专题02 分式重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材青岛版

该初中数学分式专题复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分模块呈现分式概念、性质、运算及方程应用等知识点，用清晰框架图串联知识脉络，突出分式运算、方程应用等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于题型分类配答题模板，如分式化简求值提供规范步骤，分式方程应用题结合行程、工程实例培养模型意识。分层练习从基础通关到综合拓展，助力不同层次学生提升运算能力与推理意识，支持教师精准教学和学生自主复习。

专题02 分式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 分式的基本性质 能利用性质解决分式相关基础问题。 基础必考点，常出现在小题. 分式的运算 分式的混合运算及化简求值。 分式的运算是必考内容，难度不大，但对运算能力有一定要求，化简求值常出现在解答题中。 分式方程的应用题 行程工程销售问题等。 应用题是必考类型，其中难度较大的还有方案问题。找出等量关系列方程解答是关键，还要考察分式方程的解及检验。 知识点01 分式及其基本性质 1）分式的概念：如果把A÷B写成的形式，其中A、B都是整式，且B中含有字母，那么代数式就叫做分式．其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。 2）分式有意义的条件：（1）分式有意义的条件是分母不等于零。 （2）分式无意义的条件是分母等于零。 （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号。 （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。 3）分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。 4）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 知识点02 分式的乘法与除法 1）约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约分． 2）最简分式的定义：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分式． 3）把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算。分式约分的结果应当是最简分式或整式。 4）分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 5）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 6）分式的乘方法则：分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。 知识点03 分式的加法与减法 1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。 2）通分的定义：这种不改变每个分式的值，把几个异分母的分式化成同分母分式的变形叫做分式的通分。 3）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 4）异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先把他们通分，变为同分母分式，再加减。 5）分式的混合运算法则：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 知识点04分式方程 1）分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 3）增根的定义：在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 4）解分式方程的一般步骤： 5）分式方程的应用 (1)列分式方程解应用题的一般步骤： (2)要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度＝路程÷时间； 工作量问题：工作效率＝工作量工作×时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 知识点05 分式方与比 1）比的定义：两个整式A与B(B≠0)相除，叫作A与B的比，记作A:B或 ，其中A叫作比的前项，B叫作比的后项。 2)比例的定义：表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例。如果a与b的比等于c与d的比，那么就说a，b，c，d四个数成比例。可以写成a:b=c:d或=。在比例中，a，b，c，d叫作组成比例的项，其中a与d叫作比例的外项， b与c叫作比例的内项。当比例的两个内项相等，即当时，b叫作a和c的比例中项。 3）比例的基本性质：在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积。如果=，那么ad = bc. 4)两条线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作这两条线段的比。 5)成比例线段：如果四条线段a，b，c，d的长成比例，我们就把这四条线段a，b，c，d称为成比例线段，简称比例线段。 题型一 分式的乘除 答｜题｜模｜板 计算： 【详解】解： ． 【典例1】计算：． 【详解】解： ． 【变式1】．计算：． 【详解】解：． 【变式2】．计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，平方差公式，完全平方公式，提公因式，分式的约分． 先将除法变成乘法，并因式分解，最后约分即可． 【详解】解：原式 ． 题型二 分式的加减 答｜题｜模｜板 (1)； (2)． （1）解： ； （2）解： ． 【典例1】．计算： (1) (2)． 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式        . 【变式1】．计算： 【详解】解：原式 ． 【变式2】．计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 分式的化简求值 答｜题｜模｜板 先化简再求值：其中． 【详解】解： ， 当时，原式． 【典例1】．先化简，然后在，0，1，2中选一个你认为合适的x的值，代入求值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴当时， 原式． 【变式1】．先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴整数的值为，，， ∵， ∴， ∴原式． 【变式2．先化简，再求值：，其中． 【详解】解： ∵ ∴   原式. 题型四 解分式方程 答｜题｜模｜板 解方程： 解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 【典例1】解方程：． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 【变式1】．解方程：． 【详解】解：原方程可化为， 方程两边同乘，得：， 即：， 整理得：， 两边减去 ：， 移项得：， 解得：， 检验：当 时，分母，原方程无意义， 故原方程无解． 【变式2】．解分式方程． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 检验：将代入中，得 ∴原分式方程的解为． 题型五 分式方程的增根和无解问题 答｜题｜模｜板 已知关于x的分式方程，若方程有增根，求k的值． 【详解】解：， 分式方程两边同时乘上，得， ， 解得， 由题知，该分式方程有增根，即， 解得或， 当时，得，解得， 当时，得，解得， 综上所述，k的值为6或． 【典例1】．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【详解】解： ∵原分式方程无解， ∴，即， 当时，， 解得； 当时，方程无解， 此时； 综上，m的值为1或． 【变式1】．若关于的方程有增根，试求的值． 【详解】解：分式方程，其分母分别为和． 因为分式方程的增根是使分母为0的根，，解得， 所以该分式方程的增根为． 将分式方程化为整式方程： 得到：， 把增根代入整式方程中，即． 化简可得，解得． 综上，的值为． 【变式2】．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【详解】（1）解：时，关于的方程为， 化为整式方程，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得， 当时，， 因此该方程的解为； （2）解：， 等号两边同时乘以，得：， 解得， 若该方程无解，有两种情况： ，解得； ，即，解得，经检验符合， 综上可知，的值为2或1． 题型六 分式方程应用题 答｜题｜模｜板 某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？ 【详解】解：设甲车间每天生产电子元件个，则乙车间每天生产的电子元件个， 由题意得，， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意． 答：甲车间每天生产电子元件100个． 【典例1】为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买、两种型号的充电桩．已知型号充电桩比型号充电桩的单价少万元，且用万元购买型号充电桩与用万元购买型号充电桩的数量相等，求型号充电桩的单价． 【详解】解：设型号充电桩的单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：型充电桩的单价为万元． 【变式1】．无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，刷新了扑翼无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器的时速是“云鹗”仿生飞行器时速的倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟． (1)“信鸽”仿生飞行器的速度是多少千米/时？ (2)已知“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分秒，且“云鹗”仿生飞行器的续航时间与“信鸽”相同，求在各自续航的时间内，“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行多少千米？（结果精确到） 【详解】（1）解：设“云鹗”仿生飞行器的速度为千米/时，则“信鸽”的速度为千米/时， 解得 经检验，是原方程的解， 则“信鸽”的速度为千米/时； 答：“信鸽”仿生飞行器的速度是千米/时． （2）解：3小时5分30秒小时， “信鸽”飞行的路程：千米， “云鹗”飞行的路程：千米， 多飞行的路程：千米． 答：“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行约千米． 【变式2】．某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【详解】（1）解：设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个． 根据题意，， 解得， 所以， 答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； （2）解：设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个， 升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个， 设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则， 生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个， 由，得， 由，得， 代入，得， 即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 答：每天生产甲材料包的增加数量为10个． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算每个选项的分式运算，判断其正确性． 【详解】解：A：∵ ，∴错误． B：∵ ，∴错误． C：∵ ，∴错误． D：∵ ，∴正确． 故选：D． 2．下面的比，能与组成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查比例的性质，通过计算给定比的比值，并与各选项的比值比较，找出比值相等的选项. 【详解】解：∵ 给定比 的比值为 . 选项 A： 的比值为 ； 选项 B： 的比值为 ； 选项 C： 的比值为 ； 选项 D： 的比值为 . ∴ 能与 组成比例的是 B. 故选B. 二、填空题 3．要使分式 有意义，x满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于0，是解题的关键．根据分式有意义的条件是分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，需满足分母， 解得：． 故答案为：． 4．如果是关于的分式方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查已知分式方程的解求参数的值．将代入分式方程，即可求解的值． 【详解】解：是关于的分式方程的解， 代入方程得：，化简得：， 解得： 故答案为：． 三、解答题 5．已知，求和的值． 【答案】 【分析】本题考查比例的变形与代数式求值，解题的关键是利用已知等式推导的值，再对进行拆分变形． 先由已知等式得出的比值，再将拆分为，代入的值计算即可． 【详解】解：， ， ∴． 6．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列各式中，从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 2．已知分式的值为0，则x的值为（   ） A．1 B．0 C．1或 D． 【答案】D 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：D 二、填空题 3．（山东省淄博市高新区2024-2025学年八年级上学期期末）若，则分式的值为 ． 【答案】 【来源】山东省淄博市高新区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了分式基本性质运用．熟练运用分式基本性质是关键．根据分式基本性质，分子和分母同时除以可得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 4．（山东省威海市文登区2024-2025学年八年级上学期期末）若，则 ． 【答案】或 【来源】山东省威海市文登区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查比例的性质，运用整体思想是解决本题的关键，需要注意的是：由于可能为0，因此求k的过程中，要分两种情况求解． 由可得，①，②，③，然后把三个式子相加，整理可得，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：由可得，， 得，， 整理可得， 当时，， ； 当时，， ． 故答案为：或． 三、解答题 5．（山东省淄博市高新区2024-2025学年八年级上学期期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【来源】山东省淄博市高新区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题　 【分析】本题考查了解分式方程，关键是把分式方程转化为整式方程，最后注意检验； （1）方程两边同乘，转化为一元一次方程，再求解即可，最后检验； （2）方程两边同乘，转化为一元一次方程，再求解即可，最后检验． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是方程的解， 所以原分式方程的解为； （2）解：， 变形得：， 方程两边同乘得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是方程的增根， 原分式方程无解． 6．（山东省临沂市临沭县2024—2025学年上学期八年级数学期）已知甲、乙两港口之间的距离为200千米，水流速度为5千米/时． (1)若一艘轮船从甲港口顺流航行到乙港口所用的时间是从乙港口逆流航行到甲港口所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)若某艘轮船在静水中的航行速度为千米/时，记该轮船从甲港口顺流航行到乙港口，再从乙港口逆流航行返回到甲港口所用的时间为；若该船从甲港口航行到乙港口再返回到甲港口均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)该轮船在静水中的航行速度为35 千米/时 (2)，理由见解析 【来源】山东省临沂市临沭县2024—2025学年上学期八年级数学期末试卷 【分析】本题考查了分式方程的应用，分式混合运算的应用．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度． （1）设轮船在静水中的航行速度为千米/时，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，列分式方程即可求解； （2）设轮船在静水中的速度为千米/时，由题意知，比较的大小即可． 【详解】（1）解：设轮船在静水中的航行速度为千米/时，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：该轮船在静水中的航行速度为35 千米/时； （2）解：，理由如下： 设轮船在静水中的航行速度为千米/时， 根据题意得：， ， ， 即． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． 先通分，最简公分母是，再根据分母不变，把分子相加或相减约分后可得答案． 【详解】解：原式 = 。 ． 故选：B． 2．若分式方程无解，则m的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．原分式方程可解得，若此分式方程无解即这个根是增根，据此解答即可． 【详解】解： 两边同乘公分母 ： ， ， 原分式方程无解即为增根， 即 或 ， 当时，则 ，解得 ； 当时，则，解得 ． ∴ 或 时方程无解． 故选： D． 二、填空题 3．已知实数满足，则的值为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查完全平方公式和分式的化简求值．先将已知等式两边同除以a得，再利用完全平方公式进行计算可求解． 【详解】解：由，且，两边同除以得，即． 又， 所以． 故答案为：18． 4．当 时，分式的值比分式的值大1． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据题意，列出分式方程，通过去分母转化为整式方程，求解后检验分母不为零即可． 【详解】解：根据题意，得方程：， ， ， ， 经检验，是原方程的根， 故答案为：． 5．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号内的分式减法，再算分式除法，最后代入即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 6．已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整理得，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴， 把代入， 原式． 7．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产7件A款人形机器人和生产8件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】(1)16万元，14万元 (2)20万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． （1）设款机器人每件成本为万元，则款机器人每件成本为万元，根据题意列出方程，解方程即可． （2）设款机器人每件销售价格为万元，则款机器人每件销售价格为万元，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设款机器人每件成本为万元，则款机器人每件成本为万元， 根据题意，得， 解得：， ， 答：款机器人每件成本为16万元，款机器人每件成本为14万元． （2）解：设款机器人每件销售价格为万元，则款机器人每件销售价格为万元， 根据题意，得， 解得：． 答：该公司确定的每件款人形机器人在网上的售价是20万元． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02分式（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 分式的基本性质 能利用性质解决分式相关基础问 基础必考点，常出现在小题 题。 分式的运算 分式的混合运算及化简求值。 分式的运算是必考内容，难度不大，但对运 算能力有一定要求，化简求值常出现在解答 题中。 分式方程的应用题 行程工程销售问题等。 应用题是必考类型，其中难度较大的还有方 案问题。找出等量关系列方程解答是关键， 还要考察分式方程的解及检验。 记·必备知识 昼知识点01分式及其基本性质 A 1)分式的概念：如果把A÷B写成B的形式，其中A、B都是整式，且B中含有字母，那么代数式B就叫做 分式.其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母。 2)分式有意义的条件：(1)分式有意义的条件是分母不等于零。 (2)分式无意义的条件是分母等于零。 (3)分式的值为正数的条件是分子、分母同号。 (4)分式的值为负数的条件是分子、分母异号。 3)分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。 4)分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 昼知识点2分式的乘法与除法 1)约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫做分式的约 分. 1/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)最简分式的定义：一个分式的分子与分母，如果除1以外没有其他的公因式，我们称这个分式为最简分 式 3)把整式的除法转化成分式的形式，可以利用约分进行运算。分式约分的结果应当是最简分式或整式。 4)分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 5)分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 6)分式的乘方法则：分式乘方就是把分式的分子、分母各自乘方。 屋知识点3分式的加法与减法 1)同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。 2)通分的定义：这种不改变每个分式的值，把几个异分母的分式化成同分母分式的变形叫做分式的通分。 3)最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分 母叫做最简公分母。 4)异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先把他们通分，变为同分母分式，再加减。 5)分式的混合运算法则：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的. ®知识点04分式方程 1)分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2)分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的 解。 3)增根的定义：在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫作分式方程的增根。 4)解分式方程的一般步骤： 解分式方程的一般步骤 转化 分式方程 整式方程 目标 求解 分式方程的解 整式方程的解 5)分式方程的应用 2/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)列分式方程解应用题的一般步骤： 设未知数 实际问题 分式方程 表达等量关系 解 解 决 程 实际问题的解 分式方程的解 (2)要掌握常见问题中的基本关系，如： 行程问题：速度=路程÷时间； 工作量问题：工作效率=工作量工作×时间等等， 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力. 屋知识点05分式方与比 A 1)比的定义：两个整式A与B(B0)相除，叫作A与B的比，记作A:B或B,其中A叫作比的前项，B叫 作比的后项。 2)比例的定义：表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例。如果a与b的比等于c与d的比，那么就说 a,b,c,d四个数成比例。可以写成ab=cd或-S。在比例中，a,b,c,d叫作组成比例的项，其中a b d 与d叫作比例的外项，b与c叫作比例的内项。当比例的两个内项相等，即当_b: =二时，b叫作a和c的 比例中项。 3)比例的基本性质：在比例中，两外项的乘积等于两内项的乘积。如果-C, =兰，那么ad=bc. b d 4)两条线段的比：在同一单位长度下，两条线段长度的比，叫作这两条线段的比。 5)成比例线段：如果四条线段a,b,c,d的长成比例，我们就把这四条线段a,b,c,d称为成比例线段， 简称比例线段。 破·重难题型 题型一 分式的乘除 3/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答引题|模1板 计算： (〔到 【详解】解 〔j〔( (号 x2 y6 x4 a a2+a 【典例1】计算：a2-1a2 【变式1】.计算： 2x'y xz yz zy（ 2x2: 【变式2】.计算： 16-a2 a-4a+2 a2+4a+42a+4a+4 题型二 分式的加减 答|题|模板 x+y : 3x+ ④2-y*y-2x (1)解： 3x ++y 2x-y y-2x 3x x+y 2x-y 2x-y 3x-x-y 2x-y 2x-y 2x-y 4/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =1; (2)解： xv+y2 (x-y2(x-y2 y+2y2 (x-y2· 【典例1】.计算： )上+= xx 2)2x1 x2-9x-3 【变式1】计算：5x+5y x-y y-x 【变式2】.计算： 1)3x+3 x-11-x 2)x+1 x2-xx2-2x+1 它题型三 分式的化简求值 答题模|板 ! 先化简再求值： 1-3）. 2-2x+1其中x=2, x+24x+8 【详解】解： 1 3）. x2-2x+1 、x+2 4x+8 =+2-3÷x-1)2 x+24(x+2) : x-14(x+2) x+2(x-1)2 4 x-1 当x=2时，原式号4。 5/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+1 【典例1】.先化简 二2正然后在，0,1,2中选一个你为合适的的馆，入 x2 x+1 【变式1.先化简ir-A X-2x+1,然后再从-2<x<2的范围内取一个合适的整数作为x的值代 入求值. a2-4 2 【变式2.先化简，再求值：a2-4a+4a2-2a,其中a2+2a-3=0. 题型四 解分式方程 答|题|模|板 解方程： x-6 x+329=1 解：方程两边乘以x+3)(x-3,得xx-3)-6=x+3)(x-3), 、 整理得，3x=3, 解得x=1, 检验：当x=1时，x+3)(x-3)=4×-2)=-8≠0， 原方程的解为x=1. 3 1 =1 【典例1】解方程：2x-21-x 【变式1】.解方程：x+14=1. x-1x2-1 【变式2】.解分式方程，x,=2-,3 2x-1 21-2x 题型五 分式方程的增根和无解问题 答|题|模|板 已知关于的分式方程之冬，若方程有特服，求的值 【详解】解：4+ 3 k x+1x-1x2-1 6/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分式方程两边同时乘上x2-1,得4x-1+3(x+1=k, 4x-4+3x+3=k, 解得x=+ 7 由题知，该分式方程有增根，即x2-1=0, 解得x=1或x=-1, 当x=1时，得1=+ ,解得=6， 当=-1时，得-1=生，解得：-8， 综上所述，k的值为6或-8. 3-2xmx-2 =-1 【典例1】.若关于x的分式方程x-22-x 无解，求m的值 【变式1】.若关于x的方程冬 ,+3=x十。有增根，试求k的值. 4-x 【变式2】.关于x的方程 +2=1-@ x-2 -2-x (1)当k=3时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求k的值. ☑题型六分式方程应用题 答|题|模板 某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也 加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问 甲车间每天生产电子元件多少个？ 【详解】解：设甲车间每天生产电子元件x个，则乙车间每天生产的电子元件1.3x个， ! 由题意得， 2300+2300=33, xx+1.3x 解得：x=100, 经检验：x=100是分式方程的解，且符合题意. 答：甲车间每天生产电子元件100个. 7/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩.已知A型号 充电桩比B型号充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型号充电桩与用24万元购买B型号充电桩的 数量相等，求A型号充电桩的单价， 【变式1】.无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、 高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔.西北工业大学的科研成果“信鸽” 仿生飞行器的续航时间为3小时5分30秒，刷新了扑翼无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录.科研 小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器的时速是“云鹗”仿生飞行器时速的1.5倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米 高的空中比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟 (1)“信鸽”仿生飞行器的速度是多少千米时？ (2)已知“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分30秒，且“云鹗”仿生飞行器的续航时间与“信鸽”相同，求 在各自续航的时间内，“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行多少千米？（结果精确到01) 【变式2】.某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个， 且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍. (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率.升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料 包的数量有所增加.每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍.若需用升级后的 设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1.下列计算正确的是() A.a'b b ab a B.a-1=a-1 a-11-a 8/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c._B:/a) a_b3 2.下面的比，能与}：组成比例的是() 34 A.3:4 B.4:3 D.4 二、填空题 3。要使分式6有意义，x满足的条件是 4.如果x=6是关于X的分式方程”，=2的解，则m的值是一 x-2 x 三、解答题 5.已知5x-4y=0(y≠0)，求+和的值， y 6.先化简，再求值： a-91-3,其中a=5 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1.下列各式中，从左到右的变形正确的是() A.x+1x 8.=x C.x y+l y -yy y D.、x2 y y2 2.已知分式-1的值为0，则x的值为() x-1 A.1 B.0 C.1或-1 D.-1 二、填空题 B.(东省市高K20242025学年人致调末)若*手2，则分式3的值为一 4.(山东省威海市文登区2024-2025学年八年级上学期期末)若三=X=y=k,则 x+yy+z x+z k= 9/11 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 5.(山东省淄博市高新区2024-2025学年八年级上学期期末)解方程： ,2-3x-2 2x-11-2x 2)18+1=x x2-9 x-3 6.(山东省临沂市临沭县2024一2025学年上学期八年级数学期)已知甲、乙两港口之间的距离为200千米， 水流速度为5千米/时. (1)若一艘轮船从甲港口顺流航行到乙港口所用的时间是从乙港口逆流航行到甲港口所用时间的 4 ,求该轮 船在静水中的航行速度； (2)若某艘轮船在静水中的航行速度为千米/时(v>5),记该轮船从甲港口顺流航行到乙港口，再从乙港口 逆流航行返回到甲港口所用的时间为；若该船从甲港口航行到乙港口再返回到甲港口均为静水航行，所用 时间为2，请比较与的大小，并说明理由. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1.计算1。 x之的结果是() A. 1 8.1 x+1 x+1 C. x-1 2.若分式方程m-2.1 -4x+2x-2无解，则m的值为() A.2 B.4 C.2或-2 D.4或-8 二、填空题 10/11