精品解析：广西壮族自治区钦州市共美学校2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

2025年秋季学期高一年级期中考试（数学）试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 3.本试卷主要考查内容：北师大版必修第一册第一章《预备知识》、第二章《函数》、第三章《指数运算与指数函数》 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念进行运算. 【详解】因为，，所以. 故选：A 2. 命题“，使”的否定为（ ） A. ，使 B. ，有 C. ，使 D. ，有 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题“，使”的否定为，有. 故选：D 3. （），则b等于（ ） A. B. 34 C. 43 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】根据分数指数幂的概念可以表示出 【详解】因为且，所以. 故选：A 4. 幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域、对称性、单调性等知识确定正确答案. 【详解】A选项，在上单调递减，不符合题意； B选项，的定义域是，图象不关于原点对称，不符合题意； C选项，是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意； D选项，是奇函数，图象关于原点对称，且在上是增函数，符合题意. 故选：D 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域列不等式即可得解． 【详解】函数的定义域为， 所以, 解不等式得, 即函数的定义域为， 故选：D 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】探讨给定函数的奇偶性及在上的图象特征，进而判断得解. 【详解】函数的定义域为，且，即函数是奇函数， 其图象关于原点对称，排除AB； 当时，，其图象是开口向上的抛物线在轴右侧部分，排除D，C满足. 故选：C 7. 已知在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴与给定区间的位置关系求的取值范围. 【详解】二次函数对称轴为：，且开口向上， 在区间上单调递减， 所以. 故选：B 8. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用指数函数和的性质，即可求解. 【详解】因为是增函数，又，所以， 又是减函数，所以，则， 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合作差法逐项判断. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：BC 10. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域均为R，且，A是； 对于B，函数的定义域为，而的定义域为R，B不是； 对于C，函数的定义域均为，而，C是； 对于D，函数的定义域均为R，而当时，，当时，， 因此，D是. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 的值域是R C. 是奇函数 D. 在，上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分式有意义求出定义域，根据分子不为零求出值域，利用奇函数的定义即可判断，利用反比例函数图象进行平移，来判断单调性，逐个判断每个选项． 【详解】对于A项，分式中分母不等于0，所以，解得：， 所以的定义域是；故A项正确； 对于B项，的值域是，故B项错误； 对于C项，，令，定义域为，， 所以是奇函数，即是奇函数，故C项正确； 对于D项，的单调递减区间为，，将向右平移一个单位得到， 故在，上单调递减，故D项正确． 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由得：， 所以函数定义域为， 故答案为： 13. 函数的图像恒过定点___________ 【答案】 【解析】 【分析】 根据指数函数过定点,结合函数图像平移变换,即可得过的定点. 【详解】因为指数函数（,且）过定点 是将向左平移2个单位得到 所以过定点. 故答案为：. 14. 设，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）计算：①；②； （2）已知，，求，，，. 【答案】（1）①；② （2）；；； 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算性质即可求解； （2）由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】（1）； ； （2）； ； ； 16. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集、补集、交集运算求解； （2）转化为集合的包含关系，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， 或， . 【小问2详解】 ，， 则当时，，解得，满足题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或. 17. 某公司每月生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，公司每月生产量为（单位：台），已知总收入（单位：元）满足函数： （1）将每月投入的成本表示为月产量的函数； （2）将每月利润表示为月产量的函数； （3）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？如果你是公司董事长，你应该确定月产量为多少台？（总收入=总成本+利润） 【答案】（1）； （2） （3）500台，5万元，500台. 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求出与的函数关系. （2）根据给定的关系，结合（1）写出分段函数的解析式即可. （3）由（1）的解析式，结合二次函数及基本不等式分段求出最值，再比较大小即提. 【小问1详解】 依题意，每月投入的成本与月产量的函数关系为：. 【小问2详解】 由（1）及， 得利润. 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 则当时，利润取得最大值5000； 当时，， 当且仅当时，利润取得最大值50000，而， 所以当月产量为500台时，公司所获利润最大值为5万元，应当应该确定月产量为500台. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）定义域内单调递减，证明：对，且，. 其中，，. 因此，，即对且，有. 所以函数在定义域内单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质及列方程求，，进而求出解析式；（2）利用单调性定义判断函数的单调性；（3）在定义域的区间内，利用奇函数的性质将不等式进行变形，再利用函数的单调性求解. 【小问1详解】 因函数 是定义在上的奇函数，所以，故，即. 又因为，所以，即. 故函数的解析式为， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因，有意义，所以，，解得. 所以 ，即也在的定义域内. 而是定义域上的奇函数，所以. 故不等式即为. 又因在定义域内单调递减，所以，解得. 综上，. 所以不等式的解集为. 19. 已知集合为非空数集，定义：，. （1）若集合，直接写出集合、； （2）若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合、即可； （2）根据题目定义，计算集合，再由、，分析元素之间的关系，即可证明. 【小问1详解】 因为， ，， 所以. 【小问2详解】 且， 所以， ①证明： 因为， 所以， 所以. ②证明：因为， 又， 因为，所以， 所以， 又因为， 所以，即， 又，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期高一年级期中考试（数学）试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 3.本试卷主要考查内容：北师大版必修第一册第一章《预备知识》、第二章《函数》、第三章《指数运算与指数函数》 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使”的否定为（ ） A. ，使 B. ，有 C. ，使 D. ，有 3. （），则b等于（ ） A. B. 34 C. 43 D. 35 4. 幂函数的图象关于原点对称，且在上是增函数，则可以是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域是 B. 的值域是R C. 是奇函数 D. 在，上单调递减 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为____________. 13. 函数的图像恒过定点___________ 14. 设，则的最小值为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）计算：①；②； （2）已知，，求，，，. 16. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 17. 某公司每月生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，公司每月生产量为（单位：台），已知总收入（单位：元）满足函数： （1）将每月投入的成本表示为月产量的函数； （2）将每月利润表示为月产量的函数； （3）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？如果你是公司董事长，你应该确定月产量为多少台？（总收入=总成本+利润） 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断并证明在上的单调性； （3）解不等式． 19. 已知集合为非空数集，定义：，. （1）若集合，直接写出集合、； （2）若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $