甘肃省金昌市金川高级中学教育集团2025-2026学年高三上学期学业质量检测（三）数学试题

金川高级中学教育集团2025-2026学年度第一学期高三年级 学业质量检测（三） 高三数学答案 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1-5:DBBCB 6-8:ABB 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. AC 10．BC 11. ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 1 13. 12 14. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分) 如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点. （1） 证明： （2）设，，求二面角的余弦值. 【小问1详解】 如图，连接， 底面为正方形，所以， 平面，平面，， 平面，平面，， 平面...............5分 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：...............6分 则，，， 则，，， ........7分 设平面的法向量为， 由，即，令，得：；........8分 设平面的法向量为， 由，即，令，得：；.....10分 则.........12分 故结合图像易知：二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.........13分 16.(本小题满分15分) 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 【小问1详解】 当时，则，， 所以，........2分 所以函数在点处的切线方程为， 即；........4分 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当时恒成立， 在上单调递增.........6分 当时，由，解得， 由，解得，........7分 所以在上单调递增，在上单调递减，........8分 【小问3详解】 由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值 ........9分 当时，在处取得极大值，极大值为.........12分 令，解得，所以的取值范围为.......15分 17.(本小题满分15分) 已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列． （1）写出的前6项； （2）记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和． 【小问1详解】 由题意 ........3分 由，得．........4分 所以或．........6分 即或，取其中的正数构成递增数列． 知的前6项为．........7分 【小问2详解】 由（1）知，所以．........8分 所以．① ．② ........9分 ①－②，得．........10分 ．．........13分 所以.........15分 18. (本小题满分17分)在△ABC中，角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，求； （3）求的最小值． 【小问1详解】 因为，根据正弦定理得：. 又因为，........2分 所以.........3分 又为三角形内角，所以．........5分 【小问2详解】 因为，， 所以，， . 所以. 由正弦定理得，........8分 又，所以，. 由余弦定理得 所以.........10分 【小问3详解】 因为 .........12分 由正弦定理 ........15分 因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号.所以的最小值为.........17分 19. (本小题满分17分)在平面直角坐标系中，记二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，经过这三个交点的圆记为圆. （1）若，求圆的方程； （2）已知，为坐标原点，圆上存在点满足，求实数的取值范围； （3）当时，求实数的值. 【小问1详解】 当时，，则对称轴为， 圆的圆心在直线上，又，，.........1分 设圆方程为：，则当时，， 与方程等同，，.........3分 即，代入点得：，解得：， .........4分 圆方程为：.........5分 【小问2详解】 设，由得：， 整理可得：，点轨迹是以为圆心，为半径的圆； .........7分 由（1）知：圆方程可设为， 代入点得：，解得：， 圆，圆心，半径， ..........9分 圆上存在点满足，两圆有公共点， 两圆方程作差得：， 则两圆有交点等价于圆与直线有公共点， ，解得：或，..........10分 实数的取值范围为.........11分 【小问3详解】 设，则，，， ，，........12分 ，， 为方程的两根，， ，解得：，则，........15分 ，，， ，解得：.........17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 金川高级中学教育集团2025-2026学年度第一学期高三年级 学业质量检测（三） 高三数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. i B. C. D. 1 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 已知圆锥的底面半径为，侧面展开图为一个半圆，则圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 4. 点关于直线的对称点为（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（　　） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 7. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，且.若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. z是方程的一个复数根 10．下列说法正确的是（    ） A．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 D．过点且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程是 11. 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. ，，，四点共面 C. 点到平面的距离为 D. 若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则____________． 13. 如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过的时长为________分钟. 14. 实数满足，设点，动点满足.点为线段的中点，当且面积取得最大值时，点坐标为___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分13分) 如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点. （1） 证明： （2）设，，求二面角的余弦值. 16.(本小题满分15分) 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 17. (本小题满分15分)已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列． （1）写出的前6项； （2）记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和． 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，角所对的边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，求； （3）求的最小值． 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系中，记二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，经过这三个交点的圆记为圆. （1）若，求圆的方程； （2）已知，为坐标原点，圆上存在点满足，求实数的取值范围； （3）当时，求实数的值. 高（三）年级数学试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $