3.4 列方程解决问题（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学沪教版

该小学数学五年级下册“列方程解决问题”单元复习讲义，通过知识框架图系统梳理核心内容，先以表格呈现路程、总价等基本数量公式及变形，明确列方程五步解题步骤，再聚焦行程问题按“相向-同向-中点相关”分类，用线段图辅助呈现运动过程，清晰展示重难点及内在联系。 讲义亮点在于“情境化分层题型”与“可视化策略”结合，如基础题型“同时相向而行”用“速度和×时间=总路程”列方程，变式“中点相遇”借线段图分析路程差，培养几何直观与推理意识。测试卷分层设题附详解，助不同学生掌握方法，教师可精准教学，提升学生用数学语言表达关系的模型意识。

沪教版五年级下册第三单元第4课时：列方程解决问题 一、课前回顾：常见公式复习 列方程解决问题的核心是找到“等量关系”，而等量关系往往源于数学公式或实际情境中的数量关系。以下是本阶段常用的公式，需熟练掌握并灵活运用： 1. 基本数量公式（核心基础） 路程 = 速度 × 时间（S = v × t）， 变形：速度 = 路程 ÷ 时间（v = S ÷ t），时间 = 路程 ÷ 速度（t = S ÷ v） 总价 = 单价 × 数量， 变形：单价 = 总价 ÷ 数量，数量 = 总价 ÷ 单价 工作总量 = 工作效率 × 工作时间， 变形：工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间， 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 长方形周长 = 2×(长 + 宽)， 长方形面积 = 长 × 宽； 正方形周长 = 4×边长， 正方形面积 = 边长 × 边长 2. 方程相关要点 列方程解决问题的一般步骤： ①设未知数（通常用x表示，明确x代表的量）； ②找出题中隐藏的等量关系； ③根据等量关系列出方程； ④解方程（注意等式性质的运用）； ⑤检验（将结果代入原方程或实际情境，验证是否合理）并写答句。 二、核心题型讲解：行程问题（一） 行程问题是本单元的重点，本节课聚焦“同时、相对、相距、相遇”类题型，核心是利用“路程和”与“总路程”的等量关系列方程。 解题时建议先画线段图，直观呈现物体运动过程，再确定等量关系。 除基础的相向而行外，还需掌握“同地同向”“异地同向”等衍生场景的等量关系推导。 1. 行程问题核心分类及等量关系拓展 相向而行（相对而行）： ①相遇时：甲路程+乙路程=总距离； ②相遇前相距：甲路程+乙路程+相距距离=总距离； ③相遇后相距：甲路程+乙路程-总距离=相距距离 同向而行（同地不同时）：先出发者路程=后出发者路程（追上时） 同向而行（异地同向）：快者路程-慢者路程=初始距离（追上时） 行程问题是本单元的重点，本节课聚焦“同时、相对、相距、相遇”类题型，核心是利用“路程和”与“总路程”的等量关系列方程。解题时建议先画线段图，直观呈现物体运动过程，再确定等量关系。 1. 核心等量关系 当两个物体从两地相对（相向）而行时，相遇时的核心等量关系为：甲行驶的路程 + 乙行驶的路程 = 两地总距离。 若两车同时出发，相遇时间相同，可设相遇时间为x，再用“速度×时间”表示各自路程。 除直接相遇外，还会遇到“相遇前相距”“相遇后相距”等情况，需根据具体情境调整等量关系： ①相遇前相距：甲路程+乙路程+剩余距离=总距离； ②相遇后相距：甲路程+乙路程-总距离=超出距离。 2. 基础题型：同时出发，相向而行，直接相遇 例题1：上海与宁波相距296千米，一辆轿车从上海出发，每小时行108千米；一辆客车从宁波出发，每小时行92千米。两车同时出发，相向而行，经过多少小时后相遇？ 解题步骤： ①设未知数：设经过x小时后两车相遇（x代表相遇时间，两车同时出发，故行驶时间均为x）； ②找等量关系：轿车行驶的路程 + 客车行驶的路程 = 上海到宁波的总距离； ③列方程：轿车路程=108x，客车路程=92x，总距离296千米，因此方程为：108x + 92x = 296； ④解方程：合并同类项得200x = 296，两边同时除以200，x = 1.48； ⑤检验：108×1.48=159.84千米，92×1.48=136.16千米，159.84+136.16=296千米，与总距离一致； ⑥答句：经过1.48小时后相遇。 技巧：同时出发的相遇问题，速度可以“相加”，即“速度和×相遇时间=总路程”，因此方程也可列为(108+92)x=296，计算更简便。 3. 变式题型1：不同时出发，相向而行 例题2：小丽家和小巧家相距990米，小丽从家出发，每分钟走75米，2分钟后小巧才从家出发，以每分钟65米的速度相向而行。小巧走了几分钟后两人相遇？ 关键分析：小丽先出发2分钟，这段时间小丽单独走的路程是75×2，之后小巧出发，两人同时行走的时间就是小巧走的时间（设为x），此时两人的路程和为75x + 65x，总路程等于小丽先走路程加两人同时走路程和。 解方程过程： 解：设小巧走了x分钟后两人相遇。 75×2 + 75x + 65x = 990 150 + 140x = 990 140x = 990 - 150 140x = 840 x = 6 答：小巧走了6分钟后两人相遇。 变式2-1：一方先出发，相遇时一方走完全程部分路程：A、B两地相距1200米，小明从A地出发，每分钟走80米，5分钟后小红从B地出发，每分钟走100米。小红出发后多久，小明刚好走了全程的一半？ 解题关键：此题为“不同时出发，但等量关系围绕其中一人的路程”，小明的总行走时间是5+x分钟，全程一半为600米，直接根据小明的路程列方程。 解方程过程： 解：设小红出发后x分钟，小明刚好走了全程的一半。 80×(5+x) = 1200÷2 400 + 80x = 600 80x = 200 x = 2.5 答：小红出发后2.5分钟，小明刚好走了全程的一半。 例题2：小丽家和小巧家相距990米，小丽从家出发，每分钟走75米，2分钟后小巧才从家出发，以每分钟65米的速度相向而行。小巧走了几分钟后两人相遇？ 关键分析：小丽先出发2分钟，这段时间小丽单独走的路程是75×2，之后小巧出发，两人同时行走的时间就是小巧走的时间（设为x），此时两人的路程和为75x + 65x，总路程等于小丽先走路程加两人同时走路程和。 解方程过程： 解：设小巧走了x分钟后两人相遇。 75×2 + 75x + 65x = 990 150 + 140x = 990 140x = 990 - 150 140x = 840 x = 6 答：小巧走了6分钟后两人相遇。 4. 重点题型：与中点相关的相遇问题 此类题型的核心是“路程差”——当两车相遇点距离中点一定距离时，速度快的车比速度慢的车多行驶了“2×距中点的距离”（因为快车过了中点，慢车没到中点，相差的是两倍距离）。 若相遇点在中点一侧，需先判断哪辆车速度更快，再确定路程差与中点距离的关系。 例题3：甲、乙两地相距480千米，一辆货车从甲地开往乙地，每小时行60千米；一辆客车从乙地开往甲地，每小时行90千米。两车同时出发，相向而行，相遇时客车距离中点多少千米？ 解题步骤： ①先求相遇时间：设经过x小时两车相遇，根据“速度和×时间=总路程”，(60+90)x=480，150x=480，x=3.2小时； ②求客车行驶的路程：90×3.2=288千米； ③求两地中点距离：480÷2=240千米； ④计算客车距中点的距离：288 - 240=48千米； ⑤答句：相遇时客车距离中点48千米。 变式3-1：已知距中点距离，求总路程：甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时行75千米，乙车每小时行65千米，相遇时甲车比乙车多行驶40千米，求A、B两地相距多少千米？ 解题关键：先通过路程差求相遇时间，再用速度和×时间求总路程。路程差=40千米，速度差=75-65=10千米/小时，相遇时间=路程差÷速度差。 解方程过程： 解：设经过x小时两车相遇。 75x - 65x = 40 10x = 40 x = 4 A、B两地距离：(75+65)×4=140×4=560千米 答：A、B两地相距560千米。 变式3-2：中点与“提前到达”结合：甲、乙两地相距800千米，快车从甲地开往乙地，每小时行100千米，慢车从乙地开往甲地，每小时行80千米。两车同时出发，快车到达中点后，还要多久能与慢车相遇？ 解题关键：分两步，先求快车到中点的时间和此时慢车的位置，再求剩余路程的相遇时间。 解方程过程： 解：①设快车到达中点用了x小时。 100x = 800÷2 100x = 400 x = 4 ②此时慢车行驶的路程：80×4=320千米，两车相距：400 - 320=80千米（因为快车到中点时，慢车距离中点还有80千米） ③设快车到中点后，经过y小时与慢车相遇。 (100+80)y = 80 180y = 80 y = 4/9 ≈0.44 答：快车到达中点后，还要4/9小时（约26.7分钟）能与慢车相遇。 此类题型的核心是“路程差”——当两车相遇点距离中点一定距离时，速度快的车比速度慢的车多行驶了“2×距中点的距离”（因为快车过了中点，慢车没到中点，相差的是两倍距离）。 例题3：甲、乙两地相距480千米，一辆货车从甲地开往乙地，每小时行60千米；一辆客车从乙地开往甲地，每小时行90千米。两车同时出发，相向而行，相遇时客车距离中点多少千米？ 解题步骤： ①先求相遇时间：设经过x小时两车相遇，根据“速度和×时间=总路程”，(60+90)x=480，150x=480，x=3.2小时； ②求客车行驶的路程：90×3.2=288千米； ③求两地中点距离：480÷2=240千米； ④计算客车距中点的距离：288 - 240=48千米； ⑤答句：相遇时客车距离中点48千米。 变式练习思路：若题目改为“相遇时货车距离中点48千米，求相遇时间”，则等量关系为“客车路程 - 货车路程=48×2”， 列方程：90x - 60x=96，30x=96，x=3.2小时。 三、课堂测试卷 一、填空题（每题4分，共20分） 1. 路程、速度、时间的关系是（ ），若已知路程和速度，求时间的公式是（ ）。 2. 甲、乙两车同时从两地相向而行，甲的速度是每小时70千米，乙的速度是每小时80千米，经过x小时相遇，两车一共行驶的路程是（ ）千米，甲比乙少行驶（ ）千米。 3. A、B两地相距500千米，甲先出发2小时，每小时行60千米，乙再出发与甲相向而行，每小时行40千米，乙出发后x小时与甲相遇，此时甲一共行驶了（ ）千米，乙行驶了（ ）千米，可列方程为（ ）。 4. 两车相遇时，快车比慢车多行驶30千米，若相遇点距离中点（ ）千米，因为快车过中点，慢车未到，相差的路程是距中点距离的（ ）倍。 5. 小明和小红从相距360米的两地同时出发，相向而行，小明每分钟走55米，小红每分钟走35米，（ ）分钟后两人相遇。 二、选择题（每题5分，共15分） 1. 甲、乙两人同时从相距400米的两地出发，相向而行，甲每分钟走55米，乙每分钟走45米，经过多少分钟两人相遇？设经过x分钟相遇，下列方程错误的是（ ）。 A. 55x + 45x = 400 B. (55+45)x = 400 C. 55x - 45x = 400 2. 客车和货车同时从A地开往B地，客车每小时行90千米，货车每小时行60千米，3小时后客车追上货车（此时两车到达同一位置），则出发前货车比客车先行驶的距离是（ ）千米。 A. 90 B. 60 C. 90 3. 甲、乙两地相距360千米，两车同时相向而行，3小时后相遇，已知快车每小时行70千米，慢车每小时行多少千米？设慢车每小时行x千米，方程正确的是（ ）。 A. 70×3 + 3x = 360 B. 70 + 3x = 360 C. 3(70 - x) = 360 三、列方程解决问题（每题13分，共65分） 1. 张庄和李庄相距70千米，李老师骑自行车从张庄出发，每小时行8千米，2小时后张老师从李庄出发，相向而行，3小时后两人相遇。张老师骑自行车每小时行多少千米？ 2. 甲、乙两辆汽车同时从相距540千米的两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行75千米，经过几小时两车还相距90千米（未相遇）？ 3. 一辆客车和一辆轿车从上海出发开往南京，轿车比客车迟开0.2小时，客车每小时行92千米，轿车每小时行108千米。轿车开出多少小时后追上客车？ 4. 甲、乙两地相距600千米，A车从甲地开往乙地，每小时行80千米，B车从乙地开往甲地，每小时行70千米。两车同时出发，相遇时A车距离乙地还有多少千米？ 5. 甲、乙两车从相距720千米的两地同时相向而行，4小时后相遇，已知甲车每小时比乙车快10千米，相遇时甲车距离中点多少千米？ 6. 甲、乙两人从相距450米的两地同时出发，相向而行，甲每分钟走60米，乙每分钟走40米，经过几分钟两人相遇后又相距50米？ 7. A、B两地相距630千米，快车从A地出发，每小时行70千米，慢车从B地出发，每小时行50千米。慢车先出发1小时，快车再出发，两车相向而行，快车出发后几小时与慢车相遇？ 四、课堂测试卷答案 一、填空题 1. 路程=速度×时间；时间=路程÷速度 2. 150x；10x 3. 60(x+2)；40x；60(x+2)+40x=500 4. 15；2 5. 4（解析：360÷(55+35)=4） 二、选择题 1. C（解析：相向而行是路程和等于总距离，C选项是路程差，错误） 2. A（解析：速度差90-60=30千米/小时，3小时路程差30×3=90千米，即出发前货车先行驶90千米） 3. A（解析：甲车3小时路程70×3，慢车3小时路程3x，总和为360，方程正确） 三、列方程解决问题 1. 解：设张老师每小时行x千米。 李老师先出发2小时，再与张老师同时行3小时，总路程：8×(2+3) + 3x = 70 40 + 3x = 70 3x = 30 x = 10 答：张老师每小时行10千米。 2. 解：设经过x小时两车还相距90千米。 两车未相遇时，路程和=总距离-剩余距离：60x + 75x = 540 - 90 135x = 450 x = 450÷135 = 10/3 ≈3.33 答：经过10/3小时（或3小时20分钟）两车还相距90千米。 3. 解：设轿车开出x小时后追上客车。 客车先开0.2小时的路程+客车后行x小时的路程=轿车行x小时的路程：92×0.2 + 92x = 108x 18.4 + 92x = 108x 16x = 18.4 x = 1.15 答：轿车开出1.15小时后追上客车。 4. 解：设经过x小时两车相遇。 相遇时A车距离乙地的距离=B车行驶的路程：(80+70)x = 600 150x = 600 x = 4 B车路程：70×4=280千米 答：相遇时A车距离乙地还有280千米。 5. 解：设乙车每小时行x千米，则甲车每小时行(x+10)千米。 先求两车速度：4(x + x+10) = 720 4(2x+10)=720 2x+10=180 2x=170 x=85（乙车速度），甲车速度=85+10=95千米/小时 甲车行驶路程：95×4=380千米 两地中点距离：720÷2=360千米 甲车距中点距离：380-360=20千米 答：相遇时甲车距离中点20千米。 6. 解：设经过x分钟两人相遇后又相距50米。 相遇后又相距，说明路程和=总距离+相距距离：60x + 40x = 450 + 50 100x = 500 x = 5 答：经过5分钟两人相遇后又相距50米。 7. 解：设快车出发后x小时与慢车相遇。 慢车先开1小时的路程+两车同时行x小时的路程和=总距离：50×1 + (70+50)x = 630 50 + 120x = 630 120x = 580 x = 580÷120 = 29/6 ≈4.83 答：快车出发后29/6小时（约4小时50分钟）与慢车相遇。 学科网（北京）股份有限公司 $