1.5 全称量词与存在量词（十一大题型）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5 全称量词与存在量词 题型一 判断命题是否为全称命题 1．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 2．全称量词 “所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题称为 ，全称量词命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为：． 3．判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 题型二 用全称量词改写命题 4．命题p：∃m0∈R，使方程x2+m0x+1=0有实数根，则非p形式的命题是（    ） A．∃m0∈R，使得方程x2+m0x+1=0无实根 B．对∀m∈R，方程x2+mx+1=0无实根 C．对∀m∈R，方程x2+mx+1=0有实根 D．至多有一个实数m，使得方程x2+mx+1=0有实根 5．全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，用符号 表示； （2）含有 量词的命题叫做全称量词命题，其一般形式为： . 6．将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 题型三 判断全称命题的真假 7．已知命题：，；命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．有下列命题： ①所有的素数都是奇数；②是无理数，是无理数； ③是无理数，是无理数；④至少有一个整数，是4的倍数. 其中，真命题有 .（填序号） 9．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 题型四 根据全称命题的真假求参数 10．若命题“，都有”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．已知命题为“若，则”，若为真命题，则实数的取值范围是 ． 12．已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 题型五 判断命题是否为特称（存在性）命题 13．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 14．存在量词 “存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题称为 ，存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为：． 15．指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 题型六 用存在量词改写命题 16．下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 17．命题“存在正实数x，使得大于”，用符号语言可表示为 ，该命题为 命题．（填“真”或“假”）． 18．用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当时，； (2)自然数不都是正整数； (3)至少存在一个实数，使得. 题型七 判断特称（存在性）命题的真假 19．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 20．命题是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是 命题(填“真”或“假”)． 21．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 题型八 根据特称（存在性）命题的真假求参数 22．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 23．已知“，”为真命题，则的最小值为 . 24．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 题型九 全称命题的否定及其真假判断 25．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 26．命题“”是假命题，则取值范围为 ． 27．已知命题p：“，”为假命题，记实数t的所有取值组成集合A． (1)求集合A； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 题型十 特称命题的否定及其真假判断 28．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 29．“，”的否定为 . 30．设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)①写出命题q的否定； ②若命题p，q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 题型十一 含有一个量词的命题的否定的应用 31．命题p：，，则p的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 32．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是 33．已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 全称量词与存在量词 题型一 判断命题是否为全称命题 1．下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 2．全称量词 “所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题称为 ，全称量词命题“对中任意一个，有成立”可用符号简记为：． 【答案】 全称量词 全称量词命题 【分析】略 【详解】略 3．判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”或“”表述下列命题. (1)对任意，成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1)全称量词命题，表示为， (2)全称量词命题，表示为，，方程恰有一个解 (3)存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除 (4)存在量词命题，表示为，不是平行四边形 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义求解判断各小题即可. 【详解】（1）全称量词命题，表示为，. （2）全称量词命题，表示为，，方程恰有一解. （3）存在量词命题，表示为，既能被2整除，又能被3整除. （4）存在量词命题，表示为，不是平行四边形. 题型二 用全称量词改写命题 4．命题p：∃m0∈R，使方程x2+m0x+1=0有实数根，则非p形式的命题是（    ） A．∃m0∈R，使得方程x2+m0x+1=0无实根 B．对∀m∈R，方程x2+mx+1=0无实根 C．对∀m∈R，方程x2+mx+1=0有实根 D．至多有一个实数m，使得方程x2+mx+1=0有实根 【答案】B 【分析】用全称量词对命题进行否定即可写出. 【详解】由存在量词命题的否定可知，命题的否定为“对∀m∈R，方程x2+mx+1=0无实根”. 故选：B. 5．全称量词与全称量词命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，用符号 表示； （2）含有 量词的命题叫做全称量词命题，其一般形式为： . 【答案】 全称量词 全称 【解析】略 6．将下列命题用量词符号“”或“”表示． (1)整数中1最小； (2)方程至少存在一个负根； (3)对于某些实数，有； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的意义，改写命题. 【详解】（1）． （2）． （3）． 题型三 判断全称命题的真假 7．已知命题：，；命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】根据所给全称命题、存在命题，取特殊值判断的真假，即可得解. 【详解】当时，不成立，故是假命题，是真命题； 当时，成立，故是真命题，是假命题. 故选：B 8．有下列命题： ①所有的素数都是奇数；②是无理数，是无理数； ③是无理数，是无理数；④至少有一个整数，是4的倍数. 其中，真命题有 .（填序号） 【答案】③ 【分析】由命题真假性的定义逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于①,因为偶数2是素数，故①错误； 对于②，因为无理数的立方是有理数2，故②错误； 对于③，因为无理数的平方是无理数，故③正确； 对于④,设，则除以4的余数是2， 设，则除以4的余数是1，故④错误. 故答案为：③. 9．指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【分析】利用全称，存在量词命题的定义进行判断，并判断命题的真假. 【详解】（1）（3）是全称量词命题，（2）（4）是存在量词命题． （1）菱形对角线所在直线为其对称轴，所以该命题是真命题． （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． （3）存在，但，所以该命题是假命题． （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是假命题． 题型四 根据全称命题的真假求参数 10．若命题“，都有”为真命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】因为命题“，都有”为真命题，所以， 即实数的取值范围是． 故选：C． 11．已知命题为“若，则”，若为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为命题“若，则”为真命题， 则，所以实数的取值范围是. 故答案为： 12．已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先求出集合，再根据交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而根据包含关系求解. 【详解】（1）当时，，而或， 则，. （2）若命题“，都有”是真命题，则， 由，所以或，即或， 故的取值范围为或. 题型五 判断命题是否为特称（存在性）命题 13．下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是偶数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的定义即可得出答案． 【详解】D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题. 故选：D 14．存在量词 “存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题称为 ，存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为：． 【答案】 存在量词 存在量词命题 【分析】略 【详解】略 15．指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】利用全称量词、存在量词的定义与全称命题与特称命题的定义即可得出结果． 【详解】（1）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，； （2）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，方程恰有一个实数解； （3）“有”是存在量词，该命题可表示为：； （4）“存在”是存在量词，该命题可表示为：． 题型六 用存在量词改写命题 16．下列命题与“，”表述一致的（    ） A．只有一个实数x，使得 B．不存在实数x，使得 C．所有实数x，都有 D．至少有一个实数x，使得 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的为至少有一个实数x，使得. 故选：D. 17．命题“存在正实数x，使得大于”，用符号语言可表示为 ，该命题为 命题．（填“真”或“假”）． 【答案】 ， 假 【分析】将命题用数学符号语言表示出来可得答案. 【详解】命题“存在正实数，使得大于”， 用符号语言可表示为“，”. 因为时，，所以该命题为假命题. 故答案为：①，；②假. 18．用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当时，； (2)自然数不都是正整数； (3)至少存在一个实数，使得. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）应用数学语言、描述已知命题，进而判断其真假. 【详解】（1）命题表示为“，”． 因为，所以该命题为真命题． （2）命题表示为“，”． 因为，，所以该命题为真命题． （3）命题表示为“，”． 因为，所以该命题为真命题． 题型七 判断特称（存在性）命题的真假 19．下列是存在量词命题且是真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题进行区分，再判断命题的真假即可． 【详解】由题知，AC是全称量词命题，不符合题意；BD为存在量词命题； 对于B，恒成立，故不存在，使得，故B为假命题，故B不符合题意； 对于D，时，，则是真命题，符合题意． 故选：D． 20．命题是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是 命题(填“真”或“假”)． 【答案】 存在量词命题 真 【分析】根据量词“”即可判断它是存在量词命题，通过举例子可说明是真命题. 【详解】命题p是存在量词命题，当时，成立，故p是真命题． 故答案为：存在量词命题；真. 21．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断这些命题的真假． (1)有些奇数是合数； (2)任何实数都有算术平方根； (3)至少有一个数能被3和5整除； (4)所有的反比例函数的图象都是中心对称图象． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据命题中的量词确定其命题性质，再逐一判断命题真假. 【详解】对于（1），因为“有些”是存在量词，所以“有些奇数是合数”是存在量词命题， 比如，9是奇数也是合数，所以该命题是真命题； 对于（2），因为“任何”是全称量词，所以“任何实数都有算术平方根”是全称量词命题. 比如，是实数，但没有算术平方根，所以该命题是假命题； 对于（3），因为“至少有一个”是存在量词，所以“至少有一个数能被3和5整除”是存在量词命题． 比如，15能被3和5整除，所以该命题是真命题； 对于（4），因为“所有的”是全称量词，所以“所有的反比例函数的图象都是中心对称图象”是全称量 词命题. 因反比例函数的解析式形如，其图象关于坐标原点中心对称，故该命题是真命题. 题型八 根据特称（存在性）命题的真假求参数 22．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得“，”为真命题，即方程无解，分和讨论求解. 【详解】由题，可得“，”为真命题，即方程无解. 当时，方程无解； 当时，得，解得； 综上，实数的取值范围为. 故选：C. 23．已知“，”为真命题，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由参变量分离法可得出，求出函数在上的最小值，可得出实数的取值范围，即可得出实数的最小值. 【详解】因为“，”为真命题， 当时，由可得， 因为函数在上单调递减，则. 综上所述，，即实数的最小值为. 故答案为：. 24．已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有，讨论、列不等式求参数范围； （2）法一：根据已知有，讨论集合中不等式的两个端点值与集合的关系列不等式求参数范围；法二：假设，讨论集合是否为空，求出对应的参数范围，再由及集合的补运算，求最终参数范围. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，方程组无解． 综上所述，实数的取值范围为； （2）因为命题“”是真命题，所以，则， 法一：所以，或，或， 解得，或，或， 所以实数的取值范围为． 法二：假设， 当，则，满足， 当，则，此时或，解得或， 所以时，或， 即命题“”是真命题时，实数的取值范围为. 题型九 全称命题的否定及其真假判断 25．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可. 【详解】由于全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“，”的否定是：，. 故选：C 26．命题“”是假命题，则取值范围为 ． 【答案】（或） 【分析】由题意方程有实数解，利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】根据题意，命题为假命题， 则其否定：“”为真命题，即方程有实数解， 必有，解得，即的取值范围为. 故答案为：． 27．已知命题p：“，”为假命题，记实数t的所有取值组成集合A． (1)求集合A； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或． (2) 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）若是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【详解】（1）由题意可知为假命题时，关于x的方程无解， 则，即，解得或，故集合或． （2）因为是的必要不充分条件，所以， 易知，所以或， 解得或， 故实数m的取值范围为． 题型十 特称命题的否定及其真假判断 28．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】由题意可知，命题“，”为存在量词命题， 该命题的否定为“，”. 故选：B. 29．“，”的否定为 . 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定直接得出结果. 【详解】由题意，命题“”的否定为 “”. 故答案为： 30．设命题，使得不等式恒成立；命题使得不等式成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)①写出命题q的否定； ②若命题p，q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2)①，不等式恒成立；②或. 【分析】（1）根据给定条件，分离参数，再利用二次函数求出最小值即可. （2）①写出命题的否定；②求出命题，再求出一真一假的范围. 【详解】（1）不等式， 依题意，，不等式恒成立， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数m的取值范围是. （2）①命题使得不等式成立是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题q的否定是：，不等式恒成立. ②不等式，依题意，，不等式成立， 则 m 需大于 2x 在该区间的最小值，当时，，当且仅当时取等号，则， 命题，由（1）知，命题，由命题p，q中有且仅有一个为真命题， 得真假，有且，即；或假真，有且，即， 因此或， 所以实数m的取值范围是或. 题型十一 含有一个量词的命题的否定的应用 31．命题p：，，则p的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据特称量词的否定选出答案即可. 【详解】命题p：，的否定是，， 故选：B． 32．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是 【答案】或 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和命题的否定的真假关系即可求解. 【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，使得等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 33．已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的性质得出命题为真时，实数的取值范围，进而由命题为真求解； （2）由判别式得出为真时，实数的取值范围，再讨论真假或假真，得出实数的取值范围. 【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则，解得； 因为命题为真，所以实数的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得. 若真假时，，解得； 若假真时，，解得. 综上，得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $