列方程解决工程与效率问题（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学沪教版

本讲义聚焦列方程解决工程与效率问题核心知识点，系统梳理工程问题与效率问题的概念界定，明确工作效率×工作时间=工作总量等三个基础数量关系及总量未知时设为“1”的方法，构建从概念理解到数量关系应用再到审找设列解验六步解题的学习支架。 资料以运输水泥、生产零件等真实情境例题为载体，通过典型题型与变式（如中途加入、合作后单独）引导学生找等量关系，培养数学眼光和推理意识。课堂测试卷及详解答案助力教师授课，也方便学生课后自查，弥补知识盲点。

沪教版五年级下数学寒假 春季开学讲义：列方程解决工程与效率问题 一、核心知识点梳理 1. 基本概念界定 工程问题：研究工作总量、工作效率和工作时间三者关系的问题，常见场景如修路、运货、加工零件等。 效率问题：工程问题的延伸，核心是单位时间内完成的工作量（工作效率），也涵盖购物、生产等真实情境中的“单位产出”问题，如“每小时加工零件数”“每件商品利润”等。 2. 核心数量关系 三大基础公式（核心模型）： 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 公式变形关键：已知任意两个量，可通过方程求第三个量；当工作总量未知时，可设为“1”（表示整个工程）或具体单位（如“1项工程”“1批零件”）。 3. 列方程解题的核心步骤 审：通读题目，明确已知条件、未知量，梳理工作过程（如“单独做”“合作做”“先做后休息”等）。 找：找出等量关系（核心！），常见等量关系如“甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量”“前半段工作量 + 后半段工作量 = 总工作量”“实际效率×实际时间 = 计划效率×计划时间”等。 设：设未知数（通常设所求量为x，若有多个未知量，设核心未知量为x，用含x的式子表示其他量）。 列：根据等量关系列出方程。 解：求解方程，注意单位统一。 验：检验结果是否符合实际情境（如时间、效率不能为负数），再代入原题验证等量关系是否成立。 二、典型题型与变式讲解 题型一：工作总量为具体数量的工程问题 【典型例题】 建筑工地需要运输1200吨水泥，甲车队单独运需15天，乙车队单独运需10天。两队合作运输，多少天能运完所有水泥？ 解题步骤： 审：已知工作总量（1200吨）、甲、乙单独工作时间，求合作时间。 找等量关系：甲队总运量 + 乙队总运量 = 1200吨；或（甲效率 + 乙效率）× 合作时间 = 总工作量。 设：设两队合作需要x天运完。 列：先算甲、乙效率——甲效率=1200÷15=80（吨 ÷天），乙效率=1200÷10=120（吨 ÷天）；方程：(80+120)x=1200。 解：200x=1200 x=6。 验：6天甲运80×6=480吨，乙运120×6=720吨，合计480+720=1200吨，符合总量。答：两队合作6天能运完。 【变式1：含“中途加入”的工程问题】 同上题条件，甲车队先单独运3天，剩下的由甲乙两队合作，还需多少天运完？ 关键思路：甲先运的工作量 + 甲乙合作的工作量 = 总工作量 解：设还需x天。甲先运：80×3=240吨；合作运：(80+120)x吨。方程：240 + 200x=1200 200x=960 x=4.8。答：还需4.8天。 【变式2：求“单一效率”的工程问题】 生产350个零件，李师傅单独做14小时可完成。若李师傅和徒弟小王合作，10小时可完成。小王单独做这批零件，需要多少小时？ 关键思路：合作效率 - 李师傅效率 = 小王效率 解：设小王单独做需x小时，小王效率为350÷x（个 ÷小时）。李师傅效率=350÷14=25（个 ÷小时），合作效率=350÷10=35（个 ÷小时）。 方程：25 + 350÷x = 35 350÷x=10 x=35。答：小王单独做需35小时。 题型二：工作总量为“1”的分数工程问题 【典型例题】 一件工程，甲单独做20天完成，乙单独做15天完成。甲乙两队合作，多少天能完成这件工程？ 解题步骤： 审：工作总量未知，设为“1”，已知甲、乙单独完成时间，求合作时间。 找等量关系：（甲效率 + 乙效率）× 合作时间 = 1。 设：设合作需要x天完成。 列：甲效率=1 ÷20（每天完成工程的1 ÷20），乙效率=1 ÷15； 方程：(1÷20 + 1÷15)x=1。 解：计算左边：(3÷60 + 4÷60)x=7 ÷60 x 7÷60 x=1 x=60÷7 ≈8.57（天）。 验：7 ÷60 ×60 ÷7=1，符合总工作量。答：甲乙合作60 ÷7天能完成。 【变式1：含“休息”的工程问题】 一项工程，甲独做12天完成，乙独做9天完成。甲先做3天后休息，剩下的由乙单独完成，乙还需多少天？ 关键思路：甲完成的工作量 + 乙完成的工作量 = 1 解：设乙还需x天。甲工作量=1 ÷12×3=1 ÷4，乙工作量=1 ÷9 x。方程：1 ÷4 + 1 ÷9 x=1 1 ÷9 x=3÷4 x=27 ÷4=6.75天。答：乙还需27÷4天。 【变式2：“合作后单独”的工程问题】 一件工作，甲乙合作30天可完成。共同做6天后，甲离开，乙继续做40天完成。甲单独做这件工作需要多少天？ 关键思路：甲乙合作6天工作量 + 乙单独40天工作量 = 1 解：设甲单独做需x天，甲效率=1 ÷x； 甲乙合作效率=1 ÷30， 故乙效率=1 ÷30 - 1 ÷x。 方程：1 ÷30×6 + (1 ÷30 - 1 ÷x)×40=1 1 ÷5 + 40 ÷30 - 40 ÷x=1 1 ÷5 + 4 ÷3 - 40 ÷x=1 通分：3 ÷15 + 20 ÷15 -15 ÷15=40 ÷x 8 ÷15=40 ÷x x=75。答：甲单独做需75天。 题型三：生活中的效率问题（非工程场景） 【典型例题】 超市购进一批苹果，计划每天卖出15千克，12天卖完。实际每天多卖5千克，实际多少天能卖完？ 解题步骤： 审：“卖出效率”变化，总销量不变，已知计划效率、时间，求实际时间。 找等量关系：计划销量 = 实际销量（总工作量不变）。 设：设实际x天卖完。 列：计划销量=15×12，实际效率=15+5=20，实际销量=20x；方程：15×12=20x。 解：180=20x x=9。 验：20×9=180=15×12，符合总量。答：实际9天卖完。 【变式：含“倍数关系”的效率问题】 某印刷厂印刷书籍，甲车间每天印120本，乙车间每天印的数量是甲的1.5倍。两车间同时印刷一批2700本的书籍，多少天能印完？ 关键思路：（甲效率 + 乙效率）× 时间 = 总印量 解：设x天印完。乙效率=120×1.5=180（本 ÷天）。方程：(120+180)x=2700 300x=2700 x=9。答：9天能印完。 三、课堂测试卷 （时间：40分钟 满分：100分） 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 一项工程，甲单独做8天完成，甲的工作效率是（ ）；乙单独做10天完成，乙的工作效率是（ ），甲乙合作效率是（ ）。 2. 加工一批零件，工作效率为25个 ÷小时，工作12小时完成，这批零件共有（ ）个；若要10小时完成，工作效率需提升至（ ）个 ÷小时。 3. 修一条公路，甲队每天修0.8千米，乙队每天修0.6千米，两队合作每天修（ ）千米，合作x天修（ ）千米。 4. 一批货物，甲车单独运需12次，乙车单独运需18次，两车合运（ ）次能运完这批货物的一半。 二、列方程解决问题（每题16分，共80分） 1. 一批零件共480个，师傅单独做6小时完成，徒弟单独做8小时完成。师傅先做2小时，剩下的由徒弟做，徒弟还需多少小时完成？ 2. 一项工程，甲独做15天完成，乙独做12天完成。甲乙合作若干天后，乙因事离开，剩下的工程由甲单独做3天完成。甲乙合作了多少天？ 3. 运输公司要运一批货物，计划用载重4.5吨的卡车运，需要12辆。实际改用载重6吨的卡车，实际需要多少辆卡车？（用方程解） 4. 一条隧道，甲工程队单独挖需20天，乙工程队单独挖需30天。两队同时从两端相对开挖，多少天能挖通这条隧道？ 5. 服装厂加工一批校服，原计划每天加工150套，20天完成。实际每天加工的套数比原计划多50套，实际提前多少天完成任务？ 四、测试卷答案 一、填空题 1. 1 ÷8；1 ÷10；9 ÷40（解析：1 ÷8 + 1 ÷10 = 5 ÷40 + 4 ÷40 = 9 ÷40） 2. 300；30（解析：25×12=300；300÷10=30） 3. 1.4；1.4x（解析：0.8+0.6=1.4；效率×时间=工作量） 4. 18 ÷5（或3.6）（解析：一半工作量为1 ÷2，合作效率=1 ÷12 + 1 ÷18 = 5 ÷36，时间=1 ÷2 ÷ 5 ÷36 = 18 ÷5） 二、列方程解决问题 1. 解：设徒弟还需x小时完成。 师傅效率=480÷6=80（个 ÷小时），徒弟效率=480÷8=60（个 ÷小时） 等量关系：师傅2小时工作量 + 徒弟x小时工作量 = 480 方程：80×2 + 60x = 480 160 + 60x = 480 60x = 320 x = 16 ÷3 ≈5.33 答：徒弟还需16 ÷3小时（或5又1 ÷3小时）完成。 2. 解：设甲乙合作了x天。 甲效率=1 ÷15，乙效率=1 ÷12 等量关系：甲乙合作x天工作量 + 甲单独3天工作量 = 1 方程：(1 ÷15 + 1 ÷12)x + 1 ÷15×3 = 1 通分：(4 ÷60 + 5 ÷60)x + 1 ÷5 = 1 9 ÷60 x = 4 ÷5 3 ÷20 x = 4 ÷5 x = (4 ÷5)×(20 ÷3) = 16 ÷3 ≈5.33 答：甲乙合作了16 ÷3天（或5又1 ÷3天）。 3. 解：设实际需要x辆卡车。 等量关系：计划运量 = 实际运量 方程：4.5×12 = 6x 54 = 6x x = 9 答：实际需要9辆卡车。 4. 解：设x天能挖通隧道，将隧道总长设为1。 甲效率=1 ÷20，乙效率=1 ÷30 等量关系：（甲效率 + 乙效率）×x = 1 方程：(1 ÷20 + 1 ÷30)x = 1 通分：(3 ÷60 + 2 ÷60)x = 1 5 ÷60 x = 1 x = 12 答：12天能挖通这条隧道。 5. 解：设实际x天完成任务，提前（20 - x）天。 实际效率=150 + 50=200（套 ÷天） 等量关系：原计划总套数 = 实际总套数 方程：150×20 = 200x 3000 = 200x x = 15 提前天数：20 - 15=5（天） 答：实际提前5天完成任务。 学科网（北京）股份有限公司 $