专题01 全等三角形重点复习必备知识+重难题型+分层验收（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材青岛版

专题01 全等三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 全等三角形的性质 能利用性质解决线段、角的计算或证明问题。 基础必考点，常出现在小题 全等三角形的判定 根据题目条件选择适当的判定方法证明三角形全等。 全等的证明是必考内容，难道较大的题目中含有辅助线的运用。筛选和添加全等的条件是解题关键。 尺规作图 5种基本尺规作图的掌握。 常考题型，注意答题规范。 知识点01 全等形 定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形. 性质：（1）形状相同。（2）大小相等。 知识点02 全等三角形及性质 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 相关概念：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 注意：书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角） 全等三角形性质 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。 3）全等三角形的周长相等，面积相等。 知识点03 全等三角形的判定 判定定理： 1）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； 2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； 3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； 4）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； 5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 知识点04 尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。 题型一 利用全等三角形性质解题 解｜题｜技｜巧 主要考查了全等三角形对应边相等、全等三角形对应角相等的性质和三角形的内角和定理，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键. 答｜题｜模｜板 如图，已知，点B，D，E，C在同一条直线上． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数； (3)若D是线段的中点，的面积为3，求的面积． （1）解：∵， ， ， ； （2）解：∵， ，， ， ； （3）解：是线段的中点， ， 的面积的面积， ≌， 的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积 【典例1】如图，已知，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【变式1】如图，，点在同一条直线上，点在同一条直线上． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的周长为14，，求的长． 【变式2】如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． (1)求证：； (2)若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 题型二 尺规作图 解｜题｜技｜巧 熟练掌握尺规作图的作法及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 答｜题｜模｜板 如图，已知，请用尺规作图法，在线段上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 解：点D如下图所示： 【典例1】如图，在中，，，垂足为． (1)尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹）：作，垂足为； (2)在（1）的条件下，求证：． 【变式1】根据下列语句用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，并完成证明． 已知：如图，．求作：，使． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）已知射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）作射线．则即为所求． 证明：连接，． 在与中， ， （___________）， ___________． 即． 【变式1】求证：等腰三角形两腰上的高相等． (1)作图：用尺规作出腰上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知：　　　　　　　　　　　，求证：　　　　　　　　　　　； (3)证明： 题型三 全等三角形证明 答｜题｜模｜板 如图，点E在上，与交于点F，，，求证：． 证明：∵， ∴， 在和中，，， 根据三角形内角和为，可得， 在和中， ， ∴． 易｜错｜点｜拨 避免使用SSA证明全等. 【典例1】如图，在中，，于点，点在上，，．求证： (1)； (2)． 【变式1】如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长 【变式2】如图，在锐角中，于点D，点E在上，，，点F为的中点，连接并延长至点M，使． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型四 全等三角形证明含辅助线 答｜题｜模｜板 如图．且且的延长线交于．求证：． 【详解】证明：如图，过点作交的延长线于， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点； ，， 点是的中点， ， ． 【典例1】已知等腰直角中，为上的一点，连接，过点作于点，过作于点． (1)如图1，若，求的面积； (2)如图2，为的中点，连接、，求证：平分． 【变式1】如图，在中，，，分别为的角平分线，求证：． 【变式2】如图，点D是所在平面内一点，连接．点E是线段上一点，连接，．其中，． (1)如图1，当点D在线段上时，若垂直平分线段，且，，，求的长； (2)如图2、当点D在外时，连接，若点H为线段的中点，且，求证：． 题型五 全等三角形证明动点问题 答｜题｜模｜板 1．如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当___________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． （1）解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时不存在； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，， ∵的面积等于面积的一半， ∴， 解得； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 解得； 故当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或． （2）分情况讨论： 当点P在上运动，点Q在上运动，且满足， ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， ∴动点Q的运动速度为； 当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在； 当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在； ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， 点Q的运动路程为， ∴动点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的速度为或 易｜错｜点｜拨 动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．分类讨论问题注意不要漏解。 【典例1】如图，，，，，点C是线段上一动点，点E是直线上一动点，且始终保持． (1)如图1，求证：． (2)利用图2画图并解答：若，试求的长． 【变式1】在中，，，过点C作于点D，点E是边上（不含端点A、B）一动点，连接，过点B作的垂线交直线于点F，交直线于点G． (1)当点E在上时，如图（1），试说明； (2)当点E在上时，如图（2），（1）中的结论是否依然成立？若成立，请加以说明；若不成立，请直接写出与之间的数量关系． 【变式2】如图，在中，，是边上的高，是边上的高，AD、BE相交于点O，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，动点从点B出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，点F是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．图中的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（   ） A． B． C． D． 3．如图，能直接用“”判定的条件是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等： ． 5．如图，点分别在线段上，若，且则的长为 ． 三、解答题 6．如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为（   ） A．6 B．12 C．24 D．48 3．如图，若，且，，则（       ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，，若，，则长为 ． 5．如图，相交于点E，若，则的度数是 ． 6．如图，在中，是边上的高，点在上．若，，则的周长为 ． 三、解答题 7．如图，，．试判断与的关系，并说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 一、单选题 1．（山东省烟台市招远市2024—2025学年上学期八年级期末）如图，≌，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图， 平分，， 的延长线交于点E， 若， 则的度数为 ． 5．如图，，，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是 ． 6．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，．    三、解答题 7．（山东省泰安市新泰市2024-2025学年八年级上学期期末）如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 8．（滨州市邹平市2024-2025学年八年级上学期期末）【基础探究】如图①，中，，，平分交于点E，作于点D，与交于点F，则____．（直接写出结论，不需写证明过程） 【发现规律】如图②，中，，，平分交于点D，作交延长线于点E．若，则_______．（直接写出结论，不需写解答过程） 【变式拓展】如图③，中，，，点D在线段上，作，交于点F，作于点E．试探究线段与的数量关系，写出并证明你的结论． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01全等三角形（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 全等三角形的性质 能利用性质解决线段、角的计算或 基础必考点，常出现在小题 证明问题。 全等三角形的判定 根据题目条件选择适当的判定方法 全等的证明是必考内容，难道较大的题目中 证明三角形全等。 含有辅助线的运用。筛选和添加全等的条件 是解题关键。 尺规作图 5种基本尺规作图的掌握。 常考题型，注意答题规范。 记·必备知识 属知识点01全等形 定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形. 性质：(1)形状相同。(2)大小相等。 同知识点02全等三角形及性质 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 相关概念：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互 相重合的角叫做对应角。 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 注意：书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 (若△ABC≌△DEF,则AB和DE,AC和DF,BC和EF分别是对应边；∠A和LD,LB和LE,∠C和 ∠F分别是对应角) 全等三角形性质 1)全等三角形的对应边相等，对应角相等。 2)全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。 3)全等三角形的周长相等，面积相等。 局知识点3全等三角形的判定 1/41 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 判定定理： 1)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’(基本事实)： 2)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’(基本事实)： 3)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”; 4)三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”(基本事实)； 5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”)。 局知识点04尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通 常称作基本作图。 破·重难题型 ☑题型一利用全等三角形性质解题 解|题技|巧 主要考查了全等三角形对应边相等、全等三角形对应角相等的性质和三角形的内角和定理，灵活运用 全等三角形的性质是解题的关键， 答|题|模|板 :如图，已知△ABE≌△ACD,点B,D,E,C在同一条直线上. B E ! (1)若BE=6,DE=2,求CE的长： (2)若∠C=36°，∠CAE=30°，求∠DAE的度数； (3)若D是线段BE的中点， ADE的面积为3，求ABC的面积， (1)解：：△ABE≌△ACD, :BE CD=6, DE=2, :CE=CD-DE=6-2=4; (2)解：：△ABE≌aACD, 2/41 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠C=3°，LBAD=LCAE=30°， ∠BAC=180°-∠B-∠C=108°， ∠DAE=LBAC-LBAD-LCAE=48°： (3)解：D是线段BE的中点， :BD =DE ADE的面积=△ABD的面积=3， △ABE≌△ACD, ! △ABD的面积=△ACE的面积=3， :△ABC的面积=△ABD的面积+△ADE的面积+△AEC的面积=3+3+3=9. 【典例1】如图，己知△ABC≌△DEF,∠A=60°，∠B=50°，BE=2. B E D (1)求∠DFE的度数： (2)求CF的长， 【详解】(1)解：：∠A=60°，∠B=50°， ∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-50°=70°， :△ABC≌△DEF, ∠F=∠ACB=70°； (2)解：△ABC≌△DEF, .:BC EF, BE+EC=BC,FC+EC=EF, ∴BE=FC=2. 3/41 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】如图，△ABC≌△ADC,△ADF≌aEDF,点B,C,D,E在同一条直线上，点A,F,E在同一条直线上. (1)求证：AC⊥BE: (2)若∠BAE=90°，求∠B的度数： (3)若△ABD的周长为14，AB=5,求BE的长. 【详解】(1)证明：：△ABC≌△ADC, ∴.∠ACB=LACD, :B,C,D,E在同一条直线上， ∠ACB+∠ACD=180°， .∠ACB=∠ACD=90°， AC⊥BE; (2)解：△ABC≌△ADC, .∠B=LADC, :△ADF≌△EDF, ∠DAF=∠E, ∠B=∠ADC=∠DAF+LE=2LE, :∠BAE=90°，∠B+∠E=90°，3∠E=90°，即∠E=30°， ∠B=2∠E=60°； 3)解：△ABD的周长为14， .AB+AD BD=14. :△ADF≌△EDF, .AD DE, .AB+BD+DE =14,AB+BE =14. :AB=5, BE=9. 【变式2】如图，点A,B,C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌aEBC. 4/41 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E ò (1)求证：AC⊥BD: (2)若CE的延长线与AD相交于F,求证：△ACF为直角三角形 【详解】(1)证明：：△ABD≌△EBC, ∠ABD=LEBC, 又A、B、C在一条直线上， ∴.∠ABD+∠EBC=1809 :LEBC=90°，即AC⊥BD. (2)证明：：△ABD≌△EBC, LD=∠C, :Rt△ABD中，∠A+∠D=90°， ∠A+∠C=90°， ∠AFC=90°，即△ACF为直角三角形. 它题型二尺规作图 解|题|技|巧 熟练掌握尺规作图的作法及全等三角形的判定及性质是解题的关键， 答|题模板 如图，己知ABC,请用尺规作图法，在线段AB上求作一点D,使得∠BCD=∠B.(保留作图痕迹，不写 作法) 5/41 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：点D如下图所示： N P 【典例1】如图，在ABC中，AB=AC,CE⊥AB,垂足为E, EA B (1)尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹）：作BD⊥AC,垂足为D; (2)在(1)的条件下，求证：BE=CD. 【详解】(1)解：如图BD为所求作； B (2)证明：：AB=AC, ∠ABC=∠ACB, :CE⊥AB,BD⊥AC, LBEC=LCDB=90°， 在△EBC和△DCB中， ∠EBC=∠DCB ∠BEC=∠CDB, BC=CB ∴△EBC≌△DCB(AAS), :BE CD. 6/41 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】根据下列语句用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，并完成证明. 己知：如图，∠MPN.求作：∠AOB,使∠AOB=∠MPN, M N A (1)以点P为圆心，任意长为半径画弧，分别交PM,PN于点E,F; (2)已知射线OA,以点0为圆心，PE长为半径画弧，交OA于点C; (3)以点C为圆心，EF长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧相交于点B; (4)作射线OB.则∠A0B即为所求。 证明：连接EF,BC. 在△COB与△FPE中， 「OC= OB= BC=EF .△COB≌△FPE( .∠B0C=∠ 即∠AOB=∠MPN. 【详解】解：∠AOB即为所求，如图， 证明：连接EF,BC. AB M 在△COB与△FPE中， C A 7/41 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OC=PF OB=PE, BC=EF ACOB≌△FPE SSS), :∠BOC=∠EPF. 即∠AOB=∠MPN. 故答案为：PF,PE,SSS,EPF. 【变式1】求证：等腰三角形两腰上的高相等. B (1)作图：用尺规作出腰AC上的高BD(保留作图痕迹，不写作法)： (2)已知： 求证： 3)证明： 【详解】(1)解：如图所示： 高BD即为所求； (2)解：已知：在ABC中，AB=AC,CE⊥AB,BD⊥AC, 求证：CE=BD; 故答案为：在ABC中，AB=AC,CE⊥AB,BD⊥AC;CE=BD; (3)证明：：CE⊥AB,BD⊥AC, ∠AEC=∠ADB=90°， 在△AEC和△ADB中， 8/41 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AEC=∠ADB=90° ∠A=∠A AB=AC △AEC≌△4DB(AAS, :CE =BD. 题型三 全等三角形证明 答|题模板 如图，点E在CD上，BC与AE交于点F,AB=CB,∠1=∠2=∠3，求证：△ABE≌aCBD. A 1 2 3 D E 证明：∠1=∠2， .LABE ZCBD, 在△AFB和△CFE中，∠3=∠1，LAFB=∠CFE, 根据三角形内角和为180°，可得LA=LC, 在△ABE和△CBD中， 「∠A=∠C AB=CB ∠ABE=∠CBD △ABE≌△CBD(ASA) 9/41 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易错|点拨 避免使用SSA证明全等 【典例1】如图，在ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E,点F在AC上，DF=BD,CF=BE.求证： D (1)△CDF≌△EDB: (2)AB=AC+CF 【详解】(1)证明：：∠C=90°，DE⊥AB, ∠C=LDEB=90°， 在Rt△DCF和Rt△DEB中， CF=BE DF=DB' △CDF≌EDB(HL. (2)证明：由(1)知RIA DCF≌Rt△DEB(HL), .DE=DC, :AD=AD,∠C=∠AED=90°， ∴.Rt△DCA≌Rt△DEA(HL), :AC=AE, .CF =BE, :AB=AE BE AC +CF 【变式1】如图，ABC中，AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,AD与BE相交于点F, BF=AC. D 10/41