精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

实验中学高一年级期中考试数学 2025.11 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. ≥， B. ， C. ≥， D. ， 3. 已知函数，则（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 4. 是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则化简=（ ） A. B. C. D. 6. 是成立的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知，都是定义在上的增函数，则（ ） A. 函数一定是增函数 B. 函数有可能是减函数 C. 函数一定是增函数 D. 函数有可能是减函数 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 B. 对应，其中，，，则对应是函数 C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数 D. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数 11. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为16 C. 的最小值为9 D. 的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则_____. 13. 已知，且（均不为），则的值是________. 14. 若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为______，实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算: （1）； （2）. 16. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性并证明. 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：，且函数的图象过点.每件产品售价为元，假设小王生产的商品当年全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）； （2）当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？ 19. 已知是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求的解析式； （2）设函数，若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学高一年级期中考试数学 2025.11 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义可求. 【详解】， 故选：A. 2. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. ≥， B. ， C. ≥， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可求解. 【详解】命题的否定是：，， 故选：B 3. 已知函数，则（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式求得正确答案. 【详解】由得， 依题意，， 令得. 故选：D 4. 是定义在上的偶函数，且，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用偶函数的性质和对各选项中的不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】由于函数是定义在上的偶函数，且. 对于A选项，与的大小无法判断； 对于B选项，，该不等式成立； 对于C选项，与的大小无法判断； 对于D选项，，与的大小无法判断. 故选：B. 【点睛】本题考查利用偶函数的性质判断不等式是否成立，考查推理能力，属于基础题. 5. 若，则化简=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数幂的运算可得答案. 【详解】因为，所以，所以. 故选：A. 6. 是成立的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用充分必要条件的定义判断求解. 【详解】因为，所以，所以或， 所以可以推出；不可以推出； 所以是成立的充分不必要条件. 故选：B.       7. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质可得，排除ABD，再根据不等式性质判断C即可. 【详解】对ABD，因为，故，又，故，故，即，故ABD错误； 对C，，故， 又，因为，且，故， 故，即，则，故C正确； 故选：C 8. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义作出函数的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可． 【详解】 其中，， 即， 当时，当或时，由，得， 即或， 当时，当时，由，得， 由图象知若在区间，上的值域为，，则区间，长度的最大值为， 故选：． 【点睛】利用数形结合思想作出函数的图象，求解的关键是对最小值函数定义的理解. 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知，都是定义在上的增函数，则（ ） A. 函数一定是增函数 B. 函数有可能是减函数 C. 函数一定是增函数 D. 函数有可能是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据单调性的定义即可判断各选项. 【详解】对于A，设，设，则 又由都是定义在上的增函数，则且， 所以，故函数一定是增函数，A正确； 对于B，设，此时为减函数，B正确； 对于C，设，此时，在上为减函数，C错误； 对于D，当时，函数为减函数，D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域为 B. 对应，其中，，，则对应是函数 C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数 D. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复合函数的性质即可根据求解A，根据函数的定义即可求解B，根据偶函数的定义即可求解C，举反例即可求解 D. 【详解】对于A，根据题意可得，解得，所以的定义域为，故A正确， 对于B, 对应，其中，，，则对应不是函数，比如，则可取，故不符合函数定义，B错误， 对于C，若为偶函数，则需要对定义域内任意的都有，因此对于定义在上的函数，若，则不是偶函数，C正确， 对于D, 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上不一定是增函数，比如，但在上不是增函数，故D错误， 故选：AC 11. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为16 C. 的最小值为9 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据选项逐个判断，A选项中由已知条件化为可求，B选项利用基本不等式可求最小值，C选项可求的最小值，再求的最小值，D选项把两个变量化为一个变量求解即可. 【详解】A选项，由已知得，因为，所以.解得或，又，所以，故A正确. B选项，由已知得.故(当且仅当，时等号成立).所以，得，故B正确. C选项，，当且仅当，时等号成立，故C不正确. D选项，由已知得，因为，所以，即，又，所以.又，所以，所以(当且仅当时等号成立)，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】因为函数是幂函数得出参数值或，再结合偶函数得出，最后代入得出函数值. 【详解】函数是幂函数， 所以，所以或， 又因为图象关于轴对称， 当时，的定义域是不是偶函数，不合题意舍； 当时，的是偶函数，符合题意； 所以 则. 故答案为：. 13. 已知，且（均不为），则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系及对数运算法则列式求解. 【详解】由均不为，，得，， 由，得，则，即， 所以. 故答案为： 14. 若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为______，实数的取值范围为______. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】 计算该不等式，然后辨别两个端点的大小并确定之间的整数，最后计算即可. 【详解】 令 可得 由，所以 所以不等式的解集为 依题可知：不等式有且只有两个整数解 所以这两个整数解为：1，2 所以这两个整数解之和为3 满足，又，所以 故答案为：3，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算: （1）； （2）. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）直接进行指数运算求解；（2）利用对数的运算求解 【详解】（1） . （2）= ==. 16. 已知集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）{或}； （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式，利用交集与补集的概念计算即可； （2）利用集合间的基本关系分类讨论计算即可. 【小问1详解】 由或，即{或}， 所以. 易知{或}， 所以{或}. 【小问2详解】 因为， 所以或， 解得或，即. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性并证明. 【答案】（1）， （2）单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用，可求得的值，代回解析式验证可知满足题意； （2）任取，由可得单调性. 【小问1详解】 为定义在上的奇函数，，解得：， 又，； 当，时，，， 满足为定义在上的奇函数； 综上所述：，. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： 任取，则， ，，，， 在上单调递增. 18. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：，且函数的图象过点.每件产品售价为元，假设小王生产的商品当年全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）； （2）当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）万件，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）将点代入给定的函数解析式求出c，结合给定的函数模型即可求解； （2）当时，取得最大值10万元；当时，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 依题意得：当时，， 则，所以， 因为每件商品售价为元，则万件商品销售收入为万元， 依题意得：当时， ， 当时， ， 所以. 【小问2详解】 当时， 所以当时，取最大值10万元； 当时，. 当且仅当即时，取最大值14万元 因为，所以当时，取最大值14万元， 所以当年产量为万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为万元． 19. 已知是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求的解析式； （2）设函数，若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解， （2）利用换元法求解的最小值，即可根据二次不等式求解. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数， ，且， 当时， ， 综上，的解析式为：. 【小问2详解】 ， 令，， 在上单调递增， ∴当时，取到最小值， ∴不等式恒成立，转化为：， （i）当时，恒成立， （ii）当时，恒成立， （iii）当时，，则， 综上可知：不等式恒成立的的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $