专题1.1 基本不等式及其应用归类14种题型（培优热点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习高效培优系列

学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题1.1基本不等式及其应用 内容导航 召热点解读 召题型突破 召限时训练 热点内容解读 深度剖析解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 b 热点题型突破 逐一剖析解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 ◆热点限时训练 模拟实战巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 热点阳容解读 深度制折 解读盘点 近三年：基本不等式是高中数学的核心内容之一，难度中等偏上，侧重考查不等式的理解与应用能力。主 要考查利用基本不等式求最值（如和的最小值、积的最大值）、证明不等式、解决实际应用问题（如面 积、体积、费用等优化问题)。常与函数、方程、解析几何等知识结合，体现综合性 预测2026年：预计2026年高考仍将重视基本不等式的应用，尤其是与其他知识（如函数、数列、解析几 何)的综合考查。题目可能更注重实际情境与数学建模，突出数学的应用价值。备考应强化对基本不等式 成立条件的理解，训练其灵活配凑、变形能力，注重与函数、方程、几何等知识的交叉融合，提升解决综 合性问题的能力。 1/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型08“1"代换综合型 题型01公式的理解 题型09二次函数器+等型 题型02倒数型 题型10换元型 题型03积与和型 题型11双换元型 基本不等式归类 题型04配凑型 题型12齐次化构造型 题型05积与和互化解不等式型 题型13三角型 题型06常数代换型 题型14恒成立或存在性求参数型 题型07消元型 遂一制析 》热点题型突破 解藏润纳 题型01公式的理解 解|题|策|略 1若a>0,b>0,则a+b≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立) 2运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等 一正指的是a>0,b>0;二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号 1(25-26高三上·上海期中)已知实数a、b,下列四个不等式中正确且能取到等号的是() A.a+≥2 B.va2+2+a+2≥2 c.生≤a西 D.a2+b2≥2ab 2(多选)(25-26高三上·辽宁·期中)下列不等式中正确的是() A.x2+1≥2x B.x+y≥2Wxy C2+422 1 D.若x>y>0,则x+x一y+之4 3(多选)(25-26高三上·福建泉州期中)下列不等式一定成立的有() A.x+≥2 B.Vx+疾≥2 C.x(1-)≤4 0.2+223-2 题型02倒数型 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解|题|策|略 1倒数型，指的是类似at+(a>0,b>0),sin0+品02+2++等，其中要注意的是是否能够 1 取到等号； 2若取不到等号，要用到对勾函数单调性处理 1(25-26高三上·上海·月考)下列函数中，最小值为2的是() A.y=x+（x≠0) B.y=+10x≤1) C.y=x+法-20x>0 D.y=x2+4+xER) 1 2(25-26高三上江苏南京·月考)下列说法中正确的是() A.x+4的最小值为4 8.品的最小值为2 C.的最小值为2 D.2++7的最小值为1 3(多选)(25-26高三上湖北武汉·月考)下列说法正确的是() A.x>0,x≠1，则y=lgx+的最小值是2 8.x之0.则y=的最小值是 C.x≥0，则y=2*+42的最小值是1 0.y=品+的最小值为9 题型03 积与和型 解|题|策|略 1知积求和用a+b≥2Wab,知和求积用ab≤a+, 4 2在解题中要注意对式子的观察，明确a,b所指，并且观察它们是否存在和与积的形式。 1(25-26高三上·安微合肥期中)已知x>0,y>0,x+3y=6,则xy的最大值为() A.3 B.6 C,9 D,12 2(2025湖北模拟预测)己知实数a,b满足（任-2）-3)=6，则ab的最大值为() A君 B.4 c.立 D. 3(25-26高三上上海开学考试)已知x>0,y>0且x+y=1,则+子+号的最小值为() A.4V2 B.8 c.2W2 D.4 3/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型04配凑型 解|题策|略 1有时利用基本不等式时，确定a和b时，想得较为简单，会做不到“二定或三等”的要求，比如 y=x十1中令a=x,b=L用基本不等式，做不到ab是定值，此时需要对a和b的确定作些调整， x-2 进行配凑，达到做到“一正，二定，三等”的要求。 1(25-26高三上.浙江宁波期中)若m,n均为大于1的实数，且mn=3+m+n,则m+2n的最小值为 () A.6 B.9 C.3+2W2 D.3+4V2 2(25-26高三上四川广安月考)若x>2,y>-2,x+2y=0,则，2+2十+4的最小值为（） A.2 B.3 C.V3+1 D.3-1 3(25-26高二上·云南月考)若x>y>0,2x-y=4,则2-+的最小值为（) A.9 B. C.2 0.9 题型05积与和互化解不等式型 解|题|策|略 一等式中存在a与b的和与积，利用基本不等式得到关于ab或a+b的不等式，从而求出它们的范围。 1(25-26高三上河北期中)已知x,y为正实数，且xy=x+y+8,则xy的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.16√2 2(25-26高三上山东青岛期中)已知x>0,y>0,2x+3y+6xy=则2x+3y的最小值是() A.1 B.5 c.月 . 3(25-26高三上河北邯郸期中)己知x,y∈R,且x2+y2+x+y=4,则x+y的最小值与最大值之和为 () A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 题型06常数代换型 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解题|策|略 1特征：条件是一个包含等式的复杂关系，可以将其中一个常数用变量表达式代替； 2解题思路：从条件等式中解出一个变量代入所求式子，或解出一个常数关系进行代换。 1(2025浙江台州一模)已知a,bE(-1,+o),且a+6+1=2,则b+a2的最小值为（) A,2 C. D.3 2(25-26高三上湖北黄石期中)已知实数a,b满足a>0,b>1,且a+b=5,则+。的最小值为 () A是 B. C. D.9 3(2425高三上山西，月考)已知正实数xy满足x+2y=3,则3的最小值为《) A.2V2+1 B.4 C.42+1 D.6 题型07消元型 解|题|策|略 1特征：条件是多个变量的等式关系，求某个表达式的最值； 2解题思路：利用条件等式，将一个变量用其他变量表示，代入所求式子，转化为单变量函数或可直接 用基本不等式的形式； 3在消元的时候要注意最后得到的“元”的取值范围。 1(25-26高二上浙江衢州期中)己知实数x,y满足xy-2x-y=0,则(x-1)2+(y-2)2的最小值为 () A.2 B.3 C.4 o.9 2(25-26高三上·湖北武汉期中)已知实数x,y满足x2+2xy=1,则x2+4y的最小值为() A.1 B.2W2-1 c.2W2-2 D.2V3-1 3(25-26高三上·重庆期中)若正数x、y满足xy-x-3y=1,则x+4y的最小值为() A.号 B.8 c.7 D.15 题型08“1”代换综合型 5/10 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解题|策|略 1遇到类似+与a+b其一为已知条件，令一为求其范围时，可以采取巧1法： 2所求式子中有时可以巧妙的利用“1”的特征（比如题中条件类似a+b=1或a2+b2=2,或一些公 式sin20+cos20=1等)，把式子进行变形，使得其与已知条件的等式或不等式靠拢，从而达到求解的 目的。 1(25-26高三上重庆期中)已知a,b>0,且ab=a+b,则a+4b的最小值是() A,7 B.8 C.9 D.10 2(25-26高三上重庆南岸期中)若1<x<2,则2是+的最小值为() A.22 B.4 C.9 .9 3(25-26高三上，安微合肥，期中)已知m>0,n>0,且m(2-n)+n=0,则m+2n的最小值为() A.2 B.月 c.9 D.4 题型09二次函数+十型 解|题|策|略 1类似器号，器的形式。常常利用到分腐室致法与基本不等式等求其取值范固， 2在处理的时候往往会用到一些函数性质，要做到每一步都严谨。 1(25:26商三上，广东疏海月考)函数f)=x>-1)的最小值是〈) A.3 B.-1 C.0 D.4 2(25-26高三上：福建厦门：期中)已知x>-1,则y=生+8的最小值为〈) A.4 B.7 C,11 D.24 3(2526高三上.四川绵阳月考)已知x>1,则f)=“,的最小值为〈) A.6 B.5 C.4 D.3 题型10换元型 解题|策|略 1遇到含根式或高次希的式子（类似子，+， 常常用到换元法； x+1 2换元法的本质是整体思想，在对式子变形时，要注意看是否存在结构相同的式子； 3在换元时，要注意新元的取值范围。 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1(25-26高三上河南月考)已知x>0>y,且x-3y=-+4,则x-3y的最小值为() A.2V5-2 B.25-1 c.1+2W5 D.2+25 2(24-25高二下山东济宁.月考)己知x>0,y>0,且x2y+2xy2+2xy≤x+2y,则呢+的最小值为 () A.4 B.5 C.6 D.7 3(多选)(25-26高三上·重庆渝中.月考)下列说法正确的是() A.函数y=x+的最小值为2 B。函数y=十击的最小值为9 C.函数y=号的最大值为g x2+9 D.若x>0,y>0,且x+y=4+(侵+)，则y的取值范围为(1,3+2V② 题型11双换元型 解|题|策|略 双换元型，即引入两个新元代替原来的元，有时候采取双换元会使得式子变形得更简洁，在求解时会起 到简便的效果。 1(24-25高三下.云南临沧.月考)若a、b∈R且a2+2ab-3b2=1,则a2+b2的最小值为() A.5+1 B.3-1 c.4+V26 D.V3-1 4 4 2(25-26高三上河南·月考)已知正实数a,b满足5a2+4ab=1+b2,则12a2+8ab-b2的最小值为() A. B. c.￥ .名 3(2025河北衡水模拟预测>已知正数a,b,c满足2a+b+3c=8,则42+。十的最小值为（） b+c A.22 B.3+22 c.32-1 D.5+22 4 4 题型12齐次化构造型 解|题|策|略 处理类似燃+如的齐次式，可以分子分母同除以y得到关于的式子，再求解 cx+dy 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1(25-26高三上天津期中)已知x>0,y>0,且时+=1，则+，的最大值为() A.-25 B,-18 C.-12 D.-9 2(2425高三下陕西月考)实数x,y端足5x>2y>0,则x二，+的最小值是（) A.5+1 B.25+1 C.5+2 D.25+2 5 5 5 5 3(2425高三江苏月考)若实数xy满足y>0,则，千，+2的最大值为() A.2-V2 B.2+V2 C.4+2√2 D.4-22 题型13三角型 解题|策|略 遇到三角函数时，要注意sin20+cos20=1和sin0或cos0自身的取值范围[-1,1]，有时候也会用到换元 法。 1(23-24高三上广东深圳月考)下列结论中正确的是() A.若a>0,则a2+的最小值是2√a B.对任意的实数a,b均有a2+b2≥-2ab,其中等号成立的条件是a=-b C.函数f(x)=x+的值域是[2，+o) D.函数f(x)=√sinx(3+cos2x)的最大值是2 2(23-24高三上重庆月考)己知a+B=京则品+的最小值为() A.6 B.8 C.9 D,10 3(2025·四川达州.一模)设△ABC的内角为A,B,C,AD LBC于D.若△ABC外接圆半径等于AD,则 sinB+sinc的最小值是() A.v2 B.2 C.3 D.1 题型14恒成立或存在性求参数型 解|题|策|略 对于恒成立问题，用到分离参数法，可能会构造出一些常见符合能够使用“基本不等式”的形式，此时 求参数范围时利用基本不等式求解。 1(25-26高三上江苏南通.月考)若存在x∈R,使得不等式ax2-|x+4a≤0成立，则实数a的最大值为 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.是 B.月 C.2 D.4 2(25-26高三上山东期中)已知a,b为正实数，且3a2-2ab+4=0,若不等式b-a≥m恒成立，则实 数m的取值范围是() A.（-∞，2 B.(-∞，4 c.（-∞，2√2 D.(-o,4 3(25-26高三上·山东济南期中)若两个正实数xy满足x+y=1且不等式+<m2-3m有解，则实数m 的取值范围是() A.（-1,4) B.(-∞，-4)U(1,+0) C.(-4,1) D.(-∞，-1)U(4,+∞) 4(2025高三全国专题练习)若关于x的不等式32-t≤2产2+在(0,1)上恒成立，则实数t的取值范围是 () A.[-,] B.-1, c.[- 0.[-1 摸拟实战巩固提升 热点很时训练 》 (建议用时：60分钟) 1(25-26高三上河南新乡期中)若a>0,b>0,且Q+b=4,则片+的最小值为(） A.2 B.4 c.月 D.1 2(25-26高三上安徽期中)已知a>2当a+取最小值时，实数a的值为() A.1 B.2+1 C.V2+1 2 D.V2+ 3(25-26高三上山东菏泽期中)函数f)=,(x>1)的最大值为〈) A.1 B.-1 C,3 D.-3 4(25-26高三上·贵州贵阳·月考)已知2x+y=1,则xy+3x+y的最大值是() A.1 B. C.2 0.月 5(2526高三上江苏月考)已知a、b、c均为正实数，ab+ac=2,则++a+8+的最小值为 9/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 () A.1 B.2 C.3 D.4 6(25-26高三上·湖南衡阳期中)函数f)=1十若a,b>0,且f(@+fb)=1,则8的最小值 a+b 为() A.7 B.8 C.9 D.10 7(25-26高三上江苏扬州，期中)已知实数x>0,y>0,+=3,且x+y≥m恒成立，则实数m的取值 范围为() A.{mlm≤9}B.{mlm≤3 c.{mm≥9} D.{mlm≥3} 8(多选)(25-26高三上江苏南通·月考)下列结论中，所有正确的结论有（) A.若a2>b2,则<8 B.若xy>0,则+≥4 C.当xe(0,m)时，sinc+盖之4 D.若sina+cosB=1,则sin2a+cos2B2 9(25-26高三下山西运城月考)对任意的0e(0,),不等式0+.00之2x-1恒成立，则实数x的取值 范围是 10(25-26高三上·重庆·期中)已知一次函数f(x)为增函数，且满足f(f(x)=4x一3,9(x)=kx+2k-2 (k≠0)： (1)若函数g(x)在[-1,2]上最大值与最小值的差为6，求k (2)当f(x)和g(x)满足f(g(x)=g(f(x)时. (i)设aeR,解关于x的不等式：ag2(x)-f(x)-1>x-2. (iⅱ)求h(x)=Vf(x)+V2-g(x)的最大值. 10/10 专题1.1基本不等式及其应用 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：基本不等式是高中数学的核心内容之一，难度中等偏上，侧重考查不等式的理解与应用能力。主要考查利用基本不等式求最值（如和的最小值、积的最大值）、证明不等式、解决实际应用问题（如面积、体积、费用等优化问题）。常与函数、方程、解析几何等知识结合，体现综合性． 预测2026年：预计2026年高考仍将重视基本不等式的应用，尤其是与其他知识（如函数、数列、解析几何）的综合考查。题目可能更注重实际情境与数学建模，突出数学的应用价值。备考应强化对基本不等式成立条件的理解，训练其灵活配凑、变形能力，注重与函数、方程、几何等知识的交叉融合，提升解决综合性问题的能力。 题型01 公式的理解 解｜题｜策｜略 1若，则 (当且仅当时，等号成立). 2运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号. 1（25-26高三上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 2（多选）（25-26高三上·辽宁·期中）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用作差法可判断A；由基本不等式可判断BCD. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，当，时，不成立，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，时等号成立，D项正确． 故选：ACD． 3（多选）（25-26高三上·福建泉州·期中）下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，分和两种情况利用基本不等式即可判断，对于B，利用基本不等式即可判断，对于C，由，利用二次函数即可判断，对于D，由利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，，当且仅当时，等号成立，所以，故A错误； 对于B，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确； 对于C，由，当时，等号成立，故C正确； 对于D，由， 当且仅当，即不成立，所以等号不成立， 所以，故D正确， 故选：BCD. 题型02 倒数型 解｜题｜策｜略 1 倒数型，指的是类似，，等，其中要注意的是是否能够取到等号； 2 若取不到等号，要用到对勾函数单调性处理. 1（25-26高三上·上海·月考）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 2（25-26高三上·江苏南京·月考）下列说法中正确的是（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为1 【答案】D 【分析】根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A,当时，，故A错误， 对于B,当时，，，则，故B错误， 对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误， 对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确， 故选：D 3（多选）（25-26高三上·湖北武汉·月考）下列说法正确的是（    ） A．，则的最小值是2 B．，则的最小值是 C．，则的最小值是1 D．的最小值为9 【答案】BD 【分析】对于A，B，C，利用换元法及对勾函数的性质，结合函数单调性与最值的关系即可求解； 对于D，利用同角三角函数的平方关系及商数关系，结合正余弦齐次式及基本不等式即可求解. 【详解】对于A,令，则 ，由对勾函数知，在单调递增，在上单调递减；所以当时，，当时，，故A错误； 对于B，令，则，，由对勾函数的性质知，在单调递增，当时，取得最小值为，所以当时，则的最小值是，故B正确； 对于C，令，则，由对勾函数的性质知，在单调递增，当时，取得最小值为，所以当时，则的最小值是，故C错误； 对于D， ，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9，故D正确. 故选：BD. 题型03 积与和型 解｜题｜策｜略 1知积求和用，知和求积用 2 在解题中要注意对式子的观察，明确，所指，并且观察它们是否存在和与积的形式。 1（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】因为， 则，所以， 当且仅当时，即当，且，等号成立， 故的最大值为3． 故选：A． 2（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 3（25-26高三上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为且， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B 题型04 配凑型 解｜题｜策｜略 1有时利用基本不等式时，确定和时，想得较为简单，会做不到“二定或三等”的要求，比如中令，用基本不等式，做不到是定值，此时需要对和的确定作些调整，进行配凑，达到做到“一正，二定，三等”的要求。 1（25-26高三上·浙江宁波·期中）若均为大于1的实数，且，则的最小值为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意可知：， 则， 当且仅当，即时取得等号. 故选：D 2（25-26高三上·四川广安·月考）若，，，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意有：， 又，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 3（25-26高二上·云南·月考）若，则的最小值为（    ） A．9 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由已知可得，，代入整理得，利用基本不等式“1”的妙用可求最小值. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 题型05 积与和互化解不等式型 解｜题｜策｜略 一等式中存在与的和与积，利用基本不等式得到关于或的不等式，从而求出它们的范围。 1（25-26高三上·河北·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A．4 B．8 C．16 D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式的解法可求的最小值. 【详解】因为为正实数，所以，所以， 所以0，所以， 解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为 故选：C． 2（25-26高三上·山东青岛·期中）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式得，结合条件求解. 【详解】由，，得， 又，即， 令，上式为，解得或（舍去）， ，即，当且仅当时，等号成立， 所以得最小值为1. 故选：A. 3（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，且，则的最小值与最大值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用基本不等式得求的范围，注意端点值的取值条件，即可得. 【详解】由，有，有，得， 当时，， 当时，， 所以的最小值为，最大值为2， 所以的最小值与最大值之和为. 故选：D 题型06 常数代换型 解｜题｜策｜略 1特征：条件是一个包含等式的复杂关系，可以将其中一个常数用变量表达式代替； 2解题思路：从条件等式中解出一个变量代入所求式子，或解出一个常数关系进行代换。 1（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】可利用配凑法与“1的妙用”，结合基本不等式进行求解. 【详解】由题可知，，又因为, 则 , 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此的最小值为4， 故的最小值为3. 故选：D. 2（25-26高三上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】变形有，再利用乘“1”法即可得到最值. 【详解】因为，且，则，， 则， 当且仅当，且时，即时取等号， 故选：B． 3（24-25高三上·山西·月考）已知正实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题意知， 当且仅当，且 ，即，时等号成立， 即的最小值为. 故选:A. 题型07 消元型 解｜题｜策｜略 1 特征：条件是多个变量的等式关系，求某个表达式的最值； 2解题思路：利用条件等式，将一个变量用其他变量表示，代入所求式子，转化为单变量函数或可直接用基本不等式的形式； 3 在消元的时候要注意最后得到的“元”的取值范围。 1（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据已知等式可得，从而可结合基本不等式求解的最小值. 【详解】因为，当时，等式不成立， 所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 2（25-26高三上·湖北武汉·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，然后对目标式变形为，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，显然，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为. 故选：C 3（25-26高三上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等式得出，求得，化简得出，结合基本不等式可求得其最小值. 【详解】由可得， 因为，，由可得，故，且， 故 . 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 题型08 “1”代换综合型 解｜题｜策｜略 1 遇到类似与其一为已知条件，令一为求其范围时，可以采取巧法； 2 所求式子中有时可以巧妙的利用“1”的特征（比如题中条件类似或，或一些公式等），把式子进行变形，使得其与已知条件的等式或不等式靠拢，从而达到求解的目的。 1（25-26高三上·重庆·期中）已知，且，则的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】应用基本不等式中“1”的妙用，求的最小值即可． 【详解】已知，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为9． 故选：C． 2（25-26高三上·重庆南岸·期中）若，则的最小值为（   ） A． B．4 C．9 D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意， 当且仅当，即等号成立，所以的最小值为9. 故选：C 3（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．9 D．4 【答案】C 【分析】先变形得到，再由基本不等式“1的妙用”求最小值即可. 【详解】由，可得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为9. 故选：C. 题型09 二次函数型 解｜题｜策｜略 1类似，的形式，常常利用到分离常数法与基本不等式等求其取值范围； 2在处理的时候往往会用到一些函数性质，要做到每一步都严谨。 1（25-26高三上·广东珠海·月考）函数的最小值是（   ） A．-3 B．-1 C．0 D．4 【答案】B 【分析】由，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以，则： ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为， 故选：B 2 （25-26高三上·福建厦门·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．11 D．24 【答案】B 【分析】对所求的式子进行适当的变形再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为7. 故选：B 3（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】将函数配凑整理为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】， ，， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5. 故选：B. 题型10 换元型 解｜题｜策｜略 1 遇到含根式或高次幂的式子(类似，)，常常用到换元法; 2 换元法的本质是整体思想，在对式子变形时，要注意看是否存在结构相同的式子； 3 在换元时，要注意新元的取值范围。 1（25-26高三上·河南·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则得且，由，利用基本不等式推得，解不等式即得. 【详解】因，设，则，由可得， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 即得，解得，即的最小值为. 故选：D. 2（24-25高二下·山东济宁·月考）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得，得到，得到，令，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 3（多选）（25-26高三上·重庆渝中·月考）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为2 B．函数的最小值为9 C．函数的最大值为 D．若，，且，则xy的取值范围为 【答案】BCD 【分析】A.举反例说明该选项错误； B.利用基本不等式得到函数的最小值为9，所以该选项正确； C.利用换元法、函数的单调性和基本不等式得到函数的最大值为.所以该选项正确; D．主要利用基本不等式求出xy的取值范围为.所以该选项正确. 【详解】解：A. 当时，函数，所以该选项错误； B. ，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为9，所以该选项正确； C. 函数,令，设 ，由于函数在单调递增，所以，所以函数的最大值为.所以该选项正确. D．. 因为（当且仅当时等号成立），所以，所以，所以.所以该选项正确. 故选：BCD 题型11 双换元型 解｜题｜策｜略 双换元型，即引入两个新元代替原来的元，有时候采取双换元会使得式子变形得更简洁，在求解时会起到简便的效果。 1（24-25高三下·云南临沧·月考）若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式变形得出，令，，可得出且，，代入，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】由得， 令，，则且，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ， 故选：A． 2（25-26高三上·河南·月考）已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件得到，通过换元，得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 令， 因为都是正数， 所以即， 且，同时， 所以     当且仅当时等号成立，此时. 故选：A 3（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 题型12 齐次化构造型 解｜题｜策｜略 处理类似的齐次式，可以分子分母同除以得到关于的式子，再求解. 1（25-26高三上·天津·期中）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件将所求式子变为，利用“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】因为，且， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 2（24-25高三下·陕西·月考）实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知的范围，然后将目标式转化为，利用基本不等式可得. 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 3（24-25高三·江苏·月考）若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：把用表示化简，再应用基本不等式计算得出最大值；法二：令，再化简应用基本不等式计算得出最大值； 【详解】法一：由实数 满足， 设，解得， 则， 当且仅当，及时等号成立， 所以的最大值为. 法二：令， 则 ， 由得， 故 ， 当且仅当即即时，取“=”， 故选：D. 题型13 三角型 解｜题｜策｜略 遇到三角函数时，要注意和或自身的取值范围，有时候也会用到换元法。 1（23-24高三上·广东深圳·月考）下列结论中正确的是（    ） A．若，则的最小值是 B．对任意的实数a，b均有，其中等号成立的条件是 C．函数的值域是 D．函数的最大值是2 【答案】B 【分析】利用基本不等式判断A的正误；重要不等式判断B的正误；函数的最值判断C的正误；利用基本不等式判断D的正误； 【详解】因为时有， 所以的最小值是，即A不正确； 对任意的实数a，b均有，可得， 其中等号成立的条件是，所以不等式正确. 函数的值域是，显然不正确， 因为时， 所以C不正确. 函数， 当且仅当时取等号，但此方程无解，所以最大值小于2. 故选：B. 2（23-24高三上·重庆·月考）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】 由于，得出和的对应关系，再设定和为，得到基本不等式形式：“和模型”，求解即可. 【详解】由于，得， 所以设，，且， 则， 其中（等号成立时，即时成立）. 故选：C. 3（2025·四川达州·一模）设△ABC的内角为A，B，C，AD⊥BC于D．若△ABC外接圆半径等于AD，则sinB+sinC的最小值是（　　） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】在中，由，求出，利用基本不等式求出即可． 【详解】在Rt△ACD中，由， 设圆的半径为，则， ， 由,当且仅当，即时，取等号， 故选：A． 题型14 恒成立或存在性求参数型 解｜题｜策｜略 对于恒成立问题，用到分离参数法，可能会构造出一些常见符合能够使用“基本不等式”的形式，此时求参数范围时利用基本不等式求解。 1（25-26高三上·江苏南通·月考）若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用参变分离可得，分和两种情况求解即可. 【详解】由，可得，所以， 当时，； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上所述：实数的最大值为. 故选：A. 2（25-26高三上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可． 【详解】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 3（25-26高三上·山东济南·期中）若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】基本不等式求出的最小值，转化为，解不等式即可， 【详解】因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为4． 因为不等式有解，则，即， 即，解得或． 故选：D 4（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：先将原不等式的右式进行化简，然后利用基本不等式的性质求出其最小值，然后解关于的不等式解集即可； 解法二：先将原不等式的右式进行化简，然后利用柯西不等式的性质求出其最小值，然后解关于的不等式解集即可. 【详解】关于的不等式在上恒成立， 即， 因为，所以． 解法一：（基本不等式）   ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，解得． 解法二 ：（柯西不等式） ， 当且仅当，即时等号成立． （柯西不等式：，当且仅当时等号成立） 所以，解得. 故选：D． （建议用时：60分钟） 1（25-26高三上·河南新乡·期中）若，且，则的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D．1 【答案】D 【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为1. 故选：D. 2（25-26高三上·安徽·期中）已知，当取最小值时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先将原式变形为，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以， 当且仅当，即时取最小值. 所以,取最小值时，实数. 故选：B. 3（25-26高三上·山东菏泽·期中）函数的最大值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】令，结合基本不等式即可求解. 【详解】令，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以函数的最大值为， 故选：D 4（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知等式变形得出，结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值是. 故选：B. 5（25-26高三上·江苏·月考）已知、、均为正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得，由此可得出，结合基本不等式可求得答案. 【详解】因为、、均为正实数，则，即，所以， 故 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 6（25-26高三上·湖南衡阳·期中）函数，若，，且，则的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】先通过函数条件得出，再将所求式子变形为对勾函数形式，利用均值不等式求最小值. 【详解】依题意，， ，所以， 由于都是正数，所以， 所以 ， 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 7（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由乘1法，求得的最小值，即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 故选：B 8（多选）（25-26高三上·江苏南通·月考）下列结论中，所有正确的结论有（    ） A．若，则 B．若，则 C．当时， D．若，则 【答案】CD 【分析】利用特殊值法可判断AB选项的正误，利用基本不等式可判断CD选项的正误. 【详解】A．若，如，，则不成立，故A错误； B．，则，，取，则，故B错误； C．因为，则，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 但，所以，，故C正确； D．由重要不等式可得， 所以，， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：CD. 9（25-26高三下·山西运城·月考）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先利用基本不等式求出的最小值为，再根据题意得到，解不等式即可得到答案。 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号。 又因为恒成立， 所以，即。 故答案为： 10（25-26高三上·重庆·期中）已知一次函数为增函数，且满足，. (1)若函数在上最大值与最小值的差为6，求. (2)当和满足时. （ⅰ）设，解关于的不等式：. （ⅱ）求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）. 【分析】（1）利用分类讨论一次函数的单调性求最值，即可得方程求解； （2）（ⅰ）利用待定系数法，代入函数解析式，再利用恒等式可求解参数，然后分类讨论法来解含参的二次不等式即可； （ⅱ）利用先证明柯西不等式，再来运用柯西不等式来求最值即可. 【详解】（1）当时，由在上单调递增，且函数在上最大值与最小值的差为6， 可得：， 当时，由在上单调递减，且函数在上最大值与最小值的差为6， 可得：， 综上可得：； （2）（ⅰ）由一次函数为增函数，可设， 因为， 所以，解得， 即，又因为， 所以， ， 又因为，所以， 此时， 则关于的不等式：， 当时，原不等式的解集为， 当，原不等式的解集为或， 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， （ⅱ）由， 令，则， 先证明柯西不等式， 作差得： 即可证明恒成立，取等号条件是， 则， 由于，所以， 取等号条件是，即， 此时有最大值，取最大值时的. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $