专题06 几何提升（最值与动点问题）（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

专题06 几何提升（最值与动点问题） 题型1 轴对称相关最值问题（重点） 题型5动点定值问题（难点） 题型2 等腰三角形相关最值问题 题型6 动点探究数量关系 题型3 等边三角形相关最值问题 题型7 利用勾股定理解决最值问题（常考点） 题型4动点与最值综合问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称相关最值问题（共3小题） 1．（24-25八上·山东菏泽东明·期末）如图，l是的边的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且，，，则周长的最小值为 ．    【答案】13 【详解】解：连接，如图， ， 由条件可知：， ∵的周长， ∴当点E在边上时，的周长最小为， ∵，， ∴周长的最小值为13． 故答案为：13． 2．（24-25八上·山东聊城东昌府区实验中学·期末）如图，中，，为角平分线，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵P为直线上一动点， ∴当时，线段的值最小， ∵为角平分线，， ∴线段的最小值的等于的长为4； 故选B． 3．（24-25八上·山东日照五莲·期末）如图，在中，,,垂直平分线段,点P是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【答案】12 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ， ， ∴的最小值为8， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 题型二 等腰三角形相关最值问题（共3小题） 4．（24-25八上·山东青岛城阳实验中学·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【详解】解：如图，连接. ∵为边的中点， ∴. ∴， ∴. ∵垂直平分为线段上的一个动点， ∴. ∵ ∴, ∴, ∴周长的最小值为9. 故答案为：9. 5．（24-25八上·山东宁津育新中学·期末）如图，在中，，为边上的中线， 的垂直平分线交于点，交于点，为上的动点，若，的面积为，则 周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设交于点，连接， ∵， ∴为等腰三角形， ∵为边上的中线，， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴当时，的周长最小， 即点与点重合， 周长的最小值为． 故答案为：． 6．（24-25八上·山东枣庄·期末）如图，在中，，，是的两条中线，M是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图连接， 、 、、三点共线时，的值最小，最小值为的长度． 故选：B． 题型三 等边三角形相关最值问题（共3小题） 7．（24-25八上·山东济南长清·期末）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，的周长最小． 连接，，，． ∵点P与点C关于对称， ∴垂直平分， ∴，，， 同理，可得，，． ∴，， ∴． 又∵的周长， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：A． 8．（24-25八上·山东济南天桥区·期末）如图，等边中，平分，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：B． 9．（24-25八上·山东青岛胶州八中·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】11 【详解】解：∵等边中，D为中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则，则， 当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 即的最小值为11． 故答案为：11 题型四 动点与最值综合问题（共3小题） 10．（24-25八上·青岛·期末）如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 【答案】D 【来源】山东省禹城市张庄镇中学2024-2025学年8年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作于点D，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴， 解得， 即的最小值是4.8． 故选：D． 11．（24-25八上·山东日照莒县·期末）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．    (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)、、三点共线 (3) 【详解】（1）解：，设， ， ，，，， ，， ； （2）连接， ， 当、、三点共线时，的值最小． 故点满足的条件为、、三点共线； （3）如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 延长到点，过点作于点， 则四边形是长方形， ，，， ， 即的最小值为． 12．（24-25八上·山东青岛市北·期末）【问题探究】 ①如图1，在中，，，，P是AC边上一点，连接，则的最小值为___________． ②如图2，在中，，，，求边的长度． 【问题解决】 如图3，在中，，，，D是边的中点，若P是边上一点，则的最小值是___________． 【答案】（1）①；②；（2） 【来源】山东省青岛市北区2024-2025学年上学期八年级上期末数学试卷 【详解】解：（1）①如图1，作于E． 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知当与重合时，的值最小，最小值为﹒ 故答案为：； ②在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴﹒ 故答案为：； （2）如图3，作，于E，于F交于T． ∵中，，，， ∴， ∵D是边的中点， ∴﹒ ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一直线上，且时，值最小， 即最小值为长﹒ ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴﹒ 故答案为： 题型五 动点定值问题（共3小题） 13．（24-25八上·山东日照莒县·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，的度数为 【详解】（1）解：在中，令得， ∴， ∵， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴， 解， ∴直线BC的函数表达式为； （2）解：设，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，       ∴， 在中，令得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴； （3）是定值，的度数为，理由如下： 延长到G，使，连接，，如图：    设，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴，        ∵，， ∴， ∵， ∴，      ∴，， ∴， ∴． 14．（24-25八上·山东济宁兖州朝阳学校·期末）如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结． (1)求的度数； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，，理由见详解 【详解】（1）解：∵是等边三角形，线段为边上的中线． ∴且平分； ∴； （2）证明：由题意得：， ∴，即； ∴， ∴； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， 同理可得； ③当点在线段的延长线上时， ，即； 同理可证， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴； 综上所述，是定值，； 15．（24-25八上·山东青岛西海岸新区奋进路初中·期末）已知为等边的角平分线，动点在直线上不与点重合，连接，以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图，若点在线段上，且，则______度． (2)如图，若点在的反向延长线上，且直线，交于点． 求的度数； 若的边长为，，为直线上的两个动点，且连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是定值， 【详解】（1）∵是等边三角形，是角平分线， ∴，，． ∵， ∴． 又∵ 是等边三角形，则， ∴ ． 故答案为：． （2）①∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴ ． 在 和中， ∴，则． ∵ 是等边的角平分线， ∴，则，即． 又∵是的一个外角， ∴． ②过B作于（即，则即为的高． 由①知，则， 在中，， ∴（定值）． ∵，的面积， ∴ 的面积是定值． 题型六 动点探究数量关系（共3小题） 16．（24-25八上·山东聊城茌平区实验中学·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 【答案】（1）（2），证明见解析（3）的长为9或1 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 故答案为： （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 17．（24-25八上·山东青岛崂山实验学校·期末）在中，，点D是射线上的一动点（不与点B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时，那么___________ 度； (2)设，． ①如图2，当点D在线段上，时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明． 【答案】(1)90 (2)①，证明见解析；②图见解析，，证明见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）解：①，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴； ②补全图形如下： ，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 18．（24-25八上·山东济南外国语·期末）【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒 (1)【思考尝试】请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ， 　 (2)当t为多少时，的面积为？ (3)【深入探究】如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？ (4)请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由. 【答案】(1)； (2)当 t 为或时， 的面积为 ； (3)当 时， 与全等；理由见解析，此时， ； (4)，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得， ，； （2）解：由题意得，当点在线段上时，， ， ， ， ； 当点在延长线上时， ， ， ； 当为或时，的面积为. （3）解：，， 理由如下： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 此时， ∴. （4）解：，理由如下， 如图，， ， ， , ，，， ， ， ， ， ． 题型一 轴对称相关最值问题（共3小题） 19．（24-25八上·山东济南外国语·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1），（2）17，（3）5 【来源】山东省济南市外国语学校2024-2025学年八年级上学期期末 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； （3） 建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和， 则 ， 那么，代数式的最小值为5． 20．（24-25八上·山东青岛城阳六中·期末）几何模型： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）． 模型应用： (1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是 ； (2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为 (3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值． （提示：分别作点P关于和的对称点，连接） 【答案】(1) (2) (3) 【来源】山东省青岛市城阳区第六中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确作出辅助线和熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，则可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）分别作点P关于和的对称点，连接，，可推出当四点共线时， 有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长；证明，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵B与D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，分别作点P关于和的对称点，连接，， ∴，， ， ∴的周长， ∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长； ∵， ∴， ∴的周长的最小值为． 21．（24-25八上·山东日照港中学·期末）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． $专题06 几何提升（最值与动点问题） 题型1 轴对称相关最值问题（重点） 题型5动点定值问题（难点） 题型2 等腰三角形相关最值问题 题型6 动点探究数量关系 题型3 等边三角形相关最值问题 题型7 利用勾股定理解决最值问题（常考点） 题型4动点与最值综合问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称相关最值问题（共3小题） 1．（24-25八上·山东菏泽东明·期末）如图，l是的边的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且，，，则周长的最小值为 ．    2．（24-25八上·山东聊城东昌府区实验中学·期末）如图，中，，为角平分线，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25八上·山东日照五莲·期末）如图，在中，,,垂直平分线段,点P是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 题型二 等腰三角形相关最值问题（共3小题） 4．（24-25八上·山东青岛城阳实验中学·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为 ． 5．（24-25八上·山东宁津育新中学·期末）如图，在中，，为边上的中线， 的垂直平分线交于点，交于点，为上的动点，若，的面积为，则 周长的最小值为 ． 6．（24-25八上·山东枣庄·期末）如图，在中，，，是的两条中线，M是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（　　） A． B． C． D． 题型三 等边三角形相关最值问题（共3小题） 7．（24-25八上·山东济南长清·期末）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八上·山东济南天桥区·期末）如图，等边中，平分，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 9．（24-25八上·山东青岛胶州八中·期末）如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 题型四 动点与最值综合问题（共3小题） 10．（24-25八上·青岛·期末）如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 11．（24-25八上·山东日照莒县·期末）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．    (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 12．（24-25八上·山东青岛市北·期末）【问题探究】 ①如图1，在中，，，，P是AC边上一点，连接，则的最小值为___________． ②如图2，在中，，，，求边的长度． 【问题解决】 如图3，在中，，，，D是边的中点，若P是边上一点，则的最小值是___________． 题型五 动点定值问题（共3小题） 13．（24-25八上·山东日照莒县·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、点B，点C在x轴的负半轴上，且，点P是线段上的动点（点P不与B，C重合），以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，当时，求点P的坐标； (3)如图2，连接，点E是线段的中点，连接，．试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 14．（24-25八上·山东济宁兖州朝阳学校·期末）如图，在等边中，线段为边上的中线．动点D在直线上时，以为一边在的下方作等边，连结． (1)求的度数； (2)若点D在线段上时，求证：； (3)当动点D在直线上时，设直线与直线的交点O，试判断是否为定值？并说明理由． 15．（24-25八上·山东青岛西海岸新区奋进路初中·期末）已知为等边的角平分线，动点在直线上不与点重合，连接，以为一边在的下方作等边，连接． (1)如图，若点在线段上，且，则______度． (2)如图，若点在的反向延长线上，且直线，交于点． 求的度数； 若的边长为，，为直线上的两个动点，且连接，判断的面积是否为定值．若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 题型六 动点探究数量关系（共3小题） 16．（24-25八上·山东聊城茌平区实验中学·期末）已知在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且，连接，． 【问题发现】 （1）如图，当D为的中点时，探究线段与之间的数量关系，直接写出结论： ；（选填“”“”或“”） 【类比探究】 （2）如图，当D为边上任意一点时，探究线段与之间的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）当D为的中点，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且．若，求的长． 17．（24-25八上·山东青岛崂山实验学校·期末）在中，，点D是射线上的一动点（不与点B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时，那么___________ 度； (2)设，． ①如图2，当点D在线段上，时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明． 18．（24-25八上·山东济南外国语·期末）【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，过点C的直线，动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒 (1)【思考尝试】请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ， 　 (2)当t为多少时，的面积为？ (3)【深入探究】如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由，此时的值为多少？ (4)请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由. 题型一 轴对称相关最值问题（共3小题） 19．（24-25八上·山东济南外国语·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 20．（24-25八上·山东青岛城阳六中·期末）几何模型： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）． 模型应用： (1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是 ； (2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为 (3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值． （提示：分别作点P关于和的对称点，连接） 21．（24-25八上·山东日照港中学·期末）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； $