11.3 整式的除法（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级上册

11.3整式的除法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、同底数幂的除法 1. 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2. 字母表示：（其中，( m )、( n ) 都是正整数，且 ( m > n )）。 3. 说明：底数 ( a ) 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，但必须保证底数不为 0，因为 0 不能做除数。 二、单项式除以单项式 1. 法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2. 步骤： · 系数相除：按有理数的除法法则进行运算，注意符号。 · 同底数幂相除：底数不变，指数相减。 · 处理单独字母：对于被除式中单独有的字母，直接作为商的一个因式写下来。 3. 示例：如。 三、多项式除以单项式 1. 法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 2. 字母表示：（其中）。 3. 步骤： · 将多项式的每一项分别去除以单项式。 · 按照单项式除以单项式的法则进行每一项的除法运算。 · 将所有项的商相加，注意各项的符号。 4. 示例：如。 型 习 练 题 同底数幂的除法 1．若，则的值为（　　） A． B． C．4 D． 2．已知，，则的值是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．已知，则值为（   ） A．95 B．20 C．205 D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 零指数幂 6．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若等式，则的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不对 8．的倒数是（    ）． A．2 B． C．1 D． 9．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 幂的混合运算 11．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 12．小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 14．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 15．计算的结果是（      ） A． B． C． D． 多项式除以单项式 16．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 17．一个长方形的面积为，若它的一边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D． 18．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 19．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 20．有一道残缺不全的题目，如图所示，这道题目的被除式为（    ） A． B． C． D． 整式的四则混合运算 21．计算 (1)； (2)． 22．计算： 23．先化简，再求值：，其中． 24．（1）计算：； （2）先化简，再求值，其中，． 25．计算： (1) (2) 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3整式的除法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、同底数幂的除法 1. 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2. 字母表示：（其中，( m )、( n ) 都是正整数，且 ( m > n )）。 3. 说明：底数 ( a ) 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，但必须保证底数不为 0，因为 0 不能做除数。 二、单项式除以单项式 1. 法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2. 步骤： · 系数相除：按有理数的除法法则进行运算，注意符号。 · 同底数幂相除：底数不变，指数相减。 · 处理单独字母：对于被除式中单独有的字母，直接作为商的一个因式写下来。 3. 示例：如。 三、多项式除以单项式 1. 法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 2. 字母表示：（其中）。 3. 步骤： · 将多项式的每一项分别去除以单项式。 · 按照单项式除以单项式的法则进行每一项的除法运算。 · 将所有项的商相加，注意各项的符号。 4. 示例：如。 型 习 练 题 同底数幂的除法 1．若，则的值为（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．利用指数运算的性质，将 转化为 ，再代入已知值计算． 【详解】解：∵ , ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 2．已知，，则的值是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，将表示为，然后代入已知值求解． 【详解】解：∵ ，且，， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 3．已知，则值为（   ） A．95 B．20 C．205 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则和幂的乘方法则的逆用．逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则把变形，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方和积的乘方，合并同类项．根据同底数幂的乘除、幂的乘方和积的乘方，合并同类项法则解答即可． 需逐一验证各选项是否符合初中数学教材中的运算规则． 【详解】解：选项A： ，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，故本选项正确，符合题意； 故选：D 零指数幂 6．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂、多项式乘法、幂的乘方和同底数幂除法等基本运算法则，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据运算法则对选项逐个进行计算判断即可． 【详解】选项A：任何非零数的0次幂等于1，，∴ A错误． 选项B：多项式乘法，，∴ B正确． 选项C：幂的乘方，，∴ C错误． 选项D：同底数幂除法，，∴ D错误． 故选：B． 7．若等式，则的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了乘方运算，零次幂运算，先理解，再进行分类讨论，分别算出的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴当时，则， 此时， ∴，符合题意； ∴当时，则， 此时， ∴，符合题意； 当时，则， 此时， ∴，符合题意； 综上：若等式，则的值为或或0， 故选：D. 8．的倒数是（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查零次幂的计算、倒数的概念，解题的关键是明确，的倒数为． 由，再取倒数即可． 【详解】， 所以的倒数是1． 故选：C． 9．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂、同底数幂的除法，积的乘方，多项式乘以多项式． 根据对应运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A． ，该项计算错误，不符合题意； B． ，该项计算错误，不符合题意； C． ，该项计算错误，不符合题意； D． ，该项计算正确，符合题意； 故选D． 10．若，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零次幂，根据进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D 幂的混合运算 11．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项及幂的乘方，需逐一验证各选项是否符合对应法则． 【详解】A． ，但选项结果为，错误，不符合题意； B． ，但选项结果为，错误，不符合题意； C． ，但选项结果为，错误，不符合题意； D． ，与选项结果一致，正确，符合题意； 故选：D． 12．小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（  ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了整式幂的运算，完全平方公式，多项式乘单项式，熟记这些计算公式是解题的关键．根据单项式乘单项式法则对①进行判断；根据同底数幂的除法对②进行判断；根据积的乘方和幂的乘方对③进行判断；根据多项式乘单项式乘法对④进行判断；根据完全平方公式对⑤进行判断； 【详解】解：①中，故①正确； ②中，故②错误； ③中，故③错误； ④中，故④错误； ⑤中，故⑤错误； 故做对的有1个， 故选：B． 13．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的混合运算，掌握幂的运算性质是解题的关键；先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后把负整数指数幂化为正整数指数幂即可． 【详解】解：； 故选：C． 14．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则． 利用整式的混合运算法则计算并判断． 【详解】解：，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确． 故选：D． 15．计算的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则即可求解． 此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知积的乘方公式和同底数幂的除法公式． 【详解】， 故选D． 多项式除以单项式 16．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的除法，直接计算多项式除以单项式即可． 【详解】解：． 故选：A． 17．一个长方形的面积为，若它的一边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式的运用，整式加减运用，掌握相关运算法则是解题关键．根据长方形面积公式列式计算求出另一边长，再根据周长公式列式计算即可． 【详解】解：， 即它另一边长为， 则它的周长为 ． 故选：D． 18．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式除以单项式， 每一项分别除以该单项式，即可得出结果． 【详解】解： = = ， 故选：B． 19．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．多项式除以单项式，需将多项式的每一项分别除以单项式，然后相加，据此作答即可． 【详解】解： 故选：C． 20．有一道残缺不全的题目，如图所示，这道题目的被除式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算；根据整式的运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：A． 整式的四则混合运算 21．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟记运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除即可； （2）运用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， =， ． 22．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算，合并同类项，掌握运算顺序是解题的关键． 先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可． 【详解】解： = = = 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式以及多项式除以单项式的运算法则，熟练掌握这些公式和运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式展开并化简括号内的式子，再进行多项式除以单项式的运算，最后代入的值求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 24．（1）计算：； （2）先化简，再求值，其中，． 【答案】 （1） （2）， 【分析】本题考查整式的化简及求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键； （1）先计算积的乘方，然后进行乘除运算，化简表达式； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开表达式，合并同类项后代入数值计算． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ； 当 ， 时，原式． 25．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，包括同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、单项式除以单项式、多项式乘单项式、完全平方公式等知识点．熟练掌握这些运算法则和公式是解题的关键． （1）先根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法法则分别化简各项，再进行合并同类项． （2）先依据完全平方公式和多项式乘单项式法则展开各项，然后去括号、合并同类项． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $