广东省东莞市七校2025-2026学年高二上学期联考数学试题

东莞市2025-2026学年第一学期七校联考试题 高二数学 命题人：高维 审题人：梁彦琪 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分. 1. 椭圆的焦点为（  ） A． B. C． D． 2. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 4．如图，三棱锥中，，，点为的中点，记，，，则（  ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，为的中点，在线段上，且，则与所成角的余弦值为（  ） A. 1 B．0 C． D． 6．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 7. 已知是椭圆的焦点，A,B分别是上第二、四象限上的点。若四边形为矩形，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8．数学家莱莫恩（Lemoine）在1867年发现并证明：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边所在的直线相交于点，则三点在同一直线上. 这条直线称为该三角形的“莱莫恩（Lemoine）线”.在平面直角坐标系中若某三角形三个顶点的坐标分别为，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．下列说法正确的是（   ） A．直线在轴上的截距为 B. 直线与平行，则它们之间的距离为 C．经过定点的直线都可以用方程表示 D．点关于直线的对称点是 10．已知圆，，下列结论正确的是（ ） A．若且两圆内切，则圆心的轨迹方程为 B. 若，则两圆有3条公切线 C．若，则两圆的公共弦所在直线的方程为 D．若，为圆的直径，为圆上的动点，则的最大值为 11．在棱长为2的正方体中，点P满足， 则下列结论正确的是（ ） A．当时， B. 当时，平面截正方体所得的截面的面积为 C．若且，则当取得最小值时， D．若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为 二、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图，线段在平面内，，且，则 13．已知实数满足，则的最小值 为 . 14．如图，“爱心”图案由函数的图像的 一部分及其关于直线的对称图形组成，点是该 图案上一动点，是其图象上点关于直线的对 称点，连接，则的最大值为 . 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，在棱长为2的正方体中，分别是面，面的中心。 （1）求证：四点共面； （2）求的体积。 16.已知圆，直线 （1）求证：直线恒过定点； （2）当圆心到直线的距离取得最大值时，求的值； （3）当时，为上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为。求四边形面积的最小值。 17.已知双曲线过点，左右焦点分别为。 (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点2作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数k (k≠0)，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率． 18.已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作。定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模。如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点。 (1)求; (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在， 请求出的值；若不存在，请说明理由. 19.已知椭圆。 （1）结合椭圆的定义以及椭圆与圆的关系，猜想椭圆上的所有点到某个焦点的平均距离和椭圆的面积（不需证明）； （2）已知，请利用（1）的猜想解答下面问题。 ①求椭圆的方程； ②为坐标原点，设点，过右焦点作的垂线交椭圆于两点.求面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $null 东莞市2025-2026学年第一学期七校联考试题 高二数学试卷答案 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C A C D B D B BD AC ABC 填空题： 12. 13. 14. 15.【详解】 （1）在在正方体中，可如图建立空间直角坐标系 则 ————1分 得，故————3分 ————4分 所以四点共面 ————5分 （2）易知为矩形，且————6分 ————7分 设平面的法向量 因为 所以，令，得————10分 所以点F到平面的距离 ————12分 所以————13分 16.【详解】 （1）证明：由得————1分 由 ————2分 得 ————3分 所以直线恒过定点————4分 （2）由（1）知，当时，圆心到直线的距离取得最大值————5分 易知圆心为 因为 ————6分 所以 即 ————8分 解得————9分 （3）当时，直线的方程为，故可设 圆的半径————10分 ————11分 圆心到直线的距离————12分 所以 ————13分 所以————14分 即四边形面积的最小值为————15分 17.【详解】（1）根据题意可得————1分 ————2分 所以————3分 故双曲线C的方程为————4分 （2）由（1）得，即，则，则直线的方程为．————5分 设，由得，————6分 ，————7分 所以．————9分 （3）设，则————10分 则两式相减得．————11分 设，则所以，————13分 即，————14分 所以，所以直线OP的斜率————15分 18.【详解】（1）因为底面为矩形，所以，， 又底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面————2分 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即，————3分 在直角中， 所以,————4分 ————5分 （2）因为且为矩形 所以可如图建立空间直角坐标系 则 ————6分 设平面的法向量 则————7分 令，得 所以————8分 因为 所以平面的法向量可取————9分 设二面角的平面角为 则————10分 所以 所以 所以二面角的正弦值为————11分 （3）依题意，，————12分 又， 所以，，————13分 设， 则 所以————14分 由 得 所以 ————16分 由（1）知 又因 所以 所以线段上存在点，使得，此时————17分 19.【详解】 （1）————2分 （2）①由（1）知，，————4分 所以————5分 所以椭圆的标准方程为.————6分 ②因为，，所以，————7分 因为，所以，————8分 故直线的方程为，即，————8分 联立并整理得，————9分 设，则，————10分 所以，————11分 所以的面积，————13分 令，则，，————15分 当且仅当，即时取等号，————16分 所以面积的最大值为.————17分 学科网（北京）股份有限公司 $东莞市2025-2026学年第一学期七校联考试题 高二数学 命题人：高维 审题人：梁彦琪 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分 1.椭圆16x2+25y2=400的焦点为() A.(±4,0) B.(0,±3) C.(±3,0) D.(±5,0) 2.若平面α的法向量为u=(-1,2,4),平面B的法向量为v=(,-1,-2),直线1的方向向量为 =(,-2,4),则（) A.若lB,则=1 B.若l⊥a,则n=2 C.若m=-10,则a⊥B D.若n=-20,则111a 3.若直线x+y-m=0被圆C(x-1)+(y+1)=4截得的弦长为2√2，则m=（) A.±2 B.√2 C.2 D.2√2 4.如图，三棱锥0-A8C中，OM=3OA,N=CN,点G为W的中点，记O1=a,O丽=6，OC=c, 则0G=() +6+ R.名++ 6 4 c.++ G n.+5+ 0 66 5.如图，在正方体ABCD-AB,GD中，M为AB的中点，N在线段CC上，且C1N=2NC,则 DB与MN所成角的余弦值为（) A.1 B.0 C. D.3 4 21 21 D M 6.已知圆C:(x-3)°+y=9,D是圆C上的动点，点B(2,4),若动点M满足D正=E成则点M的 轨迹方程为() （x-+-2y- B.(x-1)+(y-8)2=9 C.(x-5)2+(y-8)2=9 D.(x-8)2+(y-1)2=9 7.已知E,F,是椭圆C的焦点，A,B分别是C上第二、四象限上的点。若四边形AFBF,为矩 形，则C的离心率的取值范围是() A. 8.数学家莱莫恩(Lemoine)在I867年发现并证明：过VABC的三个顶点A,B,C作它的外接 圆的切线分别和边BC,CA,AB所在的直线相交于点P,Q,R,则三点P,O,R在同一直线上.这条 直线称为该三角形的“莱莫恩(Lemoine)线”.在平面直角坐标系xOy中若某三角形三个顶 点的坐标分别为A(0,1),B(-2,0),C(0,4),则该三角形的莱莫恩(Lemoine)线方程为() A.2x+3y-8=0 B.2x-3y+8=0 C.2x-3y-8=0 D.2x+3y+8=0 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.下列说法正确的是（ A.直线y=x-1在y轴上的截距为1 B.直线1：+2y-1=0与马：x+Q-y+1=0平行，则它们之间的距离为3 4 C.经过定点A(0,2)的直线都可以用方程y=x+2表示 D.点C(2,3)关于直线x-y=1的对称点是(4,1) 10.已知圆C:(x-4)2+(y-5)2=16,C2:(x-m)2+(y-)2=r2,下列结论正确的是( A.若r=1且两圆内切，则圆心C,的轨迹方程为(x-4)2+(y-5)2=9 B.若m=n=1,r=3,则两圆有3条公切线 C.若m=n=1,r=3,则两圆的公共弦所在直线的方程为3x+4y-16=0 D.若m=n=0,r=1,AB为圆C,的直径，P为圆C1上的动点，则PA+PE的最大值为 √41+4 11.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，点P满足DP-元DC+uDD(∈[0,1]，u∈[0,1)， 则下列结论正确的是() D C A.当=1，u≠0时，'，-4P=Vn-A 当2山业时，平面ABP截正方体所得的截面的面积为 D C.若元=)且B正=BB,则当2A+PE取得最小值时，u=1 1 D.若点P在以AB的中点0为球心，√5为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为π 二、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，线段AB,BD在平面a内，AC⊥，∠ABD=60°，月AC=√3.AB=4.BD=5,则 CD= D 13.已知实数x,y满足x-y=0,则Vx2+y2-8x-2y+17+√x2+y2-10x-4y+29的最小值 为 14.如图，“爱心”图案由函数f(x)=-x2+4的图像的 一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点1是该 图案上一动点，、是其图象上点1关于直线y=-x的对 称点，连接N,则W的最大值为 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是面AB,面AC的中心。 (1)求证：B,C,F,E四点共面； D (2)求F-ABCD,的体积。 B 16.已知圆C:(x+1)2+(y+2)2=9,直线1：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 (1)求证：直线1恒过定点Q: (2)当圆心C到直线1的距离取得最大值时，求m的值： (3)当=0时，P为1上一动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A,B。求四边形PACB 面积的最小值。 ,已知双曲线C￥-片1a>0.b>0)过点P6,V2),左有焦点分别为(2,0，B2,0 (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点F2作斜率为1的直线1,1与双曲线C交于A,B两点，求IAB|; (3)若O是坐标原点，M,N是双曲线C上不同的两点，且直线MW的斜率为常数k(≠0)，线 段W的中点为Q,求直线OQ的斜率. 18.已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0，作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做向量a与b的 夹角，记作(a,b)。定义a与b的“向量积”为axb:axb是一个与a、b都垂直的向量，且 它的模ax-同sina,。如图，在四棱锥P-ACD中，底面为矩形，PD1底面ABCD, DA=DP=4,AB=2,E为线段AD上一点。 (1)求AD×BP; (2)若E为线段AD的中点，求二面角P-EB-A的正弦值： (3)线段PB上是否存在一点M,使得ADx BP=EM,若存在， 请求出2的值：若不存在，请说明理由. 19.己知椭圆 a2+31a>b>0。 (1)结合椭圆的定义以及椭圆与圆的关系，猜想椭圆上的所有点到某个焦点的平均距离d和 椭圆的面积S（不需证明)； (2)己知d=√6，S=2√3π，请利用(1)的猜想解答下面问题。 ①求椭圆的方程： ②O为坐标原点，设点P(3,m)(m>0),过右焦点F作PF的垂线交椭圆于AB两点.求△OAB面 积的最大值