专题02 全等三角形重点复习:必备知识+重难题型+分层验收（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材青岛版

专题02 全等三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 全等三角形的性质 能利用性质解决线段、角的计算或证明问题。 基础必考点，常出现在小题 全等三角形的判定 根据题目条件选择适当的判定方法证明三角形全等。 全等的证明是必考内容，难道较大的题目中含有辅助线的运用。筛选和添加全等的条件是解题关键。 尺规作图 5种基本尺规作图的掌握。 常考题型，注意答题规范。 知识点01 全等形 定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形. 性质：（1）形状相同。（2）大小相等。 知识点02 全等三角形及性质 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 相关概念：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 注意：书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角） 全等三角形性质 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。 3）全等三角形的周长相等，面积相等。 知识点03 全等三角形的判定 判定定理： 1）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； 2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； 3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； 4）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； 5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 知识点04 尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。 题型一 尺规作图 解｜题｜技｜巧 熟练掌握尺规作图的作法及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 答｜题｜模｜板 航模小组在设计支架时，需要解决以下几何问题，已知夹角为，点位于射线上，点位于射线上． (1)尺规作图：需在内部确定一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中，连接，仅用无刻度直尺在上确定一点，使得（即为中点），并证明作法的正确性． （1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，连接与，其交点D即为所求： 证明如下： ， ，， 由（1）得， 在与中， ， ， ． 【典例1】（1）用直尺和圆规做一条直线，使这条直线过顶点，并且与边平行．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在平行线右端截取线段，连接，证明． 【变式1】如图，与交于点，，点在线段上，点在线段上． (1)根据上述信息，利用尺规作． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【变式2】如图，在中，点为线段上一点． (1)用尺规完成以下基本作图：在上方作交于点，在延长线上取一点，使，连接； (2)在（）所作的图形中，若， ， ，求的周长． 解：∵，，， ∴， ∴_____________， 在和中， ， ∴， ∴，_____________， ∵，， ∴的周长_______． 故答案为：；；；． 题型二 全等三角形证明 答｜题｜模｜板 如图，已知点在同一条直线上，．求证：． 证明：在和中 ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）， ∴（等式性质）， 即． 【典例1】如图，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式1】如图，点B，F，C，E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2】如图，在中，是上一点，，交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型三 全等三角形动点问题 答｜题｜模｜板 如图，在中，，的面积为36，动点P从A点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点D运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点P到达点D时，动点P、Q同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． （1）则和之间的距离为 ； （2）当平分的面积时，则 ． 解：（1）设和之间的距离为h， ∵的面积为36， ∴， ∴， ∴和之间的距离为4． 故答案为：4． （2）如图，连接交于点O， ∵平分的面积，是中心对称图形， ∴经过的中心，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴． ∴当平分的面积时，或或． 故答案为：或或． 易｜错｜点｜拨 动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．分类讨论问题注意不要漏解。 【典例1】如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【变式1】如图，在长方形中，厘米，厘米．动点从点出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点从点出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)直接写出线段的长，用含的代数式表示并写出的取值范围； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【变式2】已知，如图，在矩形中，，．延长到点，使，连接． (1)动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，当的值为__________时，以、、为顶点的三角形和全等； (2)若动点从点出发，以每秒1个单位的速度仅沿着向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 题型四 含辅助线几何证明 答｜题｜模｜板 如图，已知在中，是边上的中线，分别以为直角边作直角和，其中，连接． (1)若，求的取值范围； (2)求证：． （1）证明：如图，延长至点，使，连接， 因为是边的中线， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． （2）证明：因为， 所以， 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 【典例1】在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试探究图中线段，，之间的数量关系． (1)小亮同学认为：延长到点，使，连接，如图，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系：______． (2)如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【变式1】 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．(山东省菏泽市成武县2024-2025学年八年级上学期期中)如图，已知，则根据图中提供的信息，可得的值为（   ） A．30 B．27 C．32 D．40 2．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(山东省德州市第五中学2024-2025学年八年级上学期期中)如图，，，，点E在边上，则的度数为 ． 5．(山东省临沂市郯城县2024-2025学年八年级上学期期中)如图，在中，点D是的中点，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，直线交于点E，连接，若，的周长为，则的周长为 ． 三、解答题 6．如图所示，，，三点在同一条直线上，且， (1)证明：． (2)探究当满足什么条件时，？并说明理由． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．利用尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线．下列作法错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，，点C，D，B，F在同一条直线上，，，，则的长为 ． 4．如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为 ． 5．如图，，，与关于直线对称，则中的 ． 三、解答题 6．已知：如图，，，，．与、分别相交于点、． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？证明你的结论． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．(2022年山东省淄博市中考数学真题)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，则的依据是（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 4．(2022年山东省枣庄市中考数学真题)如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝ ． 5．（山东省德州市第十中学2025-2026学年上学期八年级期中）如图，，，，且，若，，则的长为 ． 6．如图，在中，，，垂足分别为，，若，，，则的长为 ． 三、解答题 7．（2023年山东省青岛市中考数学真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上．    8．（2022年山东省威海市中考数学真题）回顾：用数学的思维思考 (1)如图1，在△ABC中，AB＝AC． ①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE． ②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE． （从①②两题中选择一题加以证明） (2)猜想：用数学的眼光观察 经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题： 如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明． (3)探究：用数学的语言表达 如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02全等三角形（期中复习讲义） 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 全等三角形的性质 能利用性质解决线段、角的计算或 基础必考点，常出现在小题 证明问题。 全等三角形的判定 根据题目条件选择适当的判定方法 全等的证明是必考内容，难道较大的题目中 证明三角形全等。 含有辅助线的运用。筛选和添加全等的条件 是解题关键。 尺规作图 5种基本尺规作图的掌握。 常考题型，注意答题规范。 记·必备知识 同知识点01全等形 定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形. 性质：(1)形状相同。(2)大小相等。 同知识点02全等三角形及性质 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 相关概念：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互 相重合的角叫做对应角。 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 注意：书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 (若△ABC≌△DEF,则AB和DE,AC和DF,BC和EF分别是对应边；∠A和LD,LB和LE,∠C和 ∠F分别是对应角) 全等三角形性质 1)全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2)全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。 3)全等三角形的周长相等，面积相等。 局知识点3全等三角形的判定 1/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 判定定理： 1)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’(基本事实)： 2)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’(基本事实)： 3)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”; 4)三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”(基本事实)； 5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”)。 局知识点04尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通 常称作基本作图。 破·重难题型 巴题型一】 尺规作图 解|题|技|巧 熟练掌握尺规作图的作法及全等三角形的判定及性质是解题的关键。 答题模」板 航模小组在设计支架时，需要解决以下几何问题，己知夹角为∠MON,点A位于射线OM上，点B位 于射线ON上. M B (1)尺规作图：需在∠MON内部确定一点C,使得AC∥OB且AC=OB.(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)中，连接0C,仅用无刻度直尺在0C上确定一点D,使得0D=CD(即D为0C中点)， 并证明作法的正确性 (1)解：如图，AC即为所求： 2/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图，连接AB与OC,其交点D即为所求： M W 证明如下： :AC∥OB, :∠CAD=∠OBD,∠ACD=∠BOD, 由(1)得AC=0B, ::在△ADC与△BD0中， ∠CAD=∠OBD AC=OB ∠ACD=∠BOD :△ADC≌△3D0(ASA), OD=CD 【典例1】(1)用直尺和圆规做一条直线，使这条直线过顶点A,并且与边BC平行.（要求尺规作图，不 写作法，保留作图痕迹) B (2)在平行线右端截取线段AD=BC,连接DC,证明△ABC≌△CDA· 【答案】(1)作图见解析；(2)证明见解析 3/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)如图所示，直线1即为所求； B (2)如图所示，在平行线右端截取线段AD=BC,连接DC, D :BC=AD,AD∥BC, :∠ACB=∠CAD, AC=CA, △ABCI△CDA(SAS). 【变式1】如图，AC与BD交于点O,AB∥CD,点E在线段OC上，点F在线段CD上. (1)根据上述信息，利用尺规作△CFE≌△AB0. (2)在(1)的条件下，若AC=7,A0=3,求OE的长. 【答案】(1)见解析 (2)1 【详解】(1)解：如图，△CFE即为所求， D .AB∥CD, 4/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=∠C. 由作法可知，CF=AB,CE=AO, aCFE≌△ABO(SAS); (2):△CFE≌△AB0, CE=A0=3, AC=7, .0E=AC-A0-CE=7-3-3=1. 【变式2】如图，在ABC中，点D为线段AB上一点. B D (1)用尺规完成以下基本作图：在AD上方作∠ADE=∠B交AC于点E,在BC延长线上取一点F,使 BF=AD,连接DF; (2)在(1)所作的图形中，若∠ACF=∠ADF,AB=6,DF=4,求ADE的周长. 解：：∠ACF=∠B+∠A,∠ADF=∠B+∠BFD,∠ACF=LADF, ∠B+∠A=∠B+∠BFD, ① 在ADE和△FBD中， ∠A=∠BFD ② ∠ADE=∠B .△ADE≌△FBD(ASA), .AE=FD,③ :AB=6,DF=4, .ADE的周长AD+DE+AE=AD+BD+DF=④ +DF=6+4=10. 【答案】(1作图见解析； (2)①∠A=∠BFD;②BF=AD;③DE=BD;④AB. 5/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图，作∠ADE=∠B,然后作BF=AD即可， (2)解：：∠ACF=∠B+∠A,∠ADF=∠B+∠BFD,LACF=∠ADF, ∠B+∠A=LB+LBFD, ∠A=∠BFD, 在ADE和△FBD中， ∠A=∠BFD BF=AD, ∠ADE=∠B .△ADE≌△FBD(ASA, AE FD,DE=BD, AB=6,DF=4, :.ADE的周长AD+DE+AE=AD+BD+DF=AB+DF=6+4=10, 故答案为：①∠A=∠BFD;②BF=AD;③DE=BD;④AB. 它题型二全等三角形证明 答|题模板 如图，已知点B,E,C,F在同一条直线上，AB=DE,∠A=∠D,AC=DF.求证：BE=CF. E C 证明：在△ABC和△DEF中 AB=DE ∠A=∠D, AC=DF 6/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC≌△DEF(SAS), ∴.BC=EF（全等三角形对应边相等)， ∴BC-CE=EF-CE(等式性质)， 即BE=CF. 【典例1】如图，AD,BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90°. B D (1)求证：△ACB≌△BDA: (2)若∠ABC=28°，求∠CA0的度数. 【答案】(1)见详解 (2)LCA0=34° 【详解】(1)证明：：∠C=∠D=90°， ·△ACB和△BDA都是直角三角形， 在Rt△ACB和RtABDA中， AD=BC,AB=BA, AD=BC AB=BA .Rt△ACB≌Rt△BDA(HL): (2)解：在Rt△ACB中， :∠ABC=28°， ∠CAB=90°-28°=62°， 由(1)可知△ACB≌△BDA, ∴.∠BAD=∠ABC=28, ∠CA0=LCAB-∠BAD=62°-28°=34°. 【变式1】如图，点B,F,C,E在同一条直线上，AC=DF,∠A=∠D,AB∥DE. 7/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)若BE=1L,FC=3,求BF的长 【答案】(1)见解析 (2)BF=4 【详解】(1)证明：AB‖DE, ∠B=∠E. 在ABC和ADEF中， 「∠B=∠E 由{∠A=∠D, AC=DF △ABC≌△DEF(AAS). (2)解：：△ABC≌△DEF, ∴.BC=EF, ∴BC-FC=EF-FC, .BF CE, :BE =11,FC =3,BE=BF+FC+CE, 11=BF+3+CE, 2BF=8, BF=4. 【变式2】如图，在ABC中，D是AC上一点，BF∥AC,DF交BC于点E,DE=EF, D 8/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△CDE≌△BFE; (2)若AC=8,BF=6,求AD的长 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】(1)证明：：BF∥AC ∠C=LEBF,∠CDE=LBFE, 在△CDE和△BFE中， [∠C=∠EBF ∠CDE=∠BFE, DE=EF ∴△CDE≌△BFE(AAS); (2)解：：△CDE≌△BFE, :CD BF=6, AD=AC-CD=8-6=2. ☑题型三全等三角形动点问题 答|题模|板 如图，在口ABCD中，AB=5,BC=9,口ABCD的面积为36，动点P从A点出发，以1个单位长度的速度 沿线段AD向终点D运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在B,C间往返运动，当点P到达 点D时，动点P、Q同时停止运动，连结P?.设运动时间为t秒. (1)则AD和BC之间的距离为一： (2)当PQ平分。ABCD的面积时，则t= AP B Q 解：(1)设AD和BC之间的距离为h, :BC=9,ABCD的面积为36， 9h=36, 9/39 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .h=4, :AD和BC之间的距离为4. 故答案为：4. (2)如图，连接BD交PQ于点O, A P D B :PO平分口ABCD的面积，口ABCD是中心对称图形， ∴PO经过口ABCD的中心，即BO=DO, 在ABCD中，AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBD,∠DPQ=∠BQP, ∴.△DOP≌△BOQ, :PD=BO, 当0<1≤3时， PD=9-t,BO=3t, 9-t=31, 1 9 当3<1≤6时， PD=9-t,BQ=18-3t, ∴9-1=18-31， =2 当6<t≤9时， :PD=9-t,BQ=3t-18, .9-1=31-18, 27 ∴.t= 4· 当PO平分ABCD的面积时，t=或9 27 41 41 故答案为： 9或或 27 2 4 10/39