精品解析：福建省厦门实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

厦门实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试 数　学　试　题 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：郑敏 审题人：张思思 做题人：李若璕 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方程求得直线的斜率，结合斜率等于倾斜角的正切值，列出方程，即可求解． 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率存在，故， 由直线方程，可得直线的斜率为， 因为直线的倾斜角为，可得，解得. 故选：A. 2. 已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【详解】直线l的方向向量为，平面的一个法向量为， 由直线平面，得，则，即，所以. 故选：C 3. 方程表示曲线为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 不表示任何图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形， 此时， ∴方程表示的轨迹是线段， 故选：C． 4. 已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（ ） A. -2 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出A，B坐标，列出坐标所满足的方程，将两方程相减得到l的斜率与线段AB中点坐标的关系，由此求解出直线l的斜率. 【详解】设，，因为A，B都在椭圆上， 所以，两式相减，得， 得， 又因为线段AB中点坐标为，，， 所以， 故选：D. 5. 在三棱锥中，，，，点是的中点，底面，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】（方法一）易知，又底面，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，然后由求解；（方法二）利用等体积法，由 求解． 【详解】（方法一）如图， 因为，点是的中点， 所以， 又底面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 在中，， 所以，则点． 设平面的一个法向量为 则，，即，， 取，得， 所以点到平面的距离． （方法二）由题意可知在三棱锥中，，，相互垂直， ． 在中，， 所以三角形是正三角形， 所以， 设点到平面的距离为，则， 所以． 故选：A 6. （2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为， 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即， 整理可得，即即， 从而，则椭圆的离心率， 故选A. 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 7. 台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40km处，则B城市处于危险区内的时间为（ ） A. 0.5h B. 1h C. 1.5h D. 2h 【答案】B 【解析】 【详解】以A为坐标原点，正东方向为x轴建立直角坐标系，则直线被圆 截得弦长为 ，所以B城市处于危险区内的时间为 ，选B. 点睛：圆的弦长问题， 处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 8. 已知直线与相交于点P，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得到，过定点，过定点，从而得到点轨迹为圆，作线段，先求得，求得 的最小值，再由可得答案. 【详解】设圆的半径为，直线与 垂直， 又过定点，过定点，从而得到点轨迹为圆， 设圆心为，半径为， 作垂直线段，则， ， 的最小值为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）若圆与圆相切，则m等于（　 ） A. 16 B. 7 C. －4 D. －4或7 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意分别把两圆圆心、半径求出来，根据圆心距以及半径之间的关系即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径1． 圆化为，圆心为，半径为（）． 两圆圆心距． 依题意，两圆相内切时，，解得． 两圆相外切时，．解得． 故选：AC． 10. 已知椭圆的离心率为，长轴长为，设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，则下列计算正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B C. D. 若直线与椭圆相交于，两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知列出关于方程组求得后再求得，从而得椭圆方程；设，依题意得，化简并把用表示后得关于的恒等式，由恒等式知识可求得；将与椭圆方程联立，解出交点坐标后可得距离，从而判断各选项． 【详解】由题意，所以， 所以椭圆的标准方程为，A正确； 设，依题意得， 又，所以， 所以恒成立， 可得且，且，显然， 解得，B不正确，C正确； 由，解得，， 所以交点为，，D正确． 故选：ACD 11. 如图，正方体的棱长为4，是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的有（ ） A. 平面被正方体截得截面为三角形 B. 若，直线 C. 若在上，的最小值为 D. 若，点的轨迹长度为 【答案】CD 【解析】 【分析】过作交于，结合平面的基本性质找到截面判断A；取，结合，易得，在三角形中用勾股逆定理判断直线是否垂直判断B；将面与面展开在一个平面内，利用两点距离最短为线段求最小值判断C；首先证面，再判断的轨迹得长度判断D. 【详解】A：过作交于，又，故， 所以平面被正方体截得截面为四边形，错； B：取，又，，则，显然， 所以为平行四边形，故，连接， 而，显然，即不垂直， 所以不成立，错； C：将面与面展开在一个平面内，如下图， 要使最小，只需共线，则最小为，对； D：如下图中面，面，则，又， ，面，则面，面， 所以，同理可证，，且面， 所以面，要使，且是侧面上的一个动点（含边界）， 所以的轨迹为线段，长度为，对. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间点到直线的距离计算方法求得正确答案. 【详解】因为，， 所以点P到直线的距离为. 故答案为： 13. 写出圆关于直线对称的圆的方程 _______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知圆圆心求出关于直线对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 设点关于直线对称的点为， 则，解得， 所以所求圆的圆心为，半径为， 圆关于直线对称的圆的方程为， 故答案为：. 14. 如图，棱长为4的正方体中，点为中点，点在正方体内（含表面）运动，且满足，则点在正方体内运动所形成的图形的面积为_________________；若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形，圆锥顶点与正方体上底面中心重合，则点运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率为_____________________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】取，的中点连接，证明平面，从而得出在正方体内运动所形成的图形为四边形内，得出答案；作出截面椭圆，过截面椭圆的中心作与圆锥底面平行的截面，由圆中的相交弦定理结合正弦定理可得出离心率. 【详解】取，的中点，连接，则且， 则点在正方体内运动所形成的图形为四边形， 又在正方体中平面，且平面，则， 所以四边形为矩形. 又，则 又，所以，即， 由上可知平面，且平面，则， 由，且平面，平面，所以平面. 当点在正方体内运动所形成的图形为四边形时，平面，所以满足， 此时，，面积为. 由上可知为平面与底面所成角. 则，则，故， 设截面椭圆的中心为，长轴为，短轴为， 过椭圆的短轴作与圆锥的底面平行的截面分别交母线于两点. 设该截面与圆锥的轴所成角为，则，则， 设圆锥的母线于圆锥的轴所成角为，则.， 由相交弦定理可得：， 在中，， 所以，即， 在中，， 所以，即， 设椭圆的离心率为，则 ， 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解答本题关键是证明平面，从而得出在正方体内运动所形成的图形为四边形内；以及在圆锥的截面椭圆中过截面椭圆的中心作与圆锥底面平行的截面，从而结合圆的相交弦定理得到，由正弦定理得出，，从而得出离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. （1）试用，，表示向量； （2）若，，，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由空间线性运算即可求解； （2）由（1）平方即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， ，， 即. 16. 圆心在上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）求过点且与该圆相切的直线方程． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）设圆心，求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长求得参数，得圆标准方程； （2）分类讨论，斜率不存在的直线直接验证，斜率存在的直线设出直线方程（用点斜式），由圆心到切线距离等于半径求得参数值，得直线方程． 【小问1详解】 设圆心，则 到直线的距离为 ∴∴ 圆的方程为 【小问2详解】 ①当切线斜率不存在时，：满足题意 ②设：，即 圆心到直线的距离为，∴ 综上得过与圆相切的直线方程为和 17. 已知椭圆C：的离心率为右焦点为F，过F的直线l交椭圆C于M，N两点，当直线l垂直于x轴时， （1）求椭圆C的方程; （2）若点P在椭圆C上，且满足(O为坐标原点)，求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率公式和通径计算公式即可得到方程组，解出即可； （2）设，再联立椭圆方程得到韦达定理式，计算出点坐标，再代入椭圆方程即可得到值，即得到直线方程. 【小问1详解】 由题意得，解得. 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 由题知直线的斜率不为零， 设直线， 则联立，可得， 由根与系数关系可知：， ， ， 又，则点坐标满足椭圆的方程，即，解得或（舍）， 所以，故直线的方程为，即 18. 如图, 在三棱锥中, 底面,点、分别在棱、上,, 且. （1）求证：平面； （2）当点为的中点时, 求与平面所成角的正切值； （3）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在点. 【解析】 【分析】（1）依据题设条件运用空间向量的知识推证； （2）借助题设条件运用空间向量的数量积进行求解； （3）借助题设条件和向量的数量积进行推证求解. 【详解】（1）如图，以为原点，过在平面内作的垂线为轴，分别为轴，建立空间直角坐标系, 依题意可得 ， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 不妨设,可得， 因为， 所以， 所以平面； （2）为的中点， 所以，， 所以， 设与平面所成角为， 则， 所以，， 所以与平面所成角的正切值为； （3）设存在着点,且，则， , ， 设平面一个法向量为， 则， 取,得, 同理可得平面一个法向量为， 因为二面角为直二面角， 所以， 解得， 则， 所以存在点使得二面角为直二面角. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程； （2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解； （ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解. 【小问1详解】 因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 【小问2详解】 （ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得①， 由可得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. 【点睛】关键点点睛：在（2）( ii )中，求出圆圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试 数　学　试　题 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：郑敏 审题人：张思思 做题人：李若璕 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 3. 方程表示的曲线为（ ） A 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 不表示任何图形 4. 已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（ ） A. -2 B. C. 2 D. 5. 在三棱锥中，，，，点是的中点，底面，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. （2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A. B. C. D. 7. 台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，若城市B在A地正东40km处，则B城市处于危险区内的时间为（ ） A. 0.5h B. 1h C. 1.5h D. 2h 8. 已知直线与相交于点P，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 （多选）若圆与圆相切，则m等于（　 ） A. 16 B. 7 C. －4 D. －4或7 10. 已知椭圆的离心率为，长轴长为，设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，则下列计算正确的是（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. C. D. 若直线与椭圆相交于，两点，则 11. 如图，正方体的棱长为4，是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且，则下列结论正确的有（ ） A. 平面被正方体截得截面为三角形 B. 若，直线 C. 若在上，的最小值为 D. 若，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为________． 13. 写出圆关于直线对称圆的方程 _______________. 14. 如图，棱长为4正方体中，点为中点，点在正方体内（含表面）运动，且满足，则点在正方体内运动所形成的图形的面积为_________________；若在正方体内有一圆锥，圆锥底面圆内切于正方形，圆锥顶点与正方体上底面中心重合，则点运动所形成的图形截圆锥表面得到的椭圆的离心率为_____________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. （1）试用，，表示向量； （2）若，，，求的长. 16. 圆心在上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）求过点且与该圆相切的直线方程． 17. 已知椭圆C：的离心率为右焦点为F，过F的直线l交椭圆C于M，N两点，当直线l垂直于x轴时， （1）求椭圆C的方程; （2）若点P在椭圆C上，且满足(O为坐标原点)，求直线l的方程. 18. 如图, 在三棱锥中, 底面,点、分别在棱、上,, 且. （1）求证：平面； （2）当点为的中点时, 求与平面所成角的正切值； （3）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $