专题05 勾股定理实际问题分类（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

专题05 勾股定理实际问题 题型1 最短路径问题（难点） 题型6楼梯问题 题型2 求河宽（常考点） 题型7 杯中筷子 题型3 判断是否超速（重点） 题型8 水中航行（常考点） 题型4 小鸟飞行 题型9 测量高度（常考点） 题型5 折竹抵地 题型10 梯子滑落 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 最短路径问题（共3小题） 1．（24-25八上·山东聊城东昌府区实验中学·期末）农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴． 故选：D． 2．（24-25八上·山东济南平阴·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，勾股定理. 将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长，连接， ∴，则， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 3．（24-25八上·山东德州·期末）如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】根据题意，圆柱展开的矩形长为，矩形的宽等于圆柱的高，根据题意，，利用勾股定理解答即可． 本题考查了圆柱体的侧面展开最短路径问题，勾股定理，正确确定展开图中各线段的长度是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设展开图为矩形，，， 如图所示：， 故答案：． 题型二 求河宽（共3小题） 4．（24-25八上·山东德州宁津·期末）为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 5．（24-25八上·山东菏泽定陶区·期末）在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 该河的宽度为15米． 故答案为：15． 6．（24-25八上·山东青岛西海岸新区奋进路初中·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)60米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 题型三 判断是否超速（共3小题） 7．（24-25八上·山东日照东港金海岸中学·期末）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 8．（24-25八上·山东枣庄滕州洪绪中学·期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 9．（24-25八上·山东聊城茌平区实验中学·期末） 某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 【答案】这辆小汽车超速了，理由见解析 【分析】根据勾股定理，求得，计算出速度，与限速比较解答即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】在中，， 根据勾股定理，得， 所以． 因为小汽车行驶了， 所以它的速度为． 因为，且， 所以这辆小汽车超速了． 10．（24-25八上·山东淄博淄川·期末）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键． 先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示： 由题意得：米，米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得：（米）； 故选：C． 题型四 小鸟飞行（共3小题） 11．（24-25八上·山东济南长清五中·期末）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：C． 12．（24-25八上·山东滨州博兴·期末）如图，有两棵树，一棵高9米，另一棵高4米，两树相距12米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意可知两树的垂直高度相差5米，水平距离相差12米，然后利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】解：两树的垂直高度相差5米，水平距离相差12米， 则根据勾股定理可得：两树顶之间的距离米． 故选C 题型五 折竹抵地（共3小题） 13．（24-25八上·山东青岛崂山实验学校·期末）古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：B． 14．(24-25八上·山东日照五莲·期末）《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，设原处的竹子还有x尺，则尺，尺，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 设原处的竹子还有x尺，则尺，尺， 在中，由得． 故选：B． 15．（24-25八上·山东青岛城阳实验中学·期末）《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键． 本题可根据竹子折断后形成的直角三角形进行求解，关键是要利用勾股定理建立方程． 【详解】设竹子未折断部分的高度为尺，因竹子高尺，所以折断部分的高为尺， 根据题意可得出图形： ， 解得：； 故选． 题型六 楼梯问题（共3小题） 16．（24-25八上·山东临清·期末）某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后，即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图，由题意得： ， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 17．（24-25八上·山东德州平原王凤楼镇中学&坊子乡中学·期末）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 18．（24-25八上·山东日照港中学·期末）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 题型七 杯中筷子（共3小题） 19．（24-25八上·山东青岛崂山实验学校·期末）如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体的性质，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据圆柱体的性质，结合勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，得圆柱底面半径为，    故底面直径为，高为， 则， 故圆柱内部吸管长， 又露出的部分至少为， 故吸管长． 故选：A． 20．（24-25八上·山东滨州博兴·期末）如图，将一支铅笔放在圆柱体笔筒中，已知笔筒内部的底面直径为，内壁高．若这支铅笔长，则这只铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差． 【详解】解：根据题意可得图形： ， 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 21．（24-25八上·山东济南长清三中·期末）如图，一个底面半径为，高为的圆柱形饮料罐，将一根长为的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，解决本题的关键是先求解出吸管在饮料罐内部的长度． 先根据勾股定理求解出吸管在饮料罐内部的长度，再根据吸管的总长度求解即可． 【详解】解：如图所示：，，， ∴吸管在饮料罐内部的长度为：， ∵吸管的总长度为， ∴外部长度为， 即吸管露在饮料罐外部的长度是． 故答案为：3 ． 题型八 水中航行（共3小题） 22．（24-25八上·山东济宁兖州朝阳学校·期末）如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 【答案】选手的徒步方向是南偏东方向 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先选手和选手的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据R在P北偏东方向，可得选手的徒步方向是南偏东方向． 【详解】解：由题意得：选手经2小时的路程：（千米）， 选手经2小时的路程：（千米）， ∵， 即 ∴， ∵R在P北偏东方向， ∴ ∴Q在P南偏东方向． ∴选手的徒步方向是南偏东方向． 23．（24-25八上·山东日照莒县·期末）目前，河南省已建立各类自然保护地351处，有效保护了野生动植物．如图，南北方向线以西为某保护区，以东为普通区域，上午10时20分，监测站发现正东方向有一违规进入的车辆以72千米/小时的速度沿正西方向偷偷向保护区驶来，便立即通知正在线上巡逻的巡逻车，巡逻车立即以60千米/小时的速度向正北方向驶去．已知开始时，的距离是13千米，，的距离是5千米，，的距离是12千米．巡逻车能否拦截住违规车辆？ 【答案】巡逻车能拦截住违规车辆 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． 设直线与线段交于点．则，利用勾股定理列方程求得，，进而求得违规车辆和巡逻车到达E处的时间，比较大小可得结论． 【详解】解：设直线与线段交于点． 由题意知，，所以违规车辆进入保护区的最短距离是线段的长． 在和中，，， 所以，解得（千米）， 因为违规车辆的速度是72千米/小时， 所以（小时）， 千米，（小时） ，所以巡逻车能拦截住违规车辆．（此题解法不唯一，由勾股数5，12，13得出是直角三角形，再利用面积求解亦可） 24．（24-25八上·山东日照莒县·期末）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的距离是，岛在港的什么方向？ 【答案】岛在港的北偏西． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，由题意得，，，，，，则，由勾股定理得，所以，由勾股定理的逆定理推知，然后由方向角的定义作答即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西． 题型九 测量高度（共3小题） 25．（24-25八上·青岛·期末）小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （2）假设能上升，延长至点F，使，连接，在中， 利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点E，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升， 如图2，延长至点F，使，连接， ∴， 在中， ， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 26．（24-25八上·山东青岛胶州八中·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 27．（24-25八上·山东临沂·期末）小滨同学想要测量操场旗杆的高度，他先将系在旗杆顶端点的绳子向外拉直，使得绳子的底端恰好接触地面的点处（如图所示），此时测得绳子底端与旗杆根部点之间的距离为5米．然后他在绳子底端又接上了长2米的绳子（接头处忽略不计），从处后退直至把绳子拉直，使得拼接后绳子的底端恰好接触地面的处（在同一条直线上），此时测得为4米． (1)设绳的长度为x米，则绳的长度为 米（用含x的代数式表示）； (2)求旗杆的高度． 【答案】(1) (2) 旗杆的高度为米 【详解】（1）解：设绳的长度为x米，根据题意，得米， 故答案为：； （2）解：由题意知：米，米，，米，米， 则（米）， ∵， ∴，即， 解得， ∴（米）， 答：旗杆的高度为米． 题型十 梯子滑落（共3小题） 28．（24-25八上·山东济南天桥区·期末）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米． (1)求梯子的顶端到地面的距离的长． (2)如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么B将向外移动多少米？ 【答案】(1) (2)B向外移动米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，利用勾股定理即可求出的长． （2）根据题意有米，再利用勾股定理得到米，最后根据即可获得答案． 【详解】（1）解：在中，米，米， ∴米． （2）解：∵米，米， ∴米， 在中，米，米， ∴米． ∴米． 故B向外移动米． 29．（24-25八上·山东宁津育新中学·期末）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． (1)求梯子的顶端A 距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 【答案】(1)梯子的顶端A距地面 (2)梯子的底端B在水平方向上滑动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：． 答：梯子的顶端A距地面． （2）解：． 答：梯子的底端B在水平方向上滑动了． 30．（24-25八上·山东德州·期末）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端离墙． (1)这架云梯的顶端到地面的距离是多少？ (2)当这架云梯的顶端从A处下滑到达处时，它的底端从B处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动的距离也是吗？ 【答案】(1)这架云梯的顶端到地面的距离是 (2)云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据梯子的长度不变，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，， 由勾股定理，得； 答：这架云梯的顶端到地面的距离是； （2）由题意，得，， 由勾股定理，得， ∴， 故云梯底端在水平方向滑动的距离为，不是． $null