11.2乘法公式（基础篇）练习2025-2026学年沪教版（五四制） 数学七年级上册

11.2乘法公式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、平方差公式 1. 公式表达式：(a + b)(a - b) = a² - b² 2. 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 3. 结构特征：公式左边是两个二项式相乘，这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方 二、完全平方公式 1. 两数和的完全平方公式 · 公式表达式：(a + b)² = a² + 2ab + b² · 语言描述：两数和的平方，等于这两个数的平方和加上它们积的2倍 2. 两数差的完全平方公式 · 公式表达式：(a - b)² = a² - 2ab + b² · 语言描述：两数差的平方，等于这两个数的平方和减去它们积的2倍 3. 结构特征：公式左边是一个二项式的平方；右边是一个三项式，其中首末两项分别是左边二项式中两项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍（当左边是两数差时，中间项为负） 三、乘法公式的几何意义 1. 平方差公式：可以用一个大正方形面积减去一个小正方形面积得到，即边长为a的大正方形面积（a²）减去边长为b的小正方形面积（b²），等于(a + b)(a - b) 2. 完全平方公式：(a + b)²可以看作边长为(a + b)的正方形面积，它等于边长为a的正方形面积（a²）、边长为b的正方形面积（b²）以及两个长为a、宽为b的长方形面积（2ab）之和；(a - b)²类似可通过面积推导 四、乘法公式的应用 1. 直接运用公式进行整式乘法运算，简化计算过程 2. 利用公式进行代数式的化简与求值 3. 解决与图形面积相关的实际问题，通过公式建立数量关系 4. 公式的逆用：如 a² - b² = (a + b)(a - b)，a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²， 型 习 练 题 运用平方差公式进行运算 1．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（   ） A．86 B．230 C．462 D．480 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式． 设两个连续奇数为和（为正整数），，根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为的倍数，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：设两个连续奇数为和（为正整数）， ∵， 根据题意可知，“凤凰数”是正整数，且为8的倍数， A．，不是“凤凰数”，不符合题意； B．，不是“凤凰数”，不符合题意； C．，不是“凤凰数”，不符合题意； D．，是“凤凰数”，符合题意． 故选：D． 2．已知，，则代数式的值是（   ） A．16 B．15 C．14 D．2 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，利用直接计算． 【详解】解：∵ = ， 又 ∵，， ∴ ， 故选：B． 3．下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括完全平方公式和平方差公式．通过观察各选项的形式，判断是否可以直接应用公式． 【详解】A. 不符合乘法公式的形式； B. ，可以用完全平方公式； C. 不符合乘法公式的形式； D. 不符合乘法公式的形式． 故选：B． 4．利用平方差公式计算的结果是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． 先将化为的形式，再利用平方差公式计算，然后去括号，再由有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式． 将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 平方差公式与几何图形 6．如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，数形结合是解决问题的关键． 通过题意，分别表示出图1和图2中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置成为边长为的正方形， 图1中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图2中阴影部分的是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得， 故选：C． 7．如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用． 分别表示出两图中的阴影面积，进而列出等式即可． 【详解】解：由左图可知：阴影面积， 由右图可知：阴影面积， 即． 故选：B． 8．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出两个图形阴影部分的面积，进而根据两个图形阴影部分面积相等即可得出等式，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第一个图形阴影部分的面积为，第二个图形阴影部分的面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴等式为， 故选：． 9．图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．以上情况均有可能 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．先根据长方形和正方形的面积公式分别求出和，然后利用作差法比较大小，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ； ； ， ， 故选：A． 10．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形可验证的等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是解决问题的关键．用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积，根据阴影部分面积相等即可得到等式． 【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2中阴影部分为长为，宽为的长方形，面积为， 所以． 故选：B． 运用完全平方公式进行运算 11．利用乘法公式计算，下列方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 12．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握完全平方公式，运用整体思想是解题的关键． 由已知条件展开得到，进而求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 13．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的乘法运算，包括平方差公式和完全平方公式，通过直接计算每个选项，验证其正确性． 【详解】解：A：∵，∴ A错误； B：∵，∴B错误； C：∵，∴C正确； D：∵，∴D错误． 故选：C． 14．已知，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，通过令 ，将原方程化为关于 的完全平方形式，求解得到 ，再计算奇数次幂； 【详解】解：∵ ， 令 ，则 ， ∴ 原方程化为 ， 即 ， ∴ ，即 ， ∴ ； 故选：A 15．已知，，则的值为（    ） A．6 B．12 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的计算，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．利用完全平方公式直接计算． 【详解】解：∵， 已知，， ∴ ． 故选：C． 完全平方公式与几何图形 16．如图，观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，运用数形结合思想，得出左边的阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，右边的阴影部分的面积为长方形的面积，结合阴影部分的面积不变，得，即可作答． 【详解】解：观察图形，左边的阴影部分的面积为； 右边的阴影部分的面积为； 结合阴影部分的面积不变，则， 故选：C 17．如图，将长方形的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为80，面积之和为180，则长方形的面积为（    ） A．25 B．5 C．15 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 先设，根据题意求出，再根据完全平方公式的变形得，然后整体代入求出答案. 【详解】解：设，根据题意，得 ∴. ∵， ∴， 解得， 所以长方形的面积为. 故选：B. 18．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到，那么利用图2得到的数学等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，利用两种方法表示大正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：； 故选：B． 19．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：．你根据图②能得到的数学公式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题关键在于左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积． 根据图形可得左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积，即可解答． 【详解】解：左上角正方形的面积， 还可以表示 故图②能得到的数学公式是 故选：B 20．古代的数学家常常用图形来理解一些数学公式，从图（    ）中可以很清晰地看出公式成立． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式在几何图形中的应用，对于A选项，用两种方法表示出中间阴影部分的面积即可判断；对于B选项，用两种方法表示出大正方形的面积即可判断；对于C选项，用两种方法表示出阴影部分的面积即可判断；对于D选项，用用两种方法表示出大正方形的面积即可判断． 【详解】解：A、中间阴影部分是边长为的正方形，则其面积为，中间阴影部分的面积等于边长为的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，则其面积为，则，故此选项不符合题意； B、大正方形的边长为，则其面积为，而大正方形的面积等于两个小正方形面积加上两个小长方形面积，则其面积为，则，故此选项符合题意； C、阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，则其面积为，阴影部分面积等于两个梯形面积之和，则其面积为，则，故此选项不符合题意； D、大正方形的边长为，则其面积为，而大正方形的面积等于一个小正方形面积加上两个小长方形面积，则其面积为，则，故此选项不符合题意； 故选：B． 整式的混合运算 21．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算： （1）先计算单项式乘多项式，单项式乘单项式，再合并同类项； （2）先计算多项式乘多项式，单项式乘多项式，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式化简代数式是关键． 首先利用完全平方公式和平方差公式去掉括号，然后合并同类项，最后代入数据计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【分析】本题考查整式乘法的化简求值．本题通过展开和合并同类项化简整式，代入数值时需注意符号的正确性． 【详解】解： ； 当时，代入： ． 24．先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【分析】本题考查了整式的化简运算与求值，包括完全平方公式与平方差公式的化简，代数式的整体求解，解决本题的关键是使用公式化简并代值计算． 先根据完全平方公式化简，再使用平方差公式与单项式与多项式的乘法进行化简计算，再根据代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 25．先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】本题考查整式化简求值，涉及平方差公式、单项式乘以多项式等知识，熟记整式乘法公式是解决问题的关键． 先由平方差公式、单项式乘以多项式展开，再合并同类项即可得到化简结果，再将代入化简结果计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2乘法公式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、平方差公式 1. 公式表达式：(a + b)(a - b) = a² - b² 2. 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 3. 结构特征：公式左边是两个二项式相乘，这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方 二、完全平方公式 1. 两数和的完全平方公式 · 公式表达式：(a + b)² = a² + 2ab + b² · 语言描述：两数和的平方，等于这两个数的平方和加上它们积的2倍 2. 两数差的完全平方公式 · 公式表达式：(a - b)² = a² - 2ab + b² · 语言描述：两数差的平方，等于这两个数的平方和减去它们积的2倍 3. 结构特征：公式左边是一个二项式的平方；右边是一个三项式，其中首末两项分别是左边二项式中两项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍（当左边是两数差时，中间项为负） 三、乘法公式的几何意义 1. 平方差公式：可以用一个大正方形面积减去一个小正方形面积得到，即边长为a的大正方形面积（a²）减去边长为b的小正方形面积（b²），等于(a + b)(a - b) 2. 完全平方公式：(a + b)²可以看作边长为(a + b)的正方形面积，它等于边长为a的正方形面积（a²）、边长为b的正方形面积（b²）以及两个长为a、宽为b的长方形面积（2ab）之和；(a - b)²类似可通过面积推导 四、乘法公式的应用 1. 直接运用公式进行整式乘法运算，简化计算过程 2. 利用公式进行代数式的化简与求值 3. 解决与图形面积相关的实际问题，通过公式建立数量关系 4. 公式的逆用：如 a² - b² = (a + b)(a - b)，a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²， 型 习 练 题 运用平方差公式进行运算 1．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如：，所以8，……都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（   ） A．86 B．230 C．462 D．480 2．已知，，则代数式的值是（   ） A．16 B．15 C．14 D．2 3．下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 4．利用平方差公式计算的结果是（   ） A． B．1 C． D．2 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 平方差公式与几何图形 6．如图，将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（   ） A． B． C． D． 7．如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 9．图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．以上情况均有可能 10．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形可验证的等式为（　　） A． B． C． D． 运用完全平方公式进行运算 11．利用乘法公式计算，下列方法正确的是（   ） A． B． C． D． 12．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C．9 D．27 13．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 14．已知，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2025 15．已知，，则的值为（    ） A．6 B．12 C．15 D．16 完全平方公式与几何图形 16．如图，观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（   ） A． B． C． D． 17．如图，将长方形的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为80，面积之和为180，则长方形的面积为（    ） A．25 B．5 C．15 D．10 18．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到，那么利用图2得到的数学等式是（   ） A． B． C． D． 19．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：．你根据图②能得到的数学公式是（   ）    A． B． C． D． 20．古代的数学家常常用图形来理解一些数学公式，从图（    ）中可以很清晰地看出公式成立． A． B． C． D． 整式的混合运算 21．计算： (1) (2) 22．先化简，再求值：，其中，． 23．先化简，再求值：，其中． 24．先化简，再求值：，其中． 25．先化简，再求值：，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $