13.1分式及其性质（基础篇） 讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级上册

本讲义聚焦分式及其性质核心知识点，以分式的概念为起点，系统梳理分式定义、有意义及值为零的条件，进而阐述分式基本性质（分子分母同乘除不为零整式时值不变）及理解要点，最后落脚于约分的定义、步骤与最简分式，形成从概念到性质再到应用的递进学习支架，辅以思维导图辅助知识梳理。 该资料针对基础薄弱学生设计，题型涵盖分式判断、有意义条件等基础内容。通过分式判断培养抽象能力（数学眼光），有意义条件题目发展推理意识（数学思维），约分练习提升应用意识（数学语言）。课中助力教师结构化授课，课后学生可通过针对性练习查漏补缺，巩固知识。

13.1分式及其性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、分式的概念 1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子（B≠0）叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 2. 分式有意义的条件：分式的分母不能为零，即当分母B≠0时，分式才有意义。 3. 分式的值为零的条件：分式的值为零，需要同时满足两个条件：一是分子的值等于零（A=0），二是分母的值不等于零（B≠0）。二者缺一不可。 二、分式的基本性质 1. 基本性质内容：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为：，（其中M是不等于零的整式）。 2. 对基本性质的理解：“都”意味着分子和分母要同时进行相同的运算；“同一个”强调所乘或除以的整式必须是同一个；“不等于零”是重要前提，因为若M=0，分式的分母可能会变为零，分式无意义，且乘或除以零本身也无意义。 三、分式的约分 1. 约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2. 约分的步骤： · 第一步，找出分子和分母的公因式。公因式的确定方法：先分别分解分子、分母的因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂），它们的乘积就是公因式。 · 第二步，将分子和分母同时除以它们的公因式，得到最简分式或整式。 3. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分的最终结果一般要求化为最简分式。 型 习 练 题 分式的判断 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分式的定义，分子、分母都为整式，且分母中含有字母的式子是分式．逐一检查即可． 【详解】解： A、分母为2，分母中不含字母，故是整式； B、分母为，π为常数，分母中不含字母，故是整式； C、分母为，分母中含字母x和y，故是分式； D、分母为4，分母中不含字母，故是整式． 故选： C． 2．代数式 中，属于分式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，正确理解分式的定义是解题的关键．根据分式的定义，分母中含有字母的代数式属于分式。逐一检查各代数式的分母是否含有字母即可． 【详解】∵ 分式是分母中含有字母的代数式， ∴ 分母不含字母，不是分式； 分母是，不含字母，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母为3，不含字母，不是分式； 分母含字母x，是分式； 分母含字母x，是分式． ∴ 属于分式的有3个． 故选：B． 3．给出如下式子：①，②，③，④，其中是分式的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是明确分式的分母中必须含有字母． 根据分式的定义，判断每个式子的分母是否含有字母，从而确定哪些是分式． 【详解】解：分式的定义是：如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子叫做分式． ①，分母是字母，所以它是分式； ②，分母10是常数，不含字母，所以它不是分式； ③，分母中含有字母，所以它是分式； ④，分母是常数（是常数），不含字母，所以它不是分式． 综上，是分式的为①和③． 故选：C． 4．下列式子中属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如（其中，为整式，且分母中含有字母）的式子叫做分式是解题的关键． 根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】分式需满足分母中含有字母； 选项：分母为，是常数，无字母； 选项：分母为，含有字母和； 选项：分母为，是常数，无字母； 选项：和的分母均为常数，无字母； 故选． 5．在式子，，，中，分式有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，关键是抓住分母中是否含有字母，注意常数（如或数字）作为分母时，不是分式；根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐项判断分母是否含有字母． 【详解】解：对于，分母含有字母，是分式； 对于，分母是常数（圆周率），不含字母，不是分式； 对于，分母含有字母，是分式； 对于，分母是常数，不含字母，不是分式． ∴ 分式有2个． 故选：B． 分式有意义、无意义的条件 6．关于和的值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ※ ※ 无意义 ※ ．．． 则代表的分式是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴不符合题意； ∵当时，分式的值为， ∴不符合题意，符合题意， 故选：． 7．下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，依次需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：选项A的分母为，当时，，分母可能为零； 选项B的分母为，当时，，分母可能为零； 选项C的分母为，因为，所以，分母恒不为零； 选项D的分母为，当时，，分母可能为零； 故选：C． 8．为任意实数时，下列分式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，准确分析判断是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不等于零，只需检查各选项分母是否可能为零，若分母恒不为零，则分式一定有意义． 【详解】分式有意义的条件是分母不等于0， 对于：分母为，当时，分母，分式可能无意义，故本选项不符合题意； 对于：分母为，当时，，分式可能无意义，故本选项不符合题意； 对于：分母为，当时，，分式可能无意义，故本选项不符合题意； 对于：分母为， ， 恒成立， 分母永不为0， 分式一定有意义，故本选项符合题意． 故选． 9．若分式无意义，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分式无意义分母等于零列式求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得， 故选：B． 