专题02 有理数的运算（期末复习优选题集训 17个高频易错题型讲练 共51题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册培优讲练

该初中数学讲义以“高频易错题型”为核心构建有理数运算知识体系，按加减混合运算、乘除简便运算、实际应用等17类易错点分类，覆盖基础运算到科学记数法、近似数等拓展内容，清晰呈现知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于“易错点+情境化”练习设计，如出租车行程计算、数轴翻折问题等培养数学眼光，程序流程图、算24点题型提升运算能力与推理意识，分层题目适配不同学生，助力教师实施精准教学，促进学生自主复习与核心素养发展。

专题02 有理数的运算 （17个高频易错题型讲练 共51题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 有理数的加减混合运算 1 易错题型2 有理数加减中的简便运算 2 易错题型3 有理数加减混合运算的应用 3 易错题型4 有理数乘除混合运算 5 易错题型5 有理数乘除中的简便运算 5 易错题型6 有理数四则混合运算 6 易错题型7 有理数四则混合运算的实际应用 7 易错题型8 根据点在数轴的位置判断式子的正负 8 易错题型9 数轴上的翻折 9 易错题型10 乘方运算的符号规律 10 易错题型11 程序流程图与有理数计算 11 易错题型12 算“24”点 12 易错题型13 含乘方的有理数混合运算 13 易错题型14 用科学记数法表示绝对值大于1的数 13 易错题型15 求一个数的近似数 15 易错题型16 求近似数的精确度 15 易错题型17 近似数推断取值范围 15 易错题型1 有理数的加减混合运算 1．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动个单位长度，第二次向反方向移动个单位长度，第三次向正方向移动个单位长度，第四次向反方向移动个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广西南宁·期中）阅读材料，回答问题： 因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当 时，如； 当时，，如，，根据以上信息完成下列问题： (1)______； (2)______； (3)计算： 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错题型2 有理数加减中的简便运算 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 5．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． ②仿照上面的方法计算：． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下面的等式，并解决问题： ，；，； ，； … (1)化简； (2)求的值． 易错题型3 有理数加减混合运算的应用 7．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.1升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费8元，超过的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 8．（25-26七年级上·北京海淀·期中）在直线跑道上，小亮和小伟站在同一起跑线上，面朝相同方向进行一场游戏，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者前进1米，负者后退1米．如果出现连胜情况，每回合胜者前进距离依次增加1米，负者后退距离保持不变．例如，在小亮的3连胜中，他第一回合前进1米，第二回合前进2米，第三回合前进3米，小伟每回合后退1米．若两人一共进行20回合的游戏，其中小亮出现一次3连胜，小伟出现一次3连胜和一次4连胜，此外，两人均未出现其他连胜情况，则在游戏结束时两人相距 米 9．（25-26七年级上·安徽黄山·期中）快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．每台分拣机器人每小时可以分拣1.8万件包裹，大大提高了分拣效率．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入．如表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量记为正，未达计划量记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（万件） (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期______，最少的一天是星期______，最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹． (2)该仓库本周实际一共分拣包裹多少万件（列式并计算）？ 易错题型4 有理数乘除混合运算 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法：其中正确的是 ．（填序号） ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是；②不存在任何“加括号操作”的运算结果是③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 11．（25-26七年级上·重庆·期中）计算： (1)： (2)； 12．（25-26七年级上·广西崇左·期中）计算： (1)； (2)． 易错题型5 有理数乘除中的简便运算 13．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 14．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）计算 15．（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）计算：． 易错题型6 有理数四则混合运算 16．（25-26七年级上·河南信阳·期中）阅读下面的解题过程： 计算． 解：原式  （第一步）   （第二步）   （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误的原因是______，第二处是第______步，错误的原因是______； (2)把正确的解题过程写出来． 17．（25-26七年级上·新疆·期中）定义新运算：对任意非零实数a、b，有，则 ． 18．（25-26七年级上·重庆巴南·期中）同学们已经了解：表示数轴上有理数与所对应两点之间的距离，比如就表示与在数轴上对应点的距离．同理可以表示数轴上有理数所对应点到和所对应点的距离之和，则使得取得最小值的最小负整数的值是 ；若，则的最小值为 易错题型7 有理数四则混合运算的实际应用 19．（25-26七年级上·河北唐山·期中）草莓是一种时令水果，不易保存．某水果店以每千克25元的价格购进20千克，并以不同的价格把这20千克草莓陆续卖完．若以每千克35元的价格为标准价，将售价高于标准价记为正，低于标准价记为负，销售结果如下表： 售出数量/千克 3 6 3 3 5 单价/（元/千克） (1)根据上表的数据可知每千克草莓最高售价为 元，最低售价为 元； (2)该水果店销售完这批草莓是赔了还是赚了，赔了或赚了多少元？（损耗忽略不计） 20．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）某水果超市最近新进了一批苹果，每千克进价6元，标准售价为每千克11元．为合理定价，第一周试行机动价格，超市记录苹果的实际单价相对标准售价的波动情况和销售质量如下表所示（“+”表示高于标准售价的部分，“-”表示低于标准售价的部分）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 单价波动（元） 0 销售质量（千克） 40 60 25 50 30 20 80 (1)第一周星期三超市售出的苹果单价为_______元，这天的利润是______元； (2)最高销售单价比最低销售单价高_______元； (3)第一周超市出售此种苹果，盈利或亏损多少元？ 21．（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在太原迎泽公园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：． (1)将第几位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 易错题型8 根据点在数轴的位置判断式子的正负 22．（25-26七年级上·北京·月考）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，，有以下结论： ①；②；③；④． 则所有正确的结论是（   ） A．①，④ B．①，③ C．②，③ D．②，④ 23．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，，，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26七年级上·天津和平·期中）如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，点，，对应的数分别是，，．从下列四个条件：①；②；③；④中任取两个进行组合．下面四个选项中，（   ）可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分中的某一个部分． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 易错题型9 数轴上的翻折 25．（25-26七年级上·河南郑州·期中）小慧发现利用数轴结合所学的代数与几何知识可以解决很多问题： (1)利用数轴找出表示和6的两点的距离为 ，中点表示的数为 ． (2)按（1）中的问题多尝试几组数，发现规律并思考：如果折叠数轴，当表示和44的点重合时，表示2025的点和表示 （填数字）的点重合；此时恰好有两数相距106，则这两数的积为 ． (3)动点A、B分别从表示和2点处出发，以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向左运动，同时C从6处以每秒个单位长度的速度向右运动，是否存在有理数使得的值为定值？若存在直接写出和定值，若不存在请说明理由． 26．（25-26七年级上·山西忻州·期中）综合与探究 数轴的概念最早由法国数学家勒内·笛卡尔在其对数学的研究中系统引入．在此之前，数学家们对“数”的理解多停留在抽象的运算层面，缺乏直观的几何表示．数轴的出现，将数与几何图形（直线上的点）紧密结合，开创了“数形结合”的数学思想方法． 如图所示数轴上，点，，分别表示的数字为，，． 【知识应用】 （1）若数轴上有一点，满足到，两点距离相等，则点表示的数是____________； 【初步分析】 （2）将数轴折叠后，点与点重合，点与点重合，则点表示的数是____________； 【深入探究】（3）①当对折点为点时，与点重合的点表示的数为____________； 此时，对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为____________；（用代数式表示） ②当对折点为之间任意一点，且它表示的数为时，左侧表示数的点与右侧表示数____________的点重合．（用代数式表示） 27．（25-26七年级上·浙江金华·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使表示的点1与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点分别表示什么数； 操作三： （3）在数轴上剪下10个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，求折痕处对应的点所表示的数是什么？ 易错题型10 乘方运算的符号规律 28．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，则的最小值为 ． 29．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 30．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 易错题型11 程序流程图与有理数计算 31．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是12，第1次输出的结果是6，第2次输出的结果是3，依次继续下去…，第2025次输出的结果是（　　） A．2 B．3 C．6 D．8 32．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有一个有趣“有理数转换器”，如图所示箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器 （1）当输入数字为5时，输出的结果是 ； （2）若输入有理数为n，轴出的结果是5，且知道，则输入的数n是 ．      33．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图是一个数学游戏活动，、、、分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及、、、四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号） (1)6经过、、、的顺序运算，列算式并计算结果是多少？ (2)经过▅、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是______． 易错题型12 算“24”点 34．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 35．（25-26七年级上·陕西西安·期中）现有4张写着不同数字的卡片，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，则积的最大值是______；从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，则商的最小值是______； (2)从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，你所选择的数字是______，结果的最大值是______； (3)用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或的算式．（写出一个符合要求的即可） 36．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”用四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 易错题型13 含乘方的有理数混合运算 37．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）计算： (1) (2) 38．（25-26七年级上·河北保定·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 39．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）李老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数的混合运算，规则是：每名同学只能利用前一位同学的式子，进一步计算，再将结果传给下一位同学，最后解决问题．如图所示的接力过程中，哪位同学负责的那一步开始出错的?错误的原因是?并写出正确解答过程 易错题型14 用科学记数法表示绝对值大于1的数 40．（25-26七年级上·河北唐山·期中）阅读下面的解题过程：计算：． 解：原式…………第①步 …………………………第②步 ………………………………………第③步 (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错误的原因是 ；第二处是第 步，错误的原因是 ； (2)写出正确的解题过程，并用科学记数法表示计算结果． 41．（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） (1)经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 42．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）计算机存储容量的基本单位是字节，常用B表示．计算机一般用（千字节），（兆字节），（吉字节）等表示存储容量的计量单位，它们之间的关系为，，． (1)若一台电脑的硬盘存储容量为，相当于多少千字节？（结果用科学记数法表示） (2)现有一本约50万字的无图片纯文本小说，根据编码，每个汉字通常占3字节，即这样一本书的容量约为．那么的硬盘可存储多少本这样的书？（结果精确到千位） 易错题型15 求一个数的近似数 43．（25-26七年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 44．（25-26七年级上·云南昆明·期中）下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到个位 B．万精确到千位 C．用四舍五入法对取近似数，精确到千位是 D．用四舍五入法对取近似数，精确到百分位是 45．（25-26七年级上·四川德阳·期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.0502（精确到0.0001） C．0.050（精确到千分位） D．0.10（精确到百分位） 易错题型16 求近似数的精确度 46．（25-26七年级上·四川广元·期中）下列说法正确的个数是（   ） ①0是绝对值最小的有理数；②那么；③0只表示“没有”的意义；④立方等于本身的数：；⑤近似数精确到千位；⑥倒数等于它本身的数：、0；⑦是负数． A．5 B．4 C．3 D．1 47．（25-26七年级上·河南南阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．3.6万精确到十分位 B．表示负数 C．数3120000用科学记数法表示为 D．与相等 48．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）①任何有理数都可以用数轴上的点表示；②一定是负数；③近似数精确到百分位；④若，则．其中正确的有 （填序号）． 易错题型17 近似数推断取值范围 49．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 ，最小是 ． 50．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）近似数的准确值a的取值范围是 ． 51．（2025七年级上·河南开封·专题练习）一个两位小数保留一位小数是，这个两位小数最大是( )，最小是( )． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的运算 （17个高频易错题型讲练 共51题 新教材） 【解析版】 易错题型1 有理数的加减混合运算 1 易错题型2 有理数加减中的简便运算 4 易错题型3 有理数加减混合运算的应用 6 易错题型4 有理数乘除混合运算 9 易错题型5 有理数乘除中的简便运算 11 易错题型6 有理数四则混合运算 13 易错题型7 有理数四则混合运算的实际应用 15 易错题型8 根据点在数轴的位置判断式子的正负 17 易错题型9 数轴上的翻折 19 易错题型10 乘方运算的符号规律 25 易错题型11 程序流程图与有理数计算 26 易错题型12 算“24”点 30 易错题型13 含乘方的有理数混合运算 32 易错题型14 用科学记数法表示绝对值大于1的数 34 易错题型15 求一个数的近似数 36 易错题型16 求近似数的精确度 38 易错题型17 近似数推断取值范围 39 易错题型1 有理数的加减混合运算 1．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动个单位长度，第二次向反方向移动个单位长度，第三次向正方向移动个单位长度，第四次向反方向移动个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了数轴上点的平移、有理数的加减混合运算．数轴上点的移动规律是“左减右加”，蜗牛从数轴上表示的点出发，移动规律为：奇数次向正方向移动，移动距离为移动次数；偶数次向反方向移动，移动距离为移动次数．根据向正方向移动的加，向反方向移动的减，列式计算第次（奇数次）移动后的位置． 【规范解答】解： ． 故选：A． 2．（25-26七年级上·广西南宁·期中）阅读材料，回答问题： 因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当 时，如； 当时，，如，，根据以上信息完成下列问题： (1)______； (2)______； (3)计算： 【答案】(1)3 (2) (3) 【思路点拨】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握去绝对值法则． （1）根据去绝对值的法则求解即可； （2）根据去绝对值的法则求解即可； （3）根据去绝对值的法则求解即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：3； （2）解：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)8 (3) (4) 【思路点拨】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则和运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （2）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （3）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （4）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 易错题型2 有理数加减中的简便运算 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键； （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （3）利用加法的交换律和结合律计算即可； （4）先化简括号和绝对值，再利用加法运算律计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用拆项法将原式变形，然后利用加法的交换律与结合律计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下面的等式，并解决问题： ，；，； ，； … (1)化简； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查有理数的加减运算，绝对值的意义，类比题中示例进行去绝对值是解题的关键． （1）先类比题中示例去掉绝对值再进行减法运算； （2）先类比题中示例去掉绝对值再进行加减运算． 【规范解答】（1）解：； （2）解： ． 易错题型3 有理数加减混合运算的应用 7．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.1升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费8元，超过的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【答案】(1)接完第5批客人后，该驾驶员在公司的东边6千米处 (2)在这个过程中共耗油2升 (3)在这个过程中该驾驶员共收到车费49.6元 【思路点拨】本题主要考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义，解题的关键是熟练运用正负数的意义，掌握有理数加法及乘法运算法则． （1）根据有理数加法运算法则，结合正负数的意义即可求出答案； （2）先求出所行驶路程总和，然后再求耗油量； （3）根据题意分别求每批客人的运费，从而求解． 【规范解答】（1）解： 答：接完第5批客人后，该驾驶员在公司的东边6千米处； （2）（升） 答：在这个过程中共耗油2升； （3）只有第1，3，5批客人超出， （元）， 答：在这个过程中该驾驶员共收到车费49.6元． 8．（25-26七年级上·北京海淀·期中）在直线跑道上，小亮和小伟站在同一起跑线上，面朝相同方向进行一场游戏，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者前进1米，负者后退1米．如果出现连胜情况，每回合胜者前进距离依次增加1米，负者后退距离保持不变．例如，在小亮的3连胜中，他第一回合前进1米，第二回合前进2米，第三回合前进3米，小伟每回合后退1米．若两人一共进行20回合的游戏，其中小亮出现一次3连胜，小伟出现一次3连胜和一次4连胜，此外，两人均未出现其他连胜情况，则在游戏结束时两人相距 米 【答案】10或14 【思路点拨】本题主要考查了整数的加减运算的应用，理解游戏过程以及分类讨论思想是解题的关键． 先分析确定胜负情况，然后运用整数的加减运算求解即可． 【规范解答】解：小亮出现一次3连胜前进：； 小伟出现一次3连胜和一次4连胜，； 其余10回合为小亮胜6回合或小伟胜5回合， ①当其余10回合小亮胜6回合时，则负4回合，总共负11回合， ∴其余10回合小伟负6回合时，则胜4回合，总共负9回合， ∴此时小亮距离出发点的距离为：；小伟距离出发点的距离为：； ∴游戏结束时两人相距米； ②当其余10回合小亮胜5回合时，则负5回合，总共负12回合， ∴其余10回合小伟负5回合时，则胜5回合，总共负8回合， ∴此时小亮距离出发点的距离为：；小伟距离出发点的距离为：； ∴游戏结束时两人相距米； 综上，游戏结束时两人相距为10或14米． 故答案为：10或14． 9．（25-26七年级上·安徽黄山·期中）快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．每台分拣机器人每小时可以分拣1.8万件包裹，大大提高了分拣效率．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入．如表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量记为正，未达计划量记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（万件） (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期______，最少的一天是星期______，最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹． (2)该仓库本周实际一共分拣包裹多少万件（列式并计算）？ 【答案】(1)六；日；14 (2)（万件） 【思路点拨】本题考查了正负数的意义和有理数的混合运算，正确理解正负数的意义是解题的关键． （1）根据正负数的意义求解； （2）先求总的增减，再求总和即可． 【规范解答】（1）解：这些数字中，8是最大的，是最小的， 故该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天是星期日， ， 故答案为：六；日；14． （2）解：（万件）， 答：该仓库本周实际一共分拣包裹143万件． 易错题型4 有理数乘除混合运算 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法：其中正确的是 ．（填序号） ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是；②不存在任何“加括号操作”的运算结果是③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 【答案】①② 【思路点拨】将的“加括号操作”的所有结果计算出来即可得解．本题主要考查了有理数混合运算，将的“加括号操作”的所有结果列出来，并进行正确的计算是解题的关键． 【规范解答】解：对于，进行“加括号操作”的所有结果如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 观察以上结果发现：至少存在一种“加括号操作”的运算结果是，故①正确； 不存在任何“加括号操作”的运算结果是，故②正确； 所有“加括号操作”共有9种不同的运算结果，即，，，，，，，，，故③错误． 综上，①②都是正确的， 故答案为：①②． 11．（25-26七年级上·重庆·期中）计算： (1)： (2)； 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的乘除法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·广西崇左·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先写成省略加号和括号的形式，再利用加法结合律，将同分母的分数结合在一起先计算； （2）先分别计算乘法和除法，再计算减法． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 易错题型5 有理数乘除中的简便运算 13．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）计算 【答案】 【思路点拨】本题主要考查有理数的混合运算，包括乘法、加法和除法．将除法转换成乘法，根据乘法分配律和逆用乘法分配律计算即可． 【规范解答】解： ． 15．（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）计算：． 【答案】． 【思路点拨】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，乘法运算律，根据有理数的加减乘除混合运算，乘法运算律进行求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解： ． ． 易错题型6 有理数四则混合运算 16．（25-26七年级上·河南信阳·期中）阅读下面的解题过程： 计算． 解：原式  （第一步）   （第二步）   （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误的原因是______，第二处是第______步，错误的原因是______； (2)把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)二，运算顺序错误，三，符号错误 (2)答案见解析 【思路点拨】此题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数． （1）从第一步到第二步，同级运算应从左到右依次进行，而原解法先计算了乘法，所以第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是符号错误． （2）根据有理数除法、乘法的运算方法，从左向右，求出答案即可． 【规范解答】（1）解：上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是符号错误．故答案为：二，运算顺序错误；三，符号错误； （2）解：原式 ； 17．（25-26七年级上·新疆·期中）定义新运算：对任意非零实数a、b，有，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了新定义，有理数的四则混合运算，根据新定义，将每个项写为 ，然后利用裂项法计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·重庆巴南·期中）同学们已经了解：表示数轴上有理数与所对应两点之间的距离，比如就表示与在数轴上对应点的距离．同理可以表示数轴上有理数所对应点到和所对应点的距离之和，则使得取得最小值的最小负整数的值是 ；若，则的最小值为 【答案】 【思路点拨】本题考查了绝对值的几何意义，数轴点的距离，熟悉掌握绝对值的几何意义与化简是解题的关键． 对于第一部分，根据绝对值的几何意义，表示数轴上到和的距离之和，当在与之间时，该和取得最小值，其中最小负整数为；对于第二部分，的最小值为，乘积为时，两者均取最小值，因此，，求的最小值，当，时取得最小值，分别代入运算即可． 【规范解答】解：对于，表示到和的距离之和，当在与之间时，该和取得最小值，最小值为，其中负整数包括和，最小负整数为， 对于， 由于，，且， 因此，， 所以，， 要求的最小值，因此当取最小值，取最小值时，最小， 所以． 故答案为；． 易错题型7 有理数四则混合运算的实际应用 19．（25-26七年级上·河北唐山·期中）草莓是一种时令水果，不易保存．某水果店以每千克25元的价格购进20千克，并以不同的价格把这20千克草莓陆续卖完．若以每千克35元的价格为标准价，将售价高于标准价记为正，低于标准价记为负，销售结果如下表： 售出数量/千克 3 6 3 3 5 单价/（元/千克） (1)根据上表的数据可知每千克草莓最高售价为 元，最低售价为 元； (2)该水果店销售完这批草莓是赔了还是赚了，赔了或赚了多少元？（损耗忽略不计） 【答案】(1)43；25 (2)赚了，赚了189元 【思路点拨】此题主要考查了正数和负数，有理数加减乘除的运算方法，掌握正负数的含义及运算法则是解题的关键． （1）由正负数含义求解即可； （2）根据总价=单价数量，分别求出按照不同价格售出的利润，再求和即可． 【规范解答】（1）根据题意，最高售价为（元）， 最低售价为（元）， 故答案为：43；25； （2）解： （元）， 答：赚了，赚了189元． 20．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）某水果超市最近新进了一批苹果，每千克进价6元，标准售价为每千克11元．为合理定价，第一周试行机动价格，超市记录苹果的实际单价相对标准售价的波动情况和销售质量如下表所示（“+”表示高于标准售价的部分，“-”表示低于标准售价的部分）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 单价波动（元） 0 销售质量（千克） 40 60 25 50 30 20 80 (1)第一周星期三超市售出的苹果单价为_______元，这天的利润是______元； (2)最高销售单价比最低销售单价高_______元； (3)第一周超市出售此种苹果，盈利或亏损多少元？ 【答案】(1)11，125 (2) (3)盈利1440元 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义用最大的数减去最小的数即可； （3）根据题意列式计算即可． 【规范解答】（1）解：（元）， （元）， 即第一周星期三超市售出的苹果单价为11元，这天的利润是125元， 故答案为：11；125； （2）解： （元）， 即最高销售单价比最低销售单价高元， 故答案为：； （3）解：当按标准售价销售时，每千克苹果的利润为（元）， 则 （元）， 即盈利1440元． 21．（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在太原迎泽公园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：）如下：． (1)将第几位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)将第6位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远 (2)6.8立方米 (3)56.8元 【思路点拨】本题考查正负数的意义及有理数混合运算的应用，理解有理数的意义，明确符号和绝对值的意义是正确解答的前提． （1）求出这几个数的和，根据符号、绝对值判断位置； （2）求出所有数的绝对值的和，即行驶的总路程，进而求出用气量； （3）八名顾客均有起步价，再求出超出3千米的加价 即可求出总车费． 【规范解答】（1）解：， ， ． ∵， ∴将第6位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远． （2）解： 答：这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米． （3）解：元， 答：小李这天上午共得车费56.8元． 易错题型8 根据点在数轴的位置判断式子的正负 22．（25-26七年级上·北京·月考）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，，有以下结论： ①；②；③；④． 则所有正确的结论是（   ） A．①，④ B．①，③ C．②，③ D．②，④ 【答案】A 【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较，数轴及绝对值的知识，解题关键是结合数轴得出a、b的大小关系． 根据，a在坐标轴的位置，结合各项结论进行判断即可． 【规范解答】解：①∵，， ∴，故①正确； ②∵，， ∴，故②错误； ③∵，，， ∴，故③错误； ④，故④正确． 综上可得①④正确． 故选：A． 23．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了数轴与有理数的符号、绝对值的关系，解题关键是结合判断、异号，再通过确定绝对值的大小关系． 由得、异号，结合数轴，确定、；由（正数加负数为正），据此逐一判断选项． 【规范解答】由可知、异号，结合数轴，得、； 又因 所以， 故选项A正确，符合题意； 因，故是负数；而是正数（）； 负数不可能大于正数，因此不成立． 故选项B错误，不符合题意； 因，故（正数）； 由可得，即； 因此不成立． 故选项C错误，不符合题意； 由（、），正数与负数相加为正，说明； 因此不成立 故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 24．（25-26七年级上·天津和平·期中）如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，点，，对应的数分别是，，．从下列四个条件：①；②；③；④中任取两个进行组合．下面四个选项中，（   ）可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分中的某一个部分． A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较，数轴上表示有理数，有理数的乘法加法．分别从每一个选项出发，根据有理数的运算进行判断即可． 【规范解答】解：A、则①；②，可确定，都是正数，但不能确定的符号，该选项不符合题意； B、由③；④，可确定是负数，是正数，但不能确定的符号，该选项不符合题意； C、由①；③，不能确定的符号，该选项不符合题意； D、由，可确定是负数，是正数，由，可确定，都是正数，则原点在Ⅱ这个部分； 故选：D． 易错题型9 数轴上的翻折 25．（25-26七年级上·河南郑州·期中）小慧发现利用数轴结合所学的代数与几何知识可以解决很多问题： (1)利用数轴找出表示和6的两点的距离为 ，中点表示的数为 ． (2)按（1）中的问题多尝试几组数，发现规律并思考：如果折叠数轴，当表示和44的点重合时，表示2025的点和表示 （填数字）的点重合；此时恰好有两数相距106，则这两数的积为 ． (3)动点A、B分别从表示和2点处出发，以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向左运动，同时C从6处以每秒个单位长度的速度向右运动，是否存在有理数使得的值为定值？若存在直接写出和定值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)10；1 (2)； (3)存在，，定值为34 【思路点拨】本题考查了数轴表示有理数，数轴上两点间距离的计算，中点计算公式，数轴的折叠问题，动点问题与定值探究，解决本题的关键是熟练掌握数轴的性质并会表示代数式，对动点的运动规律进行分析． （1）根据数轴上表示的点求解两点间距离与中点表示的数即可； （2）先求解表示和44的点重合的点，再根据点为2025列式求解即可；设这两个数分别为m和n，根据两点间距离与m与n的关系列式求解即可． （3）根据点A，点B，点C的运动速度，可表示运用时间t秒后，三点表示的数，由两点间距离可表示与，再根据定值可得t的系数为零，由此求解即可． 【规范解答】（1）解：和6的两点的距离为， 中点表示的数为 故答案为：10；1． （2）解：当表示和44的点重合时， ∴折叠点为， 设表示2025的点为x, ∴，解得， ∴表示2025的点和表示的点重合； 设这两个数分别为m和n， ∵折叠点为， ∴，即①， ∵两数相距106，即②， ∴①②可得，解得， ∴， ∴这两数的积为． 故答案为：；． （3）解：存在，，定值为34． 设运动时间为t秒， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴， ， ∴， 若的值为定值， 则，解得，定值为34． 26．（25-26七年级上·山西忻州·期中）综合与探究 数轴的概念最早由法国数学家勒内·笛卡尔在其对数学的研究中系统引入．在此之前，数学家们对“数”的理解多停留在抽象的运算层面，缺乏直观的几何表示．数轴的出现，将数与几何图形（直线上的点）紧密结合，开创了“数形结合”的数学思想方法． 如图所示数轴上，点，，分别表示的数字为，，． 【知识应用】 （1）若数轴上有一点，满足到，两点距离相等，则点表示的数是____________； 【初步分析】 （2）将数轴折叠后，点与点重合，点与点重合，则点表示的数是____________； 【深入探究】（3）①当对折点为点时，与点重合的点表示的数为____________； 此时，对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为____________；（用代数式表示） ②当对折点为之间任意一点，且它表示的数为时，左侧表示数的点与右侧表示数____________的点重合．（用代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）①8；；② 【思路点拨】本题主要考查列代数式，数轴上两点距离及数轴上折叠问题、有理数的运算，熟练掌握数轴上两点距离及数轴上折叠问题、有理数的运算是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可进行求解． （2）①由点与点重合可知折叠点表示的数为； ②设点表示的数是，由题意得，进而问题可求解； （3）①设与点重合的点表示的数为，由题意得，即可求解；设与它重合的点表示的数为，由题意得，据此求解即可； ②设左侧表示数的点与右侧表示数为，由题意得，即可求解． 【规范解答】解：（1）∵点到，两点距离相等， ∴点表示的数是， 故答案为：； （2）∵将数轴折叠后，点与点重合， ∴折叠点表示的数为， 设点表示的数是， 由题意得，解得， ∴点表示的数是， 故答案为：； （3）①设与点重合的点表示的数为， 由题意得，解得， ∴与点重合的点表示的数为， 对折点左侧一个点表示的数为，则设与它重合的点表示的数为， 由题意得，解得， ∴对折点左侧一个点表示的数为，则与它重合的点表示的数为， 故答案为：；； ②设左侧表示数的点与右侧表示数为， 由题意得，解得， 故答案为：． 27．（25-26七年级上·浙江金华·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使表示的点1与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点分别表示什么数； 操作三： （3）在数轴上剪下10个单位长度（从到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，求折痕处对应的点所表示的数是什么？ 【答案】（1）2；（2）①；②A表示，B表示3；（3）或或． 【思路点拨】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题． （1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出与2重合； （2）根据对称性找到折痕的点为，①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②因为，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为，由此得出A、B两点表示的数； （3）分三种情况：、和，先求出的长，再利用数轴的性质求出点表示的数，由此即可得． 【规范解答】（1）解：∵表示的点1与表示的点重合， ∴折痕为原点O， 则表示的点与2表示的点重合， 故答案为： （2）解：∵折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合， 则折痕表示的点为， ①设表示的点与数a表示的点重合， 则， ； 故答案为： ②∵数轴上A、B两点之间距离为8， ∴数轴上A、B两点到折痕的距离为4， ∵A在B的左侧， 则A、B两点表示的数分别是和； （3）解：设C表示，D表示8， 如图，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 如图，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 如图，当时， ∵， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴折痕处对应的点所表示的数是； 综上，折痕处对应的点所表示的数是或或． 易错题型10 乘方运算的符号规律 28．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，则的最小值为 ． 【答案】0 【思路点拨】本题考查了绝对值的几何意义，掌握表示数轴上a这个点到b这个点的距离是解题的关键． 根据绝对值的几何意义，分析出和的取值范围，再根据乘积为36，找到x和y的取值范围，最后结合具有非负性，即可求解． 【规范解答】解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上点x到点1和点5的距离之和， ，且仅当时，等号成立， 同理，且仅当时，等号成立， 又， ， ， ∴， ， 当时，有最小值，最小值为0． 故答案为：0． 29．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【答案】(1)相等 (2) (3)5 【思路点拨】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 【规范解答】（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 30．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题有理数的运算，根据有理数的四则混合运算，乘除混合运算，有理数乘方对各选项进行计算即可作出判断．解题的关键是掌握相应的运算法则，运算顺序和运算律． 【规范解答】解：A．∵，， ∴，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 易错题型11 程序流程图与有理数计算 31．（25-26七年级上·湖北荆州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是12，第1次输出的结果是6，第2次输出的结果是3，依次继续下去…，第2025次输出的结果是（　　） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了数字变化的规律、有理数的混合运算及代数式求值，根据所给程序框图，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 当输出x的值是12时， 第1次输出的结果是6； 第2次输出的结果是3； 第3次输出的结果是8； 第4次输出的结果是4； 第5次输出的结果是2； 第6次输出的结果是1； 第7次输出的结果是6； …， 由此可见，从第1次输出的结果开始按6，3，8，4，2，1循环． 又因为余3， 所以第2024次输出的结果是8． 故选：D． 32．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有一个有趣“有理数转换器”，如图所示箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器 （1）当输入数字为5时，输出的结果是 ； （2）若输入有理数为n，轴出的结果是5，且知道，则输入的数n是 ．      【答案】 /0.5 或5或 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）根据程序框图列式计算即可； （2）由题意，根据程序框图，分情况讨论并求得对应的数值后进行判断即可． 【规范解答】解：（1）当输入数字为5时， ， ， 的相反数是2，是正数， 其倒数为，输出结果， 故答案为：； （2）若输入有理数为n，输出的结果是5， ①当时，其相反数为， 若为正， 则其倒数为5， 那么，，符合题意； 若为非正数， 其绝对值为n，结果为5， 那么，，符合题意； ②当时， 加上，即为， 当时，其相反数为， 若为正， 则其倒数为5， 那么， 解得：，，符合题意； 若为非正数， 其绝对值为，结果为5， 那么，，不符合题意； 当时， 加上，即为， 当时，其相反数为， 若为正， 则其倒数为5， 那么， 解得：，，不符合题意； 若为非正数， 其绝对值为，结果为5， 那么，，不符合题意； 综上，输入的数n是或5或， 故答案为：或5或 33．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图是一个数学游戏活动，、、、分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及、、、四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号） (1)6经过、、、的顺序运算，列算式并计算结果是多少？ (2)经过▅、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是______． 【答案】(1)34 (2)C、B、A． 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是严格遵循运算顺序进行计算，并通过结果逆向推导运算步骤． （1）按A、B、C、D顺序依次运算； （2）通过结果反推被遮挡的运算顺序． 【规范解答】（1）解：列式为 答：计算结果是34． （2）解：由得 对进行（平方）、（减3）、（乘）运算： ，符合要求． 故答案为：C、B、A． 易错题型12 算“24”点 34．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查有理数的运算，算24点，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算即可； （2）根据运算法则和运算顺序，设计出一个算式即可． 【规范解答】（1）解：乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算，故最小值是； （2）解：（答案不唯一）． 35．（25-26七年级上·陕西西安·期中）现有4张写着不同数字的卡片，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，则积的最大值是______；从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，则商的最小值是______； (2)从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，你所选择的数字是______，结果的最大值是______； (3)用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或的算式．（写出一个符合要求的即可） 【答案】(1)40， (2)，4096 (3)或 【思路点拨】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键； （1）要使积最大，选取的两个数是同号即可；要使商最小，选取的两个数是异号即可； （2）要使结果最大，应为乘方运算，底数选绝对值最大的数，次数是正偶数即可． （3）根据运算法则求解即可． 【规范解答】（1）解：取出2张卡片为，积的最大值是， 取出2张卡片为，商的最小值是． （2）解：所选择的数字是，结果的最大值是． （3）解：或． 36．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）泰泰有4张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：用学过的“，，，”用四张卡片运算，使结果为24．请写出2个运算式：①________②________ 【答案】(1)30 (2) (3)，． 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． （1）根据乘积最大的就是找符号相同且绝对值最大的数，即可求解； （2）根据2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，应选择被除数为绝对值尽可能大、除数绝对值尽可能小； （3）用加减乘除只要得数是24即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是：， 故答案为：30； （2）解：由题意可得，从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，最小值是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得，① ② 故答案为：，． 易错题型13 含乘方的有理数混合运算 37．（25-26七年级上·山东枣庄·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）逆用乘法分配律计算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 38．（25-26七年级上·河北保定·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，有理数的平方运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）去括号化简符合运算即可； （2）根据运算法则先乘除后加减运算即可； （3）利用乘法分配率运算即可； （4）优先化简平方，再根据运算法则运算即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 39．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）李老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数的混合运算，规则是：每名同学只能利用前一位同学的式子，进一步计算，再将结果传给下一位同学，最后解决问题．如图所示的接力过程中，哪位同学负责的那一步开始出错的?错误的原因是?并写出正确解答过程 【答案】乙同学出错，错误原因：乘除混合运算未按从左到右顺序，先算了()；正确过程见解析 【思路点拨】本题考查了有理数的含乘方的混合运算，熟练掌握有理数的运算顺序和运算法则是解题的关键．根据先乘方，再乘除，最后算加减，同级运算从左往右依次计算，有理数的加减乘除乘方运算法则进行判断并计算即可． 【规范解答】解：乙同学出错，错误原因：乘除混合运算未按从左到右顺序，先算了()； 正确过程： 易错题型14 用科学记数法表示绝对值大于1的数 40．（25-26七年级上·河北唐山·期中）阅读下面的解题过程：计算：． 解：原式…………第①步 …………………………第②步 ………………………………………第③步 (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错误的原因是 ；第二处是第 步，错误的原因是 ； (2)写出正确的解题过程，并用科学记数法表示计算结果． 【答案】(1)②；运算顺序错误；③；有理数除法法则运用错误 (2) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，科学记数法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数混合运算法则，同级运算应从左到右进行，原解法第②步先计算了乘法，存在运算顺序错误；第③步中，两负数相除应得正数，存在有理数除法法则运用错误； （2）根据有理数的混合运算法则，先计算括号内的减法，再把除法化成乘法，然后按顺序计算乘法即可，最后再把结果写成科学记数法的形式，其中，为整数． 【规范解答】（1）解：②；运算顺序错误（意思对即可）； ③；有理数除法法则运用错误（或同号相除得正，出现错误；或两数相除，符号出现错误，意思对即可）； （2）解：原式 ． 41．（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） (1)经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1)厘米 (2)天 【思路点拨】本题考查了科学记数法及其计算，正确表示各数是解题的关键； （1）先求出10亿元人民币的总张数，再计算高度； （2）用10亿元人民币的张数除以1天点钞机点的张数列式求解即可． 【规范解答】（1）解：10 亿， 所以10亿元面值为100元的新版人民币的总张数为， （厘米）； 答：将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有厘米高． （2）解：； 答：点钞机大约要点天． 42．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）计算机存储容量的基本单位是字节，常用B表示．计算机一般用（千字节），（兆字节），（吉字节）等表示存储容量的计量单位，它们之间的关系为，，． (1)若一台电脑的硬盘存储容量为，相当于多少千字节？（结果用科学记数法表示） (2)现有一本约50万字的无图片纯文本小说，根据编码，每个汉字通常占3字节，即这样一本书的容量约为．那么的硬盘可存储多少本这样的书？（结果精确到千位） 【答案】(1) (2)本 【思路点拨】本题考查用科学记数法表示较大的数，有理数的混合运算等知识． （1）根据，代入计算即可得出． （2）用转化成，然后除以即可得出答案． 【规范解答】（1）解：； 则相当于． （2）解：（本） 答：的硬盘可存储本这样的书． 易错题型15 求一个数的近似数 43．（25-26七年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 【答案】(1)小王加工的轴不合格，理由见解析 (2)轴长为的车间工人加工完原轴的范围是 【思路点拨】本题考查了近似数，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． （1）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格； （2）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【规范解答】（1）解：小王加工的轴不合格，理由如下： 图纸要求精确到，则原轴的范围是，故轴长为与的产品不合格； （2）解：近似数的要求是精确到， 所以轴长为的车间工人加工完原轴的范围是． 44．（25-26七年级上·云南昆明·期中）下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到个位 B．万精确到千位 C．用四舍五入法对取近似数，精确到千位是 D．用四舍五入法对取近似数，精确到百分位是 【答案】B 【思路点拨】本题考查近似数的精确度，理解四舍五入规则和数位含义是解决问题的关键．根据近似数的精确度定义，判断每个选项的精确位或四舍五入是否正确． 【规范解答】解：A、∵近似数中，1是个位，0是十分位，∴精确到十分位，不是个位，故A错误． B、∵万即，3是万位，2是千位，∴精确到千位，故B正确． C、∵精确到千位，需看百位数字；百位是9，∴应向千位进1，千位1进1后为2，故应为2千，不是，故C错误． D、∵精确到百分位，需看千分位数字，千分位是5，∴应向百分位进1，百分位5进1后为6，故应为，不是，故D错误． 故选：B． 45．（25-26七年级上·四川德阳·期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（    ） A．0.1（精确到0.1） B．0.0502（精确到0.0001） C．0.050（精确到千分位） D．0.10（精确到百分位） 【答案】D 【思路点拨】本题考查近似数的计算，熟练掌握取近似值的各种说法及四舍五入求近似值的方法是解题关键．根据四舍五入法，对0.05019按照各选项的精度要求进行近似计算，判断正误． 【规范解答】A、∵ 0.05019精确到0.1（十分位）时，百分位为5，应进位， ∴ 近似值为0.1，A正确； B、∵ 精确到0.0001（万分位）时，十万分位为9，应进位， ∴ 近似值为0.0502，B正确； C、∵ 精确到千分位时，万分位为1，应舍去， ∴ 近似值为0.050，C正确； D、∵ 精确到百分位时，千分位为0，应舍去， ∴ 近似值为0.05，但D选项为0.10，错误． 故选：D． 易错题型16 求近似数的精确度 46．（25-26七年级上·四川广元·期中）下列说法正确的个数是（   ） ①0是绝对值最小的有理数；②那么；③0只表示“没有”的意义；④立方等于本身的数：；⑤近似数精确到千位；⑥倒数等于它本身的数：、0；⑦是负数． A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】D 【思路点拨】本题考查有理数的绝对值、立方、倒数等概念，以及近似数的精确度． 逐项判断说法是否正确即可． 【规范解答】解：∵①0的绝对值为0，其他有理数绝对值均大于0，∴①正确； ∵②时，a与b可能相等或互为相反数，∴②错误； ∵③0还表示基准点（如温度）、占位符等，∴③错误； ∵④立方等于本身的数有0、，∴④错误； ∵⑤，最后一位0在十位，∴精确到十位，不是千位，∴⑤错误； ∵⑥倒数等于它本身的数是，0没有倒数，∴⑥错误； ∵⑦当a为负数或0时，为非负数，∴⑦错误； ∴正确说法为①，共1个． 故选：D． 47．（25-26七年级上·河南南阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．3.6万精确到十分位 B．表示负数 C．数3120000用科学记数法表示为 D．与相等 【答案】C 【思路点拨】本题考查近似数的精确度、负数的表示、科学记数法以及乘方的运算．需根据每个选项的定义逐一判断． 【规范解答】解： 选项A：3.6万，万表示精确到千位，而非十分位，∴ A错误； ∵ 选项B：表示的相反数，当时，但当时， 不一定表示负数， B错误； ∵ 选项C：，符合科学记数法（）的定义，∴ C正确； ∵ 选项D：，而，，∴ D错误． 故选：C． 48．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）①任何有理数都可以用数轴上的点表示；②一定是负数；③近似数精确到百分位；④若，则．其中正确的有 （填序号）． 【答案】① 【思路点拨】本题考查有理数的数轴表示、负数的定义、近似数的精确度以及绝对值的性质． 逐个分析判断其正确性，即可解答． 【规范解答】解：①任何有理数都可以用数轴上的点表示，正确． ②不一定是负数，当a为负数或零时，为非负数，错误． ③近似数表示16100，精确到百位，而不是百分位，错误． ④若，则a与b相等或互为相反数，不一定相等，错误． 故答案为：①． 易错题型17 近似数推断取值范围 49．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是，这个数最大是 ，最小是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查近似数，掌握知识点是解题的关键． 精确到百分位时，根据四舍五入法，需看千分位上的数字．近似数为，则原数最大时对应四舍情况，千分位小于5；最小时对应五入情况，千分位大于等于5． 【规范解答】解：设原数为三位小数（a、b、c分别为十分位、百分位、千分位数字）．精确到百分位时，若千分位，则舍去，近似数为，要求等于， 故，最大值为；若千分位，则向百分位进1，近似数为，要求等于，且进位后百分位为0、十分位为8，故，最小值为． 故答案为；． 50．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）近似数的准确值a的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查近似数的概念，解题的关键是掌握近似数中四舍五入的方法． 根据近似数中四舍五入的方法解题即可． 【规范解答】解：由题可知时，近似数是． 故答案为：． 51．（2025七年级上·河南开封·专题练习）一个两位小数保留一位小数是，这个两位小数最大是( )，最小是( )． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求近似数；要考虑是一个两位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的最大是，“五入”得到的最小是，即可求解． 【规范解答】解：一个两位小数保留一位小数是，这个两位小数最大是，最小是． 故答案为：，． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $