第02讲 实际问题与反比例函数（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版九年级数学下册

本讲义聚焦实际问题与反比例函数这一核心知识点，系统梳理从行程工程、物理应用到经济生活及函数综合的递进式应用场景，搭建求解析式、图象分析等关键技能的学习支架，帮助学生构建完整知识脉络。 资料以跨学科实例为特色，如物理杠杆原理、经济销售数据等，引导学生用数学眼光观察现实世界，培养抽象能力与模型意识。典例与分层练习结合，课中助力教师引导学生用数学思维推理解决问题，课后综合题帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达实际问题的能力。

第02讲 实际问题与反比例函数 因为反比例函数的比例关系和物理中的几个公式一样，所以在出反比例函数的应用时，常和物理中的这几个公式结合， 题型主要有： ①根据题意求解析式； ②根据图象求对应点的坐标等 【题型1 行程与工程应用】 【典例1】（25-26九年级上·江苏南通·期中）政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)若这个运输公司每天可运送土石方，公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】(1) (2)公司完成全部运输任务需要9天 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意并列出函数解析式是解决本题的关键． （1）根据题意即可列函数解析式； （2）根据“这个运输公司每天可运送土石方”进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∴； （2）解：∵这个运输公司每天可运送土石方， ∴ 解得， 答：公司完成全部运输任务需要9天． 1.（25-26九年级上·广西桂林·期中）如今太阳能进入了千家万户，一个容量为240升的太阳能热水器，每次排完水后才能再次蓄水，若设在蓄满水后能连续排水的时间是y分钟，每分钟的排水量为x升． (1)写出y与x的函数关系式； (2)若该热水器连续排水的最长时间是1个小时，求自变量x 的取值范围； (3)若每分钟排水5升，则该热水器连续排水的时间是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)该热水器连续排水的时间是48分钟． 【分析】此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，根据题意准确地列式是解题的关键． （1）根据工作时间乘以每分钟的排水量等于总容量，可得出y与x的关系式． （2）根据反比例函数的性质可得在每一个象限内，y随x的增大而减小，即可． （3）当时，求得y的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：y与x的函数关系式为； （2）解：∵热水器连续工作最长时间是1小时， ∴， ∵函数在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∴当时，x最小，最小值为， 解得：， ∴自变量的取值范围为； （3）解：当时，， ∴该热水器连续排水的时间是48分钟． 2.．（2025九年级上·北京·专题练习）某蓄水池的排水管每小时排水，6小时可将满池水全部排空． (1)求蓄水池的容积． (2)如果增加排水管，使每小时排水量达到Q（），那么将满池水排空所需时间t（）将如何变化，写出t与Q之间的函数关系式． (3)如果计划在5小时内将满池水排空，那么每小时排水量至少是多少？ 【答案】(1)蓄水池的容积为 (2)排水时间t与排水速度Q成反比， (3)每小时排水量至少是 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，一元一次不等式组的应用． （1）根据“容积排水速度时间”计算即可； （2）根据总容积V是定值可知排水时间t与排水速度Q成反比；根据“时间蓄水总量平均排水量”即可求出函数关系式； （3）根据和解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵某蓄水池的排水管每小时排水，小时可将满池水全部排空， ∴蓄水池的容积； （2）解：∵总容积V是定值， ∴排水时间t与排水速度Q成反比． 函数关系式为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴每小时排水量至少是． 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 【答案】(1)， (2)当它所受的牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时 (3)若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合函数图像分析出相关信息是解题的关键． （1）函数图像过点， 将点的坐标代入函数关系式，即可求得功率，进而写出函数解析式； （2）将代入函数解析式，即可求出速度v的大小； （3）汽车的速度不超过30米/秒，即，结合函数解析式，解不等式即可求出F的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，反比例函数表达式为， 把代入，得， （瓦）， ∴． （2）解：当牛时， （米/秒）（千米/时）， 即当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时． （3）解：由，得． 所以，若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛． 【题型2 物理学中的应用】 【典例2】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为，设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）    (1)求y关于x的函数表达式； (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【答案】(1) (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键． （1）根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； （2）将代入，即可得出y的值． 【详解】（1）解：由题意，得， 则， ∴y关于x的函数解析式为． （2）解：由（1）得， ∴当时，， 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力． 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．小明利用一个最大电阻为欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为欧姆时，电流为安培． (1)求电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若，求电流的变化范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键． （1）设函数解析式为，把当电阻为欧姆时，电流为安培，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案． 【详解】（1）解：设电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式为, 当电阻为欧姆时，电流为安培， ， 电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式为； （2）当时，，当时，， 当时，电流的变化范围． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当气球的体积为时，气球内气体的气压是多少？ 【答案】(1) (2)当气球的体积为时，气球内气体的气压是 【分析】此题考查实际问题与反比例函数． （1）设p与V的函数关系式为，把代入，然后即可求解； （2）把代入，然后即可求解； 【详解】（1）解：设p与V的函数关系式为， 由题可得：把代入， 则， 解得， 函数关系式为． （2）解：当时，把代入， ． 当气球的体积为时，气球内气体的气压是． 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），它们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并穿上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．完成下列问题： (1)求关于的函数关系式； (2)在右侧任意移动弹簧秤的位置，但使木杆始终保持水平静止状态，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，表示弹簧秤与中点的距离，最大值是， ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 【题型3 经济学的应用】 【典例3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为3元，在销售过程中发现，日销售量（单位：）随售价（单位：元）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元） 3 4 5 6 … 日销量 400 300 240 200 … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到800元？说明理由． 【答案】(1)反比例函数关系； (2)能达到；理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，分式方程的实际应用，正确的列出函数关系式和分式方程，是解题的关键： （1）观察表格，可知售价与日销量的乘积为定值1200，则与之间为反比例函数关系，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：观察表格，可知售价与日销量的乘积为定值1200，则与之间为反比例函数关系． 设与之间的函数表达式为， 当时， ． 把其余各组对应值代入上式均成立，故与之间的函数表达式为； （2）能达到800元． 理由：依题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，并且符合题意， 答：当售价为9元/千克时，超市销售草莓的日利润可达到800元． 1．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值． （1）设反比例函数的解析式为，将点P代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中求出的解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知反比例函数经过点P， 即：， 所以反比例函数的解析式为； （2）解：令得， 答：日销售单价为15元时，日销售量为． 2．（2024九年级上·北京·专题练习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)； (2)当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润 【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，属于中等难度的题，解答此类题目的关键是仔细理解题意． （1）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可； （2）首先要知道纯利润=（销售单价日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据题目的售价最高不超过10元/张，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x． 【详解】（1）解：反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为； （2）∵， 又∵， ∴当，W最大， 故当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润． 3．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图是某种商品日销售量（万件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前20天其日销售量与上市的天数之间成正比（段）；销售20天后进行了大量的广告宣传，日销售量直线上升（段）；当广告停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第20天的日销售量为2万件，第40天的日销售量为10万件．    (1)求与之间的函数表达式． (2)广告合同约定，当日销售量不低于8万件，并且持续天数不少于15天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，请通过计算说明本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”． 【答案】(1) (2)本次广告策划，设计师能拿到“特殊贡献奖”，见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，写出函数关系式是解题的关键． （1）按照的取值范围，分别求出对应函数关系式，最终写成分段函数的形式即可； （2）分别求出时对应的值，求出两个的值取正整数的个数并与15比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设段的函数表达式为． 把代入，得，解得． 段的函数表达式为． 设段的函数表达式为． 把，分别代入，得 解得 段的函数表达式为． 设段的函数表达式为． 把代入，得，解得． 段的函数表达式为． 与之间的函数表达式为 （2）解：由图，可知日销售量不低于8万件在20天以后． 当时，，解得． 在段上从第35天开始日销售量不低于8万件． 当时，，解得． 在段上从第51天开始日销售量低于8万件． 日销售量不低于8万件的天数为（天）． ， 本次广告策划，设计师能拿到“特殊贡献奖”． 【题型4 生活中其他的应用】 【典例4】（25-26九年级上·山东济宁·期中）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数与上课时间（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10分钟内注意力指数与时间的关系式为．10分钟以后注意力指数是时间的反比例函数． (1)求10分钟以后与的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，反比例函数和一次函数的应用，弄清题意是解题的关键； （1）先将代入，得，进而代入求出反比例函数关系式； （2）分别将代入两个关系式，即可求出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得， 设10分钟以后与的函数关系式为 将，代入，得， ∴反比例函数关系式为． （2）解：由（1）得反比例函数关系式为． 当时，，解得； 当时，，解得． ∴为了保证教学效果，本节课应该在时间段讲解这道题． 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即，即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温等于的时间加热过程中水温等于的时间即为加热一次水温不低于的时长，其中降温过程中水温等于的时间利用（2）中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而刘老师在一节课上讲解一道数学综合题需要9分钟，则这节课刘老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【答案】(1) (2)这节课刘老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得，当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于30的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要9分钟即可得到答案． 本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键． 【详解】（1）解：图象经过点， 设， 则，解得， ； 当时，， ， ， 当时，图象是线段AB，则该段函数是一次函数，点， 设， 则， 解得， ； 当时，， ， （2）当时，， ， 当时，， ， 注意力指标不低于30的时间为分钟， ， 这节课刘老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受． 3．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）为了预防流感，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒．已知一瓶药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的正比例函数：；药物释放完毕后，是的反比例函数，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求药物释放完毕后，与的反比例函数表达式； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时，消毒有效，那么倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，有效消毒时间是多少分钟? 【答案】(1) (2)31.5分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一次函数（反比例）函数图象上点的坐标特征． （1）设药物释放完毕后，与的反比例函数表达式为，将代入一次函数解析式求出a的值，再将代入，求出k的值即可得出结论； （2）将分别代入两函数关系式中求出值，二者做差即可得出结论． 【详解】（1）解：设药物释放完毕后，与的反比例函数表达式为． 将代入， 得， 解得， 点坐标为， 将代入， 得， 解得：， 药物释放完毕后，与的反比例函数表达式； （2）解：当时，； 当时，． （分钟）． 答：有效消毒时间是31.5分钟． 【题型5 反比例函数与一次函数综合】 【典例5】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合运用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先把点的横坐标为1代入，求出，再用待定系数法求出的值； （2）由可得是以为底，到距离为高的三角形面积，故把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点，对应直线间距离都与到距离相等，分别联立方程组，由此可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，且点在函数图象上， ∴， 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵直线与轴交点为，而， ∴把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点， 即，解得：，（舍去） 或，解得：，（舍去） ∴点的坐标为或． 1．（2025·河南商丘·二模）已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 【答案】(1)一次函数解析式为：；反比例函数表达式； (2)或 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式和面积问题，数形结合和准确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，得到点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出直线与轴交点的坐标为，得到，根据和面积相等列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 将点代入反比例函数表达式得，则 将点、的坐标代入一次函数解析式得到 解得 ∴一次函数解析式为：； （2）当时，，解得，， ∴直线与轴交点的坐标为，故； 或 点坐标为或 2．（2025·四川达州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点． (1)求b的值和点B的坐标； (2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标； (3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）过点P作轴于点E，设点P的坐标为，则，根据，得到关于m的方程，即可； （3）设点D的坐标为，点Q的坐标为，分三种情况：若以为对角线时，若以为对角线时，若以为对角线时，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，    设点P的坐标为，则， 对于， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∵，的面积等于10， ∴， 解得：（舍去）， ∴点P的坐标为； （3）解：设点D的坐标为，点Q的坐标为， 若以为对角线时， ，解得：， ∴点Q的坐标为；此时，共线，经检验不符合题意； 若以为对角线时， ，解得：，经检验符合题意； ∴点Q的坐标为； 若以为对角线时， ，解得：，经检验符合题意； ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质，一元二次方程的解法，中点坐标公式的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 一、单选题 1．（25-26九年级上·广西贺州·期中）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（为常数，），若某乐器的弦长l为米，振动频率f为200赫兹，则k的值为（   ） A．160 B．170 C．180 D．190 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确计算是解题关键． 用待定系数法求出的值即可． 【详解】解： ，且，， ∴， ∴， 故的值为180． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．由图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为100字/分钟时，录入时间为15分钟 C．小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字 D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的解析式求解及利用函数性质分析实际问题是解题的关键． 本题围绕反比例函数在实际问题中的应用展开，需先确定反比例函数解析式，再结合各选项的条件分别进行分析计算． 【详解】解：设反比例函数解析式为． ∵图象经过点， ∴， 解得，即，文章总字数为字． 由，当，时，总字数为字，故A正确． 当时，，故B正确． 从到共分钟，即，则，解得，故小丽每分钟至少应录入字，C错误． 原计划速度，则原计划时间分钟； 实际速度，实际时间分钟； 提前时间为分钟，故D正确． 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握矩形面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和， ∴， ∴函数解析式为：， ∴与之间的函数图象大致是： 故选：． 4．（25-26九年级上·广西贺州·阶段练习）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离它有（）处挂一个重（）的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据得到，求出当时，，再结合反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴F随L的增大而减小， ∴当弹簧秤的示数不超过，的取值范围是， 故选：D． 5．（23-24九年级下·云南大理·阶段练习）若蓄电池的电压为定值，则电流（单位:A）与电阻（，单位：）是反比例函数关系，当时，．下列结论不正确的是（   ） A．蓄电池的电压为36伏 B．电流随电阻的增大而减小 C．当时， D．该函数图象分别位于第一、第三象限 【答案】D 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，设，根据“当时，”可求出，据此即可进行判断． 【详解】解：设， ∵当时，． ∴ ∴ 蓄电池的电压为伏，故A正确； 电流随电阻的增大而减小，故B正确； 当时，，故C正确； ∵， ∴该函数图象在第一象限，故D错误； 故选：D 二、填空题 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流是电阻的反比例函数，其图像如图所示．当电流时， Ω． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数的应用，从实际问题中整理出反比例函数模型是解决此类问题的关键． 用点M的坐标求出反比例函数的解析式，再把电流代入求出电阻，即可作答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴． 则 当时，电阻， 故答案为：12 7．（2025·湖南怀化·一模）兰州牛肉拉面是兰州的特色美食，已知当拉面的体积一定时，拉面的横截面积与拉面的长度成反比例关系，且当时，．则与()的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得出 ，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：因为与成反比例关系，所以有 ，即 ， 解得．故 ． 故答案为： 8．（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知一块蓄电池的电压为定值，电流与电阻之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键． 直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可． 【详解】设， 把代入得：， 解得，， ∴电流I关于电阻R的函数解析式为． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·福建泉州·期中）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得点，设，求出，然后通过题意当时，，从而得出整个冷却塔高度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∵，， ∴点， 设， ∴， ∴， ∵上口宽， ∴的横坐标为， ∴当时，， ∴整个冷却塔高度为， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化，根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它近似反映波长λ与频率f的函数关系．若，则电磁波的波长 m． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据表格中的数据可得波长与频率成反比例函数关系，则可设，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把代入解析式中求出的值，即可得到答案． 【详解】解：由表格中的数据可知频率与波长的乘积一定，即波长与频率成反比例函数关系， 设波长λ关于频率f的函数解析式为， 把代入上式中得：， 解得：， ； 当时，， ∴当时，此电磁波的波长λ为． 故答案为：5． 三、解答题 11．（25-26九年级上·福建福州·期中）天天同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化，已知波长与频率之间存在一定的关系，下表是它们的部分对应值，用式子表示波长与频率的关系，并求当时，此电磁波的波长？ 频率 波长 【答案】波长与频率的关系为；当时，波长为 【分析】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，由波长与频率的乘积一定即可得出结论，再将代入所得的关系式进行计算即可．利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：由表格可以发现：， ∴波长与频率的关系为， 当时，， ∴波长与频率的关系为；当时，波长为． 12．（25-26九年级上·广西贺州·期中）金秋收获季，芳林甘蔗喜获丰收，工人们平均每天砍甘蔗的速度为y（吨/天）与砍完这片甘蔗地所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图： (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果工人们每天砍甘蔗40吨，那么这片甘蔗要砍多少天？ 【答案】(1) (2)天 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把代入函数解析式求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 依题意得：， ∴与的函数解析式为； （2）解：把代入得：， 答：这片甘蔗要砍10天． 13．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升 ，加热到 时，停止加热，水温开始下降．此时水温 是通电时间的反比例函数．若在水温为 时开始加热，水温 与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)在水温下降的过程中，求水温 关于通电时间的函数表达式； (2)若水温从开始加热至100，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2)时间为 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出水升温到时的时间，以及水降温到时的时间，作差即可． 【详解】（1）解：设从水温为时开始加热，经过 分钟加热到 ， 则，解得， 水温下降过程中，设 与的函数关系式为 ， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中， 与的函数关系式是 ； （2）设从水温为时开始加热，经过分钟加热到， 则 ，解得： ， 在降温过程中，水温为时， ，解得， ， 在这一过程中，水温不低于的时间为． 14．（25-26九年级上·广东深圳·期中）实验数据显示：一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中的酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画．如图所示，并且通过测试发现酒后半小时和1.5小时的酒精含量均为150毫克/百毫升，酒后5小时为45毫克/百毫升． (1)求二次函数和反比例函数解析式； (2)喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ (3)按国家规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾驶上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2)当时，血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升） (3)第二天早上能驾车去上班，理由见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键． （1）根据题意时，，时，，时，，利用待定系数法求解即可； （2）利用二次函数的性质即可解答； （3）求出时，y的值，进而得出能否驾车去上班． 【详解】（1）解：根据题意：酒后半小时和1.5小时的酒精含量均为150毫克/百毫升， 即当时，，时，， ∵1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数刻画， 即当时，， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； ∵酒后5小时为45毫克/百毫升． 1.5小时以后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画， 即当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵二次函数解析式为， ∴， ∴当时，血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）； （3）解：第二天早上能驾车去上班，理由如下： ∵晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上，一共12个小时， ∴将代入， 则， 答：第二天早上能驾车去上班． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 实际问题与反比例函数 因为反比例函数的比例关系和物理中的几个公式一样，所以在出反比例函数的应用时，常和物理中的这几个公式结合， 题型主要有： ①根据题意求解析式； ②根据图象求对应点的坐标等 【题型1 行程与工程应用】 【典例1】（25-26九年级上·江苏南通·期中）政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)若这个运输公司每天可运送土石方，公司完成全部运输任务需要多长时间？ 1.（25-26九年级上·广西桂林·期中）如今太阳能进入了千家万户，一个容量为240升的太阳能热水器，每次排完水后才能再次蓄水，若设在蓄满水后能连续排水的时间是y分钟，每分钟的排水量为x升． (1)写出y与x的函数关系式； (2)若该热水器连续排水的最长时间是1个小时，求自变量x 的取值范围； (3)若每分钟排水5升，则该热水器连续排水的时间是多少？ 2.．（2025九年级上·北京·专题练习）某蓄水池的排水管每小时排水，6小时可将满池水全部排空． (1)求蓄水池的容积． (2)如果增加排水管，使每小时排水量达到Q（），那么将满池水排空所需时间t（）将如何变化，写出t与Q之间的函数关系式． (3)如果计划在5小时内将满池水排空，那么每小时排水量至少是多少？ 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 【题型2 物理学中的应用】 【典例2】（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为，设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）    (1)求y关于x的函数表达式； (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ 1．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．小明利用一个最大电阻为欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为欧姆时，电流为安培． (1)求电流（安培）与电阻（欧姆）的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若，求电流的变化范围． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当气球的体积为时，气球内气体的气压是多少？ 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），它们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并穿上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．完成下列问题： (1)求关于的函数关系式； (2)在右侧任意移动弹簧秤的位置，但使木杆始终保持水平静止状态，求的最小值． 【题型3 经济学的应用】 【典例3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为3元，在销售过程中发现，日销售量（单位：）随售价（单位：元）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元） 3 4 5 6 … 日销量 400 300 240 200 … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到800元？说明理由． 1．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 2．（2024九年级上·北京·专题练习）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 3．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图是某种商品日销售量（万件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前20天其日销售量与上市的天数之间成正比（段）；销售20天后进行了大量的广告宣传，日销售量直线上升（段）；当广告停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第20天的日销售量为2万件，第40天的日销售量为10万件．    (1)求与之间的函数表达式． (2)广告合同约定，当日销售量不低于8万件，并且持续天数不少于15天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，请通过计算说明本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”． 【题型4 生活中其他的应用】 【典例4】（25-26九年级上·山东济宁·期中）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数与上课时间（分钟）的变化如图所示．上课开始时注意力指数为30，前10分钟内注意力指数与时间的关系式为．10分钟以后注意力指数是时间的反比例函数． (1)求10分钟以后与的函数关系式； (2)如果讲解一道较难的数学题，要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，本节课应该在哪个时间段讲解这道题？ 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 2．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而刘老师在一节课上讲解一道数学综合题需要9分钟，则这节课刘老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 3．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）为了预防流感，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒．已知一瓶药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的正比例函数：；药物释放完毕后，是的反比例函数，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求药物释放完毕后，与的反比例函数表达式； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时，消毒有效，那么倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，有效消毒时间是多少分钟? 【题型5 反比例函数与一次函数综合】 【典例5】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 1．（2025·河南商丘·二模）已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 2．（2025·四川达州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点轴交于点． (1)求b的值和点B的坐标； (2)如果点是该反比例函数图象上一点，且点的横坐标小于，连接、，当的面积等于10时，求点的坐标； (3)如果点在该反比例函数的图象上，点在轴上，当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 一、单选题 1．（25-26九年级上·广西贺州·期中）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（为常数，），若某乐器的弦长l为米，振动频率f为200赫兹，则k的值为（   ） A．160 B．170 C．180 D．190 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．由图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．这篇文章一共1500字 B．当小丽的录字速度为100字/分钟时，录入时间为15分钟 C．小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字 D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务 3．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A．B．C． D． 4．（25-26九年级上·广西贺州·阶段练习）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离它有（）处挂一个重（）的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·云南大理·阶段练习）若蓄电池的电压为定值，则电流（单位:A）与电阻（，单位：）是反比例函数关系，当时，．下列结论不正确的是（   ） A．蓄电池的电压为36伏 B．电流随电阻的增大而减小 C．当时， D．该函数图象分别位于第一、第三象限 二、填空题 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流是电阻的反比例函数，其图像如图所示．当电流时， Ω． 7．（2025·湖南怀化·一模）兰州牛肉拉面是兰州的特色美食，已知当拉面的体积一定时，拉面的横截面积与拉面的长度成反比例关系，且当时，．则与()的函数关系式为 ． 8．（24-25九年级上·江西赣州·期末）已知一块蓄电池的电压为定值，电流与电阻之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为 ． 9．（24-25八年级下·福建泉州·期中）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 10．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化，根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它近似反映波长λ与频率f的函数关系．若，则电磁波的波长 m． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 三、解答题 11．（25-26九年级上·福建福州·期中）天天同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化，已知波长与频率之间存在一定的关系，下表是它们的部分对应值，用式子表示波长与频率的关系，并求当时，此电磁波的波长？ 频率 波长 12．（25-26九年级上·广西贺州·期中）金秋收获季，芳林甘蔗喜获丰收，工人们平均每天砍甘蔗的速度为y（吨/天）与砍完这片甘蔗地所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图： (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果工人们每天砍甘蔗40吨，那么这片甘蔗要砍多少天？ 13．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升 ，加热到 时，停止加热，水温开始下降．此时水温 是通电时间的反比例函数．若在水温为 时开始加热，水温 与通电时间之间的函数关系如图所示． (1)在水温下降的过程中，求水温 关于通电时间的函数表达式； (2)若水温从开始加热至100，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？ 14．（25-26九年级上·广东深圳·期中）实验数据显示：一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中的酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数刻画．如图所示，并且通过测试发现酒后半小时和1.5小时的酒精含量均为150毫克/百毫升，酒后5小时为45毫克/百毫升． (1)求二次函数和反比例函数解析式； (2)喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ (3)按国家规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾驶上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $