第五章 统计与概率（知识清单）数学人教B版2019必修第二册

第五章 统计与概率 一、简单随机抽样 可用简单随机抽样抽取样本的依据:①总体中的个体之间无明显差异；②总体中个体数______；③抽取的样本个体数______总体中的个体数；④每个个体被抽到的可能性均为______ 二、分层随机抽样中有关计算的方法: （1）抽样比=； （2）总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. 三、柱形图、折线图、扇形图的应用 （1）条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率,根据数量的______或频率的______画成长短不同的矩形条,条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率； （2）扇形图是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的______； （3）折线统计图反映数据随时间的变化趋势. 四、频率直方图的应用 （1）由于频率分布直方图中的纵坐标为______,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为______列式求解； （2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以______； （3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解. （4）用频率分布直方图估计总体数字特征的方法: ①众数:______小长方形底边中点的横坐标； ②中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的______； ③平均数:频率分布直方图中每个小长方形的______乘小长方形底边中点的______之和. 五、平均数、标准差、方差性质 （1）若一组数据的平均数为,方差为,那么的平均数是______,方差为______ （2）分层方差计算总体方差 若一个总体划分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为记总的样本平均数为样本方差为,则 六、百分位数 （1）几个数的百分位数计算方式： 第一步，从小排到大；第二步，计算i=______；第三不，如果i不是______，向上取整到k，取第k个数据； 如果i是______，取第i个数和第i+1个数的______。 （2）频率分布直方图的百分位数计算方式 根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解. 七、用频率估算概率 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的______.频率本身是______变量,当很大时,频率总是在一个______附近摆动,这个稳定值就是______. 八、互斥、对立、独立事件的辨别 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合______ ②若事件件与对立,则集合且. 事件的独立性的判断:①定义法:事件相互独立⇔______；②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响； 易错01 混淆统计有关概念 总体：调查对象的全体称为总体； 个体：组成整体的每一个调查对象称为个体； 样本：从总体中抽取的那部分个体称为样本；样本容量：样本中包含的个体数称为样本容量 例1．某中学研究人员希望调查该校高中学生平均每天的自习时间.他调查了100名学生，发现他们每天的平均自习时间是3h.这里的总体是（    ） A．该校的所有高中学生 B．该校所有高中学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名高中学生 D．所调查的100名高中学生的平均每天自习时间 变式1-1．为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（    ） A．总体是该市参加升学考试的全体学生 B．个体是抽查的1 000名学生中的每一名学生 C．样本量是1 000 D．样本是全体学生的数学成绩 变式1-2．从绵阳市参加数学会考测试的48000名学生的成绩中抽取2000名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，2000名学生的成绩是（    ） A．总体 B．个体 C．一个样本 D．样本容量 变式1-3．（多选）为了解某中学2 500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法不正确的是（　  　） A．调查方式是全面调查 B．该校只有380名家长持赞成态度 C．样本是400 D．该校约有95%的家长持赞成态度 易错02 互斥和对立事件概念不清致误 注意：互斥和对立事件研究的是两个事件之间的关系; 互斥事件：事件A与事件B不能同时发生 对立事件：事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生所研究的两个事件是在一次试验中涉及的 例2．某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的对立事件为 变式2-1．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（    ） A．至少有名女生 B．至少两名男生 C．两名男生一名女生 D．全是男生 变式2-2．现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（   ） A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品 变式2-3．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （    ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色. A．1 B．2 C．3 D．4 易错03 利用随机数表确定样本忘记去掉重复数字 注意：在使用随机数法时,要注意起始位置,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,注意把超过总体号码或出现重复号码的数字舍去 例3．现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为 . 95226000   49840128   66175168   39682927   43772366   27096623 92583556   43890890   06482834   59741458   29778149   64608925 变式3-1．2024年10月1日是中华人民共和国建国75周年，为弘扬爱国主义精神，共同感受党的伟大历程，抚州市第一中学高一年级决定从每班随机抽取5名学生参加“祖国在我心”知识竞答.若高一某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第1行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个编号为（   ） 7816    6572    0802    6314    0702    4369    9728    0198 3204    9234    4935    8200    3623    4869    6938    7481 A．14 B．02 C．43 D．07 变式3-2．已知某运动员每次射击击中目标的概率为，采用随机模拟的方法估算该运动员射击4次至少3次击中目标的概率，先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标．以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7527    0293    7146    9857    0347 4373    8636    6947    1417    4698 0371    6233    2616    8045    6011 3661    9597    7424    7610    4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少3次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．某工厂利用随机数表对个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为，，，，从中抽取个样本，下面提供随机数表的行： 66674037  14640571   11056509   95866876   83203790   57160311 63149084   45217573若从表中第列开始向右依次读取数据，则得到的第个样本编号是 ． 易错04 使用直方图解题时错把纵坐标当成频率 牢记核心：直方图纵坐标是 “频率 / 组距”，频率 = 纵坐标 × 组距，面积和为 1； 解题前标注含义，计算先写公式，避免直接用纵坐标代频率； 用面积和为 1 反向校验，发现偏差优先排查该错误。 例4．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在长二F遥二十运载火箭的托举下，圆满完成飞行任务．为发扬并传承中国航天精神，我市随机抽取600名学生进行航天知识竞赛并记录学生的成绩（满分100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求n的值； (2)求第70百分位数； (3)求这600名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 变式4-1．（多选）近几年，我国新能源汽车行业呈现一片生机勃勃的景象．电动汽车因其智能性与操控感越来越被人们接受与认可，尤其是其辅助驾驶功能．某品牌电动汽车公司为了更好地了解车主使用辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行分析，分析100位车主在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数，得到如图所示的频率分布直方图（60次及以上的称为经常使用辅助驾驶功能），则下列结论正确的是（    ）    A． B．估计车主在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的平均数低于70 C．估计这100位车主中经常使用辅助驾驶功能的人数为75 D．按照“经常使用辅助驾驶功能”与“不经常使用辅助驾驶功能”进行分层随机抽样，从这100人中抽取12人，则在经常使用辅助驾驶功能的人中应抽取8人 变式4-2．（多选）某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了名学生的分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这名学生中，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表）则下列正确的是（    ） A． B．估计该年级学生跳绳次数的分位数约为 C．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为 D．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为 变式4-3．在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，同一组中数据用该组区间中间值作代表值． (1)60分以下的成绩视为不及格，求不及格的考生人数； (2)求该组数据的众数和第一四分位数； (3)在本次测试分数为，的考生中，使用分层随机抽样的办法从中抽取5人，再从这5人中随机挑选3人，求恰好有一名学生分数在区间的概率． 易错05 对几个数据的百分位数理解不到位 注意：计算步骤:计算一组个数据的第百分位数的步骤: 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算. 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据;若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 例5．已知一组数据为，则这组数据的分位数是（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 变式5-1．样本数据20，19，17，16，22，24，26的下四分位数是 ． 变式5-2．一组样本数据10，12，12，18，19，22，31，35，41，50的分位数是（    ） A．31 B．33 C．34 D．35 变式5-3．已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位数是50，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 易错06 使用概率加法公式没有注意成立条件 注意：概率加法公式是指当事件为互斥事件时，则有，否则只能使用一般的概率加法公式 例6．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件为“第一次朝上的面的点数为质数”，事件为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则（   ） A． B． C． D． 变式6-1．（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C．下列说法正确的是（   ） A． B． C．A与C互斥 D． 变式6-2．已知是事件的对立事件，，，，则 ． 变式6-3．（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 易错07nn 独立事件不会判断 两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响，满足 例7．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 变式7-1．已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 变式7-2．（多选）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 变式7-3．（多选）下列对随机事件概率的说法正确的有（   ） A．若相互独立，则 B．若互斥，则 C． D． 1．为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，下列说法正确的是（   ） A．总体是200 B．个体是40名学生 C．样本是40名学生 D．样本容量是40 2．（多选）如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（    ）    A． B． C．事件与相互独立 D．事件与互斥 3．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 4．将颜色分别为红、白、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球”互为对立事件的是（   ） A．乙分得红球 B．丙分得红球 C．甲分得白球或蓝球 D．乙分得白球或蓝球 5．某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 ． 64844217    55721754    55068331 04744767    21763350    25839212 06766301    63785916    95556719 6．数据53，62，78，67，98，32，42，12，90的第三四分位数是（    ） A．67 B．42 C．62 D．78 7．某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求实数的值. (2)在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 8．某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红楼”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，并作出如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本数据的第62百分位数所在区间的组中值； (3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求落在中的样本数据的平均数和方差. 9．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，按照，…，分组，得到如下频率分布直方图：    (1)求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表） (2)该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少? 10．中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. (1)已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率 (2)求至多进行四场就结束比赛的概率. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 统计与概率 一、简单随机抽样 可用简单随机抽样抽取样本的依据:①总体中的个体之间无明显差异；②总体中个体数有限；③抽取的样本个体数小于总体中的个体数；④每个个体被抽到的可能性均为 二、分层随机抽样中有关计算的方法: （1）抽样比=； （2）总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比. 三、柱形图、折线图、扇形图的应用 （1）条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率,根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条,条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率； （2）扇形图是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数； （3）折线统计图反映数据随时间的变化趋势. 四、频率直方图的应用 （1）由于频率分布直方图中的纵坐标为,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列式求解； （2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量； （3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解. （4）用频率分布直方图估计总体数字特征的方法: ①众数:最高小长方形底边中点的横坐标； ②中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； ③平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和. 五、平均数、标准差、方差性质 （1）若一组数据的平均数为,方差为,那么的平均数是,方差为 （2）分层方差计算总体方差 若一个总体划分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为记总的样本平均数为样本方差为,则 六、百分位数 （1）几个数的百分位数计算方式： 第一步，从小排到大；第二步，计算i=p%×n；第三不，如果i不是整数，向上取整到k，取第k个数据； 如果i是整数，取第i个数和第i+1个数的平均值。 （2）频率分布直方图的百分位数计算方式 根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解. 七、用频率估算概率 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率. 八、互斥、对立、独立事件的辨别 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合;nn ②若事件件与对立,则集合且. 事件的独立性的判断:①定义法:事件相互独立⇔；②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响； 易错01 混淆统计有关概念 总体：调查对象的全体称为总体； 个体：组成整体的每一个调查对象称为个体； 样本：从总体中抽取的那部分个体称为样本；样本容量：样本中包含的个体数称为样本容量 例1．某中学研究人员希望调查该校高中学生平均每天的自习时间.他调查了100名学生，发现他们每天的平均自习时间是3h.这里的总体是（    ） A．该校的所有高中学生 B．该校所有高中学生的平均每天自习时间 C．所调查的100名高中学生 D．所调查的100名高中学生的平均每天自习时间 【答案】B 【详解】调查对象的全体为该校所有高中学生的平均每天自习时间， 因此总体应是该校所有高中学生的平均每天自习时间. 故选：B 变式1-1．为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法错误的是（    ） A．总体是该市参加升学考试的全体学生 B．个体是抽查的1 000名学生中的每一名学生 C．样本量是1 000 D．样本是全体学生的数学成绩 【答案】D 【详解】总体是该市参加升学考试的全体学生，A正确， 个体是该市参加升学考试的每一名学生，B正确， 样本是抽查的1 000名学生，样本量是1 000，C正确，D错误. 故选：D. 变式1-2．从绵阳市参加数学会考测试的48000名学生的成绩中抽取2000名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，2000名学生的成绩是（    ） A．总体 B．个体 C．一个样本 D．样本容量 【答案】C 【详解】由题知，总体是48000名学生的成绩， 个体是每一名学生的成绩， 2000名学生的成绩是从总体中所取的一个样本. 故选：C 变式1-3．（多选）为了解某中学2 500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法不正确的是（　  　） A．调查方式是全面调查 B．该校只有380名家长持赞成态度 C．样本是400 D．该校约有95%的家长持赞成态度 【答案】ABC 【详解】对于A，由题意得调查方式是抽样调查，不是全面调查，故A错误； 对于B，400名家长中有380名家长持赞成态度，按照比例推算，全校2 500名学生家长中约2 375名家长持赞成态度，故B错误； 对于C，样本是400名家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，样本容量是400，故C错误； 对于D，该校约有×100%＝95%的家长持赞成态度，故D正确. 故选：ABC. 易错02 互斥和对立事件概念不清致误 注意：互斥和对立事件研究的是两个事件之间的关系; 互斥事件：事件A与事件B不能同时发生 对立事件：事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生所研究的两个事件是在一次试验中涉及的 例2．某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的对立事件为 【答案】“两次都中靶” 【详解】因为连续射击两次可能有两次都没中靶，恰有一次中靶，两次都中靶， 所以事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”. 故答案为：“两次都中靶” 变式2-1．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（    ） A．至少有名女生 B．至少两名男生 C．两名男生一名女生 D．全是男生 【答案】D 【详解】A选项：事件“至少有名女生”与事件“至多一名男生”可以同时发生，不满足互斥事件的概念，A选项错误； B选项：事件“至少两名男生”与事件“至多一名男生”互为对立事件，B选项错误； C选项："两名男生一名女生"与事件“至多一名男生”不能同时发生，还有可能是“三名男生"，是互斥事件但不是对立事件，C选项错误； D选项：事件“全是男生”与事件“至多一名男生”，不能同时发生，满足互斥事件概念， 又除两事件外还有可能发生事件“恰好两名男生”，所以两事件不对立，D选项正确； 故选：D. 变式2-2．现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互斥而不对立事件的是（   ） A．恰好两件正品与恰好四件正品 B．至少三件正品与全部正品 C．至少一件正品与全部次品 D．至少一件正品与至少一件次品 【答案】A 【详解】根据题意， 选项A中事件为互斥事件，不是对立事件； 选项B、D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件； 选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件. 故选：A. 变式2-3．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （    ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】一次性任意取出2张卡片,则这两张卡片的颜色为（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）这六种情况， 设（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）. 设事件“2张卡片都为蓝色”为，①设2张卡片都不是蓝色为事件， 则（红色，绿色），（红色，红色），（绿色，绿色）， 则，，和是互斥不对立事件，故①正确； ②设2张卡片恰有1 张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， 则，，和是互斥不对立事件，故②正确； ③设2张卡片至少有1张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， （蓝色，蓝色），则，， 得到和是不互斥不对立事件，故③不正确； ④设2 张卡片至多一张为蓝色为事件，则（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），则，， 得到和是对立事件，故④不正确. 故选：B. 易错03 利用随机数表确定样本忘记去掉重复数字 注意：在使用随机数法时,要注意起始位置,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,注意把超过总体号码或出现重复号码的数字舍去 例3．现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为 . 95226000   49840128   66175168   39682927   43772366   27096623 92583556   43890890   06482834   59741458   29778149   64608925 【答案】14 【详解】由题意可知，符合题意的编号依次为01，17，09，08，06，14， 故选出来的第6支水笔的编号为14. 故答案为：14 变式3-1．2024年10月1日是中华人民共和国建国75周年，为弘扬爱国主义精神，共同感受党的伟大历程，抚州市第一中学高一年级决定从每班随机抽取5名学生参加“祖国在我心”知识竞答.若高一某班有50名学生，将每一学生从01到50编号，从下面所给的随机数表的第1行第5列的数开始，每次从左向右选取两个数字，则选取的第四个编号为（   ） 7816    6572    0802    6314    0702    4369    9728    0198 3204    9234    4935    8200    3623    4869    6938    7481 A．14 B．02 C．43 D．07 【答案】D 【详解】由随机数表法可知，前四名学生的编号依次为：、、、， 因此，选取的第四个编号为. 故选：D. 变式3-2．已知某运动员每次射击击中目标的概率为，采用随机模拟的方法估算该运动员射击4次至少3次击中目标的概率，先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标．以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7527    0293    7146    9857    0347 4373    8636    6947    1417    4698 0371    6233    2616    8045    6011 3661    9597    7424    7610    4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少3次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据随机数一共有20组可知，共有20个样本点， 其中“该运动员射击4次至少3次击中目标”对应的随机数组为 7527，7146，9857，8636，6947，4698，8045，9597，7424， 共有9个样本点， 所以估计该运动员射击4次至少3次击中目标的概率为． 故选： 变式3-3．某工厂利用随机数表对个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为，，，，从中抽取个样本，下面提供随机数表的行： 66674037  14640571   11056509   95866876   83203790   57160311 63149084   45217573若从表中第列开始向右依次读取数据，则得到的第个样本编号是 ． 【答案】 【详解】由随机数表法可知，前个样本的编号依次为：、、、， 故第个样本编号是. 故答案为：. 易错04 使用直方图解题时错把纵坐标当成频率 牢记核心：直方图纵坐标是 “频率 / 组距”，频率 = 纵坐标 × 组距，面积和为 1； 解题前标注含义，计算先写公式，避免直接用纵坐标代频率； 用面积和为 1 反向校验，发现偏差优先排查该错误。 例4．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在长二F遥二十运载火箭的托举下，圆满完成飞行任务．为发扬并传承中国航天精神，我市随机抽取600名学生进行航天知识竞赛并记录学生的成绩（满分100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)求n的值； (2)求第70百分位数； (3)求这600名学生成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由，得； （2）设第70百分位数为，则，解得； （3）这600名学生成绩的平均数为. 变式4-1．（多选）近几年，我国新能源汽车行业呈现一片生机勃勃的景象．电动汽车因其智能性与操控感越来越被人们接受与认可，尤其是其辅助驾驶功能．某品牌电动汽车公司为了更好地了解车主使用辅助驾驶功能的情况，进行了问卷调查，从中抽取了100位车主进行分析，分析100位车主在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数，得到如图所示的频率分布直方图（60次及以上的称为经常使用辅助驾驶功能），则下列结论正确的是（    ）    A． B．估计车主在100次驾驶途中使用辅助驾驶功能的次数的平均数低于70 C．估计这100位车主中经常使用辅助驾驶功能的人数为75 D．按照“经常使用辅助驾驶功能”与“不经常使用辅助驾驶功能”进行分层随机抽样，从这100人中抽取12人，则在经常使用辅助驾驶功能的人中应抽取8人 【答案】ABC 【详解】对于A，由频率分布直方图可得，故．A正确； 对于B，使用辅助驾驶功能的次数的平均数为 ．B正确； 对于C，使用辅助驾驶功能的次数不少于60的频率为， 故这100位车主中经常使用辅助驾驶功能的人数约为．C正确； 对于D，“经常使用辅助驾驶功能”与“不经常使用辅助驾驶功能”的人数之比为， 故从这100人中抽取12人，在经常使用辅助驾驶功能的人中应抽（人）.D错误； 故选：ABC. 变式4-2．（多选）某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了名学生的分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这名学生中，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表）则下列正确的是（    ） A． B．估计该年级学生跳绳次数的分位数约为 C．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为 D．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为 【答案】BD 【分析】 【详解】对于A，由频率分布直方图中各长方形面积和为，得，解得，故A错误； 对于B，根据百分位数的计算，假设该年级学生跳绳次数的分位数为，则，又，所以解得，故B正确； 对于C，该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为，故C错误； 对于D，该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为，故D正确. 故选：BD. 变式4-3．在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，同一组中数据用该组区间中间值作代表值． (1)60分以下的成绩视为不及格，求不及格的考生人数； (2)求该组数据的众数和第一四分位数； (3)在本次测试分数为，的考生中，使用分层随机抽样的办法从中抽取5人，再从这5人中随机挑选3人，求恰好有一名学生分数在区间的概率． 【答案】(1) (2)众数为；第一四分位数为 (3) 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图可知，成绩在分以下的考生的频率为， 因此可得：不及格的考生人数为：人. （2）由频率分布直方图可知，成绩处于的考生人数最多，故该组数据的众数为； 设该组数据的第一四分位数为， 由于前两组的频率和为， 前三组的频率和为， 故数据的第一四分位数位于之间， 因此可得：，解得： 即数据的第一四分位数为. （3）根据分层抽样，由，， 可得：抽取的5名考生中有名成绩位于中，这3名考生分别为，，； 抽取的5名考生中有名成绩位于中，这2名考生分别为，； 则从这人中随机挑选人的不同情况有：、、、、、、、、、，共种情况. 其中恰有一名学生分数在区间的情况有：、、、、、，共6种情况. 故恰好有一名学生分数在区间的概率为. 易错05 对几个数据的百分位数理解不到位 注意：计算步骤:计算一组个数据的第百分位数的步骤: 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算. 第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据;若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 例5．已知一组数据为，则这组数据的分位数是（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】C 【详解】数据从小到大排序为：，共8个，则， 则这组数据的分位数是：. 故选：C 变式5-1．样本数据20，19，17，16，22，24，26的下四分位数是 ． 【答案】17 【详解】从小到大排序得：，共7个数，由，所以下四分位数是第二个数，即17． 故答案为：17． 变式5-2．一组样本数据10，12，12，18，19，22，31，35，41，50的分位数是（    ） A．31 B．33 C．34 D．35 【答案】D 【详解】依题意，该组样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列，且该组样本共10个数据，， 算得小数，向下取整，因此取第8个数作为分位数，即分位数为35. 故选：D. 变式5-3．已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位数是50，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，∴这组数据按从小到大顺序排列后，第65百分位数是第6个数，因此 不小于50，即， 故选：A． 易错06 使用概率加法公式没有注意成立条件 注意：概率加法公式是指当事件为互斥事件时，则有，否则只能使用一般的概率加法公式 例6．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，并记录每次骰子朝上的面的点数，记事件为“第一次朝上的面的点数为质数”，事件为“两次朝上的面的点数之和为奇数”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则基本事件总数. 骰子的点数为，其中质数有， 事件“第一次朝上的面的点数为质数”包含的基本事件数（第一次有种质数情况，第二次有种情况 ），则. 两次朝上的面的点数之和为奇数，则一次为奇数，一次为偶数. 第一次为奇数，第二次为偶数时，有种情况； 第一次为偶数，第二次为奇数时，有种情况. 所以事件包含的基本事件数，则. 事件表示“第一次朝上的面的点数为质数且两次朝上的面的点数之和为奇数”. 当第一次为，第二次需为奇数，有种情况； 当第一次为或，第二次需为偶数，各有种情况，共种情况. 所以。 根据概率加法公式. 故选：C 变式6-1．（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C．下列说法正确的是（   ） A． B． C．A与C互斥 D． 【答案】AC 【详解】样本空间为，事件，事件，事件. ，A选项正确； ，B选项错误； ∵，∴与互斥，C选项正确； ∵，∴， 而，则D选项错误； 故选：AC. 变式6-2．已知是事件的对立事件，，，，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以． 又，所以． 故答案为：. 变式6-3．（多选）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，，所以，故A正确； 由于无法确定、是否相互独立，故无法确定的值，但是，故B错误； 又，故C正确，D错误； 故选：AC 易错07nn 独立事件不会判断 两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响，满足 例7．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，， ，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为，的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为，所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当出现情况时，甲丙同时发生，则， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当出现情况时，甲乙同时发生，则， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：由于两次不可能都取2，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 变式7-1．已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【详解】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 变式7-2．（多选）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 变式7-3．（多选）下列对随机事件概率的说法正确的有（   ） A．若相互独立，则 B．若互斥，则 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于选项A：因为相互独立，所以与也相互独立，所以,故选项A正确； 对于选项B：因为互斥，所以与不能同时发生，故，而不一定为0,故选项B错误； 对于选项C：因为，而与互斥，故，故选项C正确； 对于选项D：因为，，故与是对立事件，所以，故选项D正确. 故选：ACD. 1．为了了解全校200名学生的年龄情况，从中抽取40名学生进行调查，下列说法正确的是（   ） A．总体是200 B．个体是40名学生 C．样本是40名学生 D．样本容量是40 【答案】D 【详解】由题意可得，总体是200名学生或他们的年龄，故A错误； 个体是每一名学生或他们的年龄，故B错误； 样本是40名学生或他们的年龄，故C错误； 样本容量是40，故D正确. 故选：D 2．（多选）如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（    ）    A． B． C．事件与相互独立 D．事件与互斥 【答案】BC 【详解】对于A，由图知，,故A错误； 对于B，因，故B正确； 对于C，因，而, 显然，所以事件A与B相互独立，故C正确； 对于D，由图知，，即， 所以事件A与B不互斥，故D错误. 故选：BC. 3．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（    ） A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【答案】B 【详解】由于与对立，，则， 又与互斥，，则. 故选：B 4．将颜色分别为红、白、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球”互为对立事件的是（   ） A．乙分得红球 B．丙分得红球 C．甲分得白球或蓝球 D．乙分得白球或蓝球 【答案】C 【详解】事件“甲分得红球”与“甲分得白球或蓝球”不能同时发生但又必有一个发生，故这两个事件是互为对立事件. 故选：C. 5．某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第5个被抽到的同学的编号为 ． 64844217    55721754    55068331 04744767    21763350    25839212 06766301    63785916    95556719 【答案】447 【详解】依题意，被抽到的前5个不重复的编号依次为：175，068，331，047，447， 所以第5个被抽到的同学的编号为447. 故答案为：447 6．数据53，62，78，67，98，32，42，12，90的第三四分位数是（    ） A．67 B．42 C．62 D．78 【答案】D 【详解】这组数据共9个数，从小到大排列是12，32，42，53，62，67，78，90，98， ，所以第三四分位数是第7个数，即. 故选：D. 7．某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求实数的值. (2)在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 【答案】(1) (2)2 (3)98 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图知： ， 解得. （2）采取分层抽样，[130,150]的学生个数为：， 即成绩在的学生有2名. （3）由频率分布直方图知：平均数为： . 8．某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红楼”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，并作出如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本数据的第62百分位数所在区间的组中值； (3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求落在中的样本数据的平均数和方差. 【答案】(1)0.030 (2)75 (3)， 【分析】 【详解】（1）由， 解得； （2）因为， ， 所以样本数据的第62百分位数在内， 样本数据的第62百分位数所在区间的组中值分； （3）样本数据落在的个数为， 落在的个数为， ， 总方差. 故落在中的样本数据的平均数和方差. 9．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，按照，…，分组，得到如下频率分布直方图：    (1)求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表） (2)该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少? 【答案】(1) (2)65分 【分析】 【详解】（1）由题意得，解得， 这些应聘者笔试成绩的平均数为： （2）根据题意，录取的比例为， 设分数线定为，根据频率分布直方图可知， 则，解得， 所以估计应该把录取的分数线定为65分. 10．中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制.每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为. (1)已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率 (2)求至多进行四场就结束比赛的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）设事件“中国队在已输第一场的情况下获胜”，则有两类情况： ①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，所以， ②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”， 所以， 又因为与是互斥事件， 所以， 所以中国队在已输一场的情况下获胜的概率为； （2）设比赛进行三场且中国队获胜为事件、比赛进行四场且中国队获胜为事件，比赛进行三场且瑞典队获胜为事件，比赛进行四场且瑞典队获胜事件，至多进行四场比赛为事件， 所以，， ，， ，是互斥事件， 所以 ， 所以至多进行四场就结束比赛的概率为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $