列方程解决实际问题（盈亏、归一归总）（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学沪教版

本讲义聚焦列方程解决实际问题，以“列方程基本步骤”为基础支架，系统梳理盈亏问题（围绕物品总数不变，涵盖一盈一亏、两盈、两亏等量关系）和归一归总问题（以单一量或总量为核心，结合公式推导）的核心规律，构建从基础步骤到具体问题的递进式知识脉络。 资料通过典型题型与变式讲解（如盈亏问题含不同分配类型，归一问题融入多余条件），培养学生模型意识与推理意识。课堂测试卷分层设计填空、选择及解决问题，附详细答案，课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点，提升用数学语言解决实际问题的应用能力。

沪教版五年级下数学讲义：列方程解决实际问题（盈亏、归一归总） 一、核心知识点梳理 1. 列方程解决问题的基本步骤 设未知数：根据题意选择合适的量设为未知数，通常用字母x表示，设句要完整（如“设每个足球x元”）。 找等量关系：这是列方程的关键，需结合题目中的关键词（如“共”“比……多/少”“相等”“是……的几倍”）或公式（如周长、面积公式）确定数量之间的相等关系。 列方程：根据找到的等量关系，将已知量和未知量代入，列出含有未知数的等式。 解方程：运用等式的性质逐步求解，注意计算准确。 检验并作答：将求得的解代入原方程检验，确认是否符合题意，再完整写出答案。 2. 盈亏问题核心规律 盈亏问题是指把一定数量的物品分给若干对象，因分配方式不同出现“盈”（多余）或“亏”（不足）的情况。核心等量关系围绕“物品总数不变”展开，常见类型及等量关系： 一盈一亏：每人分的数量×人数 + 亏的数量 = 每人分的数量×人数 - 盈的数量（需注意两次分配每人数量不同）； 两盈：每人多分的数量×人数 = 大盈 - 小盈； 两亏：每人多分的数量×人数 = 大亏 - 小亏。 3. 归一归总问题核心规律 归一问题：先求出“单一量”（如每天修的路程、每件商品的单价），再根据单一量解决后续问题。核心公式：单一量 = 总量÷份数，新总量 = 单一量×新份数； 归总问题：先求出“总量”（如总路程、总工作量），再根据总量解决后续问题。核心公式：总量 = 单一量×份数，新单一量 = 总量÷新份数。 二、典型题型及变式讲解 题型一：盈亏问题 例1：基本一盈一亏 学校将一批图书分给五年级学生，若每人分5本，则余30本；若每人分7本，则少18本。五年级有多少名学生？这批图书有多少本？ 分析：无论哪种分配方式，图书总数不变，学生人数也不变。设学生人数为x，根据“图书总数”列等量关系。 解答： 设五年级有x名学生。 等量关系：第一种分法的图书数 = 第二种分法的图书数 列方程：5x + 30 = 7x - 18 解方程：7x - 5x = 30 + 18 → 2x = 48 → x = 24 图书总数：5×24 + 30 = 120 + 30 = 150（本） 答：五年级有24名学生，这批图书有150本。 变式1：两盈问题 超市促销酸奶，若每人买4盒，则剩20盒；若每人买6盒，则剩8盒。参与促销的顾客有多少人？酸奶有多少盒？ 解答： 设参与促销的顾客有x人。 等量关系：第一种买法的酸奶数 = 第二种买法的酸奶数 列方程：4x + 20 = 6x + 8 解方程：6x - 4x = 20 - 8 → 2x = 12 → x = 6 酸奶总数：4×6 + 20 = 24 + 20 = 44（盒） 答：参与促销的顾客有6人，酸奶有44盒。 变式2：两亏问题 老师给学生发练习本，若每人发3本，则缺12本；若每人发2本，则缺2本。有多少名学生？练习本有多少本？ 解答： 设有x名学生。 等量关系：第一种发法的练习本数 = 第二种发法的练习本数 列方程：3x - 12 = 2x - 2 解方程：3x - 2x = 12 - 2 → x = 10 练习本数：3×10 - 12 = 30 - 12 = 18（本） 答：有10名学生，练习本有18本。 题型二：归一问题 例2：基本归一 工程队修一条公路，3天修了180米。照这样的速度，修完900米的公路需要多少天？ 分析：“照这样的速度”说明每天修的路程（单一量）不变，先通过“3天修180米”求出每天修的长度，再用总路程除以每天修的长度得天数，也可直接列方程。 解答： 设修完900米需要x天。 等量关系：每天修的路程 = 每天修的路程（单一量不变） 列方程：180÷3 = 900÷x → 60 = 900÷x → x = 900÷60 → x = 15 答：修完900米的公路需要15天。 变式1：归一问题的实际应用（购物） 妈妈买5千克苹果花了30元，买8千克同样的苹果需要多少钱？ 解答： 设买8千克苹果需要x元。 等量关系：每千克苹果的单价 = 每千克苹果的单价 列方程：30÷5 = x÷8 → 6 = x÷8 → x = 6×8 → x = 48 答：买8千克同样的苹果需要48元。 变式2：稍复杂归一（含多余条件） 服装厂加工服装，5名工人6天加工了300件上衣。照这样的效率，8名工人加工800件上衣需要多少天？（忽略工人性别差异） 分析：先求出“1名工人1天加工的上衣数”这一单一量，再列方程求解。 解答： 设需要x天。 单一量（1人1天加工数）：300÷5÷6 = 10（件） 等量关系：8名工人x天加工总数 = 800件 列方程：8×10×x = 800 → 80x = 800 → x = 10 答：需要10天。 题型三：归总问题 例3：基本归总 食堂运来一批煤，原计划每天烧210千克，可以烧24天。改进炉灶后，这批煤可以烧28天。改进炉灶后平均每天烧多少千克煤？ 分析：煤的总量不变，先根据原计划求出总量，再用总量除以改进后的天数得每天烧的量，或直接列方程。 解答： 设改进炉灶后平均每天烧x千克。 等量关系：原计划烧的总量 = 改进后烧的总量 列方程：210×24 = 28x → 5040 = 28x → x = 5040÷28 → x = 180 答：改进炉灶后平均每天烧180千克煤。 变式1：归总问题的实际应用（行程） 一辆汽车从甲地到乙地，原计划每小时行60千米，5小时到达。实际提前1小时到达，实际每小时行多少千米？ 解答： 设实际每小时行x千米。 等量关系：甲、乙两地总路程 = 甲、乙两地总路程 实际行驶时间：5 - 1 = 4（小时） 列方程：60×5 = 4x → 300 = 4x → x = 75 答：实际每小时行75千米。 变式2：稍复杂归总（含效率变化） 一批零件，原计划每天加工50个，12天完成。实际每天比原计划多加工10个，实际多少天可以完成？ 解答： 设实际x天可以完成。 实际每天加工数：50 + 10 = 60（个） 等量关系：零件总数 = 零件总数 列方程：50×12 = 60x → 600 = 60x → x = 10 答：实际10天可以完成。 三、课堂测试卷 一、填空题（每题3分，共15分） 1. 修一条路，每天修a米，10天修完，这条路总长（ ）米；若每天修b米，（ ）天可以修完。 2. 把一批文具分给学生，每人分4件剩12件，设学生有x人，文具总数是（ ）件；若每人分6件缺8件，文具总数是（ ）件，由此可列方程（ ）。 3. 一辆汽车3小时行150千米，照这样的速度，行450千米需要（ ）小时，列式为（ ）。 4. 一批货物，每车装20吨，需要15辆车；若每车装25吨，需要（ ）辆车，核心是（ ）不变。 5. 某班学生，若每行站8人，站5行还多3人；若每行站9人，能站（ ）行，还剩（ ）人。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列属于盈亏问题的是（ ） A. 小明买3支笔花15元，买5支花多少钱 B. 一批书分给学生，每人分5本剩8本，每人分7本缺2本 C. 工程队5天修200米，照这样修10天修多少米 D. 煤计划每天烧10千克烧30天，实际烧40天，每天烧多少千克 2. 解决归一问题的关键是（ ） A. 先求总量 B. 先求单一量 C. 先设未知数 D. 找等量关系 3. 学校买了4个足球和2个篮球，共用162元，每个足球比篮球便宜3元，设篮球单价为x元，方程正确的是（ ） A. 4x + 2(x-3)=162 B. 4(x-3)+2x=162 C. 4x + 2(x+3)=162 D. 4(x+3)+2x=162 4. 一批零件，师傅每小时加工50个，徒弟每小时加工30个，两人合作x小时完成320个，方程正确的是（ ） A. 50x + 30=320 B. 50 + 30x=320 C. (50+30)x=320 D. 50x - 30x=320 5. 原计划每天修60米，15天修完的路，实际提前3天修完，实际每天修多少米？设实际每天修x米，方程错误的是（ ） A. (15-3)x=60×15 B. 15x - 3x=60×15 C. 15x=60×15 + 3x D. x=60×15÷(15-3) 三、列方程解决问题（每题10分，共70分） 1. 幼儿园给小朋友分糖果，若每人分4颗，则多20颗；若每人分6颗，则少10颗。幼儿园有多少名小朋友？糖果有多少颗？ 2. 家具厂加工一批桌椅，2名工人3天加工了120套。照这样的效率，5名工人加工300套桌椅需要多少天？ 3. 甲、乙两地相距480千米，一辆汽车从甲地开往乙地，3小时后，剩下的路程比已行的多120千米。这辆汽车的平均速度是多少？ 4. 一批煤，原计划每天烧180千克，可以烧25天。实际每天烧150千克，实际能烧多少天？ 5. 学校图书馆科技书比故事书的2倍多47本，科技书有495本，故事书有多少本？ 6. 有两袋大米，甲袋重量是乙袋的1.2倍，若往乙袋加5千克，两袋就一样重。原来两袋大米各多少千克？ 7. 一个长方形周长36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 四、课堂测试卷答案 一、填空题 1. 10a；10a÷b 2. 4x+12；6x-8；4x+12=6x-8 3. 9；450÷(150÷3) 或 设需要x天，150÷3=450÷x 4. 12；货物总量 5. 4；7（先求总人数：8×5+3=43人，43÷9=4行……7人） 二、选择题 1. B 2. B 3. B 4. C 5. D 三、列方程解决问题 1. 解：设幼儿园有x名小朋友。4x + 20 = 6x - 106x - 4x = 20 + 102x = 30 → x = 15糖果数：4×15 + 20 = 80（颗）答：幼儿园有15名小朋友，糖果有80颗。 2. 解：设需要x天。单一量（1人1天加工数）：120÷2÷3 = 20（套）5×20×x = 300100x = 300 → x = 3答：需要3天。 3. 解：设汽车平均速度是x千米/小时。已行路程：3x千米，剩下路程：3x + 120千米3x + (3x + 120) = 4806x = 360 → x = 60答：平均速度是60千米/小时。 4. 解：设实际能烧x天。150x = 180×25150x = 4500 → x = 30答：实际能烧30天。 5. 解：设故事书有x本。2x + 47 = 4952x = 448 → x = 224答：故事书有224本。 6. 解：设乙袋原有x千克，甲袋有1.2x千克。1.2x = x + 50.2x = 5 → x = 25甲袋：1.2×25 = 30（千克）答：甲袋30千克，乙袋25千克。 7. 解：设长方形宽是x厘米，长是2x厘米。(2x + x)×2 = 366x = 36 → x = 6长：2×6 = 12（厘米）答：长12厘米，宽6厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $