13.2分式的运算（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“分式的运算”核心知识点，系统梳理分式乘除（含乘法法则、除法法则、乘方及约分技巧）、加减（同分母与异分母运算、通分及最简公分母确定）、混合运算（顺序与运算律应用）的完整脉络，以分模块讲解构建从基础法则到综合应用的学习支架，辅以思维导图直观呈现知识结构。 该资料特色为分层设计适配30至70分学生，通过分式乘除、加减等题型分类练习强化专项突破，强调约分、通分等运算技巧培养运算能力，通分与最简公分母讲解渗透抽象能力，课中助力教师分层授课，课后学生可借分类习题回顾法则、弥补知识盲点。

13.2分式的运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、分式的乘除 1. 分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母，即。 2. 分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，即。 3. 分式的乘方：分式乘方是把分子、分母各自乘方，即（$n$为正整数）。 4. 运算技巧：在进行分式的乘除运算时，能约分的先约分，可以简化运算。约分的关键是找出分子和分母的公因式。 二、分式的加减 1. 同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即。 2. 异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，即。 3. 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的最简公分母。 4. 最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 三、分式的混合运算 1. 运算顺序：分式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 2. 运算技巧：在进行分式混合运算时，要注意运算顺序，灵活运用运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）简化运算过程。运算的结果要化为最简分式或整式。 型 习 练 题 分式乘除混合运算 1．计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解决本题的关键． 先把除法转化为乘法，再按分式的乘法法则计算． 【详解】解： ． 故选：B． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式乘除运算，熟练掌握分式乘除法则是解题关键，应用分式乘除法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．计算的结果是（   ） A．a B． C．b D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘除混合运算．熟练掌握分式乘除法法则是解题关键，先将除法变成乘法，再相乘即可． 【详解】解： ， 故选：D． 4．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式的加减乘除运算法则逐项排除即可． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意． 故选：． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 先计算乘方，再计算除法，即可． 【详解】解： 故选：B 分式乘方 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的乘方，分式的乘法，解题的关键是掌握各运算法则． 先进行分式的乘方运算，再进行分式的乘法运算． 【详解】解：， 故选：A． 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘方运算，根据分式的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：A，，故本选项错误，不符合题意； B，，故本选项正确，符合题意； C，，故本选项错误，不符合题意； D，，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 8．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘方与乘法运算，掌握这两个运算法则是关键；先计算乘方，再计算乘法即可． 【详解】解：， 故选：A． 9．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查积的乘方和分式的乘方运算． 根据分式的乘方运算法则可进行求解． 【详解】解：． 故选：A． 10．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的乘方及乘法运算，熟练掌握分式的乘方及乘法运算法则是解题关键，应用分式的乘方及乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 同分母分式加减法 11．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘法公式，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案；通过合并同分母分式，并利用平方差公式简化表达式． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ （其中 ） 因此，结果为， 故项：C. 12．若已知分式，□，化简后的结果为，则□内的运算符号为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握同分母分式的运算法则是解题关键． 由于两个分式同分母，考虑同分母分式的加减乘除运算，通过计算验证哪个运算符号能使结果为即可． 【详解】解：根据题意得，运算符号为□， 若□为“”，则； 若□为“”，则，符合； 若□为“”，则； 若□为“”，则． ∴□内的运算符号为“”． 故选B． 13．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查分式的运算，熟记相关运算法则是解题关键． 【详解】解：选项A：∵，错误； 选项B：∵，正确； 选项C： ，错误； 选项D： ，错误； 故选：B 14．若，则□中的数是（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．任意实数 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算，熟练掌握计算法则是解题的关键． 将等式右侧的分式移项至等号左侧，与左侧分式进行计算即可求得□中的数． 【详解】解：由等式的性质可得， ， ， 当时，上式， 当时，分式无意义， 所以． 故选：B． 15．计算，结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，掌握运算法则是关键；直接把分子相减，分母不变即可求解． 【详解】解：原式， 故选：A． 异分母加减法 16．已知，，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据分式的运算逐一排除即可． 【详解】解：，， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 17．计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了异分母分式的加减，解题的关键是掌握异分母分式的加减法法则． 先进行通分，再进行同分母分式的加减法运算． 【详解】解：， 故答案为：B． 18．计算的结果是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，解题关键是牢记分式加减的步骤． 先通分，再将分子相加减，最后化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选C． 19．计算的结果为（    ） A．m B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，对分子因式分解，然后约分后计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 20．化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据分式的运算法则，逐步化简即可． 【详解】解： ． 故选B． 负指数幂 21．在0，，，四个数中，最大的数是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方计算；计算各数的值后比较大小，即可求解． 【详解】∵； ∵； ∵（任何非零数的0次幂等于1）； ∴四个数分别为、、、； ∵， ∴最大的数是，即选项B． 故选：B． 22．下列算式，计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除运算法则以及零指数幂的性质、负指数幂的性质等知识，正确掌握运算法则是解题关键．分别利用同底数幂的乘法运算法则结合零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简求出答案． 【详解】解：∵ ①，∴①错误； ∵②，∴②正确； ∵③，∴③错误； ∵④，而，∴④错误． ∴只有1个正确， 故选：A． 23．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方和分式的乘方、负指数幂的运算法则逐项判断即可解题． 【详解】解：A： ，原计算错误； B：，计算正确； C：，原计算错误； D：，原计算错误； 故选：B． 24．的相反数是（    ） A．2017 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，相反数及负整数指数幂， 先计算绝对值，再求负整数指数幂，再求相反数即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 相反数为 ． 故选：D． 25．若，则的值为（  ） A．8 B． C．−8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 分式加减乘除混合运算 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)2 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）根据分式的加法运算可进行求解； （2）根据分式的除法运算可进行求解； （3）根据分式的乘法可进行求解； （4）根据分式的乘除法可进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 27．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)1 【分析】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方，合并同类项，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算单项式乘单项式，幂的乘方，再合并同类项，即可作答． （2）先整理括号内，再运用乘法运算律，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 28．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算和分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式运算的法则，注意符号的处理和因式分解的应用． （1）先将分母化为相同，再进行分式的加减运算，最后约分； （2）先对括号内的分式进行通分计算，再对分母进行因式分解，然后进行分式的乘法运算并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，解题的关键是掌握分式乘除的运算法则，将除法转化为乘法后约分计算． （1）将分式除法转化为乘法，再通过因式分解约分计算； （2）先对括号内的式子通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分得出结果． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 30．计算： 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先计算括号内分式的加法运算，再把除法化为乘法运算，最后计算乘法运算即可． 【详解】解：原式 ． 分式化简求值 31．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴． 32．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）化简：． 【答案】 （1），50； （2） 【分析】本题考查了整式的化简计算，包括完全平方公式和平方差公式的运用，以及分式的化简，解决本题的关键是熟练掌握公式并认真计算． （1）先使用完全平方公式和平方差公式展开表达式，然后合并同类项进行化简，最后代入数值计算； （2）将分式除法转换为乘法，对分子和分母因式分解后约分化简． 【详解】解：（1） ， 当 ， 时， 原式 ． （2）∵ ， ． 33．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则进行化简，再将字母的值代入求解即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 34．先化简，再求值：，请你从，0，1，3中选一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先算括号内的分式减法，再算分式除法，化成最简，然后把有意义的值代入求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 此时，原式． 35．先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】；1 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后根据，得，最后把代入计算即可求解，解题的关键是对相应的运算法则的掌握，注意整体代入的应用． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2分式的运算 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、分式的乘除 1. 分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母，即。 2. 分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，即。 3. 分式的乘方：分式乘方是把分子、分母各自乘方，即（$n$为正整数）。 4. 运算技巧：在进行分式的乘除运算时，能约分的先约分，可以简化运算。约分的关键是找出分子和分母的公因式。 二、分式的加减 1. 同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即。 2. 异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，即。 3. 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的最简公分母。 4. 最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 三、分式的混合运算 1. 运算顺序：分式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 2. 运算技巧：在进行分式混合运算时，要注意运算顺序，灵活运用运算律（如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）简化运算过程。运算的结果要化为最简分式或整式。 型 习 练 题 分式乘除混合运算 1．计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A．a B． C．b D． 4．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 分式乘方 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 9．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 10．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 同分母分式加减法 11．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 12．若已知分式，□，化简后的结果为，则□内的运算符号为（   ） A． B． C． D． 13．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D．4 14．若，则□中的数是（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．任意实数 15．计算，结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 异分母加减法 16．已知，，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 17．计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 18．计算的结果是（　　） A．0 B． C． D． 19．计算的结果为（    ） A．m B． C．1 D． 20．化简得（   ） A． B． C． D． 负指数幂 21．在0，，，四个数中，最大的数是（ ） A．0 B． C． D． 22．下列算式，计算正确的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 24．的相反数是（    ） A．2017 B． C． D． 25．若，则的值为（  ） A．8 B． C．−8 D． 分式加减乘除混合运算 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．计算： (1) (2) 28．计算： (1)； (2)． 29．计算： (1) (2) 30．计算： 分式化简求值 31．先化简，再求值：，其中． 32．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）化简：． 33．先化简，再求值：，其中． 34．先化简，再求值：，请你从，0，1，3中选一个你喜欢的数作为的值代入求值． 35．先化简，再求值：，其中x满足． 学科网（北京）股份有限公司 $