列方程解决问题（鸡兔同笼、和倍、差倍、和差问题）（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学沪教版

本讲义聚焦列方程解决实际问题这一核心知识点，系统梳理“审设列解验答”通用步骤，分述鸡兔同笼、和倍、差倍、和差四大经典问题的核心等量关系与设元技巧，构建从通用方法到具体题型的学习支架。 资料通过分题型例题与变式题结合，如鸡兔同笼延伸至人民币、孔雀问题，培养学生模型意识与应用意识。课堂测试含详细解析，课中助力教师教学，课后帮助学生巩固，提升用数学语言解决实际问题的能力。

沪教版五年级下数学寒假/春季开学讲义：列方程解决问题（鸡兔同笼、和倍、差倍、和差问题） 一、核心知识点梳理 本讲聚焦“列方程解决实际问题”，核心是通过分析真实情境中的数量关系，建立方程模型，将文字信息转化为数学等式。重点涵盖鸡兔同笼、和倍、差倍、和差四大经典问题，核心思路为“找等量关系 设未知数 列方程 求解验证”。 1. 通用解题步骤（列方程核心流程） 审：仔细审题，明确题目中的已知条件、未知量及关键数量关系； 设：设出合适的未知数（通常设较小数、标准量或问题中的直接未知量为x）； 列：根据等量关系列出方程（核心步骤，需抓住“总和”“倍数”“差值”等关键词）； 解：按照等式性质求解方程，确保计算准确； 验：将结果代入原题验证，检查是否符合实际情境； 答：规范书写答案，回应题目问题。 2. 各类问题核心等量关系 问题类型 核心等量关系 设元技巧 鸡兔同笼问题 兔的腿数 + 鸡的腿数 = 总腿数；鸡的只数 + 兔的只数 = 总头数 设兔（腿数多的动物）为x只，则鸡为“总头数 - x”只 和倍问题 小数 + 大数 = 总和；大数 = 小数 × 倍数 设小数为x，则大数为“倍数×x” 差倍问题 大数 - 小数 = 差；大数 = 小数 × 倍数 设小数为x，则大数为“倍数×x” 和差问题 大数 + 小数 = 总和；大数 - 小数 = 差 设小数为x，则大数为“x + 差”；或设大数为x，小数为“x - 差” 二、分题型讲解（例题+变式题） 题型一：鸡兔同笼问题（方程法核心应用） 核心特点：已知“两种物体的总数量”和“两种物体的特征总量”（如头数和腿数、张数和总面值），求两种物体的数量。方程法是五年级阶段最通用、易理解的方法。 例题1：基础鸡兔同笼 笼子里有鸡和兔共18只，从下面数共有52条腿。鸡和兔各有多少只？ 分析：总头数18（鸡+兔），总腿数52（鸡腿+兔腿）；每只鸡2条腿，每只兔4条腿。 解答： 设未知数：设兔有x只，则鸡有（18 - x）只（因总头数固定，设一种量表示另一种量）； 列方程：4x + 2(18 - x) = 52（兔腿数+鸡腿数=总腿数）； 解方程：4x + 36 - 2x = 52 2x = 16 x = 8； 求鸡的数量：18 - 8 = 10（只）； 验证：8×4 + 10×2 = 32 + 20 = 52（条），符合题意； 答：鸡有10只，兔有8只。 变式题1：生活中的“鸡兔同笼”（人民币问题） 超市收银台有面值5元和10元的人民币共30张，总值220元。5元和10元的人民币各有多少张？ 提示：将“5元人民币”看作“鸡”，“10元人民币”看作“兔”，“张数”对应“头数”，“总值”对应“腿数”。 解答： 设10元人民币有x张，则5元人民币有（30 - x）张； 列方程：10x + 5(30 - x) = 220； 解方程：10x + 150 - 5x = 220 5x = 70 x = 14； 5元张数：30 - 14 = 16（张）； 验证：14×10 + 16×5 = 140 + 80 = 220（元），正确； 答：5元人民币有16张，10元人民币有14张。 变式题2：拓展鸡兔同笼（不同特征量） 动物园里，孔雀和长颈鹿共有25只，它们的脚共有64只。孔雀和长颈鹿各有多少只？ 提示：孔雀2条腿，长颈鹿4条腿，数量关系与鸡兔同笼完全一致。 解答： 设长颈鹿有x只，则孔雀有（25 - x）只； 列方程：4x + 2(25 - x) = 64； 解方程：4x + 50 - 2x = 64 2x = 14 x = 7； 孔雀数量：25 - 7 = 18（只）； 答：孔雀有18只，长颈鹿有7只。 题型二：和倍问题（已知和与倍数，求两数） 核心特点：已知两个数的“和”以及它们的“倍数关系”，求这两个数。关键是找准“标准量”（小数），设其为x，用倍数表示大数。 例题2：基础和倍问题 沪教版数学课本的单价是练习册的3倍，买一本课本和一本练习册共花48元。课本和练习册的单价各是多少元？ 分析：练习册单价（小数）×3 = 课本单价（大数）；课本单价 + 练习册单价 = 48元。 解答： 设练习册的单价为x元，则课本的单价为3x元； 列方程：x + 3x = 48； 解方程：4x = 48 x = 12； 课本单价：3×12 = 36（元）； 验证：12 + 36 = 48（元），36是12的3倍，符合题意； 答：练习册单价12元，课本单价36元。 变式题3：和倍问题（含多余量） 学校图书馆买来故事书和科技书共120本，其中科技书的本数是故事书的2倍还多15本。故事书和科技书各买了多少本？ 提示：先把“多余量”从总和中减去，转化为标准和倍问题。即“故事书本数×2 + 15 = 科技书本数”，故事书 + 科技书 = 120。 解答： 设故事书有x本，则科技书有（2x + 15）本； 列方程：x + (2x + 15) = 120； 解方程：3x + 15 = 120 3x = 105 x = 35； 科技书本数：2×35 + 15 = 85（本）； 验证：35 + 85 = 120（本），85 = 2×35 + 15，正确； 答：故事书35本，科技书85本。 变式题4：和倍问题（三个数的和倍） 甲、乙、丙三个数的和是180，已知甲是乙的2倍，丙是甲的3倍。甲、乙、丙三个数各是多少？ 提示：以“乙”为标准量（最小数），设乙为x，则甲为2x，丙为6x。 解答： 设乙数为x，则甲数为2x，丙数为3×2x = 6x； 列方程：x + 2x + 6x = 180； 解方程：9x = 180 x = 20； 甲数：2×20 = 40，丙数：6×20 = 120； 答：甲是40，乙是20，丙是120。 题型三：差倍问题（已知差与倍数，求两数） 核心特点：已知两个数的“差”以及它们的“倍数关系”，求这两个数。与和倍问题类似，需找准标准量（小数），利用“大数 - 小数 = 差”列方程。 例题3：基础差倍问题 小明的邮票数是小红的4倍，小明比小红多60张邮票。小明和小红各有多少张邮票？ 分析：小红邮票数（小数）×4 = 小明邮票数（大数）；小明邮票数 - 小红邮票数 = 60张。 解答： 设小红有x张邮票，则小明有4x张邮票； 列方程：4x - x = 60； 解方程：3x = 60 x = 20； 小明邮票数：4×20 = 80（张）； 验证：80 - 20 = 60（张），80是20的4倍，符合题意； 答：小红有20张邮票，小明有80张邮票。 变式题5：差倍问题（含缺少量） 一个书架，上层书的本数是下层的3倍，上层书比下层书多56本，且上层书比下层书的3倍少4本。下层和上层各有多少本书？ 提示：调整倍数关系，上层书 = 下层书×3 - 4，因此“上层书 - 下层书 = 56”可转化为“(3x - 4) - x = 56”。 解答： 设下层有x本书，则上层有（3x - 4）本书； 列方程：(3x - 4) - x = 56； 解方程：2x - 4 = 56 2x = 60 x = 30； 上层书数：3×30 - 4 = 86（本）； 验证：86 - 30 = 56（本），正确； 答：下层有30本书，上层有86本书。 题型四：和差问题（已知和与差，求两数） 核心特点：已知两个数的“和”与“差”，求这两个数。核心等量关系为“大数 = 小数 + 差”或“小数 = 大数 - 差”，结合“大数 + 小数 = 和”列方程。 例题4：基础和差问题 五年级（1）班共有学生48人，其中男生比女生多4人。男生和女生各有多少人？ 分析：男生人数 + 女生人数 = 48人；男生人数 - 女生人数 = 4人。设女生为x人，则男生为（x + 4）人。 解答： 设女生有x人，则男生有（x + 4）人； 列方程：x + (x + 4) = 48； 解方程：2x + 4 = 48 2x = 44 x = 22； 男生人数：22 + 4 = 26（人）； 验证：26 + 22 = 48（人），26 - 22 = 4（人），符合题意； 答：女生有22人，男生有26人。 变式题6：和差问题（间接和差） 甲、乙两筐苹果共重100千克，从甲筐取出10千克放入乙筐后，两筐苹果重量相等。甲、乙两筐原来各重多少千克？ 提示：“从甲取10千克放入乙后相等”说明原来甲比乙多20千克（差为20），和为100千克。 解答： 设乙筐原来重x千克，则甲筐原来重（x + 20）千克； 列方程：x + (x + 20) = 100； 解方程：2x + 20 = 100 2x = 80 x = 40； 甲筐重量：40 + 20 = 60（千克）； 答：甲筐原来重60千克，乙筐原来重40千克。 三、课堂测试卷 考试时间：40分钟 满分：100分 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 鸡兔同笼，共有15个头，44条腿，鸡有（ ）只，兔有（ ）只。 2. 甲数是乙数的5倍，甲、乙两数的和是36，乙数是（ ），甲数是（ ）。 3. 爸爸的年龄比儿子大28岁，爸爸的年龄是儿子的3倍，儿子今年（ ）岁。 4. 甲、乙两数的和是86，差是12，甲数是（ ），乙数是（ ）。 二、列方程解应用题（每题16分，共80分） 1. 停车场停有三轮车和小轿车共20辆，共有74个轮子。三轮车和小轿车各有多少辆？ 2. 学校买了足球和篮球共36个，足球的个数是篮球的2倍。足球和篮球各买了多少个？ 3. 果园里的苹果树比梨树多60棵，苹果树的棵数是梨树的4倍。苹果树和梨树各有多少棵？ 4. 一套课桌椅（一张桌子+一把椅子）售价150元，桌子的售价比椅子贵70元。桌子和椅子的售价各是多少元？ 5. 有面值2元和5元的邮票共24张，总值90元。2元和5元的邮票各有多少张？ 四、测试卷答案 一、填空题 1. 8；7 （解析：设兔x只，4x+2(15-x)=44 2x=14 x=7，鸡=15-7=8） 2. 6；30 （解析：设乙x，x+5x=36 6x=36 x=6，甲=30） 3. 14 （解析：设儿子x，3x-x=28 2x=28 x=14） 4. 49；37 （解析：设乙x，甲=x+12，x+x+12=86 2x=74 x=37，甲=49） 二、列方程解应用题 1. 答案：三轮车6辆，小轿车14辆。 解答：设小轿车有x辆，则三轮车有（20-x）辆。4x + 3(20-x) = 74 4x + 60 - 3x = 74 x=14。三轮车：20-14=6（辆）。 2. 答案：篮球12个，足球24个。 解答：设篮球有x个，则足球有2x个。x + 2x = 36 3x=36 x=12。足球：2×12=24（个）。 3. 答案：梨树20棵，苹果树80棵。 解答：设梨树有x棵，则苹果树有4x棵。4x - x = 60 3x=60 x=20。苹果树：4×20=80（棵）。 4. 答案：椅子40元，桌子110元。 解答：设椅子售价x元，则桌子售价（x+70）元。x + (x+70) = 150 2x+70=150 2x=80 x=40。桌子：40+70=110（元）。 5. 答案：2元邮票10张，5元邮票14张。 解答：设5元邮票有x张，则2元邮票有（24-x）张。5x + 2(24-x) = 90 5x + 48 - 2x = 90 3x=42 x=14。2元邮票：24-14=10（张）。 学科网（北京）股份有限公司 $