专题13 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

该初中数学专题复习讲义通过知识框架图系统梳理了等腰（等边）三角形中维维亚尼模型的知识体系，将维维亚尼定理、模型分类（等边三角形内点/外点模型、等腰三角形底边/延长线模型）及结论差异按“定理起源-模型提炼-结论证明”的逻辑递进呈现，用对比表格归纳不同位置动点的距离关系结论，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于真题驱动的分层练习设计，如江苏南通期中题探究等腰三角形底边动点距离关系，通过等面积法证明培养推理意识与几何直观。例题涵盖基础证明（如等边三角形内点距离和等于高）与拓展应用（平面直角坐标系中动点坐标求解），帮助不同层次学生掌握模型观念，教师可据此实施精准分层教学，支持学生自主构建几何模型解题思路。

专题13 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 6 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 9 15 维维尼亚模型（又称维维亚尼模型）是几何学中基于等边或等腰三角形特性的经典模型，其核心来源于17世纪意大利数学家维维亚尼（Vincenzo Viviani）提出的维维亚尼定理。该模型通过垂直距离的定和关系，为几何问题提供了简洁的解决路径。 维维亚尼在1692年研究等边三角形时发现：‌任意内点到三边的垂直距离之和恒等于三角形的高。这一结论后被推广至等腰三角形及正多边形，成为模型的理论基础。‌ （24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究:如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接）; (3)理解与应用:如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？写出结论并证明． （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：    【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B．（1）两条直线的交点C的坐标为________________；（2）说明是等腰三角形；（3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 1）等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 2）等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF，AD-AF=AC-AE（即DF=CE）。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD，|AE-AC|=|AD-AF|（即DF=CE）。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 例1（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图，在中，，为的内部一点，，，分别与直线，，垂直，垂足分别为点，，．且，，，则的面积是 ． 例2（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，点在等边三角形的内部，，，，垂足分别为，，，若，且，则的边长为 ． 例3（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，点P为平面内任意一点，设点P到的三边、、的距离分别为，，，的高为h． 【感知】如图1，当点P在边上时，可得，与h之间的数量关系为，证明过程如下：连结，此时． ∵是等边三角形， ． ，， ，， ， ∴． (1)【探究】如图2，当点P在内部时，求h与，，之间的数量关系． (2)【应用】如图3，当点P在外部时，，，，则______． 例4（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，腰上的高为，连接，则，即：，∴（定值）．    (1)理解与应用：如图，在边长为的正方形中，点E为对角线上的一点，且，为上一点，于，于，试利用上述结论求出的长．    (2)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，等边的高为，试证明（定值）．    (3)拓展与延伸：若正边形，内部任意一点到各边的距离为，请问是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值． 例5（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 例1（2023·广西贵港·模拟预测）阅读理解学习 如图，在中，，是的高，是边上一点，，分别与直线垂直，垂足分别为，求证：．小刚发现：连接，有，即，由可得． 请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题： (1)如图，当点在的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，请直接写出此时线段之间的数量关系______． (2)如图，当点是内一点，且，是的高，分别与直线垂直，垂足分别为点，猜想此时线段之间的数量关系是______．并说明理由． 例2（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为． (1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ (2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ 例3（24-25七年级下·河北保定·期末）【发现】如图1，中，，BD是的高，P是边BC上任一点，过点P分别作PM，PN与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N． 小明发现：如果连接AP，线段BD、PM、PN恰好是、、的高，则有，即，由，可得． 【拓展】当点P在CB的延长线上，且其他条件不变时，连接AP，得到图2，请判断此时BD，PM，PN之间的数量关系，并说明理由． 【延伸】中，AB＝AC＝BC，BD是的高，P是所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q． ①点P在的内部（如图3）时，可以发现BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是______． ②点P在的外部（如图4）时，探究得出BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是______． 例4（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图①，已知在中，，D是边上任意一点，过点D分别向作垂线，垂足分别为E，F． (1)当点D在的什么位置时，？请说明理由； (2)如图②，过点C作边上的高，试猜想之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 例5（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，D是上任意一点，过点D分别向、引垂线，垂足分别为E、F，是边上的高． (1)当D点在什么位置时，？并证明； (2)线段，，的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 1．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，是边上一动点，过作于，于．则下列结论正确的是（    ） A．四边形面积不变 B．的值不变 C．的值有最小值 D．的值不变 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，是射线上一点，过点作，，垂足分别为，过点作，垂足为，连接． (1)如图1，点在边上，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点在的延长线上．当时，求线段的长． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 4．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 5．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 6．（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，等腰的对称轴与底边交于点，，，其中、是二元一次方程组的解，，点是边上的一个动点，过点作于点，作于点． (1)求的面积； (2)当点在线段上运动时，求的值； (3)当点在线段的延长线上运动时连接，当时，请补全图形，求此时线段的长． 8．（25-26八年级上·福建福州·期中）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等． 已知：如图，中，______，D为底边的中点，于点E，______． 求证：______． 证明：（请写出证明过程） 9．（24-25八年级上·山东临沂·期中）阅读下列材料： 阳阳同学遇到这样一个问题：如图，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点． 求证：． 阳阳发现，连接，有，即．由，可得． 他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：． 请回答： (1)请补全阳阳同学证明猜想的过程： 证明：连接， ∵______， ∴____________． ∵，∴． (2)参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题： 在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点． 如图，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程． 若点在如图所示的位置，利用图探究得此时、、、之间的数量关系并写出推理过程． 10．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知：点O到的两边所在直线的距离相等，且．    (1)如图1，若点O在边上，过点O分别作，垂足分别是E，F．求证：； (2)如图2，若点O在的内部，求证：； (3)若点O在的外部，“小强”同学认为也一定成立，你同意他的想法吗？若同意，请说明理由；若不同意，请画出反例并进行必要的标注． 11．（24-25八年级上·全国·期末）已知：点O到到的两边所在直线的距离相等，且． (1)如图1，若点O在边上，过点O分别作，垂足分别是E，F．求证：； (2)如图2，若点O在的内部，求证：； (3)若点O在的外部，成立吗？请画图表示． 12．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在等腰中，，点为边上任意一点，连接．已知，，分别是，，的高．请你写出，，之间的数量关系，并说明理由． 13．（25-26八年级上·广西南宁·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点． 求证：． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接． 如图3，当点在点上方，若，请直接写出____________（用含的代数式表示） 14．（2023九年级·江西赣州·竞赛）学有所得：大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法． 学有所用：在等腰三角形中，，其一腰上的高为， M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为、． （1）请你结合图形1来证明：． （2）当点M在延长线上时，、、之间又有什么样的结论．请直接写出结论（不必证明）． 学会应用：（3）利用以上结论解答，如图2在平面直角坐标系中有两条直线∶，∶，若上的一点M到的距离是．求点M的坐标． 15．（25-26九年级上·吉林·期中）如图（1），已知在中，，且，过点A作于点P，点M是直线上一动点，设点M到两边、的距离分别为m，n，的高为h． (1)当点M运动到点P位置时，m与n有什么关系； (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论； (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证：． 16．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 17．【阅读】如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1，h2．连接AM． ∵  ∴ 　　　　　　 【思考】在上述问题中，h1，h2与h的数量关系为： ． 【探究】如图2，当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间有怎样的数量关系式？并说明理由． 【应用】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线l1：，l2：y=－3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用上述结论求出点M的坐标． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 等腰（等边）三角形中重要模型之维维尼亚模型 维维亚尼定理（Viviani's theorem）：在等边三角形内任意一点P到三边的垂直距离之和，等于该等边三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离之和，是不变的，跟该点的位置无关。它以温琴佐·维维亚尼命名。 而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 6 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 9 15 维维尼亚模型（又称维维亚尼模型）是几何学中基于等边或等腰三角形特性的经典模型，其核心来源于17世纪意大利数学家维维亚尼（Vincenzo Viviani）提出的维维亚尼定理。该模型通过垂直距离的定和关系，为几何问题提供了简洁的解决路径。 维维亚尼在1692年研究等边三角形时发现：‌任意内点到三边的垂直距离之和恒等于三角形的高。这一结论后被推广至等腰三角形及正多边形，成为模型的理论基础。‌ （24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究:如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接）; (3)理解与应用:如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？写出结论并证明． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：；故答案为：； （2）解：，理由如下： 连接，则，∵等边三角形，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：，理由如下：连接，则， ∵等边三角形，∴，∵， ∴， ∴，∴． （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）【数学阅读】如图1，在中，，点P为边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F，求证：． 小尧的证明思路是：如图2，连接，由与面积之和等于的面积可得：    【推广延伸】如图3，当点P在延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想，与的数量关系，并证明． 【解决问题】如图4，在平面直角坐标系中有两条直线、，分别是函数，和的图象，、与x轴的交点分别为A，B．（1）两条直线的交点C的坐标为________________；（2）说明是等腰三角形；（3）若上的一点M到的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 【答案】数学阅读：见详解；推广延伸：，理由见详解；解决问题：（1）；（2）见详解；（3）或． 【详解】数学阅读：证明：如图2，连接，∵，， ， ∴， ，， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 推广延伸：解：，理由如下：如图3，连接，    ∵， ， ，∴， ，， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 解决问题：解：（1）联立，得，∴两条直线的交点C的坐标为； （2）由得，∴，∴， 由，得，∴，∴，∴， 在中， ，∴，∴是等腰三角形． （3）如图，若M点在射线上，作于E点，于F点．      图 图 在，，由图②得，∴，∴，∴M点的纵坐标为2， 由，得，∴． 如图，若M点在射线的反向延长线上，由图③得， ∴，∴M点的纵坐标为4， 由，得，．综上，M点的坐标为或． 1）等边三角形中维维尼亚模型 条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。 结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM； ②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。 （当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。    图1 图2 证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC， 则， ∵； ∴PD+PE+PF=AM。 ②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA， 则， ∵； ∴PD+PE-PF=AM。 2）等腰三角形中维维尼亚模型 条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB， 结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF，AD-AF=AC-AE（即DF=CE）。 ②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD，|AE-AC|=|AD-AF|（即DF=CE）。 图1 图2 证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PE+PD=CF。 ①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC， 则，∵； ∴PF-PE=CD。 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 例1（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图，在中，，为的内部一点，，，分别与直线，，垂直，垂足分别为点，，．且，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积公式，连接、、，根据的面积的面积的面积的面积计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：连接、、，如图所示： ， ∵，，，， ∴的面积的面积的面积的面积 ， 故答案为：． 例2（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，点在等边三角形的内部，，，，垂足分别为，，，若，且，则的边长为 ． 【答案】 【分析】等边三角形，可知，连接，，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，， ∵等边三角形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质，等边三角形的面积等于各部分的面积之和是解题的关键． 例3（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，点P为平面内任意一点，设点P到的三边、、的距离分别为，，，的高为h． 【感知】如图1，当点P在边上时，可得，与h之间的数量关系为，证明过程如下：连结，此时． ∵是等边三角形， ． ，， ，， ， ∴． (1)【探究】如图2，当点P在内部时，求h与，，之间的数量关系． (2)【应用】如图3，当点P在外部时，，，，则______． 【答案】(1)；理由见解答 (2)3.6 【分析】此题考查等边三角形的性质，运用等积法建立关系是解题的关键． （1）把点与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解． （2）把点与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图2，连接、、， 则 即， 又是等边三角形， ； （2）如图3，连接，，， 由三角形的面积公式得：， 即， ， ， 即， 故答案为： 例4（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，腰上的高为，连接，则，即：，∴（定值）．    (1)理解与应用：如图，在边长为的正方形中，点E为对角线上的一点，且，为上一点，于，于，试利用上述结论求出的长．    (2)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，等边的高为，试证明（定值）．    (3)拓展与延伸：若正边形，内部任意一点到各边的距离为，请问是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 (3)设正边形的边心距为，（定值） 【分析】（1）根据题意可得是等腰直角三角形，可求出的值，根据材料即可求证； （2）如图所示，等边三角形，边的高为，过点作，交于点，交于点，交于点，且于点，可得，，由此即可求解； （3）设正边形的边心距为，图形结合分析，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形，边长为，是对角线， ∴，且， ∴是等腰三角形， 如图所示，连接，过点作于点，    在中，， ∴， ∴，即， ∵于，于， ∴由材料可知， ∴． （2）解：如图所示，等边三角形，边的高为，过点作，交于点，交于点，交于点，且于点，    ∵等边三角形，， ∴是等边三角形， ∴在中，根据材料提示可得，①， ∵，， ∴②， ∴①②得，． （3）解：正边形的内角和为，每个内角的度数为，如图所示，   垂直于边，即设正边形的边心距为， ∴（定值）． 【点睛】本题主要考查利用面积分割法，求线段之间的关系，理解材料中面积法求线段关系，掌握面积的计算方法，分割方法是解题的关键． 例5（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键．（1）替代，中的即可；（2）连接，利用计算即可；（2）连接，利用计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 例1（2023·广西贵港·模拟预测）阅读理解学习 如图，在中，，是的高，是边上一点，，分别与直线垂直，垂足分别为，求证：．小刚发现：连接，有，即，由可得． 请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题： (1)如图，当点在的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，请直接写出此时线段之间的数量关系______． (2)如图，当点是内一点，且，是的高，分别与直线垂直，垂足分别为点，猜想此时线段之间的数量关系是______．并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）连接，由的面积的面积的面积，得到 ，又，即可推出； （）连接，由，得到，又，即可证明； 本题考查了三角形的面积，等腰三角形、等边三角形的性质，掌握面积法解答问题是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接， ∵，，， ∴的面积，的面积，的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：． 理由：连接， ∵是的高，分别与直线垂直， ∴的面积，的面积，的面积， 的面积， ， ∴， ， ， 故答案为：． 例2（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，垂直于为上的任意一点，过点分别作，垂足分别为． (1)若为边中点，则三条线段有何数量关系（写出推理过程）？ (2)若为线段上任意一点，则（1）中关系还成立吗？ 【答案】(1)，理由见解答 (2)（1）中关系还成立，理由见解答 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，在解决一题多变的时候，基本思路是相同的，注意通过不同的方法计算同一个图形的面积，来进行证明结论的方法，是非常独特的，也是一种很好的方法，注意掌握应用． （1）如图，连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）连接，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解， 理由：如图1，连接， ∵于于于， ∵， 又∵ ∴， ∵ ∴； （2）（1）中关系还成立， 理由：连接， ， 又， 例3（24-25七年级下·河北保定·期末）【发现】如图1，中，，BD是的高，P是边BC上任一点，过点P分别作PM，PN与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N． 小明发现：如果连接AP，线段BD、PM、PN恰好是、、的高，则有，即，由，可得． 【拓展】当点P在CB的延长线上，且其他条件不变时，连接AP，得到图2，请判断此时BD，PM，PN之间的数量关系，并说明理由． 【延伸】中，AB＝AC＝BC，BD是的高，P是所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q． ①点P在的内部（如图3）时，可以发现BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是______． ②点P在的外部（如图4）时，探究得出BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是______． 【答案】拓展：，理由见解析； 延伸：① ，② 【分析】拓展：连接AP，根据得出，即可证得； 延伸：①连接AP、BP、CP，根据，得出，即可证得； ②连接AP、BP、CP，根据得出，即可证得． 【详解】解：拓展： ，理由如下： 如图2所示： ∵ ， ∴， ∵， ∴； 延伸：① ， 如图3所示，连接AP、BP、CP， ∵ ， ∴， ∵， ∴； ② ， 如图4所示，连接AP、BP、CP， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建三个三角形是解题的关键． 例4（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图①，已知在中，，D是边上任意一点，过点D分别向作垂线，垂足分别为E，F． (1)当点D在的什么位置时，？请说明理由； (2)如图②，过点C作边上的高，试猜想之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)当点D在的中点时，，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形面积公式等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）当点D在的中点时，，根据证，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图，连接，根据进行分析证明即可解答． 【详解】（1）解：当点D在的中点时，．理由如下： ∵点D为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，连接． ∵ ∴． ∵， ∴． 例5（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，D是上任意一点，过点D分别向、引垂线，垂足分别为E、F，是边上的高． (1)当D点在什么位置时，？并证明； (2)线段，，的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)当点D在的中点时，，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据证，根据全等三角形的性质推出即可； （2）连接，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：当点在的中点上时，． 理由如下： 为中点， ， ， ， ，， ， 在和中 ， ， ． （2）解：，理由如下： 连接， ， ， ， ． 1．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，是边上一动点，过作于，于．则下列结论正确的是（    ） A．四边形面积不变 B．的值不变 C．的值有最小值 D．的值不变 【答案】B 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，连接，作于点，等面积法得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，作于点， 则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的值不变， 四边形的面积，的值均随着点的变化而变化， 故选B． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，是射线上一点，过点作，，垂足分别为，过点作，垂足为，连接． (1)如图1，点在边上，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】该题考查了三角形面积公式． （1）根据题意得，，结合，即可证明． （2）根据，，得出，结合，得出．结合，即可求解． 【详解】（1）解：． 理由：． ， ， ． ， ． （2）解：． ， ， ． ， ． ， ， 解得， ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 4．（2023七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 5．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【答案】（1）作图见解析；，证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积， （1）过点作交于一点，再根据列式化简，即可得证； （2）同理得，根据点为中点时得，继而推出，可得结论； （3）同理结合面积之间的关系列式化简，即可得出结论． 解题的关键是熟练运用数形结合思想． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，等腰的对称轴与底边交于点，，，其中、是二元一次方程组的解，，点是边上的一个动点，过点作于点，作于点． (1)求的面积； (2)当点在线段上运动时，求的值； (3)当点在线段的延长线上运动时连接，当时，请补全图形，求此时线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，点到直线的距离，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先求解方程组得到、的值，即与的长度，再根据等腰三角形三线合一性质求出底边长度，最后用三角形面积公式计算； （2）利用连接后，的面积等于与面积之和，通过面积公式建立等式求解； （3）补全图形后，过点作于点，根据（2）的结论得出，进而得出，根据，设未知数，再由的面积与面积关系结合已知条件求出长度，设，进而根据，得出的长度，即可求解．． 【详解】（1）解：解方程组 ①②得 解得：， 将代入②得， 解得： 是等腰三角形，对称轴与底边交于点， ∴， 根据等腰三角形三线合一，， 则，， 根据三角形面积公式； （2）连接，如图所示： ∵， ； （3）画出点在延长线上，，，如图所示： 过点作于点， 由（）可得当重合时， 设 ，则 ， ，，， 解得： ， 设， 解得： ∴． 8．（25-26八年级上·福建福州·期中）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等． 已知：如图，中，______，D为底边的中点，于点E，______． 求证：______． 证明：（请写出证明过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 先由等腰三角形的性质得，再得到，证明，即可解答． 【详解】已知：如图，中，，D为底边的中点，于点E，于点F． 求证： 证明：， ． D为中点， ， ，， ， ． 9．（24-25八年级上·山东临沂·期中）阅读下列材料： 阳阳同学遇到这样一个问题：如图，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点． 求证：． 阳阳发现，连接，有，即．由，可得． 他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：． 请回答： (1)请补全阳阳同学证明猜想的过程： 证明：连接， ∵______， ∴____________． ∵，∴． (2)参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题： 在中，，是的高．是所在平面上一点，、、分别与直线、、垂直，垂足分别为点． 如图，若点在的内部，猜想、、、之间的数量关系并写出推理过程． 若点在如图所示的位置，利用图探究得此时、、、之间的数量关系并写出推理过程． 【答案】(1)，，； (2)，理由见解析；，理由见解析． 【分析】（）根据图，结合阅读材料填写即可； （）连接，根据 得到，即可可得结论； 连接，根据，得到，同理可得结论； 本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线运用类比方法构建三个三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵, ∴， 故答案为：，，； （2）解：． 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． ． 理由如下：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 10．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知：点O到的两边所在直线的距离相等，且．    (1)如图1，若点O在边上，过点O分别作，垂足分别是E，F．求证：； (2)如图2，若点O在的内部，求证：； (3)若点O在的外部，“小强”同学认为也一定成立，你同意他的想法吗？若同意，请说明理由；若不同意，请画出反例并进行必要的标注． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不同意，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，进而可证； （2）过点O作于E，于F，如图1所示，证明，则，由，可得，则，进而可证； （3）由题意知分三种情况：①过点O作的延长线于点E，作的延长线于点F，如图3所示，证明，则，，进而可得，进而可证；②过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图4所示，证明，则，由，可得，③过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图5所示：同理②，可得，然后作答即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点O作于E，于F，如图1所示，    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：不同意他的想法，理由如下： 分三种情况： ①过点O作的延长线于点E，作的延长线于点F，如图3所示：    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ②过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图4所示：    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图5所示：    同理②，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，不一定成立． 11．（24-25八年级上·全国·期末）已知：点O到到的两边所在直线的距离相等，且． (1)如图1，若点O在边上，过点O分别作，垂足分别是E，F．求证：； (2)如图2，若点O在的内部，求证：； (3)若点O在的外部，成立吗？请画图表示． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不一定成立，理由和图示见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形全等的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，本题有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结论． （1）利用即可证明； （2）过点O作于E，于F，如图1所示，证明，则，由，可得，则，进而可证； （3）由题意知分三种情况：①过点O作的延长线于点E，作的延长线于点F，如图3所示，证明，则，，进而可得，进而可证；②过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图4所示，证明，则，由，可得，③过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图5所示：同理②，可得，然后作答即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵，， ∴； （2）证明：过点O作于E，于F，如图2所示，    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：不一定成立，理由和图示如下： 分三种情况： ①过点O作的延长线于点E，作的延长线于点F，如图3所示：    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ②过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图4所示：    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图5所示：    同理②，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，不一定成立． 12．（25-26八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在等腰中，，点为边上任意一点，连接．已知，，分别是，，的高．请你写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的面积，等式的性质，运用两种方法表示同一个三角形的面积，得出等量关系是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： ， 即． 又， ， ． 13．（25-26八年级上·广西南宁·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点． 求证：． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接． 如图3，当点在点上方，若，请直接写出____________（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）如图，过F作于M，过点F作交延长线于点N，证得，进而得．在中、、，同理∶；进而得，在中，由，得，再根据等量代换即可解答． 【详解】（1）证明∶∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）证明∶∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3）解：如图，过F作于M，过点F作交延长线于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴ ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， ∴ ∴， 同理∶， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、30度直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质、30度直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键． 14．（2023九年级·江西赣州·竞赛）学有所得：大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法． 学有所用：在等腰三角形中，，其一腰上的高为， M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为、． （1）请你结合图形1来证明：． （2）当点M在延长线上时，、、之间又有什么样的结论．请直接写出结论（不必证明）． 学会应用：（3）利用以上结论解答，如图2在平面直角坐标系中有两条直线∶，∶，若上的一点M到的距离是．求点M的坐标． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【分析】本题考查了一次函数的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定等，根据三角形的等面积性质进行求解是解题的关键． （1）连接，根据，即可求出答案； （2）连接，根据，猜测； （3）先根据一次函数的图象和性质求出点的坐标，判定出为等腰三角形，再分类进行讨论，即当点在边上时，当点在延长线上时，当点在延长线上时，求出点的坐标即可． 【详解】解：（1）如图，连接， 根据题意得，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2），理由如下： 如图所示，连接， 根据题意得，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）在中，当时，；当时，， 解得， 所以， 由勾股定理得， 由得，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形， ①当点在边上时，由得，，， 代入得，， 解得， 此时，； ②当点在延长线上时，由得，，， 代入得，， 解得， 此时，； ③当点在延长线上时，，不存在． 综上，点的坐标为或． 15．（25-26九年级上·吉林·期中）如图（1），已知在中，，且，过点A作于点P，点M是直线上一动点，设点M到两边、的距离分别为m，n，的高为h． (1)当点M运动到点P位置时，m与n有什么关系； (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论； (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证：． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用，运用等积法建立关系式是解题的关键． （1）当点P与点M重合时，过点M作于点D，于点E，推出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论； （2）连接，根据可得出结论； （3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论． 【详解】（1）解：当点M与点P重合时，，理由如下： 过点M作于点D，于点E，如图1， 已知在中，，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵于点P，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，连接， 则， ∴，即， 又∵是等边三角形， ∴， ∴； （3）证明：如图3，连接， 则， ∴，即， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 两边同时除以2024得：， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明； （2）连结、、，则，，，，由得到，则； （3）连结、、，则，，，，由得到，则． 【详解】（1）解：， 证明如下：连结，如图（1）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点， ，，， ， ， ； （2）解：连结、、，如图（2）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）解：， 理由如下：连结、、，如图（3）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键． 17．【阅读】如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1，h2．连接AM． ∵  ∴ 　　　　　　 【思考】在上述问题中，h1，h2与h的数量关系为： ． 【探究】如图2，当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间有怎样的数量关系式？并说明理由． 【应用】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线l1：，l2：y=－3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用上述结论求出点M的坐标． 【答案】【思考】h1+h2=h；【探究】h1－h2=h．理由见解析；【应用】所求点M的坐标为（，2）或（－，4）． 【分析】思考：根据等腰三角形的性质，把代数式化简可得. 探究：当点M在BC延长线上时，连接，可得，化简可得. 应用：先证明，△ABC为等腰三角形，即可运用上面得到的性质，再分点M在BC边上和在CB延长线上两种情况讨论，第一种有1+My=OB，第二种为My－1=OB，解得的纵坐标，再分别代入的解析式即可求解. 【详解】思考 即 h1+h2=h． 探究 h1－h2=h． 理由．连接, ∵   ∴ ∴h1－h2=h． 应用 在中，令x=0得y=3； 令y=0得x=－4，则： A（－4，0），B（0，3）   同理求得C（1，0）， ， 又因为AC=5， 所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形． ①当点M在BC边上时， 由h1+h2=h得： 1+My=OB，My=3－1=2， 把它代入y=－3x+3中求得： ， ∴； ②当点M在CB延长线上时， 由h1－h2=h得： My－1=OB，My=3+1=4， 把它代入y=－3x+3中求得： ， ∴， 综上，所求点M的坐标为或． 【点睛】本题结合三角形的面积和等腰三角形的性质考查了新性质的推理与证明，熟练掌握三角形的性质，结合图形层层推进是解答的关键. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $