12.1因式分解的意义（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“因式分解的意义”核心知识点，系统梳理因式分解的概念、理解要点（对象特定、结果整式积形式、整式限定）、与整式乘法的互逆关系及作用（简化运算、后续学习基础），并辅以思维导图构建知识框架。 资料以“30分提至70分”为目标，设计判断因式分解及求参数两类练习题，通过思维导图深化概念理解以提升抽象能力，结合整式乘法互逆关系培养推理意识，课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，夯实基础。

12.1因式分解的意义 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 二、因式分解的理解要点 1. 对象特定：因式分解的对象必须是一个多项式，而不是单项式或其他代数式。 2. 结果要求：分解的结果必须是几个整式相乘的形式，即等号右边是整式积的形式。 3. 整式限定：参与相乘的每一个式子都必须是整式。 三、因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是互逆变形的关系。整式乘法是把几个整式相乘得到一个多项式，而因式分解是把一个多项式化成几个整式相乘的形式。例如，是整式乘法，反之，则是因式分解。 四、因式分解的作用 1. 简化运算：在进行一些复杂的计算，如多项式的乘除、分式的化简等运算时，因式分解可以将式子简化，使运算更加简便。 2. 解决问题：是学习后续数学知识（如解一元二次方程、函数等）的重要基础，许多数学问题的解决都离不开因式分解。 型 习 练 题 判断是否是因式分解 1．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①②都是因式分解 B．①②都是整式的乘法 C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解 5．下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．对于下列两个自左向右的变形： 甲：；乙：； 其中说法正确的是（    ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 已知因式分解的结果求参数 7．若可因式分解为，则的值为（   ） A．9 B．8 C． D． 8．若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 9．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 10．把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 12．若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.1因式分解的意义 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 二、因式分解的理解要点 1. 对象特定：因式分解的对象必须是一个多项式，而不是单项式或其他代数式。 2. 结果要求：分解的结果必须是几个整式相乘的形式，即等号右边是整式积的形式。 3. 整式限定：参与相乘的每一个式子都必须是整式。 三、因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是互逆变形的关系。整式乘法是把几个整式相乘得到一个多项式，而因式分解是把一个多项式化成几个整式相乘的形式。例如，是整式乘法，反之，则是因式分解。 四、因式分解的作用 1. 简化运算：在进行一些复杂的计算，如多项式的乘除、分式的化简等运算时，因式分解可以将式子简化，使运算更加简便。 2. 解决问题：是学习后续数学知识（如解一元二次方程、函数等）的重要基础，许多数学问题的解决都离不开因式分解。 型 习 练 题 判断是否是因式分解 1．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的基本定义，需注意变形后必须是整式的乘积． 因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式．根据定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选B． 2．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式乘积的形式． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式积的形式， 选项A、右边是，是和的形式，不是积的形式，故不是分解因式， 选项B、右边是，含有和的形式，不是乘积的形式，故不是分解因式， 选项C、右边是，是整式积的形式，且左边等于右边，故是分解因式， 选项D、右边是，但左边，故不是分解因式， 故选：C． 3．下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键． 根据因式分解的定义，判断等式是否满足左边是多项式，右边是几个整式的积，且左右相等即可． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式； 对于A：右边为，未分解彻底，不符合题意； 对于B：右边为，是整式乘法展开，不是因式分解，不符合题意； 对于C：右边为，含有加法运算，不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 对于D：右边为，是积的形式，且左右相等，符合因式分解定义，符合题意； ∴故选：D． 4．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①②都是因式分解 B．①②都是整式的乘法 C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法；因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式的乘法是将整式的积化为多项式．对于①，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式的乘法；对于②，左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 【详解】解：对于①：左边为，是整式的积，右边为，是多项式，从左到右是整式的乘法． 对于②：左边为，是多项式，右边为，是整式的积，从左到右是因式分解． ①是整式的乘法，②是因式分解， 故选：D． 5．下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 6．对于下列两个自左向右的变形： 甲：；乙：； 其中说法正确的是（    ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解，利用因式分解的定义判定即可，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵甲中是单项式，故甲不是因式分解；乙中变形后为，不是乘积形式，故乙不是因式分解； ∴ 甲、乙均不是因式分解， 故选：． 已知因式分解的结果求参数 7．若可因式分解为，则的值为（   ） A．9 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解和多项式的乘法互为逆运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项系数，即可求出的值． 【详解】， 又可因式分解为， ． ． 故选：C． 8．若，且、、均为整数，则的值不可能是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式的整数解问题，灵活运用因式分解和整数的性质是解题的关键．由等式右边展开得 ，与左边比较系数，得 和 ．由于 、 为整数，枚举所有整数对 满足 ，计算 ，即可确定 的可能值． 【详解】， 比较系数，得 ，， 、 为整数，且 ， 所有整数对 为： ，； ，； ，； ，； ，； ，。 （其余对为重复值，略） 的可能值为 ． 选项不在可能值中，故不可能． 9．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解与多项式乘积之间的关系，先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可 【详解】解：， 可以分解为， ，， ，， ， 故选：D． 10．把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法，根据因式分解结果求参数，解题的关键是熟练掌握多项式乘法．根据多项式乘法，计算，由对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：∵把多项式分解因式，得， ∴， ∴，， 故选：． 11．多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 12．若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解未知系数，根据多项式乘法展开后的对应系数关系，建立方程求解即可. 【详解】解：多项式 因式分解为 ，展开右边得： ， ∴，， 解得：，， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $