精品解析：河南省南阳市内乡县2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025年秋期期中八年级数学巩固与练习 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在实数（每两个1之间依次多一个2）中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是依据“无限不循环小数是无理数”的定义逐一判断． 先明确无理数是无限不循环小数，再逐一分析数：（有理数）、（有理数）、（无理数）、（无理数）、（有理数）、（有理数）、（每两个1之间多一个2，无理数），由此确定无理数的个数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数， 3.1415926是有限小数，有理数； 有理数； 是分数，有理数； 是无理数； 中是无理数，故无理数； 是整数，有理数； ，有理数； 是循环小数，有理数； （每两个1之间依次多一个2）是无限不循环小数，无理数． ∴ 无理数有3个． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、与不能合并，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键． 3. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据SSS，SAS，AAS逐一判定，其中SSA不一定符合要求． 【详解】A. ．根据SSS一定符合要求； B. ．根据SAS一定符合要求； C. ．不一定符合要求； D. ．根据AAS一定符合要求． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，AAS三个判定定理． 4. 满足以下说法：①是无理数；②；③是整数，那么可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小、无理数的定义、实数的运算等知识，根据选项判断是否都满足①②③即可得到答案． 【详解】解：A．∵，满足①③，不满足②，不符合题意； B．，，且是无理数，满足①②③，符合题意； C．，，且是无理数，满足①③，不满足②，不符合题意； D．，是无理数，不是整数，满足①②，不满足③，不符合题意； 那么可能是， 故选：B． 5. 下列命题：①的算术平方根是4．②有理数和数轴上的点一一对应；③两个无理数的和还是无理数；④全等三角形的角平分线相等；⑤有两角和一边分别相等的两个三角形全等；⑥有两条边和第三条边上的高分别相等的两个三角形全等；其中是真命题的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，算术平方根，全等三角形，实数，掌握相关知识点结合正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题进行判断是解题的关键． 根据相关知识点逐个判断命题真假，即可求解． 【详解】解：∵ ① ，4的算术平方根是，不是4，∴ 命题①为假； ∵ ② 数轴上的点与实数一一对应，除了有理数，还有无理数，∴命题 ②为假； ∵ ③ 反例：（有理数），∴ 命题③为假； ∵ ④ 全等三角形的对应角的平分线相等，原命题未指明“对应”，∴命题④为假 ∵ ⑤ 两角和一边对应相等，符合或全等判定，∴ 命题⑤为真； ∵ ⑥ 反例：两条边和第三边高相等，如图，两个三角形和中，,且第三边上的高相等，但两个三角形不全等，∴ 命题⑥假； 综上所述，真命题有⑤，共1个． 故选：B． 6. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将变形为代入，即可求解． 【详解】解：将变形为，代入得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查代数式的变形，代入求值，完全平方公式的应用，掌握代数式的代入求值，完全平方公式的应用是解题的关键． 7. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式的性质即可求解． 【详解】解：， ∴或， ∴或． 故选：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 8. 设，，则A，B的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练运用作差法比较大小是解决问题的关键． 9. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，方案Ⅰ中利用证明即可；方案Ⅱ中利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，是一钢架，且，为使钢架更加牢固，需在其内部添加-一些钢管、、，添加的钢管都与相等，则最多能添加这样的钢管（ ） A. 根 B. 根 C. 根 D. 无数根 【答案】B 【解析】 【分析】因为每根钢管的长度相等，可推出图中的5个三角形都是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质，计算出最大的∠OQB的度数（必须≤90°），就可得出钢管的根数. 【详解】解：如图所示，∠AOB=15°， ∵OE=FE，∴∠OFE=∠AOB=15°， ∴∠GEF=15°×2=30°， ∵EF=GF，所以∠EGF=30°， ∴∠GFH=15°+30°=45°， ∵GH=GF， ∴∠GHF=45°，∠HGA=45°+15°=60°， ∵GH=HQ， ∴∠GQH=60°，∠QHB=60°+15°=75°， ∵QH=QB，∴∠QBH=75°， 故∠OQB=180°－15°－75°=90°， 再作与BQ相等的线段时，90°的角不能是底角，则最多能作出的钢管是：EF、FG、GH、HQ、QB，共有5根． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，弄清题意，发现规律，正确求得图中各角的度数是解题的关键. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果的平方根是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方根的定义得出的值，再利用立方根的定义得出答案． 【详解】解：的平方根是， ， 则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了立方根以及平方根，正确掌握相关定义是解题关键． 12. 弟弟不小心把小华的作业本撕掉了一角，留下了一道不完整的题目，如图所示，这是一道整式乘法题，被撕掉的是一个一次三项式，则被撕掉的多项式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式意，熟练掌握多项式除以单项式法则是解答本题的关键． 根据题意出算式，利用多项式除以单项式法则进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 13. 在华师大版八年级上册51页的《综合与实践》中，我们学习了代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释．请结合图形，完成下面的实践与探索活动． 有足够多的长方形和正方形的卡片，如图： 如果选取1号，2号，3号卡片分别为1张，2张，3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），如下图，运用拼图前后面积之间的关系写出算式：__________． 或 【答案】 【解析】 【分析】用代数式表示各个部分的面积，再利用面积之间的和差关系得出答案． 【详解】解：1号卡片的面积为，，2号卡片的面积为，3号卡片的面积， 由拼图可知，长方形的长为，宽为，因此面积为， 各个部分面积和为， 因此有， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式的乘法与几何图形的面积，熟练的利用和图形的面积证明代数恒等式是解本题的关键． 14. 如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得与是直角三角形，进而根据判定，进而可得，即可求得答案 【详解】解： 在与中 OP平分∠AOB 故答案为：HL 【点睛】本题考查了HL证明三角形全等，掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 15. 如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为_____． 【答案】1或3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，属于全等三角形的动点问题，解题关键是分和两种情况分别计算． 首先根据题意得到，然后分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则有，即， 解得， 当时，则，即， 解得， 故答案为：1或3． 三、解答题（共75分） 16. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提取公因式，再由完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再合并，合并同类项后，再提取公因数2即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 17. （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值． （1）先根据多项式与多项式的乘法法则，积的乘方法则计算，再计算乘除，最后合并同类项即可； （2）先根据乘法公式计算，再合并同类项，计算除法，根据绝对值的非负性和平方的非负性得到，，进而代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ； ，且 ， ， 原式 18. 小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和． （1）与全等吗？请说明理由； （2）小明的爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【答案】（1） 解：与全等．理由如下： 由题意可知， ， ， 在和中， ， ； （2）小明的爸爸是在距离地面处接住小明的 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，根据求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 又分别为和， ， ． 答：小明的爸爸是在距离地面处接住小明的． 19. 如图，在等腰和等腰中，，，且、、三点共线，作于．若，，求． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，可得出答案． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， 又， ， ，，， ， ． 20. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（根据题意画出图形，写出已知、求证并证明） 【答案】 已知：，，、分别是、边上的中线 求证：． 证明：、分别是、边上的中线 ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据题意写出已知，，、分别是、边上的中线，证明，即可得到答案． 【详解】略 21. 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． （1）的商是______，余式是______． （2）已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）．另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长． 【答案】（1）， （2）长方形C的另一边长为： 【解析】 【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算； （2）通过面积关系求长方形的边长． 【小问1详解】 解：．用竖式计算如下， 的商是，余式是． ∴答案为，． 【小问2详解】 长方形A的周长为：． 长方形B的周长为：． ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴． ∴长方形B的面积为：． ∴长方形C的面积为：． ∴长方形C的另一边长为：． ∴长方形C的另一边长为：． 【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整式除法的定义找出系数的关系是求解本题的关键． 22. 如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： （1）根据题意，用两个不同的代数式表示阴影部分的面积，从中你得到一个等式：______； （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算图形面积的计算，乘法公式的变形计算，掌握乘法公式，整式的混合运算是关键． （1）根据图示，分别表示出阴影部分的面积即可求解； （2）①根据乘法公式的变形计算即可求解；②根据乘法公式的变形计算即可求解． 【小问1详解】 解：阴影部分的面积可以表示为：，或者表示为， ∴； 【小问2详解】 解：①， ， 又， ； ②设，，则，， ， 答：的值为． 23. （1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、，则、、的数量关系为______ （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点（、、三点互不重合）点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，求的度数． 【答案】（1） （2）结论仍然成立，理由如下： ∵， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法，性质，等边三角形的性质是解题的关键． （1）证明，可得，，，由此即可求解； （2）证明，可知，，由此即可求证； （3）与都是等边三角形，，由此即可求解． 【详解】（1）， 证明：∵，直线，直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）略 （3）解：∵， ∴，， 又∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期中八年级数学巩固与练习 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 在实数（每两个1之间依次多一个2）中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 4. 满足以下说法：①是无理数；②；③是整数，那么可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题：①的算术平方根是4．②有理数和数轴上的点一一对应；③两个无理数的和还是无理数；④全等三角形的角平分线相等；⑤有两角和一边分别相等的两个三角形全等；⑥有两条边和第三条边上的高分别相等的两个三角形全等；其中是真命题的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 设，，则A，B的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 10. 如图，是一钢架，且，为使钢架更加牢固，需在其内部添加-一些钢管、、，添加的钢管都与相等，则最多能添加这样的钢管（ ） A. 根 B. 根 C. 根 D. 无数根 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如果的平方根是，则______． 12. 弟弟不小心把小华的作业本撕掉了一角，留下了一道不完整的题目，如图所示，这是一道整式乘法题，被撕掉的是一个一次三项式，则被撕掉的多项式是______． 13. 在华师大版八年级上册51页的《综合与实践》中，我们学习了代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释．请结合图形，完成下面的实践与探索活动． 有足够多的长方形和正方形的卡片，如图： 如果选取1号，2号，3号卡片分别为1张，2张，3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），如下图，运用拼图前后面积之间的关系写出算式：__________． 或 14. 如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是_____． 15. 如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为_____． 三、解答题（共75分） 16. 分解因式： （1） （2） 17. （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 18. 小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和． （1）与全等吗？请说明理由； （2）小明的爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 19. 如图，在等腰和等腰中，，，且、、三点共线，作于．若，，求． 20. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（根据题意画出图形，写出已知、求证并证明） 21. 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． （1）的商是______，余式是______． （2）已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）．另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长． 22. 如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： （1）根据题意，用两个不同的代数式表示阴影部分的面积，从中你得到一个等式：______； （2）运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 23. （1）如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、，则、、的数量关系为______ （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点（、、三点互不重合）点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $