未知数且不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小即可判断． 【详解】解：∵ ，的半径， ∴ 半径， ∴ 点P在内， 故选：A． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 如图，、、是上的三个点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可得：． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 5. 已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接用公式求解即可． 【详解】∵方程 中，，， ∴ 故选：A． 6. 如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交于C、D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，弧与圆心角的关系 ，先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是； 故选：A． 7. 某校组织校园足球联赛，某班级在联赛中胜场数是一个两位数．且这个两位数的个位数字与十位数字之和为5，且胜场数比它个位数字的平方小2，则该球队的胜场数为（ ） A. 14 B. 23 C. 32 D. 41 【答案】A 【解析】 【分析】设胜场数的十位数字为a，个位数字为b，则胜场数为．根据条件，，且．通过代入法解方程组，得到，，故胜场数为14． 本题主要考查了列方程组，以及解一元二次方程．审清题意找准等量关系是解题的关键． 【详解】解：设胜场数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意，得 ， 由①得， 将③代入②得， 整理得：， ， 解得（舍去），． 则， ∴这个两位数为14 ∴胜场数为． 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴，y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D，若的半径为3，点B的坐标是，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，垂径定理等，连接，设与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接并延长与交于点G，连接，可得四边形、四边形和四边形都是矩形，即得，进而得到，即得，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与y轴的切点为F，与x轴的切点为E，连接并延长，与交于点G，连接， 则， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形和四边形是矩形， ， ， ， ， 半径为3， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 9. 一元二次方程的根是______． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法与直接开平方法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根． 【详解】解：方程 可变形为 ， 直接开平方得 ，即 ； 或者，因式分解得 ， 则 或 ， 解得 或 ． 故答案为： 或 ． 10. 若m是方程的一个实数根，则代数式的值为______． 【答案】2029 【解析】 【分析】根据方程根的定义，将 m 代入方程得到关系式，再整体代入代数式求值． 本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解的概念，以及整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵ m 是方程 的一个实数根， ∴，即， ∴． 故答案为 2029． 11. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 12. 如图，在中，，是的内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为__________ 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 设半径为，根据切线长定理得到，，，在中，，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 【详解】解：设半径为， ∵在中，，是的内切圆， ∴在四边形中，， 四边形为矩形． 又∵， 四边形为正方形． 则， 由切线长定理知：，， ，， 在中，， ． 整理，得：， 解得，负值舍去， ，． ∴． 故答案为：30． 13. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程______． 【答案】x（x+12）=864 【解析】 【分析】利用长乘以宽=864，列出方程即可得出答案． 【详解】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）=864． 故答案为：x（x+12）=864． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出矩形的长是解题关键． 14. 如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得，再进行分类讨论：当点E在点A上方时，当点E在点A下方时，即可进行解答． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴， 连接， ①当点E在点A上方时，如图， ∵，， ∴， ②当点E在点A下方时，如图， ∵，， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及三角形的外角定理，解题的关键是掌握菱形的对角线平分内角；等腰三角形两底角相等，三角形的内角和为；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 15. 若关于x的一元二次方程有实数根，，且，则n的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，求不等式组的解集．利用因式分解法求出，，进而可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，O为正六边形内部任意一点，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线，正多边形的面积，掌握三角形的一条中线将面积分为相等的两部分是解题的关键． 延长交于点P，构造等边，用含有将的面积表示出来，即可求解． 【详解】解：如图，分别将延长，交于点P， 是正六边形的边， ， ， 是等边三角形， ， 是的中线， ， 同理， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查直接开平方法，公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先移项，把移到方程的右边，再利用直接开平方解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ∴，． 【小问2详解】 ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， 即，． 18. 定义新运算“”如下：，解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】根据新运算的定义，直接代入方程，通过因式分解求解一元二次方程．此题考查了定义新运算以及解一元二次方程，熟练掌握运算法则及一元二次方程的解法是解本题的关键． 【详解】解：根据， 可得， ∴， ， ， 解得，． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程其中一个根为正数，求m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键． （）求出的值即可求证； （）求出方程的解，再根据解的情况列出关于的不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∵该方程有一个根为正数， ∴， ∴． 20. 如图，在坐标系中，、、． （1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； （2）这个圆的半径长为______； （3）直接判断点与的位置关系，点在______．（填内、外、上） （4）E是图中某一格点，连接，若是的切线，则E点有______个． 【答案】（1） （2） （3）外 （4）4 【解析】 【分析】本题主要考查圆心的确定，垂直平分线的性质，勾股定理与网格等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆心到弧上各点距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，作线段的垂直平分线的交点即为圆心； （2）运用勾股定理与网格，结合图形求解即可； （3）运用勾股定理与网格得到，再与圆的半径比较即可； （4）根据切线的定义，作图判定即可． 小问1详解】 解：如图所示， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴这个圆的半径长为； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴点在外， 故答案为：外； 【小问4详解】 解：如图所示，连接，过点作的垂线， ∴点均为图中网格点，符合题意， ∴该图中有4个， 故答案为：4． 21. 列方程解决实际问题： 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地：一面利用墙（墙的长度足够长），用长为46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． （1）______米（用含x的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽． 【答案】（1） （2）6米或10米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据篱笆总长及长、宽关系列代数式即可，注意前端有2个小门； （2）根据长宽之积为180平方米，列一元二次方程，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 解得或， 故宽为6米或10米． 22. 如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟知垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理可得，据此可证明结论； （2）由垂径定理可得，则，再证明，进而由勾股定理得到的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵是的直径，， ∴， 即点D为的中点； 【小问2详解】 解：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 顺应年教育硬件爆发趋势，某品牌学习机经销商统计了产品销量，该品牌学习机月份销售台，月份销售台，月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌学习机销售量的月增长率； （2）若此种学习机的进价为元/台，商家调查显示，当售价为元/台时，月销售量为台，在此基础上售价每上涨元/台，月销售量将减少台，为使月销售利润达到元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌学习机每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） 元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用： （1）设该品牌学习机销售量的月增长率为，月份到月份销售量的月增长率相同，则到月为，列出等式计算； （2）设该品牌学习机每个售价应定为元，先求出每台的销售利润和月销售量，整理计算售价即可． 【小问1详解】 解：设该品牌学习机销售量的月增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌学习机销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌学习机每个售价应定为元， 则每台的销售利润为元，月销售量为台， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又因为要尽可能让顾客得到实惠，所以取． 答：该品牌学习机每个售价应定为元． 24. 如图，在中，，以为直径的分别交、于点D、G，过点D作于点E，交的延长线于点F． （1）求证：与相切； （2）当时，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定，切线的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，求解扇形的面积，熟练掌握圆的基本知识是解本题的关键． （1）由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到，即可证明结论； （2）先证明，可得，，利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得，，结合，从而可得答案． 【小问1详解】 证明： ， ， ， ， ， ， ， ， 是⊙O切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ． 25. 尺规作图： （1）如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． （2）已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，解题的关键在于掌握垂直平分线和角平分线的作法，结合题意作图； （1）所求圆经过点和，且与直线相切于，关键在于意识到：圆心必须在的垂直平分线上；同时，圆心必须在过点且垂直于的直线上（因为切点与圆心的连线垂直于切线）因此圆心是这两条直线的交点． （2）圆心与切点的连线垂直切线，所以与圆心角互补，已知，则，利用垂直构造，利用角平分线构造，即可构造，再作过点的切线相交于点即可． 【小问1详解】 作图步骤如下： ①以点为圆心任意画圆，与直线相交于，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，则垂直平分，所在直线为直线（圆心在此线上）； ②连接，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线为直线； ③直线与的交点即为所求圆心； ④以为圆心，为半径作圆． 故圆为符合题意的圆． 【小问2详解】 作图步骤如下： ①先作直径，分别以点，点为圆心，大于画弧，交点分别为点，，连接与圆相交于，则垂直平分； ②以点，为圆心，大于为为半径画弧，交于点，连接与圆交于点，则平分，使得； ③以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在的直线即为圆切线，切点为；以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线即为圆切线，切点为；两切线交于点，则，． 故所作切线，所成． 26. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智能数”．例如，13是“智能数”，理由：因为． 解决问题： （1）①已知17是“智能数”，请将它写成（a，b是整数）的形式______； ②已知，则______； 探究问题： （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“智能数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x，y满足，求的最大值． 【答案】 （1）① ；② （2）当 时， 为“智能数”，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用、非负数的性质及代数式的最值求解，解题的关键是通过配方法将式子化为完全平方式，结合“智能数”的定义或非负数的意义解决问题． （1）①寻找两个整数的平方和表示17； ②用配方法将等式化为完全平方式的和，利用非负数性质求、； （2）对配方，凑成两个完全平方式的和以满足“智能数”的定义； （3）用表示，代入代数式后配方求最大值． 【详解】（1）①解：∵， 故答案为：． ②解：， ∵，， ∴，，解得，， ∴． 故答案为：． （2）解： ， 令，即， 此时，、是整数，则、是整数，符合“智能数”的定义． 答：符合条件一个值为13． （3）解：由，得， ∴， 配方得：， ∵， ∴的最大值为． 答：的最大值为． 27. （1）【自主探索】如图，在中，，，，求边的高．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．作于点D，设，用含x的代数式表示，则______；在和中根据勾股定理得：，，∴，______； （2）【尝试运用】如图，在中，M为弦上一点，且，连接，过M作交于点N，则的长为______． （3）【问题解决】如图，是直径，点D为下方上一点，点C为的中点，连接，延长相交于点E．若，，求的半径． （4）【迁移拓展】已知线段，点D在是线段上，且，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据线段和差计算，解一元二次方程即可求解． （2）如图所示，连接，过点作于点，根据题意，结合垂径定理得到的长度，通过勾股定理变形得到 ，即可求解． （3）延长交于点F，通过垂径定理和直径所对的圆周角是直角，得到是的中位线，从而求出的长度，再和用勾股定理列方程，即可求解． （4）连接，作，设的长度为x，通过勾股定理变形用含有x式子将表示出来，再结合图形发现当点A在的延长线上时，最大，即可求解． 【详解】解：（1）， ∴， 将化简，得，解得． 故答案为：，． （2）∵， ∴，， 如图所示，连接，过点作于点，可知， ∴， ∴， ， ， ． 故答案为：． （3）如图，延长交于点F， ∵点是的中点， ， 是直径， ， ， ， 根据勾股定理可知， 即， 设半径长度为r，则，化简得， 解得（不合题意，舍去）， 的半径为． （4）如图，连接，作， 设的长度为x，则， ， ， ， 当最长时，即点A在的延长线上时，最大， 而此时，则， ，解得（不合题意，舍去）， 的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形的中位线，圆等知识点，熟练掌握通过勾股定理变换找到边之间的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $