精品解析：江苏省无锡市辅仁高级中学2025-2026学年高二上学期数学周末练习8试卷

2025年高二数学上学期周末练习8 一､单选题 1. 已知直线和，若，则（ ） A. －2 B. 1 C. 0或1 D. 1或－2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件计算即可. 【详解】由题意可知，解得. 故选：B 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线化为标准方程，利用定义即可求解. 【详解】因为抛物线可化为，则， 由抛物线的定义可知：焦点到准线的距离为， 即焦点到准线的距离为， 故选：. 3. 已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，即可得m的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得：． 所以成立的充要条件是：． 结合四个选项可知：p成立的充分不必要条件是：． 故选：C. 4. 设椭圆过点，则椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆所过的点，应用待定系数法求椭圆方程. 【详解】由题设，可得，则椭圆方程为. 故选：D 5. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知点对称，应用点斜式写出对称轴方程，并求出其与轴的交点，再由轴与直线关于对称轴对称，确定相关点在直线上求参数值. 【详解】由点与点重合，则的中点为，， 所以的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴为，即， 由，即对称轴与轴的交点为， 而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称， 由在轴上，所以点、都在上，则. 故选：A 6. 在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. （在一三象限部分） E. 【答案】D 【解析】 【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程. 【详解】设，，. 因为，所以. 已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距），可得直线的方程：. 已知，，则直线的方程为. 因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程. 对于直线的方程，可得①. 对于直线的方程，可得②. 由①②可得：若则；若则； 又因为，所以，化为. 综上，和的交点的轨迹方程为（在一三象限部分） 故选：D. 7. 已知椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线计算出离心率，结合条件求得，再求出渐近线方程即得 【详解】对于椭圆，离心率为， 对于双曲线，离心率为， 因为，所以， 化简得，解得. 对于双曲线的渐近线为. 故选：D. 8. 首届江苏省城市足球联赛（“苏超”）总决赛已圆满落幕，泰州队以“黑马”之姿成功夺冠．比赛场地南京奥体中心体育场给人们留下了深刻的印象．在手工课上，陈老师带领同学们一起制作了一个近似奥体中心体育场的金属模型，其俯视图可近似看成是一个椭圆紧紧套着一个以椭圆中心为圆心的圆，若椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆与椭圆的方程，求出切点的轨迹方程，再与椭圆方程联立，根据方程组有解得出，即可求出. 【详解】由题意可设，圆方程为，椭圆方程为，其中， 设圆的切线为，因，则四边形为正方形，则， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，方程为， 因椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线相互垂直， 则点的轨迹与椭圆有交点，即有解， 联立得，故，则， 则离心率. 故选：B 二､多选题 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角，判断A的真假；判断数量积是否为0，判断B的真假；求投影向量，判断C的真假；根据的线性关系，判断D的真假. 【详解】对A：，所以，故A正确； 对B：因为，所以不成立，故B错误； 对C：因为，即向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对D：因为，即，所以向量与向量共面，故D正确. 故选：ACD 10. 已知点分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为2 D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接求出两曲线的渐近线方程即可判断A，求出，再根据双曲线的定义求出，，即可判断B，设，利用勾股定理求出，再由面积公式计算即可判断C，根据渐近线的斜率判断D. 【详解】对于A：双曲线，则，，故渐近线方程为，即， 双曲线，，，故渐近线方程为，即，A正确； 对于B：由题意得，，，由双曲线的定义得，， ，，，故的周长为，B正确； 对于C：对称性不妨设在右支上，设，则，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以的面积为，故C正确； 对于D：若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，即，D错误， 故选：ABC． 11. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，设的离心率为，则（ ） A. 若，则 B. 四边形的面积与的面积之比为 C. 四边形的内切圆方程为 D. 设椭圆内阴影部分的面积为，椭圆外阴影部分的面积为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平行线性质，判断A；分别求出四边形的面积和的面积，求出其比值判断B；求出四边形的内切圆半径，进而得到内切圆方程判断C；分别用椭圆面积和四边形的面积表示两个阴影部分面积，判断D. 【详解】对于A ，若，则，所以，即.所以选项A正确； 对于B，四边形的面积为，的面积为， 所以四边形的面积与的面积之比为.所以 选项B错误； 对于C，因为点到四边形各边的距离均等于， 所以四边形的内切圆半径为，所以四边形的内切圆方程为， 所以选项C错误； 对于D，四边形的面积为，椭圆的面积为. 记图中空白部分面积为，则，，所以，所以选项D正确. 故选：AD. 三､填空题 12. 已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 13. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，两条渐近线的夹角的正切值为，且点在双曲线上，则的面积为____. 【答案】 【解析】 【分析】借助渐近线定义结合二倍角公式计算可得，结合点坐标计算可得双曲线方程，再利用三角形面积公式计算即可得. 【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为， 设其中一条渐近线的倾斜角为， 因为两条渐近线的夹角的正切值为，则， 即，解得或， 由，故，故， 则，即， 则，即， 代入，得，解得，故，， 故. 故答案为：. 14. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为_______________；、的内切圆半径比值_______________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据内心的性质得到，然后结合双曲线的性质得到的坐标；②根据内心的性质得到，然后利用相似的性质求半径比. 【详解】 设内切圆与边分别相切于， 所以，，， ， 又，所以，则，即， 所以内切圆圆心的横坐标为-2； ②同理可证，的内切圆圆心的横坐标为， 设、分别为、的内切圆半径， 设点、分别为、的内心， 根据双曲线的定义可知内切圆与轴相切于点， 所以轴，同理，轴； 又点、分别为、的内心，所以直线平分， 注意到，在中，，， 在中，，，所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据内心的性质得到，然后结合双曲线的性质解题即可. 四､解答题 15. 已知直线：与直线：互相垂直且交于点. （1）求的值及点的坐标； （2）若过点的直线与直线平行，求的直线方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据与垂直，由，再联立直线方程求交点； （2）根据直线与直线平行，设直线方程为，再将点P的坐标代入求解. 【小问1详解】 因为与垂直，所以， 于是，即. 由有，所以. 【小问2详解】 由题意设：， 将代入可得：. 所以直线的方程为：：. 16. 已知椭圆经过点，且离心率为，是右焦点，过焦点的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过点结合椭圆的离心率列式解得，，即可得方程； （2）设直线的方程为，联立方程可得韦达定理，根据向量关系可得，联立求解即可. 【小问1详解】 由题意：，解得，， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由（1）可知：，直线与椭圆必相交，且直线的斜率存在， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去y可得， 则，， 因为，， 若，则，可得， 与联立解得，， 代入，可得，解得， 所以直线的方程为，即. 17. 如图，四棱锥的底面为矩形，，，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）设的中点为，，点为线段上（不含端点）一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为，平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，及线面垂直的判定定理可得； （2）根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，设，由直线与平面所成角的正弦值为，求得参数的值，根据求平面与平面的夹角的向量方法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为的中点为，，所以，又，， 则，，，，， 所以，，，，，， 设，则，所以， 则， 由（1）知，平面，取平面的一个法向量 设直线与平面所成的角为， 则， 整理得， 解得（舍去）. 则 设平面的法向量为， ，则，取，则； 设平面的法向量为， ，则，取，则， 于是， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程和离心率； （2）若直线过双曲线的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于M，N两点，满足，求证：直线与圆相切． 【答案】（1）方程为：，离心率为2. （2） 由双曲线的对称性，可设直线的方程为，且. 联立直线与双曲线方程，即可得， 所以，. 从而. 由，即，解得， 则直线的方程为，即. 所以圆心到直线的距离，则直线与圆相切, 所以当时，直线与圆相切. 【解析】 【分析】（1）根据实轴长和焦点到渐近线的距离可求方程； （2）先联立方程得出的表达式，进而求得直线的方程为，再判断直线与圆的位置关系即可证明. 【小问1详解】 解：该双曲线的渐近线为，即，设焦点为， 因为双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为 所以解得 所以双曲线的方程为,离心率为. 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆，，是的右顶点，椭圆的左、右焦点分别为，. （1）若椭圆的离心率为，且椭圆上存在两点，满足和同向且共线，求四边形面积的最大值； （2）已知的中垂线的斜率为2，且与椭圆交于、两点，若点在以为直径的圆内，求的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率求出椭圆的方程，再由和同向且共线，将四边形面积进行转化，设直线，联立方程，通过韦达定理，结合基本不等式求出面积范围； （2）根据的中垂线的斜率以及、中点求出直线方程，再结合点在以为直径的圆内表示，通过联立方程求解即可. 【小问1详解】 因为的离心率为，所以，即，解得， 所以椭圆方程为， 由题设，延长交椭圆于另一点，由对称性可知，，所以， 设直线，联立，可得， 所以， ， 由（1）求得，则， 则， 因为，所以， 所以， 又， 令，易知函数在上单调递增， 所以当，即时，. 【小问2详解】 由线段的中垂线的斜率为2，所以直线的斜率为， 则，解得，由，得中点坐标为， 故直线，即，显然直线过椭圆内点，故直线与椭圆恒有两不同交点， 设，，由消得， 由韦达定理得，， 因为在以为直径的圆内，则，且， 则有， 所以， 即，解得，又， 故，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高二数学上学期周末练习8 一､单选题 1. 已知直线和，若，则（ ） A. －2 B. 1 C. 0或1 D. 1或－2 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3. 已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 设椭圆过点，则椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 5. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. （在一三象限部分） E. 7. 已知椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 首届江苏省城市足球联赛（“苏超”）总决赛已圆满落幕，泰州队以“黑马”之姿成功夺冠．比赛场地南京奥体中心体育场给人们留下了深刻的印象．在手工课上，陈老师带领同学们一起制作了一个近似奥体中心体育场的金属模型，其俯视图可近似看成是一个椭圆紧紧套着一个以椭圆中心为圆心的圆，若椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 10. 已知点分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 B. 若，则的周长为 C. 若，则的面积为2 D. 若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 11. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，设的离心率为，则（ ） A. 若，则 B. 四边形的面积与的面积之比为 C. 四边形的内切圆方程为 D. 设椭圆内阴影部分的面积为，椭圆外阴影部分的面积为，则 三､填空题 12. 已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 13. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，两条渐近线的夹角的正切值为，且点在双曲线上，则的面积为____. 14. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为_______________；、的内切圆半径比值_______________. 四､解答题 15. 已知直线：与直线：互相垂直且交于点. （1）求的值及点的坐标； （2）若过点的直线与直线平行，求的直线方程. 16. 已知椭圆经过点，且离心率为，是右焦点，过焦点的直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 17. 如图，四棱锥的底面为矩形，，，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）设的中点为，，点为线段上（不含端点）一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程和离心率； （2）若直线过双曲线的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于M，N两点，满足，求证：直线与圆相切． 19. 已知椭圆，，是的右顶点，椭圆的左、右焦点分别为，. （1）若椭圆的离心率为，且椭圆上存在两点，满足和同向且共线，求四边形面积的最大值； （2）已知的中垂线的斜率为2，且与椭圆交于、两点，若点在以为直径的圆内，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $