精品解析：山东省泰安市宁阳县复圣中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

高二年级考试 数学试题 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的截距式方程为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将截距式方程化为斜截式即可得. 【详解】可化为，故直线的斜率为. 故选：C. 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. -3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量平行的坐标关系进行运算即可得. 【详解】因为，，且，所以，解得. 故选：D. 3. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 相离 【答案】A 【解析】 【分析】求出两个圆的圆心及半径，结合两圆之间的位置关系即可求解． 【详解】圆，圆心，半径， 可变形为，圆心，半径， 两圆的圆心相距， 因，故两圆外切． 故选：A． 4. 已知直线，直线，则下列命题中不正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若，则 C. 直线过定点 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线过定点判断A、C，根据两直线垂直求出参数，即可判断B，根据两直线平行求出，即可判断D. 【详解】对于A：直线，当时，无论取何值，恒成立， 所以直线恒过定点，故A正确． 对于B：若，则，，故B正确； 对于C：直线，当时，无论取何值，恒成立， 所以此时直线恒过定点，故C正确； 对于D：若，则，， 或，经检验此时两直线平行，故D错误； 故选：D 5. 过点作圆的切线，则的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用切线定义结合点到直线距离公式，分斜率存在与不存在讨论即可得. 【详解】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或. 故选：A. 6. 已知直线上两点，，直线外的点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量夹角的正弦值求空间点到直线距离的方法即可． 【详解】已知，，，由题意可知， 直线l的方向向量， ，而， ，， ，， 点P到直线l的距离d根据公式． 故选：C． 7. 若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得曲线为圆的右半圆，数形结合，再利用切线性质计算即可得解. 【详解】由，可得，且， 故曲线为圆的右半圆， 作出直线与曲线的图象如下图所示： 当直线即与曲线相切且切点在第四象限时，， 且有，解得， 当直线过点时，直线与曲线有两个公共点，此时； 当直线过点时，直线与曲线只有一个公共点，此时， 结合图形可知，若时，直线与曲线只有一个公共点. 故选：A. 8. 已知在四面体中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量与法向量，根据线面角的空间向量法即可得到答案. 【详解】取BD的中点O，连接AO，OC，由，， 得， 且， 在△AOC中，，故， 又，平面，所以平面， 以OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 设平面的法向量， 则，即，令，则，则 设直线与平面所成角为， 则， 则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 是平面的法向量 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助向量线性运算可得A；求出向量后，借助空间向量数量积公式计算即可得B；结合A中所得可得，即可得C；得到向量后，利用模长公式计算即可得D. 【详解】对A：由底面为平行四边形，则， 则，故A错误； 对B：，则， 故，故B正确； 对C：由，则， 又，且，、平面，故平面， 故是平面的法向量，故C正确； 对D：，则，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，则直线的倾斜角为 B. 若圆的方程为，则直线被圆截得的弦长为 C. 直线关于直线对称的直线为 D. 将直线绕点按逆时针方向旋转，再向上平移2个单位长度，所得直线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：利用方向向量定义可得其斜率，再利用斜率与倾斜角的关系计算即可得；对B：借助点到直线距离公式与垂径定理计算即可得；对C：求出两直线交点后，再求出对称前直线上任意一点对称后的点的坐标，即可利用两点求出对称直线方程；对D：先计算出旋转后方程，再向上平移2个单位长度即可得. 【详解】对A：由直线的方向向量为，则其斜率， 设其倾斜角为，则，故，故A正确； 对B：圆的圆心为，半径为，则点到的距离为， 则直线被圆截得的弦长，故B正确； 对C：，解得，即两直线交点为， 点在直线上，设关于直线对称的点为， 则，解得，则对称的点为， 则所求直线为，即，故C错误； 对D：直线斜率为，则旋转后所的直线斜率为， 又旋转后直线过点，则旋转后直线方程为， 再向上平移个单位长度后可得，即，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知圆，圆，则下列选项正确的是（ ） A. 当时，圆与圆相交于、两点，则 B. 当圆与圆有三条公切线时，若，分别是圆，上的动点，则的最大值为10 C. 若圆上总存在两点到的距离为4，则 D. 若圆与圆心在上且半径为1的圆交于，两点，则当最大时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两圆方程，可先求出两圆圆心及半径；对A：两圆方程作差可得相交弦所在直线方程，再利用弦长公式计算即可得；对B：由题意可得两圆相外切，则可得两圆心距离等于直径之和，结合圆上的点到圆心距离为定值半径即可得；对C：由题意可得以为圆心，为半径的圆与圆相交，利用两圆位置关系计算即可得；对D：由题意可得是圆与圆的公共弦，当取最大时，其圆心角取最大，则可得最大为圆直径，再结合垂径定理计算即可得解. 【详解】圆，则其圆心，半径， 可化为， 则即其圆心，半径， 对A：当时，圆的圆心，半径， 由圆的圆心，半径，有，， 又，有，故两圆相交， 两圆方程作差：， 则其交线，点到的距离， 则，故A正确； 对B：若圆与圆有三条公切线，则两圆相外切， 则有， 则， 当且仅当、、、四点共线时，等号成立，故B正确； 对C：若圆上总存在两点到的距离为， 则以为圆心，为半径的圆与圆相交， 即有，化简得， 即或，故C错误； 对D：由题意可得是圆的弦，则当取最大时，其圆心角取最大， 又是半径为的圆的弦，则， 即为圆的直径时，最大， 此时为中点，则， 则有，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的定义易得. 【详解】根据定义，点关于坐标平面对称的点为. 故答案为：. 13. 已知两条平行直线，，则与间的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】借助平行线间距离公式计算即可得. 【详解】可化为， 则与间的距离为. 故答案为：. 14. 已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】可将、、当作空间中一组基底，从而可表示出向量、，再利用投影向量定义计算得到，最后利用模长与数量积的关系计算即可得解. 【详解】由为中点，则， 设，由在上的投影向量的模为， 则 ， 化简得，即， 整理得，即或， 又不是钝角，，故， 则 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，，，. （1）求的值； （2）若与垂直，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出、后，利用向量夹角公式计算即可得； （2）借助向量坐标运算得到与后，利用向量数量积公式计算即可得. 【小问1详解】 ，， 则； 【小问2详解】 ，， 则， 整理得，即或. 16. 已知顶点，，. （1）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程； （2）求角的平分线所在直线的方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设的纵截距为，分和两种情况讨论即可； （2）由两角差的正切公式结合点斜式计算可得. 【小问1详解】 设的纵截距为， 当时，则； 当时，则， 代入点可得，可得， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 设角的平分线所在直线为，其斜率为， 由题意可得，， 根据倾斜角的正切值表示的意义和两角差的正切公式可得： 直线到直线的角的正切为，直线到直线的角的正切为， 所以， 化简可得，解得或， 若，则直线的倾斜角为钝角，但，不符合题意， 所以， 所以由点斜式可得，即. 17. 如图，在平行六面体中，，分别为，的中点，. （1）求证：平面； （2）若，，，为线段的中点.求证：. 【答案】（1）证明：     取，连接， 因为，由平行六面体的性质可得， 取中点，连接，则由中位线的性质可得， 又为中点，由平行六面体的性质可得且相等， 所以四边形为平行四边形，可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （2） 证明：设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，用它们表示，，则 ，， 所以 ， 所以． 【解析】 【分析】（1）取，连接，再取中点，连接，由几何关系证明，再由面面平行的判定定理和性质定理可得； （2）设，，，用它们表示，，再由数量积的运算律和定义证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知圆的圆心在轴上，且过，两点. （1）求圆的标准方程； （2）过直线上且在圆外的一点作圆的两条切线，切点分别为、，当点的坐标为时，求点的坐标. （3）已知点，点在轴上且异于点，动点在圆上，当为定值时，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助待定系数法计算即可得； （2）由题意可先求出过点的切线方程，则可联立直线得到点坐标，再以为圆心，为半径作圆，求出该圆与圆的交点坐标即可得解； （3）设，，，则可借助两点间距离公式得到与、、有关等式，结合该等式恒成立计算即可得解. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 由圆的圆心在轴上，则， 由圆过，两点， 则有，解得， 即圆的标准方程为； 【小问2详解】 圆，则圆心， 则过点的切线与轴垂直，即为， 对，令，则，即， 以为圆心，为半径作圆，即为， 则、为该圆与圆的两个交点， ，解得或， 由，故； 【小问3详解】 设，，则，即， 设，则， 由， ， 则恒成立， 整理得， 则需，由，则， 即有， 由，则，即，则，即， 即方程组符合题意的解为， 即点的坐标为. 19. 如图，在几何体中，，，，侧面为正方形，且平面平面，且，，分别为棱，上动点，且. （1）求证：； （2）是否存在实数，使得，，，四点共面； （3）当四棱锥体积取最小值时，求平面与平面夹角的正切值. 【答案】（1） 由侧面为正方形，则，又平面平面， 平面平面，平面， 则平面，又平面，则， 由，则，则、、两两垂直， 则可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 由，则，， 则，， 则， 故，即； （2）存在，且 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意结合面面垂直性质定理可得、、两两垂直，则可建立适当空间直角坐标系，得到与后，计算其数量积为即可得证； （2）结合空间向量基本定理计算即可得； （3）由四棱锥的高固定，则可求其底面积取最小值时的值，再求出平面与平面的法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得其夹角余弦值，再利用同角三角函数基本关系计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，， 若，，，四点共面，则存在实数、， 使得，即有，解得， 即存在实数，使得，，，四点共面； 【小问3详解】 由（1）知，平面，则点到底面距离为定值， 当四边形面积最小时，四棱锥体积取最小，‘ 设四边形面积为， 则， 则当且仅当时，取最小， 则有，，故，，， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 取，则，，， 即、， 设平面与平面夹角为， 则， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级考试 数学试题 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的截距式方程为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. -3 C. D. 3. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 相交 C. 内切 D. 相离 4. 已知直线，直线，则下列命题中不正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若，则 C. 直线过定点 D. 若，则 5. 过点作圆的切线，则的方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 6. 已知直线上两点，，直线外的点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在四面体中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 是平面的法向量 D. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，则直线的倾斜角为 B. 若圆的方程为，则直线被圆截得的弦长为 C. 直线关于直线对称的直线为 D. 将直线绕点按逆时针方向旋转，再向上平移2个单位长度，所得直线方程为 11. 已知圆，圆，则下列选项正确的是（ ） A. 当时，圆与圆相交于、两点，则 B. 当圆与圆有三条公切线时，若，分别是圆，上的动点，则的最大值为10 C. 若圆上总存在两点到的距离为4，则 D. 若圆与圆心在上且半径为1的圆交于，两点，则当最大时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点为_____. 13. 已知两条平行直线，，则与间的距离为_____. 14. 已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，，，. （1）求的值； （2）若与垂直，求的值. 16. 已知顶点，，. （1）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程； （2）求角的平分线所在直线的方程. 17. 如图，在平行六面体中，，分别为，的中点，. （1）求证：平面； （2）若，，，为线段的中点.求证：. 18. 已知圆的圆心在轴上，且过，两点. （1）求圆的标准方程； （2）过直线上且在圆外的一点作圆的两条切线，切点分别为、，当点的坐标为时，求点的坐标. （3）已知点，点在轴上且异于点，动点在圆上，当为定值时，求点的坐标. 19. 如图，在几何体中，，，，侧面为正方形，且平面平面，且，，分别为棱，上动点，且. （1）求证：； （2）是否存在实数，使得，，，四点共面； （3）当四棱锥体积取最小值时，求平面与平面夹角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $