第三章图形的相似单元检测（拔尖卷） 2025—2026学年湘教版九年级数学上册

第三章图形的相似单元检测（拔尖卷）湘教版2025—2026学年九年级数学上册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，若的面积为6，则的面积为（    ） A．3 B．24 C．12 D．36 3．两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中，错误的是（    ） A．顶角为的两个等腰三角形相似 B．一个锐角为的两个直角三角形相似 C．一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 D．两个等边三角形一定相似 5．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，若与关于原点位似，且的面积是面积的，其中的对应点为，的对应点为，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 6．如图，与是位似图形，位似中心是点O，若，且的周长为6，则的周长为（   ） A．12 B．6 C．4 D．3 7．如图，在中，是上一点，与交于点，如果，，那么的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，在中，D，E是边的三等分点，是边的中线，，分别与交于点G，H，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 第7题图 第6题图 第8题图 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则 10．在中，，，点D在直线上，且，过点D作交边所在直线于点E，则的长为 ． 11．如图，在正方形中，E为边上一点，，连接，过E作，交于点F，，则正方形的面积为 ． 12．已知，如图，在正方形中，F是的中点，与交于点G，则与的面积之比是 ． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．如图，是斜边上的中线，交于，交的延长线于． (1)求证：； (2)若，求的长度． 14．如图，E是正方形的边上的动点，交于点F． (1)求证： ； (2)设正方形的边长为4，．请用含有的代数式表示． 15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍的； (2)分别写出三个点的坐标； (3)设与的面积分别为求的值 16．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 17．如图，在矩形中，，点P为边上一动点（不与点A，B重合），交于点E． (1)求证：． (2)当时，求线段的长度． (3)当点P在线段的垂直平分线上时，求的值． 18．在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 参考答案 一、选择题 1—8：BBACDDCC 二、填空题 9． 10．8或16 11．81 12． 三、解答题 13．【解】（1）解：证明：∵是斜边上的中线， ∴， ， ， ， ， ， ， 又， ∴； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ． 14．【解】（1）证明：四边形ABCD是正方形, ∴, ∴. 又, ∴, ∴. ∴； （2）解：由(1)得 ∴ 得, 得 ∴． 15．【解】（1）解：如图：即为所求， （2）解：∵三个顶点的坐标分别为，，，是以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到的， ∴的三个点的坐标分别为，，， （3）解：∵是以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到的， ∴与的位似比是， ∴与的面积比为． 16．【解】（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF， ∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF． ∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，， ∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴，即DF2=FO•AF． ∵， ∴； （3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H． ∵， ∴，整理得：FG2+3FG-10=0． 解得：FG=2，FG=-5（舍去）． ∵ ∴ ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴，即， ∴． ∴． 17．【解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴，即， 解得； （3）解：连接， ∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， 解得， ∴， ∴． 18．【解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为； （3），， ∴或， ①当时， 则， ∴， ②当时， 则， ∴， 综上所述，当或1时，与相似； （4）当线段分三角形的面积比为时， 则，或， ∴，或， 方程，解得或3， 方程，无解， ∴当或3时，线段分三角形的面积比为． 学科网（北京）股份有限公司 $