10．若式子无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件． 根据分式无意义的条件，即分母为0，进行求解即可． 【详解】解：分式无意义的条件是分母为零，由，得， 故选：C． 判断分式变形是否正确 11．若，且，若“□”表示运算符号，则“□”可以是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 通过代入运算符号验证等式是否恒成立，乘法和除法运算使等式恒成立，而加法和减法不一定成立． 【详解】解：∵若“□”为“”，则 ，∴等式成立； 若“□”为“”，则，∴等式成立； 若“□”为“”或“”，则等式不一定成立，例如当时，，且 ，分母为零无意义； ∴ “□”可以是“”或“”，对应选项B． 故选：B． 12．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 13．下列等式从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是熟练掌握分式的基本性质． 根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，并且分式的值不变，由此即可判定选项． 【详解】解：选项A：，分子和分母同时加1，不符合分式基本性质，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，分子和分母同时乘以，但若，则右边分式无意义，而左边有意义（当），等式不成立，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，左边分母为，化简为，右边为，两者不相等，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，右边分子分母同时除以（），化简为，与左边相等，故本选项正确，符合题意； 故选：D 14．下列各式的值一定与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，需注意分子分母同时变化时保持比例不变是解题的关键． 根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分数的值不变． 【详解】解：∵ （分子分母同除以3）， ∴ A选项的值一定与 相等； 对于B、C、D选项，可通过反例验证： 如取 ，则 ，但B选项 ； C选项 ； D选项 ，故B、C、D不一定相等． 故选：A． 15．下列各式的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质：判断分式变形是否正确．根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 分式的求值 16．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式的值． 将所求分式拆分为两个分式之差，利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 17．已知（，），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，倒数定义，将已知方程化简，求出的值，再取倒数得到即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 18．已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，将所求分式拆分为已知比例与常数之差，直接计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴． 故选：B． 19．如果，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求分式的值． 由得到，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， 则， ∴． 故选：A． 20．若，则的值为（） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是将拆分为． 将目标表达式拆分为，然后代入已知条件计算． 【详解】∵， ∴． 故选：B． 利用分式的基本性质判断分式值的变化 21．如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．扩大到原来的3倍 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质．将和同时扩大为原来的3倍后，代入原分式计算，比较新分式与原分式的关系即可． 【详解】解：∵扩大后分式为， 又∵， ∴分式的值扩大到原来的3倍． 故选：D． 22．如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（   ） A．值不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的25倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．把x与y都扩大5倍，确定出分式的值，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴x，y都扩大到原来的5倍，分式的值不变． 故选：A． 23．若分式，则m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，即， 又∵， ∴； 故选：C． 24．如果把中的x、y都扩大为原来的3倍，则这个代数式的值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．扩大为原来的9倍 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，即分式的分子和分母同乘或同除同一个不为零的数，分式的值不变． 根据分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变． 【详解】∵和都扩大为原来的 3 倍，即 ，， ∴， ∴代数式的值不变． 故选：C． 25．如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质；将原分式中的和分别替换为原来的一半，化简后比较新旧分式的值即可得出结论． 【详解】解：，分式的值不变， 故选：A． 最简分式 26．下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断； 【详解】解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； 故选：D 27．分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式 叫做最简分式，据此判断即可． 【详解】解：的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 故最简分式有2个， 故选：B． 28．将分式化为最简分式，分子、分母同时除以的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的概念，简化分式需找到分子和分母的最大公因式，然后除以该公因式．分子和分母的数字部分最大公约数为4，字母部分公因式为和b，因此最大公因式为． 【详解】解：∵分子为，分母为 ， 数字部分：12和8的最大公约数为4， 字母部分：a的指数最小为2，b的指数最小为1， ∴最大公因式为， 将分子和分母同时除以：，化为最简分式． 因此，同时除以的式子为， 故选：C． 29．若是一个最简分式，则可以表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式，先把分母因式分解，然后根据最简分式的定义进行判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 根据题意可得可以表示的式子是， 故选：C． 30．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，解题关键是利用平方差公式进行因式分解．用平方差先把分子因式分解，再和分母约分即可得解． 【详解】解：． 故选：A ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1分式及其性质 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、分式的概念 1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子（B≠0）叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 2. 分式有意义的条件：分式的分母不能为零，即当分母B≠0时，分式才有意义。 3. 分式的值为零的条件：分式的值为零，需要同时满足两个条件：一是分子的值等于零（A=0），二是分母的值不等于零（B≠0）。二者缺一不可。 二、分式的基本性质 1. 基本性质内容：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示为：，（其中M是不等于零的整式）。 2. 对基本性质的理解：“都”意味着分子和分母要同时进行相同的运算；“同一个”强调所乘或除以的整式必须是同一个；“不等于零”是重要前提，因为若M=0，分式的分母可能会变为零，分式无意义，且乘或除以零本身也无意义。 三、分式的约分 1. 约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2. 约分的步骤： · 第一步，找出分子和分母的公因式。公因式的确定方法：先分别分解分子、分母的因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂），它们的乘积就是公因式。 · 第二步，将分子和分母同时除以它们的公因式，得到最简分式或整式。 3. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分的最终结果一般要求化为最简分式。 型 习 练 题 分式的判断 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．代数式 中，属于分式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．给出如下式子：①，②，③，④，其中是分式的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．①③ D．②④ 4．下列式子中属于分式的是（   ） A． B． C． D． 5．在式子，，，中，分式有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 分式有意义、无意义的条件 6．关于和的值如下表： ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 0 ※ ※ 无意义 ※ ．．． 则代表的分式是 A． B． C． D． 7．下列分式中，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 8．为任意实数时，下列分式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 9．若分式无意义，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 10．若式子无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 判断分式变形是否正确 11．若，且，若“□”表示运算符号，则“□”可以是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 13．下列等式从左到右变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 14．下列各式的值一定与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 15．下列各式的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 分式的求值 16．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 17．已知（，），则的值为（    ） A． B． C． D． 18．已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 19．如果，且，那么的值为（    ） A． B． C． D． 20．若，则的值为（） A．1 B． C． D． 利用分式的基本性质判断分式值的变化 21．如果把分式中的、同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．扩大到原来的3倍 22．如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（   ） A．值不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的25倍 D．缩小为原来的 23．若分式，则m的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 24．如果把中的x、y都扩大为原来的3倍，则这个代数式的值（    ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．扩大为原来的9倍 25．如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．以上都不对 最简分式 26．下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 27．分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．将分式化为最简分式，分子、分母同时除以的式子为（   ） A． B． C． D． 29．若是一个最简分式，则可以表示的式子是（   ） A． B． C． D． 30．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $