精品解析：陕西省西安市周至县第四中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

陕西省西安市周至县第四中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（ ） A. 四点必共面 B. 四点必共面 C. 四点必共面 D. 五点必共面 3. 已知平面、的法向量分别为、且，则的值为（ ） A B. C. D. 4. 直线x+2y+3=0的斜率是（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为 A. B. 1 C. D. 7. 若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（ ） A. 0或2 B. 2 C. D. 或2 8. 已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 若平面内两条直线与平行，则实数（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 10. 已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴，椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等，则下列结论不正确的有（ ） A a2=25，b2=16 B. a2=9，b2=25 C. a2=25，b2=9或a2=9，b2=25 D. a2=25，b2=9 11. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间任意三个向量都可以作为一个基底 B. 已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. ，，，是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面 D. 已知是空间一个基底，若，则也是空间的一个基底 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 过点(1，2)，且倾斜角为的直线方程是___________. 13. 已知椭圆左、右焦点为，，上、下顶点为，，则四边形的面积为______． 14. 是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求的值； （2）. 16. 已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，. （1）用，，表示及求； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 17 已知平面内两定点，动点P满足． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求． 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，G、P是线段、的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面所成锐二面角余弦值． 19. 已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上. （1）求圆M的方程； （2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市周至县第四中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（ ） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得点P到两个焦点的距离之和为2a＝10，再由点P到一个焦点的距离为2，可得点P到另一个焦点的距离． 【详解】由椭圆，可得a＝5、b＝1，设它的两个焦点分别为F、F′， 再由椭圆的定义可得|PF|+|PF'|＝2a＝10，由于点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为8， 故选：D． 【点睛】本题主要考查椭圆定义和标准方程的应用，属于中档题． 2. 对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（ ） A. 四点必共面 B. 四点必共面 C. 四点必共面 D. 五点必共面 【答案】B 【解析】 【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面. 【详解】对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面. 而，其中，所以四点共面. 故选：B. 3. 已知平面、的法向量分别为、且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用两平面垂直，其法向量数量积为零列方程求解即可. 【详解】因为平面、的法向量分别为、且， 所以，即， 则， 故选：A. 4. 直线x+2y+3=0的斜率是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将直线的一般式方程整理为直线的斜截式方程,即可求出直线的斜率 【详解】解：由题可得,,则直线斜率为 故选A 【点睛】本题考查直线的一般式方程与斜截式方程的转化,考查直线的斜率,是基础题 5. 已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】过点倾斜角为的直线方程为：，即， 则圆心到直线的距离：， 由弦长公式可得：， 整理可得： 则：. 本题选择B选项. 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 6. 若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为 A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以设弦长为，则，即. 考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交. 7. 若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（ ） A. 0或2 B. 2 C. D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆切线的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】∵直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切， ∴圆心O(0，0)到直线的距离， 解得m=2(舍去0). 故选:B 【点睛】本题考查了圆的切线性质，考查了数学运算能力. 8. 已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由三条直线过同一点，求得，并判断不重合即得． 【详解】由已知得三条直线必过同一个点，则联立，解得这两条直线的交点为， 代入可得，此时没有两条直线重合． 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 若平面内两条直线与平行，则实数（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两直线平行，利用直线平行的条件列出方程求解即可. 【详解】与平行， 故，解得或， 经检验，和均符合题意. 故选：BD 10. 已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴，椭圆=1的短轴长与椭圆=1的短轴长相等，则下列结论不正确的有（ ） A. a2=25，b2=16 B. a2=9，b2=25 C a2=25，b2=9或a2=9，b2=25 D. a2=25，b2=9 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由椭圆与椭圆有相同的长轴可确定椭圆的焦点位置且，然后再结合条件可得到，进而可得答案． 【详解】椭圆的长轴长为10，椭圆的短轴长为6， 由题意可知椭圆的焦点在x轴上，即有，.故只有D对 故选：ABC 【点睛】本题考查椭圆中基本量的判定，解题的关键是掌握椭圆标准方程的特征，特别是注意焦点在标准方程中大的分母对应的变量所在的轴上，属于基础题． 11. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 空间任意三个向量都可以作为一个基底 B. 已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底 C. ，，，是空间中四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面 D. 已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【解析】 【分析】作为空间中基底的性质，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】A：空间中共面的三个向量不能作为基底，故错误； B：向量，即，可平移到一条直线上，它们与其它任何向量都会共面，故不能作为基底，正确； C：，，不能构成空间的一个基底，即它们共面，则，，，共面，正确； D：是空间的一个基底，即它们不共面，由即共面，故与不共面，则是空间的一个基底，正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 过点(1，2)，且倾斜角为的直线方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得到直线的斜率，再由直线的点斜式写出方程即可得到答案. 【详解】由已知，直线的斜率，由点斜式可得直线方程为： ，即. 故答案为： 【点睛】本题考查点斜式求直线的方程，考查学生的数学计算能力，是一道基础题. 13. 已知椭圆左、右焦点为，，上、下顶点为，，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆得b，c,由此能求面积 【详解】由题,则四边形的面积为 故答案为 【点睛】本题考查椭圆的面积问题，是基础题 14. 是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为________ 【答案】 【解析】 【分析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论. 【详解】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 设平面的法向量是， ， ∴由，可得 取得， ， ∴到平面的距离. 故答案为：. 【点睛】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）求的值； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 由，可得，. ，故 【小问2详解】 ，，可得，，故 16. 已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，. （1）用，，表示及求； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】(1) ,.(2). 【解析】 【分析】(1)在图形中，利用向量的线性运算法则表示，再由求. (2) 由可求异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】（1）. ， . （2）， 则 . 又，， . 异面直线与所成的角的余弦值是. 【点睛】本题考查空间向量的运算，用空间向量求异面直线的夹角.在不建立坐标系的情况下，空间向量的运算与平面向量类似，但表示空间向量需要不共面的三个向量作为基向量.由空间向量求异面直线的夹角时，应注意向量夹角和直线夹角的取值范围的不同，当向量的夹角的余弦值为负数时，相应异面直线的夹角应为其相反数. 17. 已知平面内两定点，动点P满足． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义即可得解. （2）联立直线与椭圆方程结合韦达定理、弦长公式即可得解. 【小问1详解】 由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆， 其中， 所以所求动点P的轨迹C的方程为． 【小问2详解】 设, 联立直线与椭圆的方程,消y整理得：， 所以，，， ∴. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，G、P是线段、的中点． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点E，连接，，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）先证得底面，以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）取的中点E，连接，， 因为G，P分别为，的中点，底面是菱形， 所以且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）因为，，可得为等边三角形， 又因为为等边三角形，G为中点，所以，， 因为，所以，，可得， 所以，可得底面， 分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，可得，， 设平面的一个法向量，平面的一个法向量 由，可得， 令得，，所以 设平面与平面所成锐二面角为，，所成角为， 所以， 平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法： 1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； 2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 19. 已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上. （1）求圆M的方程； （2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程； （2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案. 【详解】解：（1）设圆的方程为：， 根据题意得， 故所求圆M的方程为： ； （2）如图， 四边形的面积为，即 又，所以， 而，即. 因此要求的最小值，只需求的最小值即可， 的最小值即为点到直线的距离 所以， 四边形面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $