26.2实际问题与反比例函数（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 2025-2026学年人教版九年级数学下册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 26.2实际问题与反比例函数（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 利用反比例函数解决实际问题 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①审：审清题意，找出题目中的常量、变量以及他们之间的关系。 ②设：根据常量与变量之间的关系设出函数解析式（反比例函数）。 ③列：根据题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。 ④写：写出反比例函数解析式，并注意函数解析式自变量的取值范围。 ⑤解：用反比例函数的图象和性质解决实际问题。 题型1工程问题 例1．某工程队接到一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：）的反比例函数，其图象经过点．已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好天完成此项任务，则需要几台这样的挖掘机？ 【变式1-1】．某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． (1)工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 【变式1-2】．某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【变式1-3】．某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 题型2 行程问题 例2．A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． (1)①写出y与x的函数关系式； ②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ (2)若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值． 【变式2-1】．12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录．请根据以上知识解决下列问题：已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． 请根据以上知识解决下列问题： (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶，通过该路段的时间为，求的值． 【变式2-2】．五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．    (1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式． (2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？ 【变式2-3】．丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表： （千米/小时） 50 60 75 80 （小时） 6 5 4 3.75 (1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； (3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由． 题型3经济生活问题 例3．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．水温从升高到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为 【变式3-1】．如图是某种商品日销售量（件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前30天由于进行了大量的宣传，其日销售量与上市的天数之间成正比；当宣传停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第30天的日销售量为120件． (1)求与之间的函数表达式； (2)求第50天的日销售量； (3)宣传合同约定，当日销售量不低于100件，并且持续天数不少于11天时，宣传小组就可以得到销售宣传提成，请通过计算说明宣传小组能否拿到合同约定的提成． 【变式3-2】．喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（）与时间x（）成一次函数关系；停止加热过了1分半钟后，水壶中水的温度y（）与时间x（）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． (1)分别写出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； (2)从水壶中的水烧开（）降到就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 【变式3-3】．合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为3元，在销售过程中发现，日销售量（单位：）随售价（单位：元）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元） 3 4 5 6 … 日销量 400 300 240 200 … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到800元？说明理由． 知识点2 利用反比例函数解决几何图形问题 利用反比例函数解决几何图形问题： ①在矩形中，若面积一定，则长与宽成反比例函数关系。 ②在三角形中，若面积一定，则底与高成反比例函数关系。 ③在柱体中，若体积一定，则底面积与高成反比例函数关系。 题型4 平面图形问题 例4．图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． (1)求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若栅栏总长度为122米，求的长； (3)若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 【变式4-1】．在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为． (1)设菱形的两条对角线的长分别为，，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． (2)若其中一个菱形的一条对角线长为，求这个菱形的边长． 【变式4-2】．如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，． (1)求与之间的函数关系． (2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由． 【变式4-3】．生活中处处充满着趣味数学，如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系，其中段可以看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高米，宽1米．其中点A，E，D均在坐标轴上，且轴．      (1)求反比例函数的表达式； (2)求出口C点到的距离的长； (3)若滑梯上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于3米，则Q到的距离至少是多少米？ 题型5 立体图形问题 例5．某蓄水池的排水管每小时排水，6小时可将满池水全部排空． (1)求蓄水池的容积． (2)如果增加排水管，使每小时排水量达到Q（），那么将满池水排空所需时间t（）将如何变化，写出t与Q之间的函数关系式． (3)如果计划在5小时内将满池水排空，那么每小时排水量至少是多少？ 【变式5-1】．燃气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形燃气储存室． (1)储存室的底面积与其深度之间的函数表达式是_______________． (2)公司决定把储存室的底面积S定为，施工队施工时应该向下掘进多少米？ (3)当施工队按（2）中的计划掘进到地下时，碰上了坚硬的岩石．为了节约资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为，则储存室的底面积应该改为多少才能满足需要？ 【变式5-2】．小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 【变式5-3】．某蓄水池的排水管每小时排水，可将满池水全部排空． （1）蓄水池的容积是多少？ （2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（单位：），那么将满池水排空所需的时间t（单位：h）将如何变化？ （3）写出t关于Q的函数解析式． 知识点3 利用反比例函数解决物理问题 利用反比例函数解决物理问题： ①做功型问题：当功W一定时，力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例。即。 ②压强型问题：当压力F一定时，压强p与受力面积s成反比例。即。 ③电流型问题：在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即。 ④杠杆型问题：当阻力与阻力臂的乘积k一定且不等于0时，动力F与动力臂l成反比例。即 题型6物理学科应用问题 例6．已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间成反比例关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 【变式6-1】．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【变式6-2】．图①是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数（单位：V）换算为酒精气体浓度（单位：），设，电压表显示的读数与（单位：之间的反比例函数图象如图②所示，与酒精气体浓度的关系式为．当电压表示数为4.5V时，求酒精气体的浓度． 【变式6-3】．如图，小明想要用撬棍撬动一块石头，已知阻力为，阻力臂为．.设动力为，动力臂为（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）． (1)求关于的函数解析式； (2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？ 图形7 反比例函数与二次函数、一次函数的综合性实际问题 例7．某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率（%） 40 60 70 76 82 … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现： 热身运动合适的心率范围是最大心率的； 减脂运动合适的心率范围是最大心率的； 有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的； 无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的，从健康角度考虑，相对心率不应超过． 根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案． 【变式7-1】．某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至月）每月所需的工料总量均为件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且为整数）之间满足的函数关系如表： 月份x（月） 2 3 4 5 6 市场采购工料量（吨） 7至月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示．2至6月，该工厂每件工料的市场成本（元）与月份x之间满足函数关系式：，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为元/件． (1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出与x之间的函数关系式； (2)请你求出该工厂去年（2月至月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用． 【变式7-2】．综合与实践：探索某款节能冰箱的日耗电量． 素材1：某款冰箱，耗电功率为0.16千瓦．当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环． 素材2：冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示： 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 链接：冰箱每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 任务1：求时，关于的函数表达式，并求出的值； 任务2：该冰箱的广告中声称：每天耗电不超一度电．请问该冰箱的广告是否符合实际？（忽略特殊情况的耗电量）． 【变式7-3】．【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 题型8反比例函数与几何图形的综合问题 例8．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？如果人和木板对湿地的压力合计，(备注：不回答题干的问题)，那么： (1)直接写出p与S之间的函数关系式？ (2)当木板面积为时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过，木板面积至少要多大？ 【变式8-1】．已知矩形A的长、宽分别是2和1，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的2倍？ 小明从“图形”的角度，利用函数图像解决了上述问题．小明论证的过程开始是这样的：如果用x、y分别表示矩形B的长和宽，那么矩形B满足．在如图所示的平面直角坐标系中，画出矩形B满足的两个函数表达式的图像，并按照小明的论证思路完成后面的论证过程． 【变式8-2】．如图，有一块含30°角的直角三角板OAB的直角边BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把这两块三角板放置在平面直角坐标系中，且OB＝3. (1)若某反比例函数的图象的一个分支恰好经过点A，求这个反比例函数的解析式； (2)若把含30°角的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好落在x轴上，点A落在点A′处，试求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 【变式8-3】．（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)若点是直角边上的一个动点，当时，求点的坐标； (3)已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型9 跨学科综合问题 例9．在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 a 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 b … (1) ， ； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②写出函数（）的一条性质 ． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ． 【变式9-1】．杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），它们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并穿上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．完成下列问题： (1)求关于的函数关系式； (2)在右侧任意移动弹簧秤的位置，但使木杆始终保持水平静止状态，求的最小值． 【变式9-2】．实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【变式9-3】．目前中学生视力下降严重，某公司开发了一款护眼贴，自上市以来，非常畅销．公司研究发现，每副护眼贴的成本（元）和销售的数量（副）是一次函数、二次函数和反比例函数中的一种函数关系，如下表格所示．当销售的护眼贴达到或超过副时，每副护眼贴的成本不再变化．预测下一个月销售量将达到或超过副，并且发现每副按元出售时，能销售副，单价每提高元，销售量就会下降副． 销售件数（副） 每件成本（元） (1)请你求出与的函数关系式； (2)设下个月销售获得总利润是元，设下个月销售单价是每副元，请你写出与间的函数关系式；求出下个月的最大值． 例10．越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东城的小李决定用骑行代替开车去梦想小镇．当路程一定时，小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间（单位：）成反比例关系．根据以往骑行两地的经验，的一些对应值如下表： 2 1.5 1.2 1 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，用式子表示小李骑行的平均速度与骑行时间的关系． (2)安全起见，骑行速度一般不超过．小李上午8：30从家出发，请判断他能否在上午9：10之前到达梦想小镇，并说明理由． 【变式10-1】．在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【变式10-2】．综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为 （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为 （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算． 【变式10-3】．如图1所示．在面积为6的四边形中，对角线．设，请按要求作答． (1)求与之间的函数解析式，及对应的的取值范围； (2)图2为单位长度为1的的平面直角网格坐标系，其中每个小正方形的顶点称为格点，在图2中描绘出与的函数图象； (3)若函数图象上最上方的格点为，最下方的格点为，直接写出点到线段的距离． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备．其中用5000元购买单价是元/台的机器台，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强p与受力面积S之间的函数关系式，该函数图象位于   （   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为（　　） A． B． C． D． 4．电压一定时，经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 5．甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（单位：h）与平均行驶速度x（单位：）之间的函数图象大致是（    ） A． B．C． D． 6．如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到0.5米，则近视眼镜减少的度数为（    ） A．500度 B．300度 C．200度 D．100度 7．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（   ） A．最大电流是 B．最大电流是 C．最小电流是 D．最小电流是 8．某种玻璃原材料需在的环境下保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃的温度会逐渐降低至室温()，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且加工玻璃时的温度要求不低于．玻璃的温度(℃)与开始加热后经过的时间)的函数图象如图所示，降温阶段的与成反比例函数关系．根据图象信息，下列判断不正确的是(    ) A．玻璃加热的速度为 B．玻璃的温度下降时，与的函数表达式为 C．能够对玻璃进行加工的时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．要制作一个面积为的矩形广告牌，其长与宽的函数关系是 ；若广告牌的长要求大于，则宽应满足 ． 10．光速是自然界中最快的速度，在不同的介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示： n 1 2 … v/（亿米/秒） 3 2 … 若普通玻璃的折射率为，则光在普通玻璃中的传播速度为 亿米/秒． 11．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流是电阻的反比例函数，其图像如图所示．当电流时， Ω． 12．某公司从2021年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表： 年度 投入技改资金（万元） 产品成本（万元/件） 2021 2.5 14.4 2022 3 12 2023 4 9 2024 4.5 8 按照这种变化规律，若2025年已投入资金5万元，预计2025年每件产品成本是 万元 13．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 三、解答题(每小题8分，共56分) 14．学校课外生物兴趣小组打算自己动手用旧围栏在一个长为的墙边围出一个面积为10的长方形饲养场，饲养场平行于墙的长为，垂直于墙的长为．求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．    15．如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．    (1)求关于的函数表达式． (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 16．某探险队在野外探险时遇到了一片湿地，为了安全通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．若人和木板对湿地面的压力F一定时，木板对湿地的压强是木板面积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求出p与S的函数表达式； (2)若这片湿地面能承受的压强不超过，那么他们所铺的木板面积至少为多少才能安全通过． 17．如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)y与x之间的函数表达式为____________； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 18．货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时x吨，设卸货的时间是y小时， (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若卸货的速度是每小时40吨，求在乙港卸完全部货物所需的时间． 19．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 20．【综合与实践】生活中的函数． (1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． (2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事． 北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量(毫米） 销售单价（元） 47 45 44 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： ①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． ②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ ③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 26.2实际问题与反比例函数（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 利用反比例函数解决实际问题 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： ①审：审清题意，找出题目中的常量、变量以及他们之间的关系。 ②设：根据常量与变量之间的关系设出函数解析式（反比例函数）。 ③列：根据题目中的已知条件列出方程，求出待定系数。 ④写：写出反比例函数解析式，并注意函数解析式自变量的取值范围。 ⑤解：用反比例函数的图象和性质解决实际问题。 题型1工程问题 例1．某工程队接到一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：）的反比例函数，其图象经过点．已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好天完成此项任务，则需要几台这样的挖掘机？ 【答案】需要台这样的挖掘机 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，求出反比例函数的解析式．设与的函数关系式为，将点代入求出该函数解析式，令，求出，即可求解． 【详解】解：设与的函数关系式为， 点在该函数图象上， ， ， 与的函数关系式为， 当时，， ， （台）． 答：需要台这样的挖掘机． 【变式1-1】．某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． (1)工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 【答案】(1) (2)提前10天 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，正确列出反比例函数关系式是解题的关键． （1）根据工作效率=工作量÷工作时间，列出关系式即可； （2）将和代入（1）中求得的解析式，求出t值，作差后即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， （2）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：， ∵(天)， ∴工程队每天修40米比每天修30米能提前10天完成该项工程． 【变式1-2】．某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【答案】(1) (2)乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务 【分析】此题主要考查了反比例函数和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式． （1）根据工作量时间土石方总量可得，进而可得函数解析式，再根据，即可解答； （2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车，根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意：解：， ，， 随的增大而减小，当时，有最小值， ； （2）解：设乙车队需要派出x辆同样的卡车才能按时完成任务． 则原计划需要的天数为： 解得， 答：乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务． 【变式1-3】．某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法分别得出一次函数以及反比例函数解析式即可； （2）当代入，求出的值，进而得出答案； （3）当代入，求出的值，进而得出答案； （4）利用分别得出的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，由题意设，将代入得： ， 故在扩建改造期间的函数关系式为：； 当时，当时，，则； 即扩建改造工程完工后与之间的函数关系式为：； （2）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， ∴扩建改造工程完工后从第16个月开始，该企业月利润才能不低于190万元； （3）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， 则， ∴扩建改造工程完工后经过9个月，该企业月利润才能不低于174万元； （4）对于，当时，， 对于，当时，， 所以资金紧张期的有第3、4、5、6、7、8、9这7个月，该厂资金紧张期共有7个月． 题型2 行程问题 例2．A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． (1)①写出y与x的函数关系式； ②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ (2)若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值． 【答案】(1)①；② (2)70 【分析】本题考查反比例函数的应用，分式方程的应用，从实际问题中抽象出函数解析式是解题的关键． （1）①根据时间路程除以速度列出函数解析式即可； ②把代入反比例函数解析式，求出y的值，根据反比例函数性质得出答案即可； （2）根据两段路程共用，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得：， 答：y与x的函数表达式为； ②把代入得， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵汽车的平均速度不超过， ∴汽车从A地到B地至少需要； （2）解：余下路程的行驶平均速度是，根据题意得： ， 解得：， 经检验是所列方程的解， ∴的值为70． 【变式2-1】．12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录．请根据以上知识解决下列问题：已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． 请根据以上知识解决下列问题： (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶，通过该路段的时间为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据路程速度时间，可求出与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到的范围； （2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，则t随v的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴的范围为； （2）解：前用时， 剩余，用时， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 【变式2-2】．五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．    (1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式． (2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？ 【答案】(1) (2)不加油不能到达洞头D处，还需加油升以上 【分析】（1）利用公式：路程总容积平均耗油量，即可得的函数关系式； （2）求出到达温州市区A处所需油量与从A处到达洞头D处所需油量之和，再和55升比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）从杭州到温州 A 处，一共耗油升， 从 处： ， 一共耗油升， ∴不加油不能到达洞头D处，还需：升 答：不加油不能到达洞头D处，还需加油 5升 以上． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解平均耗油量与行驶路程的关系． 【变式2-3】．丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表： （千米/小时） 50 60 75 80 （小时） 6 5 4 3.75 (1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； (3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由． 【答案】(1)300 (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据即可得s的值； （2）根据表格中数据，可知v是t的反比例函数，设，利用待定系数法求出k即可； （3）根据时间t = 2.5，求出速度，即可判断． 【详解】（1）解：根据表格中的数据，∵ ∴s = 300， ∴该公司到杭州市场的路程为300千米； 故答案为：300； （2）解：由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，设， ∵v=75时，t= 4， ∴k=75×4=300， ∴； （3）解：不能． 理由如下：∵10-7.5=2.5（小时）， ∴t=2.5时，， ∵120＞100， ∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场． 【点睛】本题是反比例函数的应用题，考查了反比例函数的待定系数法求解析式及应用函数解析式解决实际问题，建立反比例函数模型是解题的关键． 题型3经济生活问题 例3．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A．水温从升高到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目—浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：A、∵开机加热时水温每分钟上升， ∴水温从升高到，需要的时间为，故A选项不符合题意． B、由题意可得点在反比例函数的图象上， 设反比例函数的解析式为， 将点代入，可得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意． C、令，则， ∴， 即饮水机每经过，要重新从开始加热一次， 从8点至9点30分，经过的时间为，， 而水温加热到，需要的时间为， 故9点30分时，饮水机第三次从开始加热了， 令，则， 即9点30分时，饮水机的水温为，故C选项不符合题意． D、水温从升高到所需要的时间为， 令，则， 解得， ∴水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式3-1】．如图是某种商品日销售量（件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前30天由于进行了大量的宣传，其日销售量与上市的天数之间成正比；当宣传停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第30天的日销售量为120件． (1)求与之间的函数表达式； (2)求第50天的日销售量； (3)宣传合同约定，当日销售量不低于100件，并且持续天数不少于11天时，宣传小组就可以得到销售宣传提成，请通过计算说明宣传小组能否拿到合同约定的提成． 【答案】(1) (2)72件 (3)宣传小组能拿到合同约定的提成 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用． （1）当时，设，当时，设（k为常数，且），再利用待定系数法求解即可． （2）把代入，再计算即可． （3）把代入，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设， 函数图象经过点， ， 即； ， 当时，设（k为常数，且），将坐标代入， 得， 解得， ， 与之间的函数表达式为． （2）解：当时，（件）； （3）解：对于，当时，， 解得， 对于，当时，， 解得：（天）， ∴， ， ∴宣传小组能拿到合同约定的提成． 【变式3-2】．喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（）与时间x（）成一次函数关系；停止加热过了1分半钟后，水壶中水的温度y（）与时间x（）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． (1)分别写出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围； (2)从水壶中的水烧开（）降到就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 【答案】(1)当加热烧水，函数关系式为；当停止加热，得与的函数关系式为；停止加热过了1分半钟后， (2)分钟 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型． （1）将点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点和点的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）将代入反比例函数的解析式，从而求得答案． 【详解】（1）解：停止加热过了1分半钟后，设， 由图可知，将代入得：，解得：， ， 当时， 解得； 当时，得，解得：， 点坐标为， 点坐标为，即 由图象可设当加热烧水时，设， 由图象及题意可知，将代入得：，解得：， 当加热烧水，函数关系式为； 当停止加热，得与的函数关系式为； 停止加热过了1分半钟后，； （2）解：把代入，得，（分钟）； 从烧水开到泡茶需要等待分钟． 【变式3-3】．合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为3元，在销售过程中发现，日销售量（单位：）随售价（单位：元）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元） 3 4 5 6 … 日销量 400 300 240 200 … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到800元？说明理由． 【答案】(1)反比例函数关系； (2)能达到；理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，分式方程的实际应用，正确的列出函数关系式和分式方程，是解题的关键： （1）观察表格，可知售价与日销量的乘积为定值1200，则与之间为反比例函数关系，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：观察表格，可知售价与日销量的乘积为定值1200，则与之间为反比例函数关系． 设与之间的函数表达式为， 当时， ． 把其余各组对应值代入上式均成立，故与之间的函数表达式为； （2）能达到800元． 理由：依题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，并且符合题意， 答：当售价为9元/千克时，超市销售草莓的日利润可达到800元． 知识点2 利用反比例函数解决几何图形问题 利用反比例函数解决几何图形问题： ①在矩形中，若面积一定，则长与宽成反比例函数关系。 ②在三角形中，若面积一定，则底与高成反比例函数关系。 ③在柱体中，若体积一定，则底面积与高成反比例函数关系。 题型4 平面图形问题 例4．图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为． (1)求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若栅栏总长度为122米，求的长； (3)若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？ 【答案】(1) (2) (3)花圃至少需要围栏米． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解一元二次方程和分式方程，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，注意结合实际取自变量的取值范围． （1）根据长方形面积公式列式求解即可； （2）根据栅栏总长度为122米列方程求解即可； （3）根据题意得到，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为，面积为， ∴ ∴ ∵可利用的最大长度为 ∴ ∴关于的函数表达式为； （2）解：∵栅栏总长度为122米 ∴ 整理得， 解得或120（舍去） 经检验，符合题意 ∴； （3）解：∵使花圃长是宽的倍 ∴ ∴代入得， ∴ ∴或（舍去） ∴ ∴ ∴花圃至少需要栅栏米． 【变式4-1】．在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为． (1)设菱形的两条对角线的长分别为，，求y关于x的函数表达式．这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数． (2)若其中一个菱形的一条对角线长为，求这个菱形的边长． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为：，这个函数是反比例函数，比例系数是48 (2) 【分析】（1）首先求出菱形的面积，然后根据菱形的面积公式求出y关于x的函数表达式； （2）首先将代入表达式，求出另一条对角线长，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为时，它的另一条对角线长为， ∴， ∵菱形的两条对角线的长分别为x，y， ∴， ∴y关于x的函数表达式为：； 这个函数是反比例函数，比例系数是48． （2）∵其中一个菱形的一条对角线长为， ∴另一条对角线长为：， ∴这个菱形的边长为：， ∴这个菱形的边长． 【点睛】此题考查了反比例函数的实际应用，菱形的性质和面积公式，解题的关键根据题意求出函数表达式． 【变式4-2】．如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，． (1)求与之间的函数关系． (2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由． 【答案】(1) (2)不合理，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意可得与之间的函数为反比例函数，利用待定系数法即可解答； （2）把代入函数可得小路的长，得到的结果和起点和终点间的距离比较即可解答． 【详解】（1）解；根据石板搭建的小路面积一定，可得为定值， 与之间的函数为反比例函数， 设， 把，代入可得， ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得，经检验分式成立， ， 故不符合题意，设计不合理． 【变式4-3】．生活中处处充满着趣味数学，如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系，其中段可以看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高米，宽1米．其中点A，E，D均在坐标轴上，且轴．      (1)求反比例函数的表达式； (2)求出口C点到的距离的长； (3)若滑梯上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于3米，则Q到的距离至少是多少米？ 【答案】(1) (2)4 (3)1米 【分析】（1）先根据题意求出点B的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出的长，从而求出点C的坐标，进一步求出的长即可； （3）先求出当时，，再根据反比例函数的性质可得点Q的横坐标要大于等于2，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴点C的纵坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，，即点Q的横坐标要大于等于2， ∴点Q到的距离至少是米． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键． 题型5 立体图形问题 例5．某蓄水池的排水管每小时排水，6小时可将满池水全部排空． (1)求蓄水池的容积． (2)如果增加排水管，使每小时排水量达到Q（），那么将满池水排空所需时间t（）将如何变化，写出t与Q之间的函数关系式． (3)如果计划在5小时内将满池水排空，那么每小时排水量至少是多少？ 【答案】(1)蓄水池的容积为 (2)排水时间t与排水速度Q成反比， (3)每小时排水量至少是 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，一元一次不等式组的应用． （1）根据“容积排水速度时间”计算即可； （2）根据总容积V是定值可知排水时间t与排水速度Q成反比；根据“时间蓄水总量平均排水量”即可求出函数关系式； （3）根据和解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵某蓄水池的排水管每小时排水，小时可将满池水全部排空， ∴蓄水池的容积； （2）解：∵总容积V是定值， ∴排水时间t与排水速度Q成反比． 函数关系式为：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴每小时排水量至少是． 【变式5-1】．燃气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形燃气储存室． (1)储存室的底面积与其深度之间的函数表达式是_______________． (2)公司决定把储存室的底面积S定为，施工队施工时应该向下掘进多少米？ (3)当施工队按（2）中的计划掘进到地下时，碰上了坚硬的岩石．为了节约资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为，则储存室的底面积应该改为多少才能满足需要？ 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）根据圆柱的体积公式，即可求解； （2）把代入，即可求解； （3）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：把代入， 得， 解得； （3）解：根据题意，把代入，得， ∴储存室的底面积应该改为 【变式5-2】．小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 【答案】(1) (2)不够用 【分析】此题考查了反比例函数的应用，正确列出函数解析式是关键． （1）根据题意可得到速度x与每千米耗油量y 的积是定值，即，即可求出函数解析式； （2）求出总路程所需油量，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由表可知，速度x与每千米耗油量y 的积是定值，即，所以y与x之间的函数表达式为 （2）当保持的速度匀速行驶时， 所以总路程所需油量为    因为，所以油箱中的油不够用． 【变式5-3】．某蓄水池的排水管每小时排水，可将满池水全部排空． （1）蓄水池的容积是多少？ （2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（单位：），那么将满池水排空所需的时间t（单位：h）将如何变化？ （3）写出t关于Q的函数解析式． 【答案】（1）（）；（2）所需时间t将减少；（3）． 【分析】（1）已知每小时排水量8m2及排水时间6h，可求蓄水池的容积为48m3； （2）由基本等量关系得Q×t=48，判断函数关系，确定增减情况； （3）根据：每小时排水量×排水时间=蓄水池的容积，可以得到函数关系式． 【详解】解：（1）蓄水池的容积是：8×6=48m3； （2）∵Q×t=48，Q与t成反比例关系． ∴Q增大，t将减少； （3）t与Q之间的关系式为t=． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 知识点3 利用反比例函数解决物理问题 利用反比例函数解决物理问题： ①做功型问题：当功W一定时，力F与物体在力的方向上移动的距离s成反比例。即。 ②压强型问题：当压力F一定时，压强p与受力面积s成反比例。即。 ③电流型问题：在电路中，当电压U一定时，电流I与电阻R成反比例，即。 ④杠杆型问题：当阻力与阻力臂的乘积k一定且不等于0时，动力F与动力臂l成反比例。即 题型6物理学科应用问题 例6．已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）之间成反比例关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)若该闭合电路的电流不超过是安全的，求在安全情况下该闭合电路中电阻的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据待定系数法，求出反比例函数解析式即可； （2）根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 函数图象经过点， ， 解得：， 与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 时，随的增大而减小， 当时，， 即在安全情况下，该闭合电路中电阻的取值范围是不小于． 【变式6-1】．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． (1)待定系数法求出函数解析式； (2)将代入，求得的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果． 【详解】（1）由题意可设 点在函数的图象上， ，， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，，， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，． 【变式6-2】．图①是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数（单位：V）换算为酒精气体浓度（单位：），设，电压表显示的读数与（单位：之间的反比例函数图象如图②所示，与酒精气体浓度的关系式为．当电压表示数为4.5V时，求酒精气体的浓度． 【答案】酒精气体浓度为 【分析】先求出与之间的反比例函数解析式，再求出电压表示数为时，的值，进而求出的值，从而根据求出． 【详解】解：设与之间的反比例函数关系式为． 其图象过点， ， 解得， ． 当时，，解得． ， ． ， ， 解得． 故酒精气体浓度为． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求出反比例函数解析式是解题的关键． 【变式6-3】．如图，小明想要用撬棍撬动一块石头，已知阻力为，阻力臂为．.设动力为，动力臂为（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计）． (1)求关于的函数解析式； (2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键． (1)根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式； (2)将代入(1)中所求解析式，即可得出y的值． 【详解】（1）解：由题意，得， 则， ∴y关于x的函数解析式为． （2）解：∵， ∴当时，， 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力． 图形7 反比例函数与二次函数、一次函数的综合性实际问题 例7．某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率（%） 40 60 70 76 82 … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现： 热身运动合适的心率范围是最大心率的； 减脂运动合适的心率范围是最大心率的； 有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的； 无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的，从健康角度考虑，相对心率不应超过． 根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质判断作答即可； （2）设，分别把代入，计算求解，进而可得结果； （3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；根据样本估计总体，全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律，然后设计方案即可． 【详解】（1）解：由表格数据可知： 当自变量增加值相同时，平均相对心率增加值不相同，所以该函数不是一次函数； 当自变量增加值相同时，相邻的平均相对心率增加值的差不相同，所以该函数不是二次函数； 当自变量与函数值的乘积不是一个定值，所以该函数不是反比例函数（说理方法不唯一）． （2）解：设， 分别把，代入，得，， 解得：， ． （3）解：． ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 可以估计全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律． 方案设计如下： 连续跳绳是热身运动；连续跳绳是减脂运动； 连续跳绳是有氧耐力运动；连续跳绳是无氧耐力运动． 从健康角度考虑，连续跳绳时间不要超过5分钟，即连续跳绳5分钟后需要停下休息． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式是解题的关键． 【变式7-1】．某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至月）每月所需的工料总量均为件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且为整数）之间满足的函数关系如表： 月份x（月） 2 3 4 5 6 市场采购工料量（吨） 7至月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示．2至6月，该工厂每件工料的市场成本（元）与月份x之间满足函数关系式：，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为元/件． (1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出与x之间的函数关系式； (2)请你求出该工厂去年（2月至月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用． 【答案】(1)y1＝（，且x取整数）；（，且x取整数） (2)去年5月用于所需的工料总费用最多，最多费用是元 【分析】（1）利用表格中数据可以得出定值，则与之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：二次函数图象过，点，然后求解析式即可； （2）根据题意分别求出当时，当时的工料总费用，然后利用二次函数的性质求最大值，最后比较两种情况下工料总费用的大小，并作答即可． 【详解】（1）解：（1）由表格可知，定值，则与之间的函数关系为反比例函数关系： 设， 将代入得，， ∴y1＝（，且x取整数）； 由图象可以知：图象过，点， 将，代入得：， 解得：， ∴（，且x取整数） （2）解：由题意知，，且x取整数时， ， ， ， ∵，， 当时，（元； 当，且取整数时， ， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，（元， ∵， 去年5月用于所需的工料总费用最多，最多费用是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用，反比例函数关系式和二次函数关系式，二次函数的最值等知识，根据题意正确的求反比例函数关系式和二次函数关系式是解题关键． 【变式7-2】．综合与实践：探索某款节能冰箱的日耗电量． 素材1：某款冰箱，耗电功率为0.16千瓦．当内部温度为时，冰箱运行，当温度下降到时，停止运行．温度上升到时，冰箱再次运行，如此循环． 素材2：冰箱内部温度与时间（分钟）如图所示： 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 链接：冰箱每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 任务1：求时，关于的函数表达式，并求出的值； 任务2：该冰箱的广告中声称：每天耗电不超一度电．请问该冰箱的广告是否符合实际？（忽略特殊情况的耗电量）． 【答案】任务一：；任务二：冰箱的广告符合实际 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 任务1：设时，关于的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可，再求出当时x的值，即可得到t的值； 任务2：结合任务1，可得冷柜每60分钟为一个循环，且每一个循环运行时间为分钟，然后根据“冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）”求解即可． 【详解】解：任务1：将代入得，， ． 当时，， 解得， ， 即． 任务2：每天的耗电量度度， 冰箱的广告符合实际． 【变式7-3】．【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2；（2）时，不能围出面积为的矩形；图见解析，理由见解析；（3），交点坐标为． 【分析】（1）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． （2）仿照（1），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． （3）仿照（2），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下： 由题意得，即直线：， 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图象无交点； 的图象， 当时，；当时，； 如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴时，不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个实数解， ∴， 解得：或（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图象的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 题型8反比例函数与几何图形的综合问题 例8．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？如果人和木板对湿地的压力合计，(备注：不回答题干的问题)，那么： (1)直接写出p与S之间的函数关系式？ (2)当木板面积为时，压强是多少？ (3)如果要求压强不超过，木板面积至少要多大？ 【答案】(1) (2) (3)木板面积至少要 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，跨学科综合，正确理解题意是解题的关键． (1)由物理学的相关知识可知：人和木板对地面的压强=人和木板对地面的压力÷木板的面积； (2) 把代入即可求解； (3)先把代入，求出，再由反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由物理学的相关知识可知，； （2）解：由题意得，把代入， 则； （3）解：把代入， 则， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴压强不超过，木板面积至少要． 【变式8-1】．已知矩形A的长、宽分别是2和1，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的2倍？ 小明从“图形”的角度，利用函数图像解决了上述问题．小明论证的过程开始是这样的：如果用x、y分别表示矩形B的长和宽，那么矩形B满足．在如图所示的平面直角坐标系中，画出矩形B满足的两个函数表达式的图像，并按照小明的论证思路完成后面的论证过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义，以及图象的特点．设所求矩形的长为x、宽为y，表示出有关周长和面积的两个函数关系式，画出函数的图象，利用函数的图形判断是否存在这样的矩形即可． 【详解】解：存在， 设所求矩形的长为x、宽为y， ∵已知矩形的长和宽分别是2和1，新矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍， ∴， ∴，， 画出函数的图象如图， 根据图象知函数的图象有交点，所以存在两个矩形，能使得新矩形是原矩形的周长与面积的2倍． 【变式8-2】．如图，有一块含30°角的直角三角板OAB的直角边BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把这两块三角板放置在平面直角坐标系中，且OB＝3. (1)若某反比例函数的图象的一个分支恰好经过点A，求这个反比例函数的解析式； (2)若把含30°角的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好落在x轴上，点A落在点A′处，试求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 【答案】(1)反比例函数的解析式为y＝；(2)S阴影＝6π－. 【详解】分析：（1）根据tan30°=，求出AB，进而求出OA，得出A的坐标，设过A的双曲线的解析式是y=，把A的坐标代入求出即可；（2）求出∠AOA′，根据扇形的面积公式求出扇形AOA′的面积，求出OD、DC长，求出△ODC的面积，相减即可求出答案． 本题解析： (1)在Rt△OBA中，∠AOB＝30°，OB＝3， ∴AB＝OB·tan 30°＝3. ∴点A的坐标为(3，3)． 设反比例函数的解析式为y＝ (k≠0)， ∴3＝，∴k＝9，则这个反比例函数的解析式为y＝. (2)在Rt△OBA中，∠AOB＝30°，AB＝3， sin ∠AOB＝，即sin 30°＝， ∴OA＝6. 由题意得：∠AOC＝60°，S扇形AOA′＝＝6π. 在Rt△OCD中，∠DOC＝45°，OC＝OB＝3， ∴OD＝OC·cos 45°＝3×＝. ∴S△ODC＝OD2＝＝. ∴S阴影＝S扇形AOA′－S△ODC＝6π－. 点睛：本题考查了勾股定理、待定系数法求函数解析式、特殊角的三角函数值、扇形的面积及等腰三角形的性质，本题属于中档题，难度不大，将不规则的图形的面积表示成多个规则图形的面积之和是解答本题的关键. 【变式8-3】．（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)若点是直角边上的一个动点，当时，求点的坐标； (3)已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）由点先求反比例函数的解析式，然后求出点的坐标即可求解； （2）分类讨论在上和点在上，即可求解； （3）分类讨论作为平行四边形的边和对角线，画出对应图形即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中，得， ；                                 令，解得， .                                  设直线的函数表达式为， 将代入得： 解得 . （2）解：在中， 令，得， 令，得， ， .                      ①当点在上时，设， 则， ， 即， 解得：， .                      ②当点在上时，设， 则， ， 即， 解得：， . （3）解：∵点是点关于轴的对称点，是点关于轴的对称点 ∴ 设点， ①当作为平行四边形的一边时 如图所示：   ，解得 故点为   ，解得 故点为 ②当作为平行四边形的对角线时 如图所示：   ，解得 故点为 综上：. 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题．掌握“分类讨论”的数学思想是解题关键． 题型9 跨学科综合问题 例9．在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 a 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 b … (1) ， ； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②写出函数（）的一条性质 ． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ． 【答案】(1)2， (2)①图象见详解；②当时，y随x的增大而减小 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得电流与电阻R、之间关系为，然后根据表格可代入进行求解即可； （2）①根据题中所给表格可描点、连线作出函数图象即可；②根据函数图象可进行求解； （3）由题意可先画出（）的图象，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴电流与电阻R、之间关系为， ∴当时，则，解得：，即； 当时，则，即； 故答案为2，； （2）解：①所作函数图象如下： ②由图象可知：函数（）的一条性质为当时，y随x的增大而减小； 故答案为当时，y随x的增大而减小； （3）解：由题意可先画出（）的图象，如图所示： ∴由图象可知：当时，的解集为； 故答案为． 【变式9-1】．杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），它们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并穿上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．完成下列问题： (1)求关于的函数关系式； (2)在右侧任意移动弹簧秤的位置，但使木杆始终保持水平静止状态，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，表示弹簧秤与中点的距离，最大值是， ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 【变式9-2】．实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2） 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将R表示为I的函数， 根据反比例函数的增减性求出R的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 把，代入，得， ， I关于R的函数表达式为． （2）解：由题图得，当光照强度在之间(包含临界值)时，电流为， ， ，， 随的增大而减小， 当时，最大， 当时，最小， ， ， ， ． 【变式9-3】．目前中学生视力下降严重，某公司开发了一款护眼贴，自上市以来，非常畅销．公司研究发现，每副护眼贴的成本（元）和销售的数量（副）是一次函数、二次函数和反比例函数中的一种函数关系，如下表格所示．当销售的护眼贴达到或超过副时，每副护眼贴的成本不再变化．预测下一个月销售量将达到或超过副，并且发现每副按元出售时，能销售副，单价每提高元，销售量就会下降副． 销售件数（副） 每件成本（元） (1)请你求出与的函数关系式； (2)设下个月销售获得总利润是元，设下个月销售单价是每副元，请你写出与间的函数关系式；求出下个月的最大值． 【答案】(1)与的函数关系式为； (2)，当时，有最大值元． 【分析】本题考查了反比例函数和二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出与的函数关系式即可； （）由题意可知下个月销售为（副），然后得出，最后由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据表格可知，与是反比例函数关系， 设与的函数关系式为， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为， ∵当销售的护眼贴达到或超过副时，每副护眼贴的成本不再变化， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意可知，下个月销售为（副）， ∴， ∵， ∴当时，有最大值元． 例10．越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东城的小李决定用骑行代替开车去梦想小镇．当路程一定时，小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间（单位：）成反比例关系．根据以往骑行两地的经验，的一些对应值如下表： 2 1.5 1.2 1 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，用式子表示小李骑行的平均速度与骑行时间的关系． (2)安全起见，骑行速度一般不超过．小李上午8：30从家出发，请判断他能否在上午9：10之前到达梦想小镇，并说明理由． 【答案】(1) (2)小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇，见解析。 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式。 （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论。 【详解】（1）（1）根据表中数据可知， 所以 答：用式子表示小李骑行的平均速度v与骑行时间t的关系为。 （2）小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇。 理由：从上午8：30到上午9：10，用时40min，即h。 当时， (km/h) 因为骑行速度一般不超过30km/h， 所以小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇。 答：小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇。 【变式10-1】．在中国大陆长达万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月），小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息： ①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于元/瓶 ②统计售价（元/瓶）与需求量的数据：发现当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱． ③该矿泉水的供给量关于售价（元/瓶）的函数关系如下表所示： 售价（元/瓶）      ④月份该矿泉水的售价（元/瓶），（元/瓶）关于月份的函数表达式分别为，，函数图象见图2 ． (1)写出需求量和供给量关于售价（元/瓶）的函数关系式． (2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利（元/瓶）最大？并说明理由． (3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润． 【答案】(1)； (2)6月出售这种矿泉水每瓶获利最大 (3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题； （1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解； （2）根据，根据二次函数的性质，即可求解； （3）依题意，得出，进而求得，进而根据单件利润乘以数量，即可求解． 【详解】（1）解：∵当售价为元瓶时，该矿泉水的需求量为箱，售价每上涨元，需求量就减少箱 ∴，， 根据信息③可得与售价的乘积相等，设， 代入得，， ∴，， （2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利最大，理由如下， 依题意，， ∴ ∴当时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利最大； （3）解：依题意， 当该矿泉水需求量与供给量相等时， 解得：（舍去） 当时，， ，解得：， 总利润为（元） 答：该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为元，按照该价格出售获得的总利润为元 【变式10-2】．综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲ēú是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄单位：岁与平均日生长速率单位：天的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过的抛物线，设解析式为 （1）选取两个点，，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为 （2）为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． （3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算． 【答案】（1），29岁；（2）；（3）选模型2，该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4天 【分析】（1）依据题意，利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）依据题意，求出平均数，然后根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）依据题意，根据函数的性质解答即可． 本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）由题意，将，代入， 该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． （2）由题意，当，， （3）由模型1可知，当时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律；又由模型2可知，当时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律， 选择模型当时， 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为天． 【变式10-3】．如图1所示．在面积为6的四边形中，对角线．设，请按要求作答． (1)求与之间的函数解析式，及对应的的取值范围； (2)图2为单位长度为1的的平面直角网格坐标系，其中每个小正方形的顶点称为格点，在图2中描绘出与的函数图象； (3)若函数图象上最上方的格点为，最下方的格点为，直接写出点到线段的距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查反比例函数的应用，画函数图象，勾股定理解三角形等，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意结合图形表示出，即可求解； （2）利用描点、连线方法画出图象即可； （3）由图象得：点的坐标为，点的坐标为，得出两点关于直线对称，确定，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即． ， 与的函数解析式为． （2）当时，；当时，；当时，； 描点，然后用光滑的曲线连接，的函数图象如图所示． （3）由图象得：点的坐标为，点的坐标为， 两点关于直线对称， 故直线与线段的交点即为的中点，且AB． ∴， ∴由勾股定理可得，． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备．其中用5000元购买单价是元/台的机器台，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型． 根据题意可得，再整理可得与的函数关系式． 【详解】解：由题意可得：， 则， 故选：B． 2．某物体对地面的压力为1000N，物体对地面的压强p与受力面积S之间的函数关系式，该函数图象位于   （   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的应用．根据，可得结论． 【详解】解：物体对地面的压强与受力面积S之间的函数解析式， ∴该函数图象位于第一象限． 故选：A． 3．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握相关知识．设反比例函数解析式为，将，代入求出反比例函数解析式为，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入得：， 反比例函数解析式为， 当时，得： 解得：， 小孔到蜡烛的距离为， 故选：C． 4．电压一定时，经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，得，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：C． 5．甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（单位：h）与平均行驶速度x（单位：）之间的函数图象大致是（    ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意可知时间与行驶速度之间的函数关系式为， ∴函数图象大致是B． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，同时要注意自变量的取值范围． 6．如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到0.5米，则近视眼镜减少的度数为（    ） A．500度 B．300度 C．200度 D．100度 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数，根据反比例函数图象过求出反比例函数的解析式，代入求出近视眼度数，作差即可求出减少的度数． 【详解】解：设，由图可知函数过， 则， ∴， 当时，， ∴某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到0.5米，近视眼镜减少的度数为（度）， 故选：B． 7．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流（单位：）随着电阻（单位：）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（   ） A．最大电流是 B．最大电流是 C．最小电流是 D．最小电流是 【答案】A 【分析】可设，将点代入函数解析式，即可求得的值，再代入求的值，最后根据增减性判断最值． 【详解】解：由图象可知，符合反比例函数， 设函数解析式为， 将点代入得， 解得：， ∴该函数解析式为． 若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的最大电流是． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出关系式． 8．某种玻璃原材料需在的环境下保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃的温度会逐渐降低至室温()，加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且加工玻璃时的温度要求不低于．玻璃的温度(℃)与开始加热后经过的时间)的函数图象如图所示，降温阶段的与成反比例函数关系．根据图象信息，下列判断不正确的是(    ) A．玻璃加热的速度为 B．玻璃的温度下降时，与的函数表达式为 C．能够对玻璃进行加工的时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的应用，一次函数，反比例函数的性质，熟练掌握相关函数图象及性质是解题的关键．根据题意，分别求出一次函数，反比例函数的解析式，结合实际，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：A．设直线所对应的函数解析式为， 点在直线上， ， ， 函数解析式为， 玻璃加热的速度为， 故该选项正确，不符合题意； B．设反比例函数解析式为， 点在直线上， ， ， 与的函数表达式为， 故该选项正确，不符合题意； C．加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且加工玻璃时的温度要求不低于， ，当时，， ，当时，， 能够对玻璃进行加工的时长为， 故该选项正确，不符合题意； D．，当时，， ，当时，， 玻璃从降至室温需要的时间为， 故该选项不正确，符合题意， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．要制作一个面积为的矩形广告牌，其长与宽的函数关系是 ；若广告牌的长要求大于，则宽应满足 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据矩形的面积关系得出函数关系为：．，根据广告牌的长要求大于，得出宽的范围，即可求解． 【详解】解：∵矩形面积长宽， 函数关系为：． ， ． 又， ． ∴ 宽应满足：． 10．光速是自然界中最快的速度，在不同的介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示： n 1 2 … v/（亿米/秒） 3 2 … 若普通玻璃的折射率为，则光在普通玻璃中的传播速度为 亿米/秒． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据题意确定光的传播速度与介质折射率的反比例函数关系． 先根据表格数据判断光的传播速度与介质折射率成反比例关系，设出反比例函数解析式，代入已知数据求出，得到函数解析式，再将普通玻璃的折射率代入解析式，求出光在其中的传播速度． 【详解】解：由表格可知， ∴在不同介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质折射率n之间存在反比例函数关系． ∴光的传播速度（亿米/秒）与介质折射率之间的函数解析式为． 将代入， 得（亿米/秒）． 答：光在普通玻璃中的传播速度是亿米/秒． 故答案为：． 11．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流是电阻的反比例函数，其图像如图所示．当电流时， Ω． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数的应用，从实际问题中整理出反比例函数模型是解决此类问题的关键． 用点M的坐标求出反比例函数的解析式，再把电流代入求出电阻，即可作答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴． 则 当时，电阻， 故答案为：12 12．某公司从2021年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表： 年度 投入技改资金（万元） 产品成本（万元/件） 2021 2.5 14.4 2022 3 12 2023 4 9 2024 4.5 8 按照这种变化规律，若2025年已投入资金5万元，预计2025年每件产品成本是 万元 【答案】7.2/ 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表格中的数据得出产品成本与投入技改资金成反比例关系是解题关键．设产品成本与投入技改资金的函数关系式为，根据表中数据可知反比例函数的关系式为，把代入即可求出2025年每件产品成本． 【详解】解：由表格数据可知，，，，， 则产品成本与投入技改资金成反比例关系， 设产品成本与投入技改资金的函数关系式为， 当时，， ， 产品成本与投入技改资金的函数关系式为， 当时，， 即若2025年已投入资金5万元，预计2025年每件产品成本是7.2万元， 故答案为：7.2． 13．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得点，设，求出，然后通过题意当时，，从而得出整个冷却塔高度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∵，， ∴点， 设， ∴， ∴， ∵上口宽， ∴的横坐标为， ∴当时，， ∴整个冷却塔高度为， 故答案为：． 三、解答题(每小题8分，共56分) 14．学校课外生物兴趣小组打算自己动手用旧围栏在一个长为的墙边围出一个面积为10的长方形饲养场，饲养场平行于墙的长为，垂直于墙的长为．求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．    【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式的知识，属于基础题，熟练掌握矩形的面积公式是关键．根据矩形的面积=长×宽，结合题意即可得出另一边的长y（米）与x的函数关系式． 【详解】解：由长方形的面积公式得， ∴y关于x的函数表达式为． ∵墙的长度为8米， ，即， ∴自变量x的取值范围为． 15．如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．    (1)求关于的函数表达式． (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】(1)关于的函数解析式为 (2)弹簧秤的示数的最小值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，是弹簧秤与中点的距离是，如图所示，    ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． 16．某探险队在野外探险时遇到了一片湿地，为了安全通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．若人和木板对湿地面的压力F一定时，木板对湿地的压强是木板面积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求出p与S的函数表达式； (2)若这片湿地面能承受的压强不超过，那么他们所铺的木板面积至少为多少才能安全通过． 【答案】(1) (2)至少为才能安全通过 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是具有一定的物理知识，明确压强、压力及受力面积之间的关系． （1）设p与S的函数表达式为，由图可知，当时，，利用待定系数法即可求解； （2）令压强小于等于，求得面积即可． 【详解】（1）解：设p与S的函数解析式为，由图可知，当时，， 所以有， 解得：， 即：p与S的函数解析式； （2）解：根据题意得，， ∴， 解得， 即若这片湿地面能承受的压强不超过，那么他们所铺的木板面积至少为才能安全通过． 17．如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)y与x之间的函数表达式为____________； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质． （1）由题意可知y与x成反比例关系，设，将代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，设， 结合表格数据，该函数图象过点 ， 与的函数表达式为． 故答案为：； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 答：当砝码的质量为24g时，托盘与点之间的距离是． 18．货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时x吨，设卸货的时间是y小时， (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若卸货的速度是每小时40吨，求在乙港卸完全部货物所需的时间． 【答案】(1)； (2)在乙港卸完全部货物所需的时间是6小时． 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）求出货物总吨数，再根据卸货速度×卸货时间=货物总吨数即可得出y与x之间的函数关系式； （2）将代入（1）中函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故y与x之间的函数关系式为； （2）把，代入，可得， 所以在乙港卸完全部货物所需的时间是6小时． 19．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 【答案】(1)该材料加热过程中对应的函数解析式为，停止加热过程中对应的函数解析式为 (2)对该材料进行特殊处理的时间为12分钟 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出时对应的的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量的取值范围； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的的值，然后作差即可． 【详解】（1）解：设停止加热过程中对应的函数解析式为， 点在该函数的图象上， ， 解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 当时，，解得， 当时，，解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 设该材料加热过程中对应的函数解析式为， 点、在该函数的图象上， ，得， 该材料加热过程中对应的函数解析式为； （2）解：将代入中，，得， 将代入中，，得， （分钟）， 答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 20．【综合与实践】生活中的函数． (1)基础知识考察：在反比例函数 ，当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ． (2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事． 北京特色茉莉香茶成本为元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量(毫米） 销售单价（元） 47 45 44 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： ①已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． ②仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ ③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？ 【答案】(1)；或； (2)①；②降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元；③60元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握反比例函数的性质，读懂题意得到等量关系是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可解答； （2）①经观察可以发现，销售单价与降雪量成一次函数关系，然后利用待定系数法即可求解； ②设销售利润为，根据利润（销售单价成本）日销售量，结合y与k关系和p与k的关系，得到w与k的关系式，然后根据反比例函数的性质即可求解； ③设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则依题意得，解方程即可． 【详解】（1）解：反比例函数 ，， 函数图象在第一、三象限，且在每一象限内y随着x的增大而减小， 当时，， 当时，y的取值范围是； 当时，， 当时，x的取值范围是或； 故答案为：；或； （2）解：①设 将，代入， 得， 解得， ∴； ②设销售利润为，则 依题意得，， ∵， ∴在时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 答：降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是15000元． ③∵降雪量为毫米， ∴原售价为44元， ∵进行“买三送一”活动，小敏阿姨此时趁机入手20袋， ∴小敏阿姨购买了15袋，赠送了5袋； 设此时店铺的一袋茉莉香茶为元，则 依题意得，， 解得， 答：此时店铺的一袋茉莉香茶为60元． 学科网（北京）股份有限公司 $