精品解析：湖南省浏阳市2025-2026学年高二上学期期中质量监测数学试卷

2025年下学期期中质量监测试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 6. 已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ） A. [4,10] B. [8,10] C. [4,16] D. [8,16] 7. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线恒过点 B. 直线与圆相交 C. 圆与圆有四条公切线 D. 直线被圆截得的最短弦长为 10. 已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若椭圆的焦点在轴上，则 B. 若椭圆的离心率，则或 C. 当且时，的面积为 D. 当时存在点使得 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段BD的中点，且点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则平面 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线DP与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过两点的直线的方向向量为，则的值为______. 13. 已知空间向量，若共面，则的最小值为__. 14. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面为PD的中点. （1）若，证明：； （2）若，求平面ACE和平面ECD的夹角的余弦值. 17. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 18. 如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由. 19. 已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点， （ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期中质量监测试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面对称的特征求解. 【详解】关于平面的对称点的特征为坐标不变，取相反数， 故所求坐标为. 故选：A. 2. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两线平行的判定列方程求参数. 【详解】由题设. 故选：C 3. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，写出直线方向向量，利用夹角公式，可得答案. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，设， 则，，，， 由分别为的中点，则，， 取，，设异面直线与的夹角为， . 故选：C. 4. 已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点式求斜率，结合参数范围有，根据斜率与倾斜角关系确定倾斜角范围. 【详解】由题设，则直线AB的倾斜角的取值范围为. 故选：B 5. 如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加减的几何意义把表示出来，再利用已知条件计算即可. 【详解】在平行六面体中，，， 由向量加减的几何意义得， 即 ， . 故选：. 6. 已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ） A. [4,10] B. [8,10] C. [4,16] D. [8,16] 【答案】C 【解析】 【分析】由方程确定圆心和半径，进而得到圆上点到原点距离范围，根据表示圆上点到原点距离的平方求范围. 【详解】将化为，即圆心为，半径为3， 由表示圆上点到原点距离的平方，而圆心到原点的距离为1， 又在圆内， 所以圆上点到原点距离范围为，故的取值范围是. 故选：C 7. 已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 8. 如图，边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设得且，结合已知条件求得，再利用棱锥体积公式求体积. 【详解】若为正方形的中心，由题设知， 所以，且， 所以，即， 所以，则，则， 所以三棱锥的体积为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线和圆，则（ ） A. 直线恒过点 B. 直线与圆相交 C. 圆与圆有四条公切线 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】AB 【解析】 【分析】令可得即可得A；计算可得点在圆内部，即可得B；得到两圆位置关系可得C；借助垂径定理计算可得D. 【详解】对A：令，则有，即，故直线恒过点，故A正确； 对B：当，时，有， 故点在圆内部，又直线恒过点，故直线与圆相交，故B正确； 对C：圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为， 则两圆心距离为，又两半径和为，故两圆向外切， 则圆与圆有三条公切线，故C错误； 对D：由直线恒过点且点在圆内部， 则当点与圆圆心所过直线与直线垂直时，有最短弦长， 此时弦长，故D错误. 故选：AB. 10. 已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 若椭圆的焦点在轴上，则 B. 若椭圆的离心率，则或 C. 当且时，的面积为 D. 当时存在点使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点位置，结合椭圆方程及离心率公式判断A、B；由确定椭圆参数，再在焦点三角形中应用椭圆的有界性及余弦定理判断C、D. 【详解】A：由椭圆方程，若的焦点在轴上，则，故错误； B：当椭圆焦点在轴上时，，可得， 当椭圆焦点在轴上时，，可得，故正确； C、D：由题设，则， 当，则， 所以，而，则， 所以，C正确， 当为椭圆上下顶点时，，则， 此时，在中，故最大角可达到， 所以存在点使得，D正确. 故选：BCD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段BD的中点，且点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则平面 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线DP与平面所成角为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据各项参数确定的位置，分别应用线面平行的判定定理判断A；线面垂直的判定定理判断B；由到平面的距离，即为到平面的距离的一半，几何法求点面距离判断C；应用向量法求线面角，进而求范围判断D. 【详解】A：，即重合，故即为，又，即， 由面，面，则面，对； B：，易知为的中点，此时，且 所以，故，即， 根据正方体的结构特征，易得， 若为的中点，则，又，则， 显然面，面，则， 由且在面内，则面，面，则， 所以，又都在面内，则面，对； C：，即是面的中心， 易知到平面的距离，即为到平面的距离的一半， 根据正方体的结构特征，为正四面体，且棱长为， 所以到平面的距离， 所以到平面的距离为，错； D：，则在线段上运动，如图构建空间直角坐标系， 所以，且，故， 令面的一个法向量为，且， 所以，令，则， 故，令，则， 所以，， 故，对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据各项参数值确定对应点的位置为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过两点的直线的方向向量为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两点式求斜率，结合斜率与方向向量的关系列方程求参数. 【详解】由题设. 故答案为： 13. 已知空间向量，若共面，则的最小值为__. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用题给条件求得之间的关系，再利用二次函数即可求得的最小值. 【详解】空间向量， 若共面，则可令， 则 ，解之得 则 二次函数的最小值为，则的最小值为. 故答案为： 14. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解. 【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解； （2）结合（1）先求点坐标可得与重合，再利用中点在直线上，即可求出点坐标，进而得出直线的方程. 【小问1详解】 由题知，，在直线上， 设， 则，解得， 即点坐标为. 【小问2详解】 设， 则，解得，即， 所以直线的方程为， 即. 16. 如图，在四棱锥中，平面为PD的中点. （1）若，证明：； （2）若，求平面ACE和平面ECD的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：由平面，平面，则，， 而，且都在面内，则面， 由面，则，即均为直角三角形，且为斜边， 由为PD的中点，故，得证. （2）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定及性质定理证、，结合直角三角形性质即可证结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，易知为直角梯形，且，，且平面， 以为原点，建立如下图示空间直角坐标系，则， 所以， 若分别是面、面的法向量， 则，令，则， 且，令，则， 所以，故平面ACE和平面ECD的夹角余弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，点是椭圆的右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）过点且倾角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得方程，求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得，再由点到直线的距离公式求得到的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值． 【小问1详解】 因为点是椭圆的右顶点，所以.   又，所以. 又，所以 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意得直线l的方程为：， 设， 联立，消y，得， ， ， 到直线的距离， . 18. 如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系， 故， 所以， 若平面的一个法向量为，则， 令，则，显然，而面， 所以面； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，判断即可； （2）应用向量法求到平面的距离即可； （3）假设在上存在点，且，，结合线面角正弦值列方程，求参数即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，所以到平面的距离为 【小问3详解】 假设在上存在点，且，， 则， 直线与平面所成的角为，故， 所以，即，可得或， 时，，则， 时，，则， 综上，长为或. 19. 已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点， （ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），以为圆心，半径为2的圆； （2）（ⅰ）由题设，易知四点共圆，即在以为直径的圆上， 而的中点坐标为，， 以为直径的圆为，又在上， 即为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线为，显然该直线恒过定点，得证. GSP （ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据已知及两点距离公式有，整理即可得曲线方程； （2）（ⅰ）根据题设知在以为直径的圆上，并写出对应方程，结合在上，即可求直线，进而确定定点坐标； （ⅱ）根据（ⅰ），若定点为，易知在以为直径的圆上，根据圆的性质判断面积最大时的位置，即可确定的坐标. 【小问1详解】 设，则，即， 所以，整理得. 【小问2详解】 （ⅰ）证明略；定点； （ⅱ）存在，，理由如下： 由（i）及题设，易知在以为直径的圆上，即为圆心、半径为， 且轴，则，且到直线的距离为，故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $