专题02 有理数的运算（13大考点）（期末真题汇编，河北专用）七年级数学上学期

专题02 有理数的运算 13大高频考点概览 01有理数的加减运算及其应用 02有理数加法的运算律 03有理数的减法运算 04有理数加减运算中的简便运算 05有理数加减混合运算及其应用 06有理数的乘法运算 07有理数乘法的运算律 08倒数的概念和应用 09有理数除法运算及其应用 10有理数的四则混合运算及应用 11有理数的乘方运算 12含有乘方的四则混合运算及应用 13科学记数法 地 城 考点01 有理数的加减运算及其应用 1．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．5 C． D．1 2．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）当前手机移动支付已经成为新型的支付方式，下表是小花妈妈10月1日当天的微信零钱支付明细，则小花妈妈当天的微信零钱收支情况是（    ） 转账来自SNM ＋40 云视听极光 －30 扫二维码付款 －58 A．支出48元 B．收入48元 C．支出128元 D．收入128元 3．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）已知a是整数，且，则所有满足条件的a的和为 ． 4．（24-25七年级上·河北保定·期中）定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，，则 ． 5．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）计算 (1)． (2)． (3)． 6．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）如下，每个曲别针下方挂着一张写有整数的卡片，数字的相关信息在卡片上已有标注． (1)前三个曲别针所挂卡片上的数依次为__________、________、_________． (2)求前三个曲别针所挂卡片上数的和； (3)若4张卡片中后两个数绝对值的和比前两个数的和的绝对值大6，请求出第4个数． 7．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）小丽和小高玩一个数字游戏．规则是：每人从标有数字的卡片中各抽取四张，计算所抽四个数字的和．的绝对值大者获胜；若的绝对值相等，则两人平局． (1)小丽抽到：-．计算她抽到的数字之和为，小高抽到：-5，-1，0，+4．计算他抽到的数字之和为，根据规则判断谁获胜，并说明理由； (2)若小丽抽到：-3，-1，+2，+4．那么小高抽到哪四个数，两人平局．（至少写出两组） 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从处出发看望、、处的其他甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中． (1)（_______，________），（_______，________）； (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程； (3)若这只甲虫从处去甲虫处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 9．（24-25七年级上·河北唐山·期末）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正准备在一条南北方向的公路上执行治安巡逻．（规定初始位置为0，向北走为正，向南走为负）它从初始位置到结束巡逻所走的路程（单位：）如下： 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 路程（） (1)直接写出巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离________； (2)通过计算，描述巡逻机器人结束巡逻时的最后位置； (3)已知这次巡逻机器人的平均速度为，请求出巡逻机器人的巡逻时间． 10．（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：：______，：_______； (2)观察数轴，点与点的距离为_______； (3)观察数轴，与点的距离为2的点表示的数是______； (4)点与点表示的数之间所有非正整数的和为_______． 地 城 考点02 有理数加法的运算律 11．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）嘉淇同学在计算时，将式子变形成后再进行计算，其过程运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 12．（24-25七年级上·河北唐山·期末）以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 13．（24-25七年级上·河北保定·期中）计算是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 14．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）在“”里填上一个数，使式子“”能用运算律进行简便运算，则这个数可能是（ ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是嘉淇计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据，其中不正确的是（    ） 解：原式（①） （②） （③） （④） ． A．①是有理数减法法则 B．②是分配律 C．③是加法结合律 D．④是有理数加法法则 16．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）运用加法的运算律计算下列各题： (1)． (2)． (3)． (4)． 17．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是老师写在黑板上的一道例题． 计算： ……步骤① ……步骤② (1)步骤①的运算依据是________，步骤②的运算依据是________；（以上两空均填“加法交换律”或“加法结合律”） (2)请仿照例题的计算方法，将算式“”进行简便计算． 地 城 考点03 有理数的减法运算 18．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）与相等的是（　　） A． B． C． D．1 19．（25-26七年级上·河北唐山·期中）在学习有理数的运算时，老师在黑板上出示了如下等式：，要使等式成立，“□”内的数必须为（　　） A． B．或 C． D．或 20．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）若数轴上点A，表示的数分别为8和，则点A，之间的距离可以表示为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，图中数轴的单位长度为1． （1）图中点C表示的数是 ； （2）若点D在数轴上，且，则点D表示的数为 ． 22．（25-26七年级上·新疆伊犁·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 23．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点为原点，A、D所对应的数分别为、1，点为的中点． (1)直接写出点所表示的数为__________，并在图中标出点B、C的位置； (2)若在数轴上另取一点，点在点的左边，且B、E两点间的距离是4，则点对应的数为__________，则A、E两点对应的两数之和为__________． 24．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）在综合实践课上，某数学小组制作了四张卡片，正面分别写有相应的有理数． (1)卡片上的最小数是______； (2)在上图四张卡片的3个空隙中全部填上减号“”，求该算式结果； (3)取走一张卡片，使剩下3张卡片上的有理数的和为负数，求取走卡片的方案． 地 城 考点04 有理数加减运算中的简便运算 25．（22-23七年级上·河北石家庄·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲： 乙： 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 26．（25-26七年级上·河北保定·期中）计算：． 27．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）对于可以如下计算： 解：原式 ___________ ___________ ___________ 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算： 28．（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）下面是小高同学练习本上的一道作业习题的解答过程： 计算： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)小高同学的作业从第几步开始出错？ (2)请写出正确的解答过程． 29．（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 30．（24-25七年级上·河北保定·开学考试）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 地 城 考点05 有理数加减混合运算及其应用 31．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）嘉琪计算一道部分被污损的数学题（如图），则题目中被污损的数是（    ） A．10 B． C．20 D． 32．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）王叔叔月1日微信零钱还有元，下图是王叔叔月1日至5日的微信账单，其中正数表示收款，负数表示付款，王叔叔于月5日扫二维码付款给超市后的微信零钱为（    ） 账单月1日微信转账 月2日扫码付款给肉食店 月4日微信红包 月5日扫码付款给超市 A． B． C． D． 33．（25-26七年级上·河北廊坊·期中）（1）在数轴上，点表示数，点表示原点，点、之间的距离=_____． （2）在数轴上，点、分别表示数、，点、之间的距离，例如：的几何意义是数轴上表示数4的点与表示数1的点之间的距离． 数轴上分别表示和的两点和之间的距离为3，的值为_____． （3）计算：_____． （4）的最小值为_____． （5）当式子取最小值时，相应的的取值范围是_____，最小值是_____． 34．（25-26七年级上·河北张家口·期中）某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 188 458 (1)表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六盈还是亏？盈亏是多少？ (2)请计算盈余最多的一天比亏损最多的一天多多少？ 35．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）在某校趣味运动会中，七年级组织举行了拔河比赛，1班和4班对决时，中间的标志物6次移动如下所示：，，，，，．（其中向1班方向移动记为正，单位：m） (1)经过6次移动后，标志物在靠近几班的区域？ (2)在6次移动期间，求标志物在靠近4班的区域时，离中点的最远距离； (3)若1班想要获胜，求第7次向本班方向移动的最小距离． 地 城 考点06 有理数的乘法运算 36．（25-26七年级上·河北·阶段练习）下列选项中，正确的是（   ） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 37．（25-26七年级上·河北邢台·阶段练习）根据算式，，不能得到的结论是（    ） A．两数相乘，同号得正 B．两数相乘，异号得负 C．两数相乘，积的绝对值等于各因数绝对值的积 D．两数相乘，交换因数的位置，积不变 38．（25-26七年级上·河北唐山·期中）绝对值不大于4的整数的积是（    ） A．16 B．0 C．5 D． 39．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）下列说法中，不正确的个数有（   ） ①0是最小的整数； ②整数和分数统称为有理数； ③一个数的绝对值等于本身的数是正数； ④异号两数相加的和一定小于每一个加数； ⑤倒数等于本身的数是1和0； ⑥若干个有理数相乘积为负数，则正因数的个数应为奇数个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 40．（25-26七年级上·河北邢台·期中）已知a，b，c，d都是有理数，且．若a与b同号，则c与d（    ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．一定同号 41．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段练习）四个有理数相乘，，其中一个有理数被污染，若积为负，则被污染的有理数可能是（   ） A．0 B．2025 C． D．0.00051 42．（25-26七年级上·河北邢台·阶段练习）计算机中常用的十六进制是一种逢进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示为（    ） A． B．2D C．6 D．210 43．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）在数，，4，5中任取三个数相乘，所得的积最大的是 ． 地 城 考点07 有理数乘法的运算律 44．（25-26七年级上·河北唐山·期中）运用运算律计算，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 47．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如下是嘉淇对一道题的解题过程： ……第①步 ……第②步 ．……第③步 下列判断正确的是（    ） A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 48．（25-26七年级上·河北张家口·期中）我们知道“任意两个负数的积一定等于其相反数的积”． 如： 理由： 因为 ············①          ············②                ············③ 因此，． 请说明每一步的理由． 49．（25-26七年级上·河北·阶段练习）阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题． 计算： 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)第①步运用的运算律是_______，第②步运用的运算律是_______； (2)上述计算过程中，从第_______步开始出现错误，本题运算的正确结果是_______； (3)结合以上解法给你的启发，计算：． 50．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）利用运算律进行简便计算： (1)； (2)． 51．（24-25七年级上·河北沧州·期末）学习完七年级第二章《有理数的运算》后，数学兴趣小组对运算产生了浓厚的兴趣．对于有理数、在运算中满足乘法交换律：，借助有理数的运算，他们定义了一种新运算“”，规则如下：，根据他们的规定，解决下列问题． (1)求的值； (2)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 地 城 考点08 倒数的概念和应用 52．（24-25七年级上·福建龙岩·月考）的倒数是（   ） A．5 B． C． D． 53．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）若a，b互为倒数，则（    ） A． B． C． D． 54．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）下列说法：的相反数是；如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么这两个数的和可能是；两个正数中，较大数的倒数反而小；一个数和它的相反数可能相等； 若为正数， ，， 则，， ． 其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 55．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列四个有理数中最大的是（    ） A．a B． C．b D． 56．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段练习）的倒数是 ，的相反数是 ，的绝对值是 ． 57．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）已知是6的相反数，是的倒数． (1)直接写出 ， ； (2)求的值． 58．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图中的不完整数轴的单位长度为1，点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c， (1)若点B是原点，则 ； (2)若点A，B表示的数互为相反数，求的值； (3)若点C表示的数的倒数是它本身，且，求p的值． 地 城 考点09 有理数除法运算及其应用 59．（25-26七年级上·河北张家口·期中）若的计算结果为正数，则☐内的运算符号可能是（   ） A． B． C． D． 60．（25-26七年级上·河北衡水·期中）在，，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是，最大是，则和的乘积为（    ） A． B． C． D． 61．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）文文在计算时，误将“”看成“”，结果是，则的正确结果是 ． 62．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）如图显示的是张亮近五天跑步的情况，设定每天的步数目标为8000步，该用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数．如周二，张亮少于目标步数600步． (1)求这5天中最多步数与最少步数相差多少： (2)求这5天步数的平均数： (3)若张亮每走1000步消耗热量约为40卡，求她这5天运动消耗的总热量． 63．（25-26七年级上·江苏南京·月考）阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法__________是错误的． (2)请用你认为简便的方法计算：． 64．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）某洗衣粉厂生产的每袋洗衣粉的标准质量为450克，该厂质检员对随机选取的20袋洗衣粉进行检测，记超过或不足标准质量的部分为“”和“”，记录如下表所示．每袋的质量在克为合格． 袋数（袋） 1 1 1 6 5 2 4 超过或不足（克） 0 (1)求这20袋洗衣粉的平均质量； (2)求这20袋洗衣粉的合格率； (3)厂家规定不合格产品不能出厂销售，每袋洗衣粉的售价为2.3元．该厂上周共生产2000袋洗衣粉，其合格率恰好与（2）中数据一致，若将上周生产的洗衣粉全部售完，求销售的总金额． 65．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图1，点，，从左到右依次在数轴上：点表示的数为，且．嘉淇将数轴放入画图软件中，如图所示．若以为个单位长度，测得． (1)点表示的数为；点表示的数为_________； (2)求点，，所表示的数的和； (3)若点在数轴上，且，求点所表示的数； (4)如图3，手机视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后点始终在视窗中心．若将数轴的单位长度变为，即变为原来的时，其可视范围就扩大为原来的倍．已知手机屏幕（横向）显示的距离为，当数轴的单位长度变为原来的时，点能出现在屏幕中，直接写出的最小整数值． 地 城 考点10 有理数的四则混合运算及应用 66．（25-26七年级上·河北唐山·期中）小亮在做有理数的运算练习时，发现了如下一组有规律的算式： ；； 请根据小亮发现的结论，解决下列问题： (1)仿照上述规律写出：______；______； (2)若n为正整数，猜想______； (3)计算：． 67．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 回答： (1)上面解题过程中有_______处错误，出错步骤为第________步． (2)选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 68．（24-25七年级上·河北保定·期中）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入＋，－，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)计算：； (2)若，推算□内的符号为_____； (3)在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数______． 69．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 70．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）规定“”是一种运算符号，且，如，，求值． 71．（25-26七年级上·河北唐山·期中）某品牌电动汽车的满电续航里程为，下表记录了该电车满电情况下连续七天的行驶里程（每天以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，单位：）． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 根据表中数据，解答下列问题： (1)该电车第______天行驶里程最多，第______天行驶里程最少； (2)若该电动汽车每行驶耗电千瓦时，每千瓦时电费元（家充），求这台电动汽车行驶七天需要多少电费？ (3)当剩余续航里程不足时，车辆会发出充电提示．这台电车在七天行驶结束时______（填“会”或“不会”）收到充电提示． 72．（25-26七年级上·河北衡水·期中）登山队攀登一座山峰，每登高100米气温下降，一名队员在这座山上海拔为500米的地方测得气温是． (1)求这座山上海拔为2000米的地方的气温； (2)若该队员在山上某一位置测得气温为，求这一位置的海拔高度． 73．（25-26七年级上·河北邢台·期中）某工厂原料仓库某一天的原料进出记录如下表所示（运进用正数表示，运出用负数表示），表中有个数据不小心被覆盖．已知被覆盖的数是运出的吨数，且比表中运进吨数的最大值少1吨． 进出原料的质量/吨 4 3 2 进出次数/次 3 1 3 2 2 (1)被覆盖的数为 ； (2)求仓库内该天结束时原料的质量相比前一天增加或减少了多少吨； (3)若运进每吨原料费用为400元，运出每吨原料费用为500元，求该天的运送总费用． 地 城 考点11 有理数的乘方运算 74．（25-26七年级上·河北廊坊·阶段练习）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制2025是二进制下的（   ） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 75．（25-26七年级上·河北衡水·期中）关于的说法正确的是（    ） A．底数是4，指数是 B．结果是 C．可以表示为 D．结果是 76．（25-26七年级上·河北唐山·期中）对于有下列说法：①可以写成的形式；②底数是，指数是4；③计算结果为；④计算结果为，其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 77．（25-26七年级上·河北·期中）某种细菌在培养过程中每半小时分裂一次（由1个分裂为2个），经过3小时，1个这种细菌可分裂成的细菌个数为（   ） A． B． C． D． 78．（25-26七年级上·河北唐山·期中）若，则 ． 79．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似的，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． （1）如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是______． （2）本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了3个小正方形，请你在图4中帮他补充完整，在补充的方格中画． 地 城 考点12 含有乘方的四则混合运算及应用 80．（25-26七年级上·河北唐山·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 81．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下面方框中给出的是琪琪在一次有理数计算测试时的答案，若答对一道得5分，答错一道得0分，则琪琪的最终得分是（　　） 计算： ① ② ③ ④ ⑤ A．10分 B．15分 C．20分 D．25分 82．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）已知、互为相反数，、互为倒数，，则 ． 83．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图是一个有理数运算程序的流程图，规定：程序运行到判断“结果是否大于1”为一次运算．请根据这个程序回答问题，当输入x为时，最后输出的结果y是 ；若输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，则输入的x为 ． 84．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1) (2) (3) 85．（25-26七年级上·河北衡水·期中）计算下列各小题． (1)； (2)． 86．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，数轴上从左至右有，，，四个点．分别表示有理数，，，，点和点之间的距离为20个单位长度，且，互为相反数，． (1) ， ， ； (2)数轴上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为秒．当点运动到点时，点从点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点和点之间往返运动，当点运动到点时，点的运动停止． ①求为何值时，点与点第一次相遇； ②求点一共运动了多少个单位长度，并求点停止运动时在数轴上所表示的有理数； ③直接写出点，前两次相遇间隔的时长． 地 城 考点13 科学记数法 87．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）我国的长城始建于西周时期，被国务院确定为全国重点文物保护单位．长城总长约米．数据用科学记数法表示应为（    ）． A． B． C． D． 88．（25-26七年级上·河北唐山·期中）地球绕太阳公转的速度约是．110000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 89．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）西柏坡纪念馆开展“我与祖国共成长”庆祝中华人民共和国成立周年主题活动，国庆七天假期，西柏坡纪念馆参观人数约有人次．“”的原数中“”共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 90．（23-24七年级下·河北保定·期中）光在水中的传播速度是，下列关于的说法正确的是（   ） A． B． C．是一个8位数 D．是一个9位数 91．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 试卷第60页，共63页 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算 13大高频考点概览 01有理数的加减运算及其应用 02有理数加法的运算律 03有理数的减法运算 04有理数加减运算中的简便运算 05有理数加减混合运算及其应用 06有理数的乘法运算 07有理数乘法的运算律 08倒数的概念和应用 09有理数除法运算及其应用 10有理数的四则混合运算及应用 11有理数的乘方运算 12含有乘方的四则混合运算及应用 13科学记数法 地 城 考点01 有理数的加减运算及其应用 1．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查有理数加法，有理数加法法则是解题的关键． 运用有理数加法法则计算即可． 【详解】解： 故选：C． 2．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）当前手机移动支付已经成为新型的支付方式，下表是小花妈妈10月1日当天的微信零钱支付明细，则小花妈妈当天的微信零钱收支情况是（    ） 转账来自SNM ＋40 云视听极光 －30 扫二维码付款 －58 A．支出48元 B．收入48元 C．支出128元 D．收入128元 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加减运算在实际收支问题中的应用（判断微信零钱的总收支情况）；解题的关键是明确正负号的实际意义（正数表示收入，负数表示支出），通过将各项收支金额相加计算总收支，根据结果正负判断是收入还是支出，绝对值为收支金额． 先确定各项明细的正负含义（转账来自为收入，记为；云视听极光、扫二维码付款为支出，分别记为、）；再将各项金额相加得到总收支结果；根据结果正负判断收支类型，绝对值为具体金额，匹配对应选项． 【详解】解：计算当天微信零钱总收支情况，收入记为正，支出记为负： 结果为负，说明当天微信零钱支出48元． 故选：A． 3．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）已知a是整数，且，则所有满足条件的a的和为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，有理数加法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据题意求得所有满足条件的a，再求和即可． 【详解】解：∵a是整数，且， ∴a是1，，0，2，， ∴所有满足条件的a的和为， 故答案为：0． 4．（24-25七年级上·河北保定·期中）定义：表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，例如：，，，，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查有理数大小的比较，读懂题意、理解新定义是解题的关键． 根据题意，中不大于的最大整数为1，中不小于的最小整数为，然后代入计算即可． 【详解】解：依题意：， ∴． 故答案为：0． 5．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）计算 (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的加法法则计算即可； （3）先将小数转化为带分数，并通分，再根据有理数的加法法则计算即可； 【详解】（1）解： （2） （3） 6．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）如下，每个曲别针下方挂着一张写有整数的卡片，数字的相关信息在卡片上已有标注． (1)前三个曲别针所挂卡片上的数依次为__________、________、_________． (2)求前三个曲别针所挂卡片上数的和； (3)若4张卡片中后两个数绝对值的和比前两个数的和的绝对值大6，请求出第4个数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，相反数，绝对值的意义等知识点． （1）根据相反数、有理数的分类，有理数的加法运算分别求解即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）设第4个数为，根据题意列出方程，再根据绝对值的意义求解． 【详解】（1）解：最大的负整数为；比大5的数为：；的相反数是， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得：； （3）解：设第4个数为， 由题意得， 则， 解得． 7．（25-26七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）小丽和小高玩一个数字游戏．规则是：每人从标有数字的卡片中各抽取四张，计算所抽四个数字的和．的绝对值大者获胜；若的绝对值相等，则两人平局． (1)小丽抽到：-．计算她抽到的数字之和为，小高抽到：-5，-1，0，+4．计算他抽到的数字之和为，根据规则判断谁获胜，并说明理由； (2)若小丽抽到：-3，-1，+2，+4．那么小高抽到哪四个数，两人平局．（至少写出两组） 【答案】(1)小丽获胜 (2)或 【分析】本题考查有理数的加法运算以及绝对值的计算． （1）先分别计算出小丽和小高所抽数字的和、，再求出它们的绝对值，比较绝对值大小来判断谁获胜； （2）先计算出小丽所抽数字的和，再根据平局条件(S的绝对值相等)找出小高可能抽到的数字组合． 【详解】（1）， ， ， 所以根据规则，小丽获胜． （2）小丽所抽到数字之和为： ， 又两人平局， 所以小高可能抽到或． 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从处出发看望、、处的其他甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中． (1)（_______，________），（_______，________）； (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程； (3)若这只甲虫从处去甲虫处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)， (2)10 (3)见解析 【分析】本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． （1）根据表示向右走3，向上走4；表示向右走3，向下走2，即可求解； （2）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长． （3）按题目所示平移规律分别向右平移2个格点，向上平移2个格点，再向右平移1个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个格点，向下平移2个格点，即可得到点P的坐标，在图中标出即可； 【详解】（1）解：由图可知表示向右走3，向上走4，即； 表示向右走3，向下走2，即． 故答案为：，； （2）解：根据条件可知， ∴甲虫走过的路程为． （3）解：如图，点P即为所求． 【点睛】本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． 9．（24-25七年级上·河北唐山·期末）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正准备在一条南北方向的公路上执行治安巡逻．（规定初始位置为0，向北走为正，向南走为负）它从初始位置到结束巡逻所走的路程（单位：）如下： 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 路程（） (1)直接写出巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离________； (2)通过计算，描述巡逻机器人结束巡逻时的最后位置； (3)已知这次巡逻机器人的平均速度为，请求出巡逻机器人的巡逻时间． 【答案】(1) (2)巡逻机器人结束巡逻时的最后位置在出发点南距出发点处 (3)巡逻机器人的巡逻时间 【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； 第6次：； ∴巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离为， 故答案为：． （2）解：， ∴巡逻机器人结束巡逻时的最后位置在出发点南距出发点处． （3）解：此次巡逻共走：， ， ∴巡逻机器人的巡逻时间． 10．（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中两点的位置，分别写出它们所表示的有理数：：______，：_______； (2)观察数轴，点与点的距离为_______； (3)观察数轴，与点的距离为2的点表示的数是______； (4)点与点表示的数之间所有非正整数的和为_______． 【答案】(1)；2 (2) (3)0或4 (4) 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，有理数的加减运算的应用． （1）利用数轴表示数的方法写出、点表示的数； （2）根据数轴上右边的数减去左边的数，即可求解． （3）把点向右或向左平移2个单位，写出对应点表示的数即可； （4）观察数轴，得点与点表示的数之间所有非正整数为、、0，据此求解即可． 【详解】（1）解：点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，； （2）解： 故答案为：； （3）解：， ， ∴求与点的距离为2的点表示的数为0或4； 故答案为：0或4； （4）解：点与点表示的数之间所有非正整数为、、0， ∴点与点表示的数之间所有非正整数的和为， 故答案为：． 地 城 考点02 有理数加法的运算律 11．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）嘉淇同学在计算时，将式子变形成后再进行计算，其过程运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】本题考查加法运算律的应用，需根据变形过程判断所使用的运算律． 根据加法交换律和加法结合律进行变形即可得解． 【详解】原式为变为， 将原式中的和交换位置，使同分母分数与相邻，属于交换加法的位置； 将与相结合，与相结合，属于加法结合律； 综上，变形过程中运用了加法交换律和结合律； 故选． 12．（24-25七年级上·河北唐山·期末）以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】本题主要考查了加法运算律，掌握加法交换律、结合律成为解题的关键． 根据加法运算律的定义即可解答． 【详解】解：由题意可得：①加法交换律②加法结合律． 故选A． 13．（24-25七年级上·河北保定·期中）计算是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算律．熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键．根据有理数的加法运算律判断作答即可． 【详解】解：由题意知，应用了加法交换律与结合律， 故选：C． 14．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）在“”里填上一个数，使式子“”能用运算律进行简便运算，则这个数可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是加法运算定律地运用． 根据题意知，分母与题干中的分母相同可以运用加法的交换律和结合律，据此判断即可． 【详解】解：当“”里的数为分母含有13或8时，可用交换律和结合律， 即； 故选：A． 15．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是嘉淇计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据，其中不正确的是（    ） 解：原式（①） （②） （③） （④） ． A．①是有理数减法法则 B．②是分配律 C．③是加法结合律 D．④是有理数加法法则 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题目中的解答过程，可以发现第二步的依据错误，然后即可判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：由题目中的解答过程可知，第二步的依据是加法的交换律，而不是分配律． 故选：B． 16．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）运用加法的运算律计算下列各题： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法则处理，可运用加法交换律，结合律； （2）根据有理数的加减法则处理，可运用加法交换律，结合律； （3）根据有理数的加减法则处理，可运用加法交换律，结合律； （4）根据有理数的加减法则处理，可运用加法交换律，结合律． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是老师写在黑板上的一道例题． 计算： ……步骤① ……步骤② (1)步骤①的运算依据是________，步骤②的运算依据是________；（以上两空均填“加法交换律”或“加法结合律”） (2)请仿照例题的计算方法，将算式“”进行简便计算． 【答案】(1)加法的交换律；加法结合律 (2) 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，熟练的使用运算律是解本题的关键； （1）根据加法的交换律与结合律可得答案； （2）先使用交换律把原式化为：，再利用结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：     利用的是加法的交换律，   利用加法结合律； （2）解： ； 地 城 考点03 有理数的减法运算 18．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）与相等的是（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数加法和减法运算，掌握有理数加法和减法运算法则是解题的关键． 直接运用有理数加法和减法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，符合题意； B． ，不符合题意； C． ，不符合题意；     D． ，不符合题意． 故选A． 19．（25-26七年级上·河北唐山·期中）在学习有理数的运算时，老师在黑板上出示了如下等式：，要使等式成立，“□”内的数必须为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数运算，绝对值，根据，化简得或 ，然后通过运算即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或 ， 若，则， 若 ，则， ∴或， 故选：． 20．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）若数轴上点A，表示的数分别为8和，则点A，之间的距离可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴．根据数轴上两点之间的距离公式，即可得到答案． 【详解】解：数轴上点A，分别表示数8和， ∴A，两点之间的距离可表示为：， 故选：B． 21．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，图中数轴的单位长度为1． （1）图中点C表示的数是 ； （2）若点D在数轴上，且，则点D表示的数为 ． 【答案】 1 或4.5 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、有理数的加减法．解题的关键是根据题意，确定数轴上原点的位置． （1）根据A、B表示的数互为相反数，得到的中点即为原点的位置，进而得到点C表示的数即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式，即可得到点D表示的数． 【详解】解：（1）∵点A、B表示的数互为相反数， 则：的中点即为原点的位置， 如图所示： ∵图中数轴的单位长度为1， ∴点C表示的数为：1； 故答案为：1； （2）由（1）知，点C表示的数为：1， ∵， ∴当D在点C左侧时，点D表示的数为：； 当D在点C右侧时，点D表示的数为：； 综上：点D表示的数为或4.5； 故答案为：或4.5． 22．（25-26七年级上·新疆伊犁·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减法计算，熟知有理数的加减计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数的减法计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 23．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点为原点，A、D所对应的数分别为、1，点为的中点． (1)直接写出点所表示的数为__________，并在图中标出点B、C的位置； (2)若在数轴上另取一点，点在点的左边，且B、E两点间的距离是4，则点对应的数为__________，则A、E两点对应的两数之和为__________． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)， 【分析】本题考查了数轴的相关知识点，熟练掌握并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上中点的性质计算得出B点表示的数，表示在数轴上即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式结合点在点的左边，计算得出E表示的数，即可得解． 【详解】（1）解：∵A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点， ∴B点表示的数是， 在图中标出点B、C的位置如图所示： 故答案为：； （2）解：∵，点在点的左边， ∴E表示的数是， ∴A、E两点对应的两数之和为． 故答案为：，． 24．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）在综合实践课上，某数学小组制作了四张卡片，正面分别写有相应的有理数． (1)卡片上的最小数是______； (2)在上图四张卡片的3个空隙中全部填上减号“”，求该算式结果； (3)取走一张卡片，使剩下3张卡片上的有理数的和为负数，求取走卡片的方案． 【答案】(1) (2) (3)取走的卡片上的数为0或13 【分析】本题考查了有理数的加减法，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的大小比较即可解答； （2）根据有理数的减法计算法则即可解答； （3）分类讨论，分别取走四张中的一张，分别计算即可． 【详解】（1）解：， 卡片上的最小数是， 故答案为：； （2）解：由题意可得； （3）解：若取走，，不符合题意； 若取走，，不符合题意； 若取走0，，符合题意； 若取走13，，符合题意； 故取走的卡片上的数为0或13． 地 城 考点04 有理数加减运算中的简便运算 25．（22-23七年级上·河北石家庄·阶段练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲： 乙： 下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加减混合运算中加法交换律、结合律的应用及去括号法则的掌握，解题的关键是逐一检查甲、乙计算过程中符号处理和运算结果的正确性，判断其是否正确运用运算律． 先分析甲的计算：原式中，根据去括号法则，，但甲错误将其处理为，导致后续计算结果错误；再分析乙的计算：原式中，，乙未化简且错误计算的结果（正确结果为，乙算为），故甲、乙均错误． 【详解】解：A、判断“甲、乙都正确”：   先看甲的计算：，由去括号法则，，甲错误将其写为，正确过程应为，甲错误；   再看乙的计算：原式，乙错误；此选项不符合题意；   故选：B． 26．（25-26七年级上·河北保定·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，先根据减法的运算法则将原式化简，然后正数和负数分别相结合，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则、运算顺序及运算律是解题的关键． 【详解】解： ． 27．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）对于可以如下计算： 解：原式 ___________ ___________ ___________ 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算： 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，解题的关键是理解题意． （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：， （2） ， ， ． 28．（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）下面是小高同学练习本上的一道作业习题的解答过程： 计算： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 (1)小高同学的作业从第几步开始出错？ (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步 (2) 【分析】本题考查了有理数加减混合运算． （1）根据有理数加减混合运算的运算法则判断作答即可； （2）先将带分数拆分成一个整数与一个真分数的和的形式，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意知，上面解题过程从第一步开始出错； （2）解： ． 29．（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算﹒ （1）先写成有理数加法形式，再进行计算即可求解； （2）运用加法交换律先把同分母分数相加，再进行计算即可求解﹒ 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式﹒ 30．（24-25七年级上·河北保定·开学考试）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考出来简便运算，解题的关键是∶ （1）仿照例1求解即可； （2）仿照例2求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 地 城 考点05 有理数加减混合运算及其应用 31．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）嘉琪计算一道部分被污损的数学题（如图），则题目中被污损的数是（    ） A．10 B． C．20 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 根据差加上减数即可． 【详解】解：题目中被污损的数是． 故选：D． 32．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）王叔叔月1日微信零钱还有元，下图是王叔叔月1日至5日的微信账单，其中正数表示收款，负数表示付款，王叔叔于月5日扫二维码付款给超市后的微信零钱为（    ） 账单月1日微信转账 月2日扫码付款给肉食店 月4日微信红包 月5日扫码付款给超市 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数的加减法运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，将初始零钱与所有账单金额相加，即可得到最终零钱． 【详解】解：（元）， ∴最终零钱为元． 故选：A． 33．（25-26七年级上·河北廊坊·期中）（1）在数轴上，点表示数，点表示原点，点、之间的距离=_____． （2）在数轴上，点、分别表示数、，点、之间的距离，例如：的几何意义是数轴上表示数4的点与表示数1的点之间的距离． 数轴上分别表示和的两点和之间的距离为3，的值为_____． （3）计算：_____． （4）的最小值为_____． （5）当式子取最小值时，相应的的取值范围是_____，最小值是_____． 【答案】（1）5；（2）2或；（3），（4）1，（5）；3 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减法运算，数轴上两点之间的距离，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）根据绝对值的几何意义进行分析，即作答； （3）先化简绝对值，再运算加减法，即可作答． （4）理解题意，进行分类讨论，然后化简绝对值，比较得数，即可作答． （5）理解题意，进行分类讨论，然后化简绝对值，比较得数，即可作答． 【详解】解：（1）∵点表示数，点表示原点， 点、之间的距离； （2）∵数轴上分别表示和的两点和之间的距离为3， ∴， ∴， 则或， 解得或． （3） ． （4）依题意，当时，则； 当时，则； 当时，则； 综上，的最小值为1； （5）依题意，当时，则， 当时，则， 当时，则， 当式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是3． 34．（25-26七年级上·河北张家口·期中）某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 188 458 (1)表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六盈还是亏？盈亏是多少？ (2)请计算盈余最多的一天比亏损最多的一天多多少？ 【答案】(1)周六盈利，盈利38元 (2)盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算的实际应用，正负数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）用总数减去另外6天的盈亏情况，得出答案即可； （2）根据表格中数据列式计算即可． 【详解】（1）， 因为38为正数，所以周六盈利，盈利38元； （2）， 所以盈利最多的一天比亏损最多的一天多元． 35．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）在某校趣味运动会中，七年级组织举行了拔河比赛，1班和4班对决时，中间的标志物6次移动如下所示：，，，，，．（其中向1班方向移动记为正，单位：m） (1)经过6次移动后，标志物在靠近几班的区域？ (2)在6次移动期间，求标志物在靠近4班的区域时，离中点的最远距离； (3)若1班想要获胜，求第7次向本班方向移动的最小距离． 【答案】(1)标志物在靠近1班的区域 (2)标志物在靠近4班的区域时，离中点的最远距离为 (3)若1班想要获胜，第7次向本班方向移动的最小距离为 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减混合运算的实际应用； （1）先把移动距离相加，再根据结果作出判断即可； （2）关键是依次计算每次移动后的累计距离，找出4班区域内离中点的最远距离； （3）结合（1）的结果与中间标志物向某队移动及以上即可获胜，再列式计算即可． 【详解】（1） 答：标志物在靠近1班的区域． （2）， 答：标志物在靠近4班的区域时，离中点的最远距离为． （3） 答：若1班想要获胜，第7次向本班方向移动的最小距离为． 地 城 考点06 有理数的乘法运算 36．（25-26七年级上·河北·阶段练习）下列选项中，正确的是（   ） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解决本题的关键． 根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：A、若，则，或，，该选项错误，不符合题意； B、若，则，或，该选项错误，不符合题意； C、若，则或，两数相乘为0，则至少有一个为0，不应只有都为0的情况，故该选项错误，不符合题意； D、若，则或，该选项正确，符合题意． 故选D． 37．（25-26七年级上·河北邢台·阶段练习）根据算式，，不能得到的结论是（    ） A．两数相乘，同号得正 B．两数相乘，异号得负 C．两数相乘，积的绝对值等于各因数绝对值的积 D．两数相乘，交换因数的位置，积不变 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则． 根据有理数的乘法法则解题即可． 【详解】解：A：观察已知条件中的4个算式可知：两个有理数相乘时，同号得正，故此选项不符合题意； B、观察已知条件中的4个算式可知：两个有理数相乘时，异号得负，故此选项不符合题意； C：观察算式得到两个有理数相乘时，积的绝对值等于各乘数绝对值的积，故此选项不符合题意； D：观察算式可知：没有两个有理数相乘时交换乘数的位置的算式，故此选项符合题意； 故选：D ． 38．（25-26七年级上·河北唐山·期中）绝对值不大于4的整数的积是（    ） A．16 B．0 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，有理数的乘法， 先确定绝对值不大于4的整数，再根据有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：∵绝对值不大于4的整数有， ∴． 故选：B． 39．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）下列说法中，不正确的个数有（   ） ①0是最小的整数； ②整数和分数统称为有理数； ③一个数的绝对值等于本身的数是正数； ④异号两数相加的和一定小于每一个加数； ⑤倒数等于本身的数是1和0； ⑥若干个有理数相乘积为负数，则正因数的个数应为奇数个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，绝对值的意义，倒数，有理数的加法，有理数的乘法，根据这些知识一一判断即可得出答案． 【详解】解：①0不是最小的整数，还有负整数，故①说法错误， ②整数和分数统称为有理数；故②说法正确， ③一个数的绝对值等于本身的数是正数和0；故③说法错误， ④异号两数相加的和不一定小于每一个加数；例如：，，故④说法错误， ⑤倒数等于本身的数是1和，0没有倒数，故⑤说法错误， ⑥若干个有理数相乘积为负数，则负因数的个数应为奇数个．不是正因数的个数应为奇数个，故⑥错误， 综上①③④⑤⑥错误， 故选C 40．（25-26七年级上·河北邢台·期中）已知a，b，c，d都是有理数，且．若a与b同号，则c与d（    ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．一定同号 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算是解题的关键；由a与b同号，得；结合，推出，然后问题可求解． 【详解】解：∵a与b同号， ∴． ∵， ∴． ∴c与d异号； 故选C． 41．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段练习）四个有理数相乘，，其中一个有理数被污染，若积为负，则被污染的有理数可能是（   ） A．0 B．2025 C． D．0.00051 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据 “”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，被污染的有理数是一个负数； 故满足题意的只有C选项； 故选C． 42．（25-26七年级上·河北邢台·阶段练习）计算机中常用的十六进制是一种逢进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示为（    ） A． B．2D C．6 D．210 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意正确列式是解决问题的关键．由题意，将利用十六进制表示出来即可． 【详解】解：， 则用十六进制表示为． 故选：A． 43．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）在数，，4，5中任取三个数相乘，所得的积最大的是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了有理数的乘法及有理数大小比较，关键要明确当负因数为奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正，且正数大于一切负数．找积最大的应取偶数个负数，据此分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴所得的积中最大的是30． 故答案为：30． 地 城 考点07 有理数乘法的运算律 44．（25-26七年级上·河北唐山·期中）运用运算律计算，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配律的灵活运用，通过凑整简化计算． 将99拆分为，利用乘法分配律进行变形计算． 【详解】解：， ， 故选：D． 45．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算以及乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关键．根据有理数乘法运算、乘法运算律逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法交换律和结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，原运算不符合乘法分配律，错误，符合题意． 故选：D． 46．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【分析】根据题干中的计算步骤即可求得答案．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 此步骤是将原式变形， 此步骤是利用乘法分配律， 此步骤是利用减法法则， 则原计算步骤从②步开始出错， 故选：C． 47．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如下是嘉淇对一道题的解题过程： ……第①步 ……第②步 ．……第③步 下列判断正确的是（    ） A．第①步运用了乘法交换律 B．第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误 C．第②步的运算结果正确 D．第③步的结果是本题的正确结果 【答案】B 【分析】本题考查利用有理数乘法分配律进行简便运算，熟练掌握乘法分配律进行研究正确的计算是解的关键．将化成，再运算乘法分配律计算，根据计算过程逐项判定即可． 【详解】A、①将化成，故说法错误，不符合题意； B、第②步运用了乘法对加法的分配律，但结果错误，②的结果应为，故说法正确，符合题意； C、第②步的运算结果为，故说法错误，不符合题意； D、从②步就开始开始出错，故第③步的结果是错误的，故说法错误，不符合题意； 故选：B． 48．（25-26七年级上·河北张家口·期中）我们知道“任意两个负数的积一定等于其相反数的积”． 如： 理由： 因为 ············①          ············②                ············③ 因此，． 请说明每一步的理由． 【答案】第①步的依据为：乘法对加法的分配律（或乘法分配律）；第②步的依据为：有理数的加法法则（互为相反数的两个数的和为0）第③步的依据为：有理数的乘法法则（任何数与0相乘，结果为0） 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据乘法分配律，解答即可， 【详解】解：第①步的依据为：乘法对加法的分配律（或乘法分配律）； 第②步的依据为：有理数的加法法则（互为相反数的两个数的和为0）； 第③步的依据为：有理数的乘法法则（任何数与0相乘，结果为0）． 49．（25-26七年级上·河北·阶段练习）阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题． 计算： 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)第①步运用的运算律是_______，第②步运用的运算律是_______； (2)上述计算过程中，从第_______步开始出现错误，本题运算的正确结果是_______； (3)结合以上解法给你的启发，计算：． 【答案】(1)加法交换律；乘法分配律 (2)④； (3)25 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、运用运算律进行简便运算． （1）根据加法交换律和乘法分配律解答即可； （2）由计算过程可知第步计算错误，根据有理数的运算法则计算出正确的结果即可； （3）根据有理数的混合运算法则和运算律求解即可． 【详解】（1）解：第交换了和的位置， 运用的是加法交换律； 第每项的公因数提到了括号的外面， 运用的是乘法分配律； 故答案是：加法交换律，乘法分配律； （2）解：计算从第步开始出现错误， 原式 ， 故答案是：，； （3）解： ． 50．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）利用运算律进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1396； (2)0． 【分析】本题考查了有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则，运算律是解决问题的关键． （1）把拆开为，然后用乘法分配律计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 51．（24-25七年级上·河北沧州·期末）学习完七年级第二章《有理数的运算》后，数学兴趣小组对运算产生了浓厚的兴趣．对于有理数、在运算中满足乘法交换律：，借助有理数的运算，他们定义了一种新运算“”，规则如下：，根据他们的规定，解决下列问题． (1)求的值； (2)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【答案】(1) (2)不具有交换律，过程见解析 【分析】本题考查了新定义下的运算，解决本题的关键是掌握有理数的混合运算． （1）根据题目的新运算进行求解即可； （2）根据题意可举例出一个例子即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：因为， 所以，当时，两个式子相等 当时，两个式子不相等 综上可知，该运算不具有交换律 地 城 考点08 倒数的概念和应用 52．（24-25七年级上·福建龙岩·月考）的倒数是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查倒数意义和求解，正确理解倒数的性质是解题关键． 根据倒数的性质“乘积是1的两个数互为倒数”求解． 【详解】解：由于乘积是1的两个数互为倒数， ， 故的倒数是． 故选：D． 53．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）若a，b互为倒数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，可得答案，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数． 【详解】解：∵a，b互为倒数， ∴， 故选：D． 54．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）下列说法：的相反数是；如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么这两个数的和可能是；两个正数中，较大数的倒数反而小；一个数和它的相反数可能相等； 若为正数， ，， 则，， ． 其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，倒数，以及有理数的乘法法则，根据相反数的定义可判断和；根据绝对值的定义可判断；根据倒数的定义可判断；根据多个有理数的乘法法则可判断；掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：的相反数是，正确； 如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么这两个数的和不可能是，故不正确； 两个正数中，较大数的倒数反而小，正确； 一个数和它的相反数可能相等，正确； 若为正数，，，则，，，不正确； 综上可得：正确，共个， 故选：． 55．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列四个有理数中最大的是（    ） A．a B． C．b D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，倒数的定义． 根据数轴得到，进而根据倒数的定义比较即可． 【详解】解：由数轴可知， 可知， 即最大的是． 故选：C． 56．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段练习）的倒数是 ，的相反数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 1.8 【分析】本题考查了倒数，绝对值以及相反数，熟记相关定义是解答本题的关键．倒数：乘积是1的两数互为倒数；负数的绝对值是它的相反数；只有符号不同的两个数互为相反数，据此解答即可． 【详解】解：， 的倒数是，的相反数是1.8，的绝对值是． 故答案为：；1.8；． 57．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）已知是6的相反数，是的倒数． (1)直接写出 ， ； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)9 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值等知识点的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据相反数，倒数，即可求解； （2）把，代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵是6的相反数，是的倒数， ∴，． 故答案为：； （2）解：当，时，． 58．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图中的不完整数轴的单位长度为1，点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c， (1)若点B是原点，则 ； (2)若点A，B表示的数互为相反数，求的值； (3)若点C表示的数的倒数是它本身，且，求p的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或 【分析】本题主要考查了数轴，相反数，倒数，以及有理数的运算，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据数轴可直接得出答案； （2）根据点A，B表示的数互为相反数确定原点位置，据此分别确定a、b，c、d，再计算即可； （3）根据倒数是它本身的数可得点C表示的数为，分两种情况求出d，再计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可得若点B是原点，则； 故答案为：； （2）解：∵点A，B表示的数互为相反数， ∴原点为点，如下图所示： ，，，， ； （3）解：点C表示的数的倒数是它本身， ， 当时，， ， 当时，， ， 的值为或 地 城 考点09 有理数除法运算及其应用 59．（25-26七年级上·河北张家口·期中）若的计算结果为正数，则☐内的运算符号可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算，根据 有理数的加减乘除运算法则求解判断即可． 【详解】A．，不符合题意； B． ，符合题意； C． ，不符合题意； D． ，不符合题意． 故选：B． 60．（25-26七年级上·河北衡水·期中）在，，0，4这四个数中，任意选两个数相除，所得的商最小是，最大是，则和的乘积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法和除法，解题的关键是熟练掌握运算法则；根据题意，列出所有可能的商：，，，，，，除以任何非零数的商为，比较所有商的大小，可知商最小是，最大是，再计算二者的乘积即可． 【详解】解：由题意，商最小是，最大是， 和的乘积为， 故选：． 61．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）文文在计算时，误将“”看成“”，结果是，则的正确结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减法和除法，根据误操作列出方程求出a的值，再代入正确表达式计算． 【详解】由题意得，， ∴． 故答案为：． 62．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）如图显示的是张亮近五天跑步的情况，设定每天的步数目标为8000步，该用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数．如周二，张亮少于目标步数600步． (1)求这5天中最多步数与最少步数相差多少： (2)求这5天步数的平均数： (3)若张亮每走1000步消耗热量约为40卡，求她这5天运动消耗的总热量． 【答案】(1)相差1800步 (2)这5天步数的平均数8190步 (3)消耗的总热量为1638卡 【分析】本题主要考查了有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键． （1）根据正负数的意义，结合图象，进行求解即可； （2）求出五个数据的平均数加上8000即可； （3）求出本周的总步数，除以1000，再乘以40卡即可． 【详解】（1）解：由图象可知，步数最多的是周三，最少的是周五， （步）， 答：这5天中最多步数与最少步数相差1800步． （2）解：（步）， （步）， 答：这5天步数的平均数是8190步； （3）解：（卡）； 答：张亮这5天运动消耗的总热量为1638卡． 63．（25-26七年级上·江苏南京·月考）阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法__________是错误的． (2)请用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查倒数与分数的混合运算，能够根据题目中几种方式进行计算是解题的关键． （1）除法没有分配律，乘法有分配律； （2）选取解法中正确的一种解法进行解题即可． 【详解】（1）解法一是错误的，除法没有分配律； 故答案为：一． （2）原式的倒数为， 其值 ， ∴原式． 64．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）某洗衣粉厂生产的每袋洗衣粉的标准质量为450克，该厂质检员对随机选取的20袋洗衣粉进行检测，记超过或不足标准质量的部分为“”和“”，记录如下表所示．每袋的质量在克为合格． 袋数（袋） 1 1 1 6 5 2 4 超过或不足（克） 0 (1)求这20袋洗衣粉的平均质量； (2)求这20袋洗衣粉的合格率； (3)厂家规定不合格产品不能出厂销售，每袋洗衣粉的售价为2.3元．该厂上周共生产2000袋洗衣粉，其合格率恰好与（2）中数据一致，若将上周生产的洗衣粉全部售完，求销售的总金额． 【答案】(1)克 (2) (3)元 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据已知条件，并结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：这袋洗衣粉的平均质量 （克）， 这袋洗衣粉的平均质量为克； （2）解：由题意可得：只有对应的洗衣粉不合格，则合格的共有袋， ， 这袋洗衣粉的合格率为； （3）解：（元）， 销售的总金额为元． 【点睛】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，有理数除法的应用，有理数乘法的实际应用等知识点，读懂题意，根据已知条件正确列出算式并计算是解题的关键． 65．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图1，点，，从左到右依次在数轴上：点表示的数为，且．嘉淇将数轴放入画图软件中，如图所示．若以为个单位长度，测得． (1)点表示的数为；点表示的数为_________； (2)求点，，所表示的数的和； (3)若点在数轴上，且，求点所表示的数； (4)如图3，手机视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后点始终在视窗中心．若将数轴的单位长度变为，即变为原来的时，其可视范围就扩大为原来的倍．已知手机屏幕（横向）显示的距离为，当数轴的单位长度变为原来的时，点能出现在屏幕中，直接写出的最小整数值． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的加减运算； （1）根据已知可得，结合数轴求得点表示的数，即可求解； （2）根据（1）的结论进行计算即可求解； （3）根据题意得出，进而分点在点的左侧与右侧两种情况讨论，即可求解； （4）根据已知得出，又个单位，进而根据题意得出比值为,即可求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，以为个单位长度，测得．点在点的左侧， ∴， ∴点表示的数为， ∵，点在点的右侧． ∴点表示的数为 故答案为：，． （2）解：∵点，，所表示的数分别为， ∴点，，所表示的数的和为： （3）解：∵， ∴， ∴点所表示的数为或 （4）解：依题意，，又个单位， ， 依题意，， ∴的最小整数解为： 地 城 考点10 有理数的四则混合运算及应用 66．（25-26七年级上·河北唐山·期中）小亮在做有理数的运算练习时，发现了如下一组有规律的算式： ；； 请根据小亮发现的结论，解决下列问题： (1)仿照上述规律写出：______；______； (2)若n为正整数，猜想______； (3)计算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的运算． （1）仿照题干规律作答即可； （2）根据题干找出规律即可； （3）利用规律计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：若n为正整数，猜想， 故答案为：； （3）解： ． 67．（25-26七年级上·河北秦皇岛·期中）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 回答： (1)上面解题过程中有_______处错误，出错步骤为第________步． (2)选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 【答案】(1)两，第一、二步 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）第一步把除法变成乘法时出现错误，第二步再利用乘法分配律去括号时出现错误，据此可得答案； （2）先把除号后面的小括号内的式子通分并计算，再根据乘法分配律去括号，接着计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解题过程中有两处错误第一步把除法变成乘法时出现错误，第二步再利用乘法分配律去括号时出现错误； （2）解： ． 68．（24-25七年级上·河北保定·期中）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入＋，－，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． (1)计算：； (2)若，推算□内的符号为_____； (3)在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键． （1）根据有理数的加减法法则求解即可； （2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号； （3）根据题意得：使的结果最小即可，进而即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴，即， ∴□内的符号是“”． （3）解：这个最小数是，理由如下： ∵在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小， ∴的结果是最小即可， ∴的最小值是， ∴的最小值是． ∴这个最小数是． 69．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3)17 (4) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序进行计算，如果有括号，先做括号内的运算． （1）统一成有理数的加法，计算即可； （2）利用加法交换律和结合律计算即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可； （4）先计算乘法和化简绝对值，再计算加法即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 70．（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）规定“”是一种运算符号，且，如，，求值． 【答案】16 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题中规定的新运算将、分别代入即可求解． 【详解】解：， ． 71．（25-26七年级上·河北唐山·期中）某品牌电动汽车的满电续航里程为，下表记录了该电车满电情况下连续七天的行驶里程（每天以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，单位：）． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 根据表中数据，解答下列问题： (1)该电车第______天行驶里程最多，第______天行驶里程最少； (2)若该电动汽车每行驶耗电千瓦时，每千瓦时电费元（家充），求这台电动汽车行驶七天需要多少电费？ (3)当剩余续航里程不足时，车辆会发出充电提示．这台电车在七天行驶结束时______（填“会”或“不会”）收到充电提示． 【答案】(1)三，七； (2)元； (3)会 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算． （1）根据正负数的实际意义作答即可； （2）求出总里程，乘以耗电，再乘以电费即可； （3）求出剩余电量所占百分比，进而判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，该电车第三天行驶里程最多，第七天行驶里程最少； 故答案为：三，七； （2）解：总里程： ， （元）； （3）解：， 即这台电车在七天行驶结束时会收到充电提示． 故答案为：会． 72．（25-26七年级上·河北衡水·期中）登山队攀登一座山峰，每登高100米气温下降，一名队员在这座山上海拔为500米的地方测得气温是． (1)求这座山上海拔为2000米的地方的气温； (2)若该队员在山上某一位置测得气温为，求这一位置的海拔高度． 【答案】(1) (2)3500米 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，理解题意，正确的列式计算是解题关键． （1）先求出海拔高度的增加量，气温下降的度数，再用原来的气温减去下降的气温即可得出答案； （2）先根据温差求出高度差，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，得， 答：海拔为2000米的地方的气温． （2）解：由题意，得（米）， 答：这一位置的海拔高度3500米． 73．（25-26七年级上·河北邢台·期中）某工厂原料仓库某一天的原料进出记录如下表所示（运进用正数表示，运出用负数表示），表中有个数据不小心被覆盖．已知被覆盖的数是运出的吨数，且比表中运进吨数的最大值少1吨． 进出原料的质量/吨 4 3 2 进出次数/次 3 1 3 2 2 (1)被覆盖的数为 ； (2)求仓库内该天结束时原料的质量相比前一天增加或减少了多少吨； (3)若运进每吨原料费用为400元，运出每吨原料费用为500元，求该天的运送总费用． 【答案】(1) (2)仓库内该天结束时原料的质量相比前一天增加了2吨 (3)该天的运送总费用为11600元 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）由“被覆盖的数是运出的吨数，且比表中运进吨数的最大值少1吨”可进行求解； （2）由题意可计算表中数据总和即可； （3）根据题意可得算式，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：（吨）， ∴被覆盖的数为； 故答案为； （2）解：由题意得： （吨）； 答：仓库内该天结束时原料的质量相比前一天增加了2吨． （3）解：由题意得： （元）； 答：该天的运送总费用为11600元． 地 城 考点11 有理数的乘方运算 74．（25-26七年级上·河北廊坊·阶段练习）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制2025是二进制下的（   ） A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，此题只需分析是几位数，所以只需估计最高位是乘以2的几次方即可分析出共有几位数，此题也可以用除以2取余的方法写出对应的二进制数． 根据题意，，根据规律可知最高位应是，故可求共有11位数． 【详解】解：， 最高位应是， 故共有位数， 故选：B． 75．（25-26七年级上·河北衡水·期中）关于的说法正确的是（    ） A．底数是4，指数是 B．结果是 C．可以表示为 D．结果是 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘方的运算，幂的有关定义，解题的关键是掌握表示n个a相乘，a为底数，n为指数．根据乘方的运算，幂的有关定义逐项判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 选项正确． ∵ ， ∴ 选项和错误． ∵底数是，指数是4， ∴ 选项错误． 故选：． 76．（25-26七年级上·河北唐山·期中）对于有下列说法：①可以写成的形式；②底数是，指数是4；③计算结果为；④计算结果为，其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方． 根据有理数的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：①可以写成的形式，原说法正确； ②底数是，指数是4，原说法错误； ③计算结果为，原说法正确； ④计算结果为，原说法错误； 故选：B． 77．（25-26七年级上·河北·期中）某种细菌在培养过程中每半小时分裂一次（由1个分裂为2个），经过3小时，1个这种细菌可分裂成的细菌个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，先求出3小时有6个半小时，再根据有理数乘方的定义解答． 【详解】解：∵3小时有6个半小时， ∴经过3个小时，这种细菌由1个可分裂成个， 故选：D． 78．（25-26七年级上·河北唐山·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的混合运算． 根据绝对值的非负性，平方的非负性求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 则． 故答案为：． 79．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似的，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． （1）如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是______． （2）本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了3个小正方形，请你在图4中帮他补充完整，在补充的方格中画． 【答案】（1）  （2）见解析 【分析】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键. （1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意得，第四行代表二进制的数字是， 二进制的数字，转化成进制为： ， ∴转化成进制后可得他的考场号是， 故答案为：； （2）准考证号， 分别将， ， ， ， 转化为二进制， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为：， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为： ， 如图所示： 地 城 考点12 含有乘方的四则混合运算及应用 80．（25-26七年级上·河北唐山·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算乘方，再计算加法即可． 【详解】解：． 故选：C． 81．（25-26七年级上·河北唐山·期中）下面方框中给出的是琪琪在一次有理数计算测试时的答案，若答对一道得5分，答错一道得0分，则琪琪的最终得分是（　　） 计算： ① ② ③ ④ ⑤ A．10分 B．15分 C．20分 D．25分 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算法则． 逐一验证琪琪的五道有理数计算题是否正确，答对得5分，答错得0分，最后计算总分即可． 【详解】解：①，计算正确，得5分； ②，计算错误，得0分； ③，计算正确，得5分； ④，计算正确，得5分； ⑤，计算错误，得0分； 答对题数为3道，总分分． 故选：B． 82．（25-26七年级上·河北石家庄·月考）已知、互为相反数，、互为倒数，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，倒数，乘方运算，代数式求值，掌握以上知识的概念及计算是解题的关键．根据题意可得，，，分别代入计算即可求解． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，， ，，， ， 故答案为：． 83．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图是一个有理数运算程序的流程图，规定：程序运行到判断“结果是否大于1”为一次运算．请根据这个程序回答问题，当输入x为时，最后输出的结果y是 ；若输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，则输入的x为 ． 【答案】 4 【分析】此题考查了程序的流程图，有理数的混合运算，解方程，弄清题中的程序流程是解本题的关键．根据题中的程序流程图，将代入计算得到结果为3，将代入计算得到结果小于1，即可得到最后输出的结果；输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，即，解方程即可． 【详解】解：把代入可得： ， ， ， ， ∵， ∴再把代入可得： ， ， ， ， 故最后输出的结果是； ∵输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为， ∴， ， ， ， ． 故答案为：，4． 84．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）利用有理数的乘法分配律求解即可； （3）先计算乘方和绝对值，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 85．（25-26七年级上·河北衡水·期中）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）根据乘法的分配律计算求解即可； （2）先算乘方，再算绝对值，最后再算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 86．（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图，数轴上从左至右有，，，四个点．分别表示有理数，，，，点和点之间的距离为20个单位长度，且，互为相反数，． (1) ， ， ； (2)数轴上的动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点运动，设运动时间为秒．当点运动到点时，点从点出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点和点之间往返运动，当点运动到点时，点的运动停止． ①求为何值时，点与点第一次相遇； ②求点一共运动了多少个单位长度，并求点停止运动时在数轴上所表示的有理数； ③直接写出点，前两次相遇间隔的时长． 【答案】(1) (2)①②144，4③4秒 【分析】本题考查了有理数与数轴，非负性，有理数的运算，熟练掌握两点间的距离，正确地列出算式是解题的关键； （1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，求出a，c，非负性求出b，d，进而求出即可； （2）①用点P到达点C的时间加上P，Q相遇时所用的时间，即可得出结果； ②求出点P从点C运动到点D所用的时间，再根据路程等于速度乘以时间，求出点Q运动的路程，进而求出点Q停止时所表示的数； ③先求出第一相遇的位置，再求出Q运动到B的时间，进而求出P运动的路程，再根据追及问题求时间即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 点和点之间的距离为20个单位长度，且，互为相反数，， ， ， 故答案为：； （2）解：①点P到达点C所用时间为（秒）， ； 故当时，点P与点Q第一次相遇； ②P点从点C到达点D所用时间为（秒）， ∴点Q一共运动了个单位长度， ， ∴当点Q停止运动时，离点D有24个单位长度， ∴点Q表示的数为； ③P从C到第一次相遇运动的路程为：， P，Q在处相遇， Q运动到B所用时间为（秒），此时P运动的路程为个单位长度， ，前两次相遇间隔的时长为（秒）． 地 城 考点13 科学记数法 87．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）我国的长城始建于西周时期，被国务院确定为全国重点文物保护单位．长城总长约米．数据用科学记数法表示应为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 88．（25-26七年级上·河北唐山·期中）地球绕太阳公转的速度约是．110000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示形式．科学记数法的表示形式为，其中， 为整数．确定的值时，需将原数的小数点移动至只保留一位整数位，移动的位数即为． 根据科学记数法的表示形式判断即可． 【详解】解：∵， ∴用科学记数法表示为． 故选：B． 89．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）西柏坡纪念馆开展“我与祖国共成长”庆祝中华人民共和国成立周年主题活动，国庆七天假期，西柏坡纪念馆参观人数约有人次．“”的原数中“”共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法和科学记数法还原成原数的表示方法是解题的关键．数还原成原数时，将的小数点向右移动位即可，据此解答即可． 【详解】解：， 故“”的原数中“”共有个， 故选：B． 90．（23-24七年级下·河北保定·期中）光在水中的传播速度是，下列关于的说法正确的是（   ） A． B． C．是一个8位数 D．是一个9位数 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：，故是一个9位数，选项D正确，C错误； 故，选项A错误； ，选项B错误； 故选：D． 91．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是把的形式还原成原数，在中，当时，则小数点向左移动位，当时，则小数点向右移动位，即可． （1）根据题意，，小数点向左移动位，即可； （2）根据题意，，小数点向右移动位，即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 试卷第60页，共63页 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $