精品解析：四川省德阳市第五中学教育集团2025-2026学年上学期九年级期中联合考试数学试题

德阳五中教育集团2025年秋期九年级期中考试数学试卷 一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 一元二次方程 x2-3x=﹣6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1、3、6 B. 1、3、-6 C. 1、-3、6 D. 1、-3、-6 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：方程可化为：x2-3x+6=0， 二次项系数为1、一次项系数为-3、常数项为6． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】配方时“配一次项系数一半的平方”，由此判断即可． 【详解】解：方程配方得：， 即：， 故选：C． 【点睛】本题考查配方法，掌握配方法所需要配的数字的构成是解题关键． 5. 对于抛物线下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是（-1，3） C. 对称轴为直线 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式，由a的值可得到开口方向，可判断A；由顶点式可以得到顶点坐标，可判断B；根据函数表达式可得对称轴，可判断C；令x=3代入解析式可得y的值，可判断D． 【详解】解：∵抛物线， ∴a=-2＜0，抛物线的开口向下，故选项A错误； 顶点坐标是（2，3），故选项B错误； 对称轴为x=2，故选项C错误； x=3时，y=1，，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是根据二次函数的解析式可以得到开口方向、对称轴、顶点坐标． 6. 若点关于原点对称的点位于第一象限，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反． 根据若点关于原点对称的点位于第一象限，判断出点在第三象限，然后解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点是第一象限的点， ∴在第三象限， ， 解得：， 故选：A． 7. 学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支，以及1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，列出一元二次方程即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：1个主干上有x个支干，x个支干上共有个小分支， ∴可列方程为：， 故选C． 8. 若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握其性质特征是解决此题的关键． 先求出抛物线的对称轴，即可根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：二次函数， 开口向上，对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 当时，随的增大而增大， ， 故选：． 9. 如图，在中，,，将点顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转性质,三角形内角和定理,等边三角形的判定性质．根据题意可知,即,得到是等边三角形,据此即可求得本题答案． 【详解】解：∵,, ∴, ∵将绕点顺时针旋转至，即其中一个旋转角为, ∴, ∴是等边三角形, ∴, 故选： B． 10. 一次函数与二次函数在同一个坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图像和性质，可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故A错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，，对称轴应在y轴左侧，故B错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，，对称轴应在y轴左侧，故C正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，，对称轴应在y轴右侧，故D错误； 故选：C． 11. “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： 故选：C． 12. 已知二次函数（其中是自变量且），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，的最大值为，可得时，，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：∵二次函数（其中是自变量且）， ∴对称轴是直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵时，的最大值为， ∴当时，， ∴或（不符合题意，舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，一元二次方程的应用．解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的定义及解一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程），求m的值，注意二次项的系数不为0． 【详解】解：∵是一元二次方程， ， 解得：， 又， ， ∴， 故答案为：． 14. 已知抛物线与轴只有一个公共点，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键在于明确交点个数与判别式的关系． 抛物线与x轴只有一个公共点，即对应的一元二次方程有两个相等的实数根，判别式为零． 【详解】令，得方程， 由于抛物线与x轴只有一个公共点， 因此方程有两个相等的实数根， 判别式， 解得． 故答案为：2． 15. 阅读材料：若关于的一元二次方程的两个根为，则 ．请解决下面的问题：已知一元二次方程有两个实数根，则的值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：已知一元二次方程，其中，，． 根据根与系数的关系，有： ， ， 代入表达式得： ． 故答案为：． 16. 已知：如图，在中，，．将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质．利用勾股定理求出的长，则可求出的长，再由旋转的性质得到，据此由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在正方形内有一点，连接，，，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据旋转得到，，，结合勾股定理求出，求出结合勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为，其中，有下列结论：①；②；③；④；共中正确的结论有_________．（填番号）． 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点． 由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴为直线得，由抛物线与轴的交点位置得，则；由于抛物线与轴一个交点在点与点之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与轴另一个交点在点与点之间，即有；由于，，则；由于，则，利用，，所以． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①错误； 抛物线与轴一个交点在点与点之间，而对称轴为直线， 抛物线与轴另一个交点在点与点之间， ，所以②正确； ，， ∴ ，所以③错误； ， ， ，即， 而， ， ，所以④正确． ∴正确的有②④， 故答案为：②④． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分） 19. 解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20. 如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的对应点分别是，的延长线与相交于点，连接． （1）求证： （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：∵将绕点逆时针旋转到，的对应点分别是， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由旋转的性质可得，，即可证明为等边三角形，易得，进而可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）首先根据平行线的性质证明，再证明，易得，然后在中，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， ∵， ∴， 由旋转的性质可得，即， 又∵为等边三角形， ∴， ∴在中，． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵，即， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根； （2）或4． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，得： ， 解得，， ∵等腰三角形的一边长为4，另两边长为3和， ∴分两种情况讨论： （1）当4为腰长时，另一腰长也为4，则．此时三角形三边长为4，4，3．∵，∴能构成三角形． （2）当4为底边长时，两腰长相等，则．此时三角形三边长为4，3，3．∵，∴能构成三角形． 综上所述，的值为3或4． 22. 如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线的顶点，求的面积； （3）抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法将代入，即可求解； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 在中，令时，得：， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 过点作轴交直线于点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴当以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上 联立得 解得：或 ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识是解题关键． 23. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为 （2）每个玩偶降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 24. [方法探索] （1）如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．解：把绕着点顺时针旋转得到，连接． 接着写下去： [方法应用] 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： （2）如图2，点在等边外，且，，若，求度数． （3）如图3，在中，，，是外一点，连接、、．已知，．求的长． 【答案】（1） （2）90° （3） 【解析】 【分析】（1）把绕着点顺时针旋转得到，连接，易证明是等边三角形，是直角三角形，根据勾股定理即可求出． （2）把绕着点顺时针旋转得到，连接，易证明是等边三角形，是直角三角形，则可得到． （3）将绕点A逆时针旋转90°得到，连接，过B点作于M点，易证明是等腰直角三角形， 是直角三角形，用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 由旋转得到， ， △为等边三角形 ， ， ， 在中，由勾股定理可得： ==； 【小问2详解】 如图，把绕着点B顺时针旋转得到，连接， 由逆时针旋转60°得到， ，，，， 为等边三角形， ∴， ，， ，即三点共线． ， 在中，， ， 是直角三角形，且． 【小问3详解】 将绕点A顺时针旋转90°得到，连接，过B点做于M点， ，， ， ， 在中，， ， 由旋转90°所得， ，，， 则， 在中， ，， ， 在中， 【点睛】本题主要考查了旋转和直角三角形相关内容，还考查了等边三角形的判定与性质，注意旋转后的图形要能够和原图构造出特殊的三角形才有利于解题，正确的做出旋转后的图形和辅助线是解题的关键． 25. 如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）存在；或或或 【解析】 【分析】（1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）在直线上取一点，使，连接交于点P，证明，则当A、、P三点共线时，有最小值为．求出，得到的最小值为，求出直线的解析式为，进一步得到，求出直线解析式为，联立直线与直线即可求出交点P的坐标； （3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可； 【小问1详解】 解：在中， 令，得， ， 令，得， ， 把两点的坐标代入中得， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在直线上取一点，使，连接交于点P， 垂直平分，， ， 为定值， 当A、、P三点共线时，有最小值为． 点B为的中点， 在中， 令，得（舍）， ， ， 的最小值为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 直线与直线的交点P的坐标满足方程组： ， 解得， 点P的坐标为． 【小问3详解】 解：将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，， 相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后新抛物线为 设点M的坐标为， ， 要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形： ①当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ②当为对角线时，点N的坐标为， 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ③当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， 当时，得到， 当时，得到 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、二次函数的平移、勾股定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳五中教育集团2025年秋期九年级期中考试数学试卷 一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程 x2-3x=﹣6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1、3、6 B. 1、3、-6 C. 1、-3、6 D. 1、-3、-6 3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是（-1，3） C. 对称轴为直线 D. 当时， 6. 若点关于原点对称的点位于第一象限，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 9. 如图，在中，,，将点顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数与二次函数在同一个坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（　　）． A. B. C. D. 12. 已知二次函数（其中是自变量且），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____． 14. 已知抛物线与轴只有一个公共点，则______． 15. 阅读材料：若关于的一元二次方程的两个根为，则 ．请解决下面的问题：已知一元二次方程有两个实数根，则的值等于_________． 16. 已知：如图，在中，，．将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段__________． 17. 如图，在正方形内有一点，连接，，，将顺时针旋转得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为________． 18. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为，其中，有下列结论：①；②；③；④；共中正确的结论有_________．（填番号）． 三、解答题（本大题共7个小题，共90分） 19. 解下列方程 （1）； （2）． 20. 如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的对应点分别是，的延长线与相交于点，连接． （1）求证： （2）若，求的长． 21. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 22. 如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线的顶点，求的面积； （3）抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由． 23. 电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 24. [方法探索] （1）如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．解：把绕着点顺时针旋转得到，连接． 接着写下去： [方法应用] 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： （2）如图2，点在等边外，且，，若，求度数． （3）如图3，在中，，，是外一点，连接、、．已知，．求的长． 25. 如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $