精品解析：湖南省邵阳市邵东市振华中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

邵东市振华中学高一数学上学期期中考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（ ） A. potential B. challenge C. balance D. remind 2. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A. B. C. D. 3. 毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，满足，则最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（    ） A. 第一种 B. 第二种 C. 不确定 D. 一样实惠 6. 已知，，设，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数图像如图所示，则此函数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数a，b满足，则（    ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 解集为{x|x<2} C. D. 的解集为 10. 已知是上的增函数，那么实数a的值可以是（ ） A B. C. D. 11. 函数（，）的图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，函数在，上单调递增，在，上单调递减.现对于函数，下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 当时， D. 方程有四个不同的根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分. 12. 已知，则__________. 13. 振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有_______人． 14. 已知定义在上的函数是奇函数，其中为常数，则的值等于_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求集合M、N； （2）求及. 16. 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. （1）将表示为的函数，并写出的取值范围； （2）当多长时，取得最大值？并求出最大值. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性并加以证明； （3）解不等式. 18. 小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增． （1）证明：是上的单调递增函数； （2）若对任意，恒成立，求实数m的最大值； （3）是否存在正实数a，b，使得函数，的值域为？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由． 19. 对于实数和关于的一元二次方程（其中，为常数），规定：若实数是方程的根，则称与方程（其中，为常数）匹配；若存在实数与方程匹配，且满足不等式（m，n为常数），则称方程（其中，为常数）与不等式（m，n为常数）关联． （1）已知关于的方程和不等式，请判断上述方程与不等式是否关联，并说明理由； （2）已知关于的方程（其中，为常数）的两根为，且，若该方程与不等式关联，求实数的取值范围； （3）已知与方程匹配的实数为，且，不等式（为整数）的解集为，若上述方程与不等式同时满足以下条件： ①，； ②，均为整数，且； ③，中有且只有一个使方程与不等式关联，此时对应的整数存在且唯一．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵东市振华中学高一数学上学期期中考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（ ） A. potential B. challenge C. balance D. remind 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的互异性求解. 【详解】选项A中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项A错误； 选项B中字母和重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项B错误； 选项C中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项C错误； 选项D中字母没有重复，满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项D正确. 故选：D. 2. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用 抽象函数定义域规则计算求解. 【详解】函数的定义域是， 则函数满足，所以， 所以函数的定义域是. 故选：C. 3. 毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城， 但到过长城未必是好汉， 因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件． 故选：B. 4. 已知，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式“”的代换可得最值. 【详解】由，，且， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值是3. 故选：B. 5. 汽车现在已经是我们出行不可分离工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（    ） A. 第一种 B. 第二种 C. 不确定 D. 一样实惠 【答案】A 【解析】 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 6. 已知，，设，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法，计算化简，即可得答案. 【详解】由题意 ， 当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 7. 已知函数的图像如图所示，则此函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过函数的定义域排除AB，计算特殊值排除D，得到答案. 【详解】的定义域为，不符合函数图像，A不满足； 的定义域为，不符合函数图像，B不满足； ，，不符合函数图像，D不满足. 故选：C 8. 已知实数a，b满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，将其代入已知方程，利用一元二次方程判别式决定根的个数即可得解. 【详解】设，则， ， ， ， ， ， 该方程为关于的一元二次方程，又为实数， ， ， . 故选：A. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为{x|x<2} C. D. 的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由的不等式的解集得到或是的两根，且，根据根与系数的关系得到，分别代入选项一一求解即可. 【详解】不等式的解集或， 或是的两根，且，故选项A错误； ，，，， ，，，的解集为，故选项B正确； ，，故选项C正确； ，，，， ，， 的解集为，故选项D正确. 故选：BCD 10. 已知是上的增函数，那么实数a的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，再借助一次函数和二次函数的单调性即可求解. 【详解】是上的增函数， ，解得. 故选：AC. 11. 函数（，）的图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，函数在，上单调递增，在，上单调递减.现对于函数，下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 当时， D. 方程有四个不同的根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断A选项，根据函数对称性的定义式可判断B选项，结合函数单调性即函数图象，数形结合可判断CD选项. 【详解】 A选项：，则，，A选项正确； B选项：由，则，， 则不能恒成立， 即函数的图象不关于直线对称，B选项错误； C选项：当，， 易知当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 即此时，C选项正确； D选项：方程的根， 即函数与的交点， 在同一平面直角坐标系中作出函数与函数， 数形结合可知有个交点，即方程有四个不同的根，D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用代入法直接进行求解即可. 【详解】 ， 故答案为： 13. 振华学校举办秋季运动会时，某高一班级共有18名同学参加比赛，有7人参加100m比赛，有6人参加200m比赛，有10人参加400m比赛，同时参加100m比赛和200m比赛的有3人，同时参加100m比赛和400m比赛的有1人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加200m比赛和400m比赛的有_______人． 【答案】1 【解析】 【分析】设同时参加200m比赛和400m比赛的有人，由题意作出韦恩图，根据题意得出关于的等式即可求解． 【详解】设同时参加200m比赛和400m比赛的有人， 由题意作出韦恩图如图所示： 由图可得，解得． 故同时参加200m比赛和400m比赛的有1人． 故答案为：1． 14. 已知定义在上的函数是奇函数，其中为常数，则的值等于_______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据奇函数的定义确定定义域对称得，由，从而列方程可得的值，即可得所求. 【详解】定义在上的函数是奇函数， 则，且， 所以，则，所以， 故的值等于. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求集合M、N； （2）求及. 【答案】（1），或； （2），. 【解析】 【分析】（1）解出和即可得解； （2）利用补集的定义求出，利用并集的运算求解. 【小问1详解】 由得1<x<2， 由可得，解得x<0或x>1， ∴或. 【小问2详解】 由（1）得，或， ， 由补集的定义可得或，. 16. 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. （1）将表示为的函数，并写出的取值范围； （2）当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 【答案】（1）， （2）当为时，取得最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出的面积，并根据的每条边长均不超过20米确定好的取值范围. （2）对（1）中的结果，利用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 因为，所以，， 因为，，所以. 【小问2详解】 当且仅当，即时，等号成立， 所以当为时，取得最大值，最大值为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求值； （2）判断函数在上的单调性并加以证明； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）由已知结合奇函数的性质及代入即可求解； （2） 结合函数的单调性的定义即可判断和证明； （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解 【小问1详解】 由题意可知，即，得，经检验成立. 【小问2详解】 在上单调递减.证明如下： 由（1）可知，设， 则， ， ，即， 在上单调递减. 【小问3详解】 由题易知，又， 由（2）可知在上单调递减， ，解得， 不等式的解集为. 18. 小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增． （1）证明：是上的单调递增函数； （2）若对任意，恒成立，求实数m的最大值； （3）是否存在正实数a，b，使得函数，的值域为？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）4； （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用增函数的定义推理证明. （2）根据给定条件，分离参数，利用函数的单调性求出最小值即可. （3）假定存在，构造方程，借助函数在上的最小值推理判断即得. 【小问1详解】 函数，， ， 当时，，则，， 因此，所以是上的单调递增函数. 【小问2详解】 对任意，恒成立， 即，，而函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则，解得，， 所以实数m的最大值为4. 【小问3详解】 由幂函数在上单调递增，得函数在上单调递增， 若存在正实数a，b，使得函数，的值域为， 则，正实数是方程，即的两个不等的正根， ，由，得，即， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上的最小值， 因此方程无实数解，即方程无实数解， 所以不存在存在正实数a，b，使得函数，的值域为. 19. 对于实数和关于的一元二次方程（其中，为常数），规定：若实数是方程的根，则称与方程（其中，为常数）匹配；若存在实数与方程匹配，且满足不等式（m，n为常数），则称方程（其中，为常数）与不等式（m，n为常数）关联． （1）已知关于方程和不等式，请判断上述方程与不等式是否关联，并说明理由； （2）已知关于的方程（其中，为常数）的两根为，且，若该方程与不等式关联，求实数的取值范围； （3）已知与方程匹配的实数为，且，不等式（为整数）的解集为，若上述方程与不等式同时满足以下条件： ①，； ②，均为整数，且； ③，中有且只有一个使方程与不等式关联，此时对应的整数存在且唯一．求的值． 【答案】（1）关联，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程与不等式关联的定义计算验证即得； （2）由和韦达定理代入，可得，回代入求出两根，，根据方程与不等式关联的定义即得或，求解即得； （3）先求解不等式，按参数分类表述其解集，依题求出，确定或，分别考虑这两种情况下的取值情况，取舍后即得的值. 【小问1详解】 由，得或， 当时，， 当时，， 所以方程和不等式关联． 【小问2详解】 由题得， 则，即， 将，代入方程，得， 解得，， 由，得， 因为方程与不等式关联， 所以或， 解得， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 由，得， 当时，， 当时，， 当时，． 因为，所以， 因为为整数，所以或． ① 当时，， 若，，则整数不存在，舍去； 若，，则存在唯一整数，满足条件， 此时，，． ② 当时，， 若，，则，整数不唯一，舍去； 若，，则，整数不唯一，舍去． 综上，满足条件的，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $