精品解析：湖南省长沙市开福区长沙大学附属中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

长沙大学附属中学高一期中考试数学 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，，设，，则（ ） A. B. C. D. （2025·北京） 2. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值是 4. 当时，不等式 恒成立，则取值范围是 A. B. C. D. 5. 若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 6. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若当且仅当或，其中，，为实数，则方程的所有实根的和为（ ） A. B. C. D. 11 8. 定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知 ，且 均不为空集，对于集合 ，我们把集合{}记作 . 例如， ，则有 . 当集合 有 3 个元素，且最大元素不大于 2 时，称集合 为一个集合键. 那么，下列说法中正确的是（ ） A 若，则中有 3 个元素 B. 若，则 C. 若 ，则是一个集合键 D. 集合键共有6个 10. 若a，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 最大值是 11. 已知函数，有4个零点，，，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. 函数的图象关于轴对称 C. D. 的取值范围是 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，则__________. 13. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为______. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为_____． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若是的必要条件，求a的取值范围． 16. 定义在R上的函数，对任意的，恒有，且时，有. （1）判断的奇偶性并证明； （2）若，且对，都有恒成立，求k的取值范围. 17. 已知函数，函数的定义域为. （1）证明：函数图象关于点成中心对称图形，并求坐标； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 18. 已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 19. 若函数满足:，则称函数为阶对称函数，已知是2阶对称函数. （1）求实数值； （2）求函数的值域； （3）若，讨论关于的方程的解的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙大学附属中学高一期中考试数学 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】中，，故为1，为1或2，而中，，为1，为1或2，用列举法写出和，再求即可． 【详解】因为，，且，， 所以，， 所以. 故选：A. （2025·北京） 2. 已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，利用常数代换技巧求最值判断D. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 结合A，， 当时，等号成立，故B错误； 结合A，， 所以，当时，等号成立，故C错误； ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确． 故选：D． 4. 当时，不等式 恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式先分离参量，然后解不等式求出的取值范围 【详解】当时，不等式可转化为 ， 当时， 解得 取不到，故 故选 【点睛】本题考查了含有参量的恒成立问题，在求解过程中可以分离参量，然后解不等式，注意取等号时的条件 5. 若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，由基本不等式可得的最小值等于，故，从而得到实数的最大值． 【详解】由不等式可得， 故的最小值． 因为，当且仅当时，等号成立， 故的最小值等于， 故，所以，则实数的最大值为. 故选：A． 6. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，利用是偶函数可得，将不等式转化为，利用当时，单调递减，将转化为，解出此不等式；的定义域为，得到，解出此不等式组，从而得解. 【详解】定义在上的偶函数，，， 当时，单调递减，当时，单调递减， 定义在上的偶函数， ，，， 当时，单调递减， ，，即， 解得或， 的定义域为， ，， ， 或和要同时成立， ， 关于的不等式的解集为. 故选：C. 7. 已知，若当且仅当或，其中，，为实数，则方程的所有实根的和为（ ） A. B. C. D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，1为方程的一个根，可求得，进而解出方程的实数根，进而求解即可. 【详解】由题意知，1为方程的一个根， 所以，即， 此时， 令，得， 即为， 即为， 即， 即为，解得，，， 则的解为或，满足题意， 所以方程的实根为，即所有实根的和为11． 故选：D 8. 定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为偶函数可得，转化题设不等式为，结合单调性分析易得的解集为，的解集为，再结合题意可得5为方程的根，进而得到，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，所以，则， 由， 得， 又因为函数在上单调递减，且， 则函数在上单调递增， 则时，，当时，， 则当时，， 当时，， 所以的解集为，的解集为， 由于不等式的解集为， 当时，不等式为， 此时解集为，不符合题意； 当时，不等式解集为， 不等式解集为， 要使不等式的解集为， 则，即； 当时，不等式解集为， 不等式解集为， 此时不等式的解集不为； 综上所述，， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为. 故选：C 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知 ，且 均不为空集，对于集合 ，我们把集合{}记作 . 例如， ，则有 . 当集合 有 3 个元素，且最大元素不大于 2 时，称集合 为一个集合键. 那么，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则中有 3 个元素 B. 若，则 C. 若 ，则是一个集合键 D. 集合键共有6个 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用的定义，以及集合键的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由集合，可得， 所以中有3个元素，所以A正确； 对于B，由集合，根据的定义，可得，所以B正确； 对于C，由集合，可得， 此时中有4个元素，所以不是一个集合键，所以C错误； 对于D，要使得中有个元素，且最大元素不大于， 则有：；；； ；；；，共计6个， 所以共有6个集合键，所以D正确. 故选：ABD. 10. 若a，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式依次判断即得. 【详解】由a，，，可得， 对于A，，当且仅当，即取等号，所以，同理，故，故A错误； 对于B，∵，当且仅当，即时取等号， ∴，即的最大值为，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，故C正确； 对于D，由题可得，， ∴， 而，当且仅当，即时取等号， ∴，即的最大值是，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，有4个零点，，，，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. 函数的图象关于轴对称 C. D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出时的函数解析式，判断函数是偶函数，则函数图象关于轴对称，根据题意，作出函数的图象，结合图象，可得 ，，逐项分析判断即可求解. 【详解】因为 ， 所以当 时， ， 所以 ， 即， 当 时， ， 所以是偶函数，所以函数 的图象关于轴对称，所以选项B正确； 函数有4个零点，所以时有两个零点，有两个的正根， 则 ，解得 ，所以选项 A 正确； 由题意，作出函数的图象，根据函数的图象关于轴对称，可得 ， 又因为的两根，所以， 所以 ，所以选项 C 错误； 因为， 根据图象，可得 ，所以 ， 所以选项 D 正确误， 故选： ABD . 【点睛】关键点点睛：解答本题关键是根据解析式画出函数图象，并根据图象分析判断；函数图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式确定集合，再由交集定义计算． 【详解】，即， 又， 所以， 故答案为：． 13. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为______. 【答案】或 【解析】 【分析】将不等式分解可得，根据不等式恒成立对的取值分类讨论可得结果. 【详解】由已知可得， 易知该不等式对应的三个根为，且恒成立； 由已知时，不等式恒成立， 则需满足（1），解得成立； （2）时，，，解得成立； 综上可得或. 故答案为：或 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可 【详解】， 不等式可变形为，即， 函数是定义在上的偶函数，， 所以为偶函数，若函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 故答案为：． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若是的必要条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求出集合，根据集合交并补即可得到答案； （2）转化为，再分和讨论即可. 【小问1详解】 因为或， ， 所以， . 【小问2详解】 若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故的取值范围为. 16. 定义在R上的函数，对任意的，恒有，且时，有. （1）判断的奇偶性并证明； （2）若，且对，都有恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）令，求得，再令，求得，即可得证； （2）令，则，设，证得，得到在上单调递增，转化为，得到，设，令，利用单调性的定义，证得在上单调递增，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 因为对任意的，恒有， 令，则，即， 令，则， 可得，即， 所以是奇函数. 【小问2详解】 令，则， 不妨设，则， 因为，则， 即， 又因为当时，，则，即， 所以在上单调递增， 令，则， 令，则，， 因为，都有， 又因在上单调递增，所以，都有， 设， 令，对于函数，任取， 则， 因为，所以， 故，即， 所以函数在上单调递增，则， 可得，即， 所以，即，所以或， 故的取值范围为或. 17. 已知函数，函数的定义域为. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）证法一：证明出函数为奇函数，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； 证法二：计算出，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； （2）分析可知，函数的图象关于点对称，根据可求出的值，可得出函数在时的解析式，当时，可得出可得出函数的解析式，综合可得出函数的解析式. 【小问1详解】 函数的定义域为， 证法一： ， 所以，， 所以，函数为奇函数， 故函数的图象关于点对称，其对称中心为； 证法二：因为 ， 所以，函数图象关于点对称，其对称中心为. 【小问2详解】 因为函数的图象关于点中心对称， 因为，解得， 当时，。 当时，，则 ， 所以，， 综上所述，. 18. 已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），奇函数 （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 小问1详解】 因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. 【小问2详解】 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; 【小问3详解】 在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 19. 若函数满足:，则称函数为阶对称函数，已知是2阶对称函数. （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若，讨论关于的方程的解的个数. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由阶对称函数的定义，通过整理函数解析式后建立等式，求得的值； （2）将的值代入函数解析式并整理，用换元将函数解析式简化为双勾函数，借助基本不等式求得双勾函数定义域，再由双勾函数的单调性求出函数值域； （3）将方程因式分解，由（2）中函数的值域求方程的根，讨论的不同取值，找到对应方程的解的个数. 【小问1详解】 因为是2阶对称函数，所以当时，有， 又时，， 故， 所以 ， 又，则恒成立， 即恒成立，则，故实数的值为 2. 【小问2详解】 由（1）知，即，定义域， 故， 令，则或，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，又， 时，时，， 故在或时的值域为， 即函数的值域是 . 【小问3详解】 由已知，所以或， 因为，故，由（2）知的值域是， 故无解，下面讨论方程的解的个数： ① 当时，，由（2）知，的值域是， 故无解，所以当时，原方程的解的个数为0； ② 当时，，即有唯一解，又， 即，方程的解是， 故有2个解，所以当,时,原方程的解的个数为2 ; ③当时，， 解得有两根，且解得，又 ， 即，此方程有2解， ，此方程有2解，故有4个解, 所以当时,原方程有4个解； ④当时，，即有两解， 且，又 ， ，此方程有唯一解， ，此方程有2个解,故有3个解, 所以当时，原方程有3个解； ⑤ 当时， ， 解得有两根，且， 又 ，该方程无解，方程有 2 解， 故有2个解, 所以当时，原方程有2个解； 综上所述:当时，原方程的解的个数为0； 当或时，原方程的解的个数为2； 当时，原方程的解的个数为3； 当时，原方程的解的个数为4. 【点睛】方法点睛，讨论方程的解的个数，可以转化为求函数的零点个数，也可以转化为两个函数交点个数.本题就是将方程解的个数转化为函数与直线和的交点个数，这个时候就需要根据函数的值域来进行讨论即可得出结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